微积分讲座---Z3.13 单位脉冲响应的定义和求解
微积分讲座---Z3.15 单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
k
(k) (i) i
k
g(k) h(i) i
由于
(k) (k) (k) (k 1)
那么
h(k) g(k) g(k) g(k 1)
2
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
例3 某离散系统的差分方程如下，求单位脉冲响应h(k) 和单位阶跃响应g(k)。
y(k) y(k 1) 2y(k 2) f (k)
解：(1)先求h(k)
h(k) h(k 1) 2h(k 2) (k)
初始条件：h(1) h(2) 0
由迭代得：
h(0) 1，h(1)=1
代入初始值求： h(k) C1(1)k C2(2)k，k 0
h(k) 1 (1)k 2 响应
第三章 离散系统的时域分析
(2)再求g(k)
h(k) 1 (1)k 2 (2)k，k 0
3
3
g(k) k h(i) 1 k (1)i 2 k (2)i
i
3 i0
3 i0
由级数求和公式得：
k (1)i 1 (1)k1 1 [1 (1)k ]
i0
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.15
第三章 离散系统的时域分析
单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
主要内容：
单位阶跃响应与单位脉冲响应之间的关系
基本要求：
掌握 g(k) 和 h(k) 之间的关系
1
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
Z3.15 单位阶跃响应与单位脉冲响应的关系
由于 那么
1 (1) 2
k (2)i 1 (2)k1 2(2)k 1
i0
1 2
得单位阶跃响应为：
第六章 频响函数脉冲响应函数
x(t )dt I (t )dt I
“冲量”一词原只用于力冲量，在此进行扩展，x(t)可 代表任意一种输入参量，随x(t)代表的物理量不同，I 的量纲也不同。 如当x(t) 代表加速度时， I的量纲为加速度×时间
系统对在 t=0 时作用的单位脉冲所产生的响应 h(t)， 称为单位脉冲响应函数。 如图所示，由于系统在冲量作用之前是静止的，故当 t<0时，有h(t)=0。
0 (t ) (t 0) (t 0)
(t )dt (t )dt 1
0
0
若系统激励x(t)的作用时间非常短，可视为理想脉冲
(t )
量纲:[时间]
1
自读此页
x(t ) I (t )
当x(t)代表力时，则表示一次锤击或一个脉冲冲量，I 具有力乘时间的量纲。
频率响应函数是系统对单位简谐输入的响应。
若已知系统的运动微分方程，则将x(t)与y(t)代入运动 微分方程并消去 ejωt 项，可得到 H(ω) 的代数方程。求 解此代数方程，便可得到复数频率响应函数H(ω)。
例5.1 图示弹簧—阻尼器系统。假设在质量为 m的小车上作用激励力 x(t)，小车的位移响应为 y(t)。试确定响应对激励的振幅比和相位角。 解：对于刚度为 k 的线性弹 簧和阻尼系数为 c 的线性阻 尼器，可得系统的运动微 分方程
§6-1
§6-2 §6-3 §6-4
频率响应函数
单位脉冲响应函数 单位脉冲响应函数与频率响应函数的关系
卷积定理
本章将讨论振动系统的激励与响应关系，且 仅限于讨论稳定的常参数线性振动系统。
常参数系统（非时变系统）：振动系统的参数 （如质量、刚度和阻尼等）不随时间而变化。 线性系统:是指适用叠加原理的系统。 若系统在激励x1作用下,其响应为y1； 在激励x2作用下，其响应为y2； 则系统在激励ax1与bx2的联合作用下， 其响应为ay1+by2。
单位脉冲响应计算公式
单位脉冲响应计算公式单位脉冲响应（Impulse Response）是信号处理中的重要概念，它在许多领域都有广泛的应用。
本文将介绍单位脉冲响应的计算公式，并探讨其在信号处理中的作用和应用。
单位脉冲响应是指在系统中输入一个单位脉冲信号（即冲激信号），系统的输出即为单位脉冲响应。
单位脉冲信号是一个宽度非常短、幅值为1的信号，其持续时间非常短暂。
通过输入单位脉冲信号，可以获得系统对于不同频率的信号的频率响应。
单位脉冲响应的计算公式可以表示为：h[n] = y[n]/δ[n]其中，h[n]表示单位脉冲响应序列，y[n]表示系统的输出序列，δ[n]表示单位脉冲序列。
在实际应用中，单位脉冲响应的计算可以通过离散系统的差分方程来实现。
对于线性时不变系统，其差分方程可以表示为：y[n] = ∑(h[k] * x[n-k])其中，y[n]表示系统的输出序列，h[k]表示单位脉冲响应序列，x[n-k]表示输入信号序列。
