信号与线性系统分析课件--§1.4 阶跃函数和冲激函数
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第四节阶跃函数和冲激函数
t
x
dx
0,
t,
t<0 t>0
t
t
t
t
x
dx
t
t
'x
dx
tdt 1
'tdt 0
• 四.冲激函数的性质：
• 1.与普通函数的乘积： f t t f 0 t
筛选特性
f
t tdt
f
0 tdt
f
0
f t ' t f 0 ' t f ' 0 t
f
t
' t dt
f
' 0
• 而一些广义函数间乘积无定义如：δ(t)ε(t);δ(t)δ(t);δ(t)δ’(t)等。
第四节 阶跃函数和冲激函数
• 一. 阶跃函数和冲激函数
rn(t)
1
1 .阶跃函数 ：（引入）若有一个函数： 2
n 1
1
t
n
• rn(t)=
0
, t<-1/n 即信号从(-1/n,1/n)区间内从0幅度升高到1。
•
½+nt/2 , -1/n<t<1/n
•
1
, t>1/n
• 若所用时间很短 0，即在0- 0+的时间内由0 1，则定义为单位阶跃函数
波形如图:
t
t 0,t 0
• 冲激函 t
dt
t
t
x
dx
• 二.冲激函数的广义定义
• <1>δ(t)广义定义：对一个性能良好的函数φ(t)（检验函数）有以下定义
则δ(t) 为冲激函数：
(t ) (t )dt
，(0φ)(t)为一般函数，性能良好
信号与系统课件§1.4 阶跃函数和冲激函数21页PPT
t
O
▲
■
第 12 页
冲激偶的性质
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
证明
② '(t)f(t)dtf'(0)
证明
δ(n)(t)的定义：
(n )(t)f(t)dt( 1 )nf(n )(0 )
δ’(t)的平移：
1
ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
-2 o 2 t
▲
■
第 16 页
ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
[t24]1d[(t24)]1[(t2)(t2)]
2tdt
2t
1 (t2) 1 (t2)1(t2)1(t2)
中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的
实根 ti ( i=1，2，…，n)
f (t)
d{[f(t)] }[f(t)d ]f(t)
dt
dt
[f(t)] 1 d{[f(t)]}
f'(t)dt
-2
o2 t
-4
ε[f(t)]图示说明： 例f(t)= t2 – 4
ε [f (t) ]
11
2
1 o 1
t
0, t 0
n
n
def
(t) nl imn(t)
121,,
t 0 t 0
(t)
1
O
t
▲
■
第 2页
2. 延迟单位阶跃信号
(t)
1
O
t
(tt0)10
tt0, tt0
信号与线性系统分析 第一章
1
f1(k)
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 k f2(k) 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 k –1 f1(k)+f2(k) 2 –3 –2 –1 0 –1 1 1 2 3 4 5 6 k f1(k)·f2(k)
E = lim
N→∞ k=−N
| f ( k ) |2 ∑
+N
+N 1 P = lim | f ( k ) |2 ∑N N → ∞ 2N + 1 k =−
19
1.3 信号的基本运算
一. 加法和乘法 定义同一瞬时两信 定义同一瞬时两信 号值相加或相乘 f(·)＝f1(·)+f2(·) ＝ f(·)＝f1(·)×f2(·) ＝ ×
信号与线性系统分析
Analysis of Signals and Linear Systems
东南大学电气学院 主讲： 主讲：张金望
1
第一章 信号与系统
1.1 ······································· 绪言 1.2 ··························· 信号的分类 1.3 ··················· 信号的基本运算 1.4 ··········· 阶跃函数和冲激函数 1.5 ··························· 系统的描述 1.6 ······· 系统的特性和分析方法
f(t) f(t)
0
t
0
t
12
• 连续复指数信号 f(t)＝Cest (C、s为复常数 为复常数) ＝ 、 为复常数 应用复指数信号时，常用到Euler公式 应用复指数信号时，常用到 公式 ϕ ϕ ejϕ＝cosϕ+jsinϕ e–jϕ＝cosϕ–jsinϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
f1(k)
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 k f2(k) 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 k –1 f1(k)+f2(k) 2 –3 –2 –1 0 –1 1 1 2 3 4 5 6 k f1(k)·f2(k)
