用差分方程求系统的单位脉冲响应
微积分讲座---Z3.13 单位脉冲响应的定义和求解
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
特征根为：
1 1, 2 3
所以：
h(k) [C1(1)k C2 (3)k ] (k)
代入初始值得：
h(0) C1 C2 3
h(1) C1 3C2 11
解得：
C1 1,C2 4
由于h(0), h(1)作为初始值代入，因而方程的解也满足
h(k)隐含的条件：
f(k)=δ(k) h(-1) = h(-2) = 0 (对二阶系统)
基本信号：单位脉冲序列δ(k) 基本响应：单位脉冲响应h(k)
2
3.2 基本信号与基本响应 2.求法
第三章 离散系统的时域分析
由于单位脉冲序列δ(k)仅在k=0处等于1，而在k>0时 为零，因而此时单位脉冲响应h(k)与系统的零输入响 应的函数形式相同。这样就把求解h(k)的问题转换为 求解齐次方程的问题。而k=0处的值h(0)可按零状态的 条件由差分方程确定。
右边加法器的输出为：
y(k) 3x(k) x(k 1)
4
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
y(k) 4y(k 1) 3y(k 2) 3 f (k) f (k 1)
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1) (1)
初始状态： h(1) h(2) 0
k=0和k=1。所以系统的单位脉冲响应为：
h(k) [1 4(3)k ] (k)
6
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.13
第三章 离散系统的时域分析
单位脉冲响应的定义和求解
主要内容：
1. 单位脉冲响应的定义 2. 单位脉冲响应的求解
基本要求：
数字信号处理 各章测试题
第一章1、设某线性时不变离散系统的差分方程为)()1()(310)1(n x n y n y n y =++--,试求它的单位抽样响应。
它是不是因果的？是不是稳定的？2、用两种方法计算下面两个序列的线性卷积：x(n)= δ(n)+2δ(n+2)-δ(n-4) , y(n)= 3δ(n-1)+δ(n-3) 。
3、一阶因果系统的差分方程为 y(n)-ay(n-1)=x(n), a 是实数，求： （1）、该系统的系统函数H （z ）和收敛域；（2）、分0<a<1, a=0, a>1三种情况写出h(n)及稳定性，画出零极点分布图。
4、下列是系统的单位脉冲响应表达式，试指出这些系统的因果、稳定性。
（1）、 e R n anN ()（2）、 2nU n ()- （3）、)2()2(++-n n δδ （4）、)(2n U n （5）、 )1(3--n U n (6)、)1(1+n U n5、若azaz z X --=--111)(，1->az ，试求)(z X 的反z 变换。
6、已知某线性时不变系统的单位脉冲响应为()()n h n a u n =，10<<a ， 输入序列为()()nx n b u n =，10<<b ，（1） 请用z 域关系式计算该系统的输出序列y (n )； （2） 请分析该系统的因果稳定性。
7、已知某系统的差分方程为)()2(2)1(3)(n x n y n y n y +---=，求：（1）、系统函数 （2）、系统频响 （3）、系统零极点 （4）、收敛域为1<|z|<2时的单位脉冲响应。
8、序列的Z 变换)21)(5.01(5.1)(111------=z zzz X 。
在以下三种收敛域下，哪一种是左边序列？哪一种是右边序列？哪一种是双边序列？并求出各对应的序列。
（1）、| z | > 2 （2）、| z | < 0.5 （3）、0.5 < | z | < 29、已知一线性移不变因果系统，可用如下差分方程描述：)1(21)()1(21)(-+=--n x n x n y n y求：（1）该系统的冲激响应；（2）系统对输入n j e n x ω=)(的响应；（3）系统的频响。
系统响应及系统稳定性实验报告
系统响应及系统稳定性实验报告实验课程：数字信号处理实验名称：系统响应及系统稳定性实验时间：12月1日实验设备：电脑、matlab软件实验目的：在matlab 环境下，掌握求系统相应的方法，掌握时域离散系统的时域特性。
实验内容：原理：在时域中，描写系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，在频域可以用系统函数描述系统特性。
已知输入信号可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应，本实验仅在时域求解。
在计算机上适合用递推法求差分方程的解，最简单的方法是采用MATLAB语言的工具箱函。
也可以用MATLAB语言的工具箱函数conv函数计算输入信号和系统的单位脉冲响应的线性卷积，求出系统的响应。
系统的时域特性指的是系统的线性时不变性质、因果性和稳定性。
重点分析实验系统的稳定性，包括观察系统的暂态响应和稳定响应。
系统的稳定性是指对任意有界的输入信号，系统都能得到有界的系统响应。
或者系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。
系统的稳定性由其差分方程的系数决定。
实际中检查系统是否稳定，不可能检查系统对所有有界的输入信号，输出是否都是有界输出，或者检查系统的单位脉冲响应满足绝对可和的条件。
可行的方法是在系统的输入端加入单位阶跃序列，如果系统的输出趋近一个常数（包括零)，就可以断定系统是稳定的。
系统的稳态输出是指当n→∞时，系统的输出。
如果系统稳定，信号加入系统后，系统输出的开始一段称为暂态效应，随n的加大，幅度趋于稳定，达到稳态输出。
但是在实验中全部都假设系统的初始状态为零。