通过将单位脉冲信号输入线性时不变系统，并记录系统的输出序列，可以得到单位脉冲响应序列。
这个过程可以通过实验或者模拟计算来完成。
单位脉冲响应在信号处理中有着广泛的应用。
首先，单位脉冲响应可以用来描述系统的频率响应特性。
通过计算单位脉冲响应，可以了解系统对于不同频率的信号的增益和相位变化。
这对于滤波器设计、系统建模和信号分析都非常重要。
单位脉冲响应可以用来实现信号的卷积运算。
卷积运算是一种重要的信号处理操作，常用于信号的平滑、滤波和特征提取等领域。
通过将输入信号与单位脉冲响应进行卷积运算，可以得到系统的输出信号。
单位脉冲响应还可以用于系统的辨识和参数估计。
通过对系统的输入和输出进行观测和采样，可以利用单位脉冲响应来确定系统的传递函数或者状态空间模型，从而对系统进行建模和分析。
在实际应用中，单位脉冲响应的计算可以通过数字信号处理软件或者编程语言来实现。
例如，MATLAB可以通过调用相关函数来计算单位脉冲响应，并进行信号处理和系统分析。
脉冲响应和单位脉冲响应
脉冲响应和单位脉冲响应脉冲响应和单位脉冲响应是信号处理中常涉及到的两个概念，对于理解系统的特性和数字信号的处理有着至关重要的作用。
一、脉冲响应脉冲响应是指系统对于单位脉冲信号的响应，也就是单位脉冲信号通过系统后得到的输出信号。
该概念常用于分析线性、时不变（LTI）系统的特性，也是系统函数中的一个重要指标。
1.1 LTI系统在讨论脉冲响应之前，需要先了解LTI系统的基本概念。
LTI系统即线性、时不变系统，指的是系统的输出与系统的激励信号之间满足线性性和时不变性的关系。
在某个时刻，输入信号经过LTI系统后得到的输出信号是由输入信号过去某段时间的加权和决定的，其权值决定于系统的特性，即系统的脉冲响应。
1.2 脉冲响应的计算方法脉冲响应的计算方法有多种，一般采用脉冲响应函数或时域频率相应函数进行计算，其中脉冲响应函数是指系统对于单位脉冲信号的响应，通常表示为h(t)。
该函数的计算公式为：h(t)=y(t) / δ(t)其中y(t)为系统对于输入为δ(t)的响应，δ(t)表示单位脉冲信号，为一个高度为1，宽度为无限小的脉冲。
1.3 脉冲响应的特性脉冲响应是LTI系统的特征之一，其性质主要有以下几个方面：- 线性性：脉冲响应是线性系统的特征之一，表示为h(t)=a1h1(t)+a2h2(t)，其中a1和a2是系统的系数，h1(t)和h2(t)是两个不同的脉冲响应函数。
- 时不变性：脉冲响应是时不变系统的特征之一，意味着随着时间的变化，脉冲响应函数始终不变。
- 因果性：脉冲响应具有因果性，即为t<0时脉冲响应为0，t>0时脉冲响应为非0值。
- 稳定性：脉冲响应具有稳定性，即系统对于有界、稳定输入信号的响应也是有界、稳定的。
二、单位脉冲响应单位脉冲响应是指系统对于以1为幅度、以δ(t)为脉冲宽度的信号进行响应，也就是对于单位脉冲信号的归一化响应。
与脉冲响应相似，单位脉冲响应同样是用来描述系统特性的指标，但单位脉冲响应更加直观、易于分析。
微积分讲座---Z3.13 单位脉冲响应的定义和求解
2
3.2 基本信号与基本响应 2.求法
第三章 离散系统的时域分析
由于单位脉冲序列δ(k)仅在k=0处等于1，而在k>0时 为零，因而此时单位脉冲响应h(k)与系统的零输入响 应的函数形式相同。这样就把求解h(k)的问题转换为 求解齐次方程的问题。而k=0处的值h(0)可按零状态的 条件由差分方程确定。
右边加法器的输出为：
y(k) 3x(k) x(k 1)
4
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
y(k) 4y(k 1) 3y(k 2) 3 f (k) f (k 1)
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1) (1)
初始状态： h(1) h(2) 0
5
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
特征根为：
1 1, 2 3
所 (k)
代入初始值得：
h(0) C1 C2 3
h(1) C1 3C2 11
解得：
C1 1,C2 4
由于h(0), h(1)作为初始值代入，因而方程的解也满足
由(1)得：h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1)
迭代得初始值：
h(0) 4h(1) 3h(2) 3 3 h(1) 4h(0) 3h(1) 1 11
k≥2时，(1)式的单位脉冲响应化为齐次方程：
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 0 (2)
由于单位脉冲序列k仅在k0处等于1而在k0时为零因而此时单位脉冲响应hk与系统的零输入响应的函数形式相同