E = lim
N→∞ k=−N
| f ( k ) |2 ∑
+N
+N 1 P = lim | f ( k ) |2 ∑N N → ∞ 2N + 1 k =−
19
1.3 信号的基本运算
一. 加法和乘法 定义同一瞬时两信 定义同一瞬时两信 号值相加或相乘 f(·)＝f1(·)+f2(·) ＝ f(·)＝f1(·)×f2(·) ＝ ×
信号与线性系统分析
Analysis of Signals and Linear Systems
东南大学电气学院 主讲： 主讲：张金望
1
第一章 信号与系统
1.1 ······································· 绪言 1.2 ··························· 信号的分类 1.3 ··················· 信号的基本运算 1.4 ··········· 阶跃函数和冲激函数 1.5 ··························· 系统的描述 1.6 ······· 系统的特性和分析方法
f(t) f(t)
0
t
0
t
12
• 连续复指数信号 f(t)＝Cest (C、s为复常数 为复常数) ＝ 、 为复常数 应用复指数信号时，常用到Euler公式 应用复指数信号时，常用到 公式 ϕ ϕ ejϕ＝cosϕ+jsinϕ e–jϕ＝cosϕ–jsinϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
信号与线性系统ppt
δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
k
(k) (i) i
(k) (k j) j0
总结
➢ 系统性质分析
线性性质： af1(·) +bf2(·) →ay1(·)+by2(·)
时不变性：f(t ) → yzs(t )
f(t - td) → yzs(t - td)
直观判断方法： 若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
-1
1
3
τt
-1
（4） f1(2–τ)乘f2(τ) （5）积分，得f(2) = 0（面积为0）
பைடு நூலகம்
总结
➢卷积积分的性质
f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) ε(t) *ε(t) = tε(t)
f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0) f(t)*δ’(t) = f’(t)
f(t)*ε(t)
方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序 列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。
因果，稳定（见第七章）。
总结
第二章 连续系统的时域分析
➢系统的时域求解，冲激响应，阶跃响应。
➢时域卷积：f1(t) * f2 (t) f1( ) f2 (t )d
图解法一般比较繁琐，但若只求某一 时刻卷积值时还是比较方便的。确定 积分的上下限是关键。
①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不 一定是周期序列。
•sin2t是周期信号，其角频率和周期为ω1= 2 rad/s，T1= 2π/ ω1= πs •仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 •当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N= M(2π/ β)，M取使N为整数的最小整数。 •当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。
k
(k) (i) i
(k) (k j) j0
总结
➢ 系统性质分析
线性性质： af1(·) +bf2(·) →ay1(·)+by2(·)
时不变性：f(t ) → yzs(t )
f(t - td) → yzs(t - td)
直观判断方法： 若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
-1
1
3
τt
-1
（4） f1(2–τ)乘f2(τ) （5）积分，得f(2) = 0（面积为0）
பைடு நூலகம்
总结
➢卷积积分的性质
f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) ε(t) *ε(t) = tε(t)
f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0) f(t)*δ’(t) = f’(t)
f(t)*ε(t)
方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序 列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。
因果，稳定（见第七章）。
总结
第二章 连续系统的时域分析
➢系统的时域求解，冲激响应，阶跃响应。
