系统的单位冲激响应与单位样值响应
单位样值响应的概念
单位样值响应的概念
单位样值响应（unit sample response）是指在输入信号为单位样值函数（即在t=0时取值为1，其他时刻取值为0）时，系统的响应。
单位样值响应是一种理想化的信号，它可以用来描述系统对于单个样本的处理能力。
单位样值响应可以用来计算系统的频率响应、冲激响应等重要性质。
通过计算单位样值函数通过系统后的输出信号，可以得到系统对于不同频率成分的传递能力，从而了解系统的频率特性。
单位样值响应在数字信号处理领域得到广泛应用，例如在滤波器设计、信号重建、系统辨识等任务中都会用到。
通过研究和分析单位样值响应，可以更好地了解系统的工作原理和性能特点，从而优化系统设计和改进信号处理算法。
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第三章-3
作业： 3.14 (2)、(6) 3.17、3.18、3.26
练习： 3.要复习的数学知识
正交、正交基、完备的正交信号集 矢量的正交分解 傅里叶级数 三角函数公式 三角函数与指数函数的积分 信号功率、信号能量
T
回顾
§3.4 离散时间系统的差分方程 离散系统
差分方程可以描述： 作为微分方程的近似方程来进行 连续系统的数字仿真 前向差分方程式
ak y( n k ) ak 1 y( n k 1) ... a1 y( n 1) a0 y( n) bm x( n m ) ... b1 x( n 1) b0 x( n)
(a k E k a k 1 E k 1 ... a1 E a 0 ) y(n) (bm E m ... b1 E b0 ) x(n)
D(E) N(E)
y ( n)
N(E) x ( n) H ( E ) x ( n) D( E )
H(E)：传输算子,或者转移算子。
单位样值响应h(n)
信号的 分解特性 系统的 线性时不变性
零状态响应yx(n) y x (n) x(n) * h(n)
一 单位样值响应
二 零状态响应
一 单位样值响应 系统对单位样值信号 (n)的零状态响应， 称为单位样值响应，又称为单位脉冲响应，记为h(n)
信号与系统参考答案(第二版)电子工程出版 徐亚宁 苏启常
第一章1.8 系统的数学模型如下，试判断其线性、时不变性和因果性。
其中()0X -为系统的初始状态。
（2）()()2f t y t e= （5）()()cos 2y t f t t = （8）()()2y t f t =解：（2）()()2f t y t e =① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()122212,f t f t y t ey t e==那么 ()()()()()()()112211222221122a f t a f t a f t a f t a f t a f t y t eee +⎡⎤⎣⎦+→==，显然，()()()1122y t a y t a y t ≠+，所以系统是非线性的。
② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()10122110,f t t f ty t e y t t e-=-=设()()102,f t t y t -→则()()()102210f t t y t e y t t -==-，所以系统是时不变的。
③ 因果性因为对任意时刻 1t ，()()121f ty t e =，即输出由当前时刻的输入决定，所以系统是因果的。
（5）()()cos 2y t f t t = ① 线性： 设 ()()()()1122,f t y t f t y t →→，则 ()()()()1122cos 2,cos 2y t f t t y t f t t ==那么()()()()()()()112211221122cos 2cos 2cos 2a f t a f t y t a f t a f t t a f t t a f t t +→=+=+⎡⎤⎣⎦,显然()()()1122y t a y t a y t =+，所以系统是线性的。
② 时不变性设()()11,f t y t →则 ()()()()()1110100cos 2,cos 2y t f t t y t t f t t t t =-=--设()()102,f t t y t -→则()()()21010cos 2y t f t t t y t t =-≠-，所以系统是时变的。
单位样值响应和单位阶跃响应的关系
单位样值响应和单位阶跃响应的关系在谈到单位样值响应和单位阶跃响应的关系时，咱们先得理清个头绪。
你可以把单位样值响应想象成一个小孩子，听到声音后马上做出反应，就像“啊，来了！”而单位阶跃响应呢，就像那孩子听到突然的鼓掌声，吓得一跳，然后再慢慢平静下来。
这俩家伙的关系就像青梅竹马，互相牵扯，互相影响。
单位样值响应就像是一种“闪电战”，它简洁明了，只给你一个瞬间的刺激。
想象一下，咱们在操场上，玩着跳绳，突然有人喊“停！”那一瞬间，大家都停下来了，这就是单位样值响应的感觉。
它就像是打开了一个开关，瞬间的变化让人意外又兴奋，仿佛生活中的每个小惊喜。
可惜，这种反应过于短暂，像是流星划过夜空，美丽却稍纵即逝。
而单位阶跃响应可就不同了，听起来像是一场轰轰烈烈的派对。