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.13
第三章 离散系统的时域分析
单位脉冲响应的定义和求解
单位脉冲响应是一个有限长序列
数字滤波器
数字滤波器概述：
数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛的一种线性 系统环节，是数字信号处理的重要基础。数字滤波器的本质 是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变为另一组输 出的数字序列。 数字滤波器的数学描述：
差分方程 系统函数
数字滤波器
分类:
1) 按计算方法分类: 递归系统 ，非递归系统
③ 比较①、③得：
设计任务是求h(i)。
有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计
线性相位FIR数字滤波器的特性 1）线性相位特性 线性相位条件：
即如果单位脉冲响应h(n)为实数，且具有偶对称或奇对称性， 则FIR数字滤波器具有严格的线性相位特性。 证明： 1. 当h(n)=h(N-1-n)时，可实现线性相位。 2. 当h(n)=-h(N-1-n)时，可实现线性相位。
2) 按冲击响应长度分类：IIR ，FIR
3) 按频带分类： 低通 , 高通 ,带通 ,带阻
设计步骤：
1) 按照实际需要确定滤波器的性能要求； 2）用一个因果稳定的系统函数（传递函数）去逼近这个性 能要求，这种传递函数可分为两类：IIR和FIR。
数字滤波器
传递函数的设计就是确定系数 、 或零、极点 、 以使滤波器满足给定的性能要求。
设计方法一般有两种： 1. 利用模拟滤波器的理论来设计数字滤波器
先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足预定指 标 的数字滤波器。由于模拟的网络综合理论已经发展得 很成熟，已经产生了许多高效率的设计方法。很多常用的 模拟滤波器不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数 已表格化，设计起来方便、准确，因此可将这些理论继承 下来，作为设计数字滤波器的工具。
数字滤波器
也可看作是“模仿”模拟滤波。因此第一种方法用得较为普遍， 如IIR滤波器的设计。但随着计算机技术的发展，最优化设计方 法的使用逐渐增多。
脉冲响应原理
脉冲响应原理脉冲响应原理是信号处理中非常重要的概念，它描述了系统对输入信号的响应情况。
在本篇文章中，我将对脉冲响应原理进行详细解释，并提供相关参考内容，以帮助读者更好地理解这一概念。
1. 脉冲响应原理的定义脉冲响应原理是指在时域上，系统的输出等于输入信号与系统的单位脉冲响应的卷积运算。
单位脉冲响应是指当输入信号为单位脉冲函数时，系统的响应函数。
2. 卷积运算的定义在信号处理中，卷积运算是一种常见的操作，它描述了两个信号之间的线性关系。
卷积运算可以通过积分或离散求和来表示。
在脉冲响应原理中，卷积运算是用来描述输入信号和单位脉冲响应之间的关系。
3. 脉冲响应的性质脉冲响应具有许多重要的性质，包括线性性、时移性、频移性和积分性等。
这些性质使得脉冲响应原理具有广泛的应用。
例如，线性性质使得可以将复杂的输入信号分解为若干个简单的单位脉冲函数的叠加；时移性质使得系统的输出可以根据需要在时域上平移；频移性质使得系统的输出可以根据需要在频域上移动；积分性质使得可以对输入信号进行积分运算等。
4. 应用场景脉冲响应原理在很多领域中都有重要的应用。
在音频处理中，可以利用脉冲响应原理对声音进行降噪、去混响等处理；在图像处理中，可以利用脉冲响应原理对图像进行滤波、增强等操作；在通信系统中，脉冲响应原理可以用于传输信道的建模和等化等。
5. 相关参考内容- 《信号与系统》（作者：Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, S. Hamid Nawab）：这是一本非常经典的信号与系统教材，介绍了脉冲响应原理及其在信号处理中的应用。
- 《数字信号处理》（作者：John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis）：这本书对脉冲响应原理进行了深入的讲解，包括单位脉冲响应的计算、系统的特性等内容。
- 《数字滤波器设计》（作者：C. Sidney Burrus, et al.）：这本书介绍了数字滤波器的设计方法，包括利用脉冲响应原理进行滤波器设计的方法。
单位阶跃响应与单位脉冲响应
➢ 一阶系统的形式
C(s) 1 R(s) Ts 1
闭环极点(特征根)：-1/T