➢时域卷积：f1(t) * f2 (t) f1( ) f2 (t )d
图解法一般比较繁琐，但若只求某一 时刻卷积值时还是比较方便的。确定 积分的上下限是关键。
①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不 一定是周期序列。
•sin2t是周期信号，其角频率和周期为ω1= 2 rad/s，T1= 2π/ ω1= πs •仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 •当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N= M(2π/ β)，M取使N为整数的最小整数。 •当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。
第10讲-阶跃响应与冲激响应PPT优秀课件
1
h ( t) u C ( t) ( t) g 2 ( t) s i n tt
O
t s(t)Βιβλιοθήκη costt阶跃响应的测量二阶系统的冲激响应与阶跃响应的实际测量
任意信号作用下的零状态响应
激励
(t)
(t-)
f()(t-)
f ( ) (t - )d
-
‖
f (t)
LTI系统
零状态
响应
h(t) 冲激响应
对阶跃响应，强迫函数为 f(t) (t)
则阶跃响应为 s ( t ) g 2 ( t ) f ( t ) ( e 2 t e 3 t ) ( t ) ( t ) ( e 2 t e 3 t ) ( t )
冲激响应另一种求解方法
•由于激励信号的特殊性， ( t ) 及其各阶导数在 t 0 时都为零，于是 h ( t ) 的形式应与齐次解的形式相同并且不包含特解。 ( t ) t 0 加入系统并在 t 0 以后激励将不存在，冲激信号只引起 系统的储能变化从而引起响应，所以， h ( t ) 也必然和系统的零输 入响应有相同的形式。
第2章 系统的时域分析---导读
本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。
然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。
为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。
仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。
例：二阶系统的微分方程为 y ''( t) 5 y '( t) 6 y ( t) f'( t) 求其冲激响应和阶跃响应。
解 特征函数为 g 2 ( t ) e 2 t( t) e 3 t( t) ( e 2 t e 3 t)( t)
信号与系统课件 郑君里版 §1.4 阶跃信号和冲激信号
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3. 定义2：狄拉克(Dirac)
( t )dt 1 ( t ) 0, t 0
( t )dt 0 ( t )dt
0
函数值只在t=0时不为零； 积分面积为1；
t=0时， t ，为无界函数。
退出
4. 冲激函数的性质
2a
O
2a
t
a
P(t)面积为1， t 强度为1
1
P(at)面积为
a
， at 强度为
p(at)
1 a 1 a
退出
0时, p(t) (t),
(t )
证明
分析：用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明， 分a>0 、a<0两种情况
(1)
a 0, 令at
2
t
1
sgn( t ) u( t ) u( t ) 2u( t ) 1
u( t ) 1 2
0
t 1
[sgn( t ) 1]
退出
三. 单位冲激函数
1.概念引出
iC t
R
Us
C
uC t
t=0 时开关闭合。 考察R值改变对电 路的影响。
uC 0
0
k R( t ) 0 t f (t ) 0, 其它
0
f (t )
t0
t0 1
t
K t
注意!
0
奇异函数的定义区间是全时间域范围。
退出
二. 单位阶跃信号
1. 定义
u(t )
3. 定义2：狄拉克(Dirac)
( t )dt 1 ( t ) 0, t 0
( t )dt 0 ( t )dt
0
函数值只在t=0时不为零； 积分面积为1；
t=0时， t ，为无界函数。
退出
4. 冲激函数的性质
2a
O
2a
t
a
P(t)面积为1， t 强度为1
1
P(at)面积为
a
， at 强度为
p(at)
1 a 1 a
退出
0时, p(t) (t),
(t )
证明
分析：用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明， 分a>0 、a<0两种情况
(1)
a 0, 令at
2
t
1
sgn( t ) u( t ) u( t ) 2u( t ) 1
u( t ) 1 2
0
t 1
[sgn( t ) 1]
退出
三. 单位冲激函数
1.概念引出
iC t
R
Us
C
uC t
t=0 时开关闭合。 考察R值改变对电 路的影响。
uC 0
0
k R( t ) 0 t f (t ) 0, 其它
0
f (t )
t0
t0 1
t
K t
注意!