一旦那声“跳！”出来，所有人都在一瞬间做出了反应，但接下来的变化就开始慢慢展开，像是气氛渐浓的舞会。
你会看到大家从慌乱中恢复，逐渐找到节奏，开始享受这个派对。
那种从兴奋到平静的过程，就像是在描绘人生的起伏，波澜壮阔，令人神往。
单位样值响应就像是一道闪电，而单位阶跃响应则是一场交响乐。
两者之间的关系就像茶和水，水是基础，茶则是调味品。
你可以把单位样值响应看作是单位阶跃响应的一个小小插曲，虽然它的表现短暂却足以影响整个演出。
就像一杯水，你加一点点茶叶，立马就变得色香味俱全。
它们之间那种相辅相成的关系，不得不说是太有意思了。
再来说说这俩响应在实际应用中的角色。
比如在控制系统里，设计师们总是先关注单位样值响应，因为它能快速给出系统的反馈。
就像是餐厅的厨师，先得知道食材的新鲜程度，才能做出美味的菜肴。
然后，单位阶跃响应就像是整个菜单的呈现，随着顾客的需求变化，才决定上什么菜。
这俩的互动让整个系统变得更加顺畅，像极了舞蹈中的默契配合。
理解这些概念不是为了让你成为一个数学天才，而是为了让你在生活中更灵活地应对各种变化。
就像生活中的小插曲，总是有意想不到的惊喜。
你可以把单位样值响应视作是那些瞬间的闪光点，而单位阶跃响应则是生活的整体走势，波动起伏，生动鲜活。
信号与系统名词解释
1 双端口网络：若网络有两个端口，则称为双口网络或二端口网络2 阶跃响应：当激励为单位阶跃函数时，系统的零状态响应3 冲激响应：当激励为单位冲激函数时，系统的零状态响应4 周期信号频谱的特点：①离散性》频谱是离散的②谐波性》频谱在频率轴上位置都是基波的整数倍③收敛性》谱线高度随着谐波次数的增高总趋势是减小的5 模拟离散系统的三种基本部件：数乘器·加法器·单位延迟器6 模拟连续系统的三种基本部件：数乘器·加法器·积分器7 线性系统：一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统8 通频带：我们把谐振曲线有最大值9 离散系统稳定的充分必要条件：∑︳h（n）︳〈∞（H（z）的极点在单位圆内时该系统必是稳定的因果系统）10网络函数：在正弦稳态电路中，常用响应向量与激励向量之比定义为网络函数，以H（jw）表示11 策动点函数：激励和响应在网络的同一端口的网络函数12 传输函数（转移函数）：激励和响应在不同的端口的网络函数13 因果连续系统的充分必要条件：h（t）=0 t＜0 （收敛域在S右半平面的系统均为因果系统）14 连续时间稳定系统的充分必要条件：∫︳h（t）︳dt≤M M：有界正实常数即h（t）满足绝对可积，则系统是稳定的15 傅里叶变换的时域卷积定理：若f1（t）↔F1（jw），f2（t）↔F2（jw）则f1（t）*f2（t）↔F1（jw）F2（jw）16 傅里叶变换的频域卷积定理：若f1（t）↔F1（jw），f2（t）↔F2（jw）则f1（t）·f2（t）↔（1／2π）F1（jw）*F2（jw）17 稳定系统：18 系统模拟：对被模拟系统的性能在实验室条件下模拟装置模仿19 因果系统：未加激励不会产生零状态响应的系统20 稳定的连续时间系统：一个连续时间系统，如果激励f（t）是有界的，其零状态响应y f（t）也是有界的，则称该系统是稳定的连续时间系统21 H（s）（h（t））求法：由微分方程、电路、时域模拟框图，考虑零状态条件下取拉氏变换、画运算电路、作S域模拟框图，应用Y f（s）／F（s）糗大H（s）。
《信号与系统》试题
填空题10，选择题10，判断题10，简答题，计算题2.离散系统的频率响应()j H e ω为单位样值响应h(n)的傅里叶变换 ( √ )3.若系统的单位样值响应绝对可和，即|()|n h n ∞=-∞<∞∑，则系统是稳定系统( √ )5.单位冲激δ(t)在零状态下系统产生的响应称为单位冲激响应 ( √ )1()()2y t x t =是可逆系统，其逆系统是:()2()y t x t = ( √ )()()nk y n x k =-∞=∑是可逆系统，其逆系统是:()()(1)y n x n x n =-- ( √ )2()()y t x t =是不可逆系统，因为有两个不同的输入( √ )()()(1)y n x n x n =-()(2)y n x n =()()dx t y t dt={}()Re ()y t x t =满足线性性质( X )满足可加性，但不满足齐次性21()[()]()y t x t x t '=满足线性性质( X )满足齐次性但不满足可加性 4.若t<0时，有f(t)=0 , t ≥0时，有f(t) ≠0 ,则f(t)称为因果信号 ( √ ) 1.离散时间系统的频率响应()j H e ω为H(z)在单位圆上的Z 变换 ( √ )第一章1.下列信号的分类方法不正确的是（ A ）：A 、数字信号和离散信号B 、确定信号和随机信号C 、周期信号和非周期信号D 、因果信号与反因果信号2.下列说法正确的是（ D ）：A 、两个周期信号x (t )，y (t )的和x (t )+y(t )一定是周期信号。
B 、两个周期信号x (t )，y (t )的周期分别为2和2，则其和信号x (t )+y(t ) 是周期信号。
C 、两个周期信号x (t )，y (t )的周期分别为2和π，其和信号x (t )+y(t )是周期信号。
D 、两个周期信号x (t )，y (t )的周期分别为2和3，其和信号x (t )+y(t )是周期信号。