实验内容：（1）编制程序，包括产生输入信号、单位脉冲响应序列的子程序，以及用filter函数或conv函数求解系统为3输出响应的主程序。
（2）给定一个低通滤波器的差分方程y(n)=0.05x(n)+0.05x(n-1)+0.9y(n-1)输入信号x1(n)=R8(n),x2(n)=u(n)分别求出x1(n)=R8(n),x2(n)=u(n)的系统响应，并画出其波形。
1、2章习题讲解
n
2 1
3 2 1
所以系统是稳定的。 (2)当n<0时，h(n)≠0，所以系统是非因果的。 因为：
n
| h(n) | 1
所以系统是稳定的。
4、已知一个因果线性时不变系统由以下差分方程 描述 y(n) 1 y(n 1) x(n) 1 x(n 1)
m
x(n) X ( z 1 ),
x(n m) z m X ( z 1 ) x(n m) z X ( z ),
若y(n) x1 (n) * x 2 (n)，则Y(z) X1 (z)X 2 (z)
解：根据题目所给条件可得：
1 x1 (n) 1 1 1 z 2
1 h (n ) ( ) n 1 u (n 1) (n ) 2
即
(2)对LTI系统的输出等于输入序列和该系统单位 抽样响应的卷积和。所以：
1 y(n ) x (n ) h ( n ) [( ) n 1 u (n 1) (n )] * e jwn u (n ) 2 1 [( ) n 1 u (n 1)] * e jwn u (n ) e jwn u (n ) 2 n 1 ( ) (m 1) e jw(n -m) u (n 1) e jwn u ( n ) m 1 2 1 jw 1 1 n jw(n 1) e ( ) e 2 2 2e jwn 2 u (n 1) e jwn u (n ) 1 1 e jw 2 1 e jw ( n 1) ( ) n e jw 2 u (n 1) e jwn u (n ) 1 1 e jw 2 1 e jwn ( ) n 2 u (n 1) e jwn u (n ) 1 e jw 2
实验一 离散时间信号与系统响应
班 级 学号 姓 名 同组人 实验日期 室温 大气压 成 绩实验题目： 实验一 离散时间信号与系统响应 一、实验目的1.观察离散系统的频率响应和单位脉冲响应并学会其应用。
2.掌握用MATLAB 实现线性卷积的方法及差分方程的求解方法。
3.了解数字信号采样率转换过程中的频谱特征。
4.通过观察采样信号的混叠现象，进一步理解奈奎斯特采样频率的意义。
二、实验仪器计算机一台 MATLAB7.0软件三、实验原理在数字信号处理中，离散时间信号通常用序列{x(n)}表示。
离散时间系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算，亦即将一个序列变换成另一个序列的系统。
记为y(n)=T[x(n)],通常将上式表示成图()()[]x n y n T −−−→∙−−−→所示的框图。
算子T[∙]表示变换，对T[∙]加上种种约束条件，就可以定义出各类离散时间系统。
1.频率响应：在工程上进行时域分析和轨迹分析用频率响应法，它是分析和设计系统的一中有效经典的方法。
线性时不变系统输入输出关系y(n)=x(n)*h(n)。
H(ejw)是频率响应，离散时间系统的线性卷积，由理论学习我们可知，对于线性时不变离散系统，任意的输入信号()()()...(1)(1)(0)()(1)(1)...k x n x k n k x n n x n x n δδδδ∞=-∞=-=+-+++-+∑x （n ）可以用δ（n ）及其位移的线性组合来表示，即，当输入δ（n ）时，系统的输出y(n)=h(n)。
2.卷积：y=conv(h,x),计算向量h 和x 的卷积，结果放在y 中。
由系统的线性移不变性质可以得到系统对x(n)的响应y(n)为()()()k y n x k h n k ∞=-∞=-∑，称为离散系统的线性卷积，简记为y(n)=x(n)*h(n),也就是说，通过系统的冲激响应，可以将输入信号与系统的冲激响应进行卷积运算，可求得系统的响应。
离散时间LTI系统的单位脉冲响应
系统分析和设计
通过单位脉冲响应可以分析系统 的稳定性、频率响应和因果性等 特性，用于系统的设计和优化。
信号处理
单位脉冲响应可以用于信号的滤 波、预测和合成等处理，提高信 号的质量和性能。
控制工程
单位脉冲响应可以用于控制系统 的分析和设计，优化控制性能和 稳定性。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
IIR系统
系统的输出不仅与当前的输入有关， 还与过去的输入有关，因此其单位脉 冲响应在时间上是无限的。
系统的表示方法
差分方程
离散时间LTI系统的动态行为通常由差分方 程描述，如 $y(n) = f(n) + g(n)u(n)$。
传递函数
通过将差分方程转换为传递函数的形式，可以更方 便地分析系统的频率响应和稳定性。
仿真分析的步骤与过程
建立数学模型
根据系统定义，建立离散时间LTI系统的数学模型，包括差分方程或传递函数。
生成单位脉冲信号
在仿真中，生成一个单位脉冲信号，用于输入到离散时间LTI系统中。
计算单位脉冲响应
将单位脉冲信号输入到系统中，并记录系统的输出，即单位脉冲响应。
分析单位脉冲响应
对单位脉冲响应进行分析，包括幅度和相位特性，以及稳定性等。
性质
单位脉冲响应是线性时不变系统的内 部动态特性，具有稳定性、因果性和 可预测性。
单位脉冲响应的求解方法
直接法
根据系统函数或差分方程，直接计算单位脉冲响 应的数值解。
迭代法
根据系统函数或差分方程，通过迭代计算单位脉 冲响应的数值解。
逆系统法
通过求解系统的逆系统，得到单位脉冲响应的数 值解。
单位脉冲响应的应用
数字信号处理第三版西科大课后答案第1章