0
奇异函数的定义区间是全时间域范围。
退出
二. 单位阶跃信号
1. 定义
u(t )
信号与系统(郑君里)ppt
t
f(t)
t/2
f(t/2)
0
1
0
1
T
2
T
2
时间尺度压缩：t t 2 ,波形扩展
求新坐标
t
f(t/2)
0
1
2T
2
f(t)f(2t)
f t
2 1
O
Tt
宗量相同，函数值相同
t
f(t)
2t
f(2t)
0
1
0
1
T
2
T
2
求新坐标
t
f(2t)
0
1
T/2
2
t2t，时间尺度增加，波形压缩。
比较
f t
2 1
O
Tt
•三个波形相似，都是t 的一次 函数。 •但由于自变量t 的系数不同， 则达到同样函数值2的时间不同。 •时间变量乘以一个系数等于改 变观察时间的标度。
a 1 压缩,保持信号的时间缩短 f (t) f (at)0 a 1 扩展,保持信号的时间增长
4．一般情况
f t f at b f at b a 设a 0
f (t) K sin(t )
f
t
T
K
2π
O
2π
衰减正弦信号：
K et sint
f (t) 0
振幅：K 周期：T
2π
1
f
频率：f
角频率： 2 π f t 初相：
t0 0
t0
欧拉(Euler)公式
sin t 1 ejt ejt 2j
cos t 1 ejt ejt 2
t
间为，t0时函数有断点，跳变点
宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
1.4 阶跃函数和冲激函数
(t 2) 2 (t ) d t
板书：例1.4-1，例1.4-2，
d [(t 2) 2 ] t 0 2(t 2) t 0 4 dt
13
通信与信息工程学院基础教学部
练习
通信与信息工程学院基础教学部
14
练习答案
通信与信息工程学院基础教学部
15
5.复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函 数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，…，n)
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
ε (k)
1 -1 o1 2 3 … k
3.ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
(k )
或
i
(i)
j 0
k
ε(k) = δ(k)+ δ(k – 1)+…
(k ) (k j )
通信与信息工程学院基础教学部
19
小结：
• • • 单位阶跃信号的定义 单位冲激信号的定义、性质 西电精品课程视频（来源于网络）
通信与信息工程学院基础教学部
20
冲激信号尺度变换的证明 从 ( t ) 定义看：
pt 1
pat 1
2 t
2
O
2a
O
a
2a
t
t 强度为1 p(t)面积为1，
2
注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
通信与信息工程学院基础教学部
17
三、序列δ(k)和ε(k)
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j 0
0
(t )
1
2
O 1
t
O
t
2
▲
■
第 12 页
冲激偶的性质
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) ② 证明
' (t ) f (t ) d t f ' (0)
证明
(t ) f (t ) d t (1) f
n (n)
t
(1)
(t ) ( ) d
(t )
d (t ) dt
▲
o
t
■
第 8页
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
f (t) 2
f '(t)
求导
o 1 t
(2) -1 o
1
t (-2)
-1
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
(t 2)
1 4
(t 2)
一般地， [ f (t )]
i 1
1 f ' (t i )
(t t i )
1 f ' (t i )
这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 函数构成的冲激函数序列。
(4t 1)
2
的n个冲激
1 4
(t )
2
o
f ( 0 ) ( t )
证明 对于平移情况：
f (t ) (t t 0 ) f (t0 ) (t t 0 )
t
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
举例
▲ ■ 第 11 页
2.冲激偶
s(t )
1
(t )
(1)
o
s(t )
t
O
t
τ↓
f (t)
4
求导，得g(t)
o 2 t
(4)
g(t) = f '(t)
-2
o -1
2
-2
t
压缩，得g(2t)
g(2t)
(2)
-1
o -1
1
t
▲ ■
第 15 页
4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其 中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的 实根 ti ( i=1，2，…，n) f (t)
1
1 4
(t )
2
▲ ■
1
注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
#
第 17 页
冲激函数的性质总结
（1）取样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶
f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
o 1 2 t
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
f (t) f(t)ε (t)
-1
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
t
t
o (b)
t
o
t1
t2 (c)
t
（3）积分
( ) d t (t )
▲
■
第 4页
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
δ (k)
1
-1
o 1
k
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
k
f (k ) (k )
k
f (0)
•例
k
(k ) ?
(k 5) (k ) ?
i
(k i ) ?