信号与系统问题解答
第1章 1信号与系统的基本概念11．信号、信息与消息的差别？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。
2．什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。
例如：单边指数信号 （在t =0点时，不连续），单边正弦信号 （在t =0时的一阶导函数不连续）。
较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。
3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。
它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。
其重要特性是筛选性，即：()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞∞-∞-∞==⎰⎰ 4．什么是单位阶跃信号？单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为：10()00t u t t >⎧=⎨<⎩它可以表示单边信号，持续时间有限信号，在信号处理中起着重要的作用。
5．线性时不变系统的意义同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统，称为线性时不变系统。
即：如果一个系统，当输入信号分别为1()x t 和2()x t 时，输出信号分别是1()y t 和2()y t 。
当输入信号()x t 是1()x t 和2()x t 的线性叠加，即：12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时，输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+； 且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时， 输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。
其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性； 如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。
信号与系统复习题及答案
1． 系统的激励是)t (e ，响应为)t (r ，若满足dt)t (de )t (r =，则该系统为 线性、时不变、因果。
（是否线性、时不变、因果？） 2． 求积分dt )t ()t (212-+⎰∞∞-δ的值为 5 。
3． 当信号是脉冲信号f(t)时，其 低频分量 主要影响脉冲的顶部，其 高频分量 主要影响脉冲的跳变沿。
4． 若信号f(t)的最高频率是2kHz ，则t)f(2的乃奎斯特抽样频率为 8kHz 。
5． 信号在通过线性系统不产生失真，必须在信号的全部频带内，要求系统幅频特性为 一常数相频特性为_一过原点的直线（群时延）。
6． 系统阶跃响应的上升时间和系统的 截止频率 成反比。
7． 若信号的3s F(s)=(s+4)(s+2)，求该信号的=)j (F ωj 3(j +4)(j +2)ωωω。
8． 为使LTI 连续系统是稳定的，其系统函数)s (H 的极点必须在S 平面的 左半平面 。
9． 已知信号的频谱函数是））00(()j (F ωωδωωδω--+=，则其时间信号f(t)为01sin()t j ωπ。
10． 若信号f(t)的211)s (s )s (F +-=，则其初始值=+)(f 0 1 。
二、判断下列说法的正误，正确请在括号里打“√”，错误请打“×”。
（每小题2分，共10分）1.单位冲激函数总是满足)()(t t -=δδ （ √ ）2.满足绝对可积条件∞<⎰∞∞-dt t f )(的信号一定存在傅立叶变换，不满足这一条件的信号一定不存在傅立叶变换。
（ × ）3.非周期信号的脉冲宽度越小，其频带宽度越宽。
（ √ ）4.连续LTI 系统的冲激响应的形式取决于系统的特征根，于系统的零点无关。
（ √ ）5.所有周期信号的频谱都是离散谱，并且随频率的增高，幅度谱总是渐小的。
（ × ）三、计算分析题（1、3、4、5题每题10分，2题5分， 6题15分，共60分）1.信号)t (u e )t (f t -=21，信号⎩⎨⎧<<=其他，01012t )t (f ，试求)t (f *)t (f 21。
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求系数Ci,cj
例1：求齐次解： r"(t) 5r' (t) 6r(t) e(t)
解：该微分方程的特征方程为： 2 5 6 0 解得特征根： 1 2,2 3
齐次解为： rn (t) c1e2t c2e3t
例3：求齐次解： r"(t) 4r' (t) 4r(t) e(t)
解： 2 4 4 0 1,2 2 二重根
rn (t) c1te2t c2e2t
例４：方程为： r"(t) 3r' (t) 2r(t) e' (t) 2e(t)
若激励为： e(t) t 2 求其特解 rf(t).