第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.1.2 重要公式（1） ∞-∞==-=m n h n x m n h m x n y )(*)()()()( 这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在－∞~∞之间对m 求和。
如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、 输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。
（2）x(n)=x(n)*δ(n)该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。
x(n －n0)=x(n)*δ(n －n0)（3）∞-∞=-=k a n k X T X )j j (1)j (ˆs ΩΩΩ这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上， 才能得到不失真的采样信号。
∞-∞=--=n a a T nT t T nT t nt x t x /)(π]/)(πsin[)()(这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。
1.2 解线性卷积的方法解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。
解线性卷积有三种方法， 即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用MA TLAB 语言求解。
它们各有特点。
图解法（列表法）适合于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易得到封闭解。
解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。
解析法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于画图确定。
第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积， 实验中常用。
解线性卷积也可用Z 变换法，以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。
下面通过例题说明。
设x(n)=R 4(n), h(n)=R 4(n)， 求y(n)=x(n)*h(n)。
该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法）或者解析法求解。
表1.2.1给出了图解法（列表法）， 用公式可表示为y(n)={…, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, …}下面用解析法求解， 写出卷积公式为∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n R m R m n h m x n y )()()()()(44在该例题中， R 4(m)的非零区间为0≤m ≤3， R 4(n －m)的非零区间为0≤n －m ≤3，或写成n －3≤m ≤n ，这样y(n)的非零区间要求m 同时满足下面两个不等式：0≤m ≤3 m －3≤m ≤n上面公式表明m 的取值和n 的取值有关， 需要将n 作分段的假设。
信号与系统课后答案第八章作业答案后半部分
频率响应为
H
(e jΩ
)
=
H
(z)
|z = e jΩ
=
4 ⎡⎣ejΩ −1⎤⎦
3
⎡⎢⎣e
jΩ
−
1 3
⎤ ⎥⎦
经计算得极点为 p = 1 ，零点为 z = 1。 3
H（e jΩ）
（Ω）
幅频响应图（横坐标进行了归一化处理）
（c）Yx (z) =
y(−1) + 2 y(−2) + 2 y(−1)z−1 1− z−1 − 2z−2
=
8⋅ z +1⋅ 3 z−2 3
z， z +1
z
>2
其逆
z
变换即零输入响应为
yx
(n)
=
8 3
⋅
2n
u(n)
+
1 3
⋅
(−1)n
u(n)
（d）根据上面计算的零输入和零状态响应可知系统的完全响应为
f (n) = (−1)n u(n) ， y(−1) = 0 ， y(−2) = 1；
解：（1）将原式两边取单边 Z 变换得，
Y (z) −[z−1Y (z) + y(−1)] − 2[z−2Y (z) + y(−2) + y(−1)z−1] = F (z) + z−1F (z)
整理得：
Y (z)
=
题图 8-23
根据系统框图可得 h(n) = h1(n) ∗[h2 (n) + h3 (n)] ，故 h(n) = δ (n) ∗[h2 (n) + h3(n)] = u(n) + u(n − 2)
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2. 单位阶跃序列
1 , n0 定义为： u (n) 0 , n 1
u (n) 在离散时间信号与系统中的作用类似 于连续时间信号与系统中的 u (t ) ；
u (n) 与 (n) 之间的关系为:
(n) u(n) u(n 1)
u ( n) ( n k )
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
1.2.1 常用的典型序列
离散时间信号与系统中的单位采样序列与连续时间信号
中的单位冲激信号之间的区别
δ (n ) 1 n －1 0 (a ) 1 2 3 0 (b ) t δ (t)
图 (a)单位采样序列； (b)单位冲激信号
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
k 0 n
u ( n)
m
( m)
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