▲ ■ 第 19 页
2. 单位阶跃序列ε(k) 定义
狄拉克(Dirac)定义 函数序列定义δ(t) 冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质
▲
■
第 5页
1. 狄拉克(Dirac)定义
(t ) 0 t 0 (t ) d t 1
(t ) d t
0
(t ) d t
t
( t ) d t 0
（4）微积分性质
(t )
( ) d (t )
t
▲
■
第 18 页
四. 序列δ(k)和ε(k)
这两个序列是普通序列。
1. 单位(样值)序列δ(k)
def 1 , k 0 •定 (k ) 义 0, k 0 •取样性质：f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
δ(n)(t)的定义： δ’(t)的平移： ③
(n)
(0)
( t t 0 ) f ( t ) d t f ( t 0 )
t
( t ) d t t
2
例 (t 2)
' (t ) d t
d dt
[(t 2) ] t 0 2(t 2)
t t0 t t0
,
t0 0
1
O
t0
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
t t 0 t t 0
1
,
t0 0
t0
▲
O
t
■
第 3页
3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号
2 f (t)
f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
t
(t ) lim p n (t )
n
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
▲ ■ 第 7页
3. δ(t)与ε(t)的关系
γ
1 2
n
n
1
pn (t)
求导
o
1 n
2
1 n
p n (t )
t
d n (t ) dt
1 n
o
1 n
t
n→∞
ε (t) 1
δ (t)
求导
o t
0, def 1 (t ) lim n (t ) , n 2 1, t0 t 0 t 0
1 2
1
1 n
o
1 n
t
(t )
1
O
▲ ■
t
第 2页
2. 延迟单位阶跃信号
1
(t )
O
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
-2
▲
o
2
t
■ 第 16 页
ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
[t 4]
2
1 d 2t d t
[ (t 4)]
2
1 2t
[ (t 2) (t 2)] 1 4
1 2 2
(t 2)
1 2 2
(t 2)
n
d dt { [ f (t )]} [ f (t )] d f (t ) dt
-2 o -4 2
[ f (t )]
1
d
t
{ [ f (t )]}
f ' (t ) d t
ε[f(t)]图示说明： 例f(t)= t2 – 4
ε [f (t) ]
1
ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
1
|a|
(t) ( t
t0 a
)
(2) 当a = –1时 ( n ) (t ) (1) n ( n ) (t ) 所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
▲ ■ 第 14 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
•定义
1, (k ) 0,
def
k 0 k 0
1
ε (k)
… o1 2 3 k
•ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1) 或
(k )
-1
i
(i)
ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…
▲ ■ 第 20 页
k
(k ) (k j )
0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
o
δ (t) (1)
t
▲
■
第 6页
2.函数序列定义δ(t)
对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
γ
1 2
n
n 2
pn (t)
1
1 n
o
1 n
求导
t
def
1 n
o
1 n
▲
■
第 9页
三． 冲激函数的性质
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
■
第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
0
(t )
1
2
O 1
t
O
t
2
▲
■
第 12 页
冲激偶的性质
① f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t) ② 证明
' (t ) f (t ) d t f ' (0)
证明
(t ) f (t ) d t (1) f
n (n)
t
(1)
(t ) ( ) d
(t )
d (t ) dt
▲
o
t
■
第 8页
引入冲激函数之后，间断点的导数也存在
f (t) 2
f '(t)
求导
o 1 t
(2) -1 o
1
t (-2)
-1
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1)
f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
(t 2)
1 4
(t 2)
一般地， [ f (t )]
i 1
1 f ' (t i )
(t t i )
1 f ' (t i )
这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为 函数构成的冲激函数序列。
(4t 1)
2
的n个冲激
1 4
(t )
2
o
f ( 0 ) ( t )
证明 对于平移情况：
f (t ) (t t 0 ) f (t0 ) (t t 0 )
t
(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
举例
▲ ■ 第 11 页
2.冲激偶
s(t )
1
(t )
(1)
o
s(t )
t
O
t
τ↓
f (t)
4
求导，得g(t)
o 2 t
(4)
g(t) = f '(t)
-2
o -1
2
-2
t
压缩，得g(2t)
g(2t)
(2)
-1
o -1
1
t
▲ ■
第 15 页
4. 复合函数形式的冲激函数
实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其 中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的 实根 ti ( i=1，2，…，n) f (t)
1
1 4
(t )
2
▲ ■
1
注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。
#
第 17 页
冲激函数的性质总结
（1）取样性
f ( t ) ( t ) f (0) ( t )
（5）冲激偶
f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
o 1 2 t
（2）用阶跃函数表示信号的作用区间
f (t) f(t)ε (t)
-1
f(t)[ε (t-t1)-ε (t-t2)]
o (a)
t
t
o (b)
t
o
t1
t2 (c)
t
（3）积分
( ) d t (t )
▲
■
第 4页
二．单位冲激函数
单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大， 作用时间极短一种物理量的理想化模型。
δ (k)
1
-1
o 1
k
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
k
f (k ) (k )
k
f (0)
•例
k
(k ) ?