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
➢一阶系统的单位阶跃响应
R(s) 1 s
C(s) 1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
第三章
1t
c(t) 1 e T
R(s)
1 s2
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1T T s2 s s 1
T
1t
c(t) t T Te T
t0
第三章
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
CHANG’AN UNIVERSITY
第三章
性质： 1）经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速率近 似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后 时间T； 3）稳态误差=T。
o
t
R(s)
2A S3
当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为
r (t )
0 1 2
t
t0 t0
R(s)
1 S3
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
四．脉冲函数
r(t)
A
第三章
0
r (t )
A
t 0及t 0t
稳定边界
CHANG’AN UNIVERSITY
n ：无阻尼自然频率
长安大学信息工程学院
自动控制理论
临界阻尼：=1
C(s) R(s)
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3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
特征根为：
1 1, 2 3
所以：
h(k) [C1(1)k C2 (3)k ] (k)
代入初始值得：
h(0) C1 C2 3
h(1) C1 3C2 11
解得：
C1 1,C2 4
由于h(0), h(1)作为初始值代入，因而方程的解也满足
h(k)隐含的条件：
f(k)=δ(k) h(-1) = h(-2) = 0 (对二阶系统)
基本信号：单位脉冲序列δ(k) 基本响应：单位脉冲响应h(k)
2
3.2 基本信号与基本响应 2.求法
第三章 离散系统的时域分析
由于单位脉冲序列δ(k)仅在k=0处等于1，而在k>0时 为零，因而此时单位脉冲响应h(k)与系统的零输入响 应的函数形式相同。这样就把求解h(k)的问题转换为 求解齐次方程的问题。而k=0处的值h(0)可按零状态的 条件由差分方程确定。
右边加法器的输出为：
y(k) 3x(k) x(k 1)
4
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
y(k) 4y(k 1) 3y(k 2) 3 f (k) f (k 1)
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1) (1)
初始状态： h(1) h(2) 0
k=0和k=1。所以系统的单位脉冲响应为：
h(k) [1 4(3)k ] (k)
6
3.2 基本信号与基本响应
知识点Z3.13
第三章 离散系统的时域分析
单位脉冲响应的定义和求解
主要内容：
1. 单位脉冲响应的定义 2. 单位脉冲响应的求解
基本要求：
掌握单位脉冲响应的求解方法
1
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
Z3.13 单位脉冲响应的定义和求解
1.单位脉冲响应
单位脉冲响应是由单位脉冲序列δ(k)所引起的零状 态响应，用h(k)表示。它的作用与连续系统中的冲激 响应h(t)相类似。
(1)迭代求初始值； (2)经典法求齐次解； (3)代入初始值，求系数。
3
3.2 基本信号与基本响应
第三章 离散系统的时域分析
例1 求图示系统的单位脉冲响应。
3
f (k) x(k)
∑
D
4
x(k-1)
D
3
1
y(k)
x(k-2) ∑
解：如图设中间变量x(k)，则左边的加法器输出为：
x(k) f (k) 4x(k 1) 3x(k 2) 整理得： x(k) 4x(k 1) 3x(k 2) f (k)
由(1)得：h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) 3 (k) (k 1)
迭代得初始值：
h(0) 4h(1) 3h(2) 3 3 h(1) 4h(0) 3h(1) 1 11
k≥2时，(1)式的单位脉冲响应化为齐次方程：
h(k) 4h(k 1) 3h(k 2) (2)