3. 矩形序列
1 , 0 n N 1 定义为：RN (n) 0 , 其它 n
N为正整数，表示序列的长度；
δ (n) 、u (n) 和 RN ( n) 三者之间的关系为： RN ( n) 在离散时间信号与系统中的作用类似 于连续时间信号与系统中的 RT (t ) ；
简单方式：集合中有下划线的元素表示n=0时刻的采样值。
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
1.2 时域离散信号
2）用公式表示序列
如果信号随n的变化存在着一定的变化规律，这时候的序列也即
时域离散信号可以用公式表示。 例如：
x(n) a ,0 a 1, n
n
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
三种序列的作用：
u (n) 和 RN ( n) 对任意序列 x(n) 的半边截 取和窗截取作用可以表示为 ：
x ( n) , n 0 x(n)u (n) 0 , n 1
x ( n) , 0 n N 1 x(n) RN (n) 0 , 其它 n
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
4. 实指数序列
n x ( n ) a u(n) 定义为：
a为实数；
当 |a | 1 时序列收敛（衰减变化）； 当
|a | 1
时序列发散（增幅变化） ；
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
4. 实指数序列
图 实指数序列
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
δ (n) u (n) u (n 1) u (n) δ (n m) δ (n) δ (n 1) δ (n 2) m0 N 1 RN (n) δ (n m) δ (n) δ (n 1) δ (n N 1) u (n) u (n N ) m0
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.1 引言 1.2 时域离散信号
1.3 时域离散系统
1.4 时域离散系统的输入输出描述法——
线性常系数差分方程
1.5 模拟信号数字处理方法
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
1.1 引言
信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如
以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的 解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
1.2 时域离散信号
序列及其表示
离散时间信号：通过对连续时间信号抽样获得； 若连续时间信号为 xa ( t ) ， 抽样周期为T ；
x( n) 为： 则抽样得到的离散时间信号（序列）
果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以
上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字 信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种
形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般
地把信号看作时间的函数。
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
1.1 引言
根据信号的自变量和函数值的取值情况，信号分为三种：
1.2 时域离散信号
时域离散信号的三种表示方法：
1）用集合符号表示序列
数的集合用集合符号｛· ｝表示。时域离散信号是一个有序的数 的集合，可表示成集合：
x(n) xn , n ..., 2, 1,0,1,2,...
例如：一个有限长序列可表示为：
x(n) 1, 2,3, 4,3, 2,1; n 0,1, 2,3, 4,5,6
x(n) xa (t ) |t nT xa (nT ) x(nT )
序号n为整数n 0, 1, 2, ； 表示第n 个抽样离散时间点； 当n为非整数时，序列 x ( n ) 无定义！
x ( n ) 既是序列的第 n 个序列值，又代表整个序列！
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
1.2.1 常用的典型序列
1. 单位采样序列 —— 又称单位脉冲序列；
1 , n0 定义为：δ (n) 0 , n0
δ (n)
在离散时间信号与系统中的作用类似 于连续时间信号与系统中的δ (t ) ；
δ (n) 对任意序列 x(n) 的点截取（抽取）作用可 例如： 以表示为：
x ( n) , n m x(nδ ) (n m) x(mδ ) ( n m) 0 ,nm
1.2 时域离散信号
3）波形表示法：
序列既可以用表达式来描述，也可以用波形来描述；
n 1 , 2 n 4 1,0,1, 2,3, 4,5 例如:序列 x(n) 0 , 其它 n
这是一个有限长序列； 非零序列值（简称非零值） 区间为：
2 n 4
第1章 时域离散时间信号和时域离散系统
模拟信号（时域连续信号）：自变量与函数值都取连
续值 时域离散信号：自变量取离散值、函数值取连续值
数字信号：自变量和函数值均取离散值
数字信号是离散时间信号和时域离散系统
1.1 引言
本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示
方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，