(k 5) (k ) ?
i
(k i ) ?
▲ ■ 第 19 页
2. 单位阶跃序列ε(k) 定义
狄拉克(Dirac)定义 函数序列定义δ(t) 冲激函数与阶跃函数关系 冲激函数的性质
▲
■
第 5页
1. 狄拉克(Dirac)定义
(t ) 0 t 0 (t ) d t 1
(t ) d t
0
(t ) d t
t
( t ) d t 0
（4）微积分性质
(t )
( ) d (t )
t
▲
■
第 18 页
四. 序列δ(k)和ε(k)
这两个序列是普通序列。
1. 单位(样值)序列δ(k)
def 1 , k 0 •定 (k ) 义 0, k 0 •取样性质：f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
δ(n)(t)的定义： δ’(t)的平移： ③
(n)
(0)
( t t 0 ) f ( t ) d t f ( t 0 )
t
( t ) d t t
2
例 (t 2)
' (t ) d t
d dt
[(t 2) ] t 0 2(t 2)
t t0 t t0
,
t0 0
1
O
t0
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
t t 0 t t 0
1
,
t0 0
t0
▲
O
t
■
第 3页
3. 阶跃函数的性质
（1）可以方便地表示某些信号
2 f (t)
f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
t
(t ) lim p n (t )
n
高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
▲ ■ 第 7页
3. δ(t)与ε(t)的关系
γ
1 2
n
n
1
pn (t)
求导
o
1 n
2
1 n
p n (t )
t
d n (t ) dt
1 n
o
1 n
t
n→∞
ε (t) 1
δ (t)
求导
o t
0, def 1 (t ) lim n (t ) , n 2 1, t0 t 0 t 0
1 2
1
1 n
o
1 n
t
(t )
1
O
▲ ■
t
第 2页
2. 延迟单位阶跃信号
1
(t )
O
t
(t t 0 )
0 (t t 0 ) 1
-2
▲
o
2
t
■ 第 16 页
ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
[t 4]
2
1 d 2t d t
[ (t 4)]
2
1 2t
[ (t 2) (t 2)] 1 4
1 2 2
(t 2)
1 2 2
(t 2)
n
d dt { [ f (t )]} [ f (t )] d f (t ) dt
-2 o -4 2
[ f (t )]
1
d
t
{ [ f (t )]}
f ' (t ) d t
ε[f(t)]图示说明： 例f(t)= t2 – 4
ε [f (t) ]
1
ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
1
|a|
(t) ( t
t0 a
)
(2) 当a = –1时 ( n ) (t ) (1) n ( n ) (t ) 所以， δ(– t) = δ (t) 为偶函数， δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数
▲ ■ 第 14 页
举例
已知f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)
•定义
1, (k ) 0,
def
k 0 k 0
1
ε (k)
… o1 2 3 k
•ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1) 或
(k )
-1
i
(i)
ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…
▲ ■ 第 20 页
k
(k ) (k j )
0
函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；
t =0 时， t ，为无界函数。
o
δ (t) (1)
t
▲
■
第 6页
2.函数序列定义δ(t)
对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。
γ
1 2
n
n 2
pn (t)
1
1 n
o
1 n
求导
t
def
1 n
o
1 n
▲
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第 9页
三． 冲激函数的性质
取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数
▲
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第 10 页
1. 取样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有