r 查表2-3-1得对应的特征解为： f (t) A2t 2 A1t A0 rf" (t),rf' (t),rf (t) e' (t), e(t) 代入原微分方程得：
解：特征根为 1 1, 2 2
零输入状态响应
零输入响应： rZi (t) CZi1et CZi2e2t r(0) 1, r'0 1 代入原方程
rZi (0) CZi1 CZi2 1
r
' Zi
(0)
CZi1
2CZi 2
1
CZi1 CZi 2
t=0时 初值代入： r(0) c1 c2 2 1
r'(0) c1 2c2 2 1 c1 1, c2 2
全解: r(t) et 2e2t t 2 2t 2 t 0
解题思路： 1 齐次解：其形式与激励e(t)无关，仅依赖于系统 本身特征――＞自由响应或固有响应，系数ci，cj 与激励有关．
r(t) rn (t) rf (t)
齐次解rn(t)是齐次方程的通解：
d nr dt n
an1
d n1r dt n1
a1
dr dt
a0r
0
通解一般式为： cet
特征方程为： n an1 n1 a1 a0 0
该一元n次方程的n个特征根为：
§2-1 连续系统的时域分析
§2-1-1 系统微分方程及其经典解
任何LTI连续时间系统，n阶一元常系数微分方程一般式为：
d nr dt n
an1
d n1r dt n1
a1
dr dt
a0r
bm
d me dt m
bm1
d m1e dt m1
b1
de dt
b0e
经典法求解该方程： 全解=齐次解 + 特解
2A2 3(2A2t A1) 2( A2t 2 A1t A0 ) 2t 2t 2
2A2t 2 (6A2 2A1)t (2A2 3A1t 2A0 ) 2t 2t2
等式两边同次幂系数相等：2 A2 2
A0 2
6A2 2A1 2
i 1
自由响应
强迫响应
n
czii eit
i 1
n
czsieit rf (t) i 1
零输入响应
所以有： Ci czii czsi
零状态响应
例5：例4方程 r"(t) 3r' (t) 2r(t) e' (t) 2e(t)
求： 当 e(t) t 2 , r(0) 1, r ' (0) 1 时的零输入响应与
2CZS
2
2
0
CZS1 CZS 2
2 0
rZS (t) 2et t2 2t 2 t 0
系统的全响应为：
r(t) rZi (t) rZS (t)
3et 2e2t 2et t2 2t 2
A1
2
2A2 3A1 2A0 0) t2 2t 2 t 0
例5：方程为： r"(t) 3r' (t) 2r(t) e' (t) 2e(t)
求： 当
e(t) t 2 , r(0) 1, r ' (0) 1 时的全解
i 1
i 单根,
czii 初始状态决定的待定系数
rzs (t) : 是零初始条件下的非齐次微分方程的全解
n
rzs (t) czsieit rf (t)
i 1
系数
czsi
的确定与前述方法相同。只是在系统初始 状态为０时的解。
全响应的两种分解方式：
n
r(t)
ci eit rf (t )
自然频率 固有频率
1,2 n , (i 1,2n)
讨论通解的形式：
n
1 i为互异实根： rn (t)
ci e i t
k
i 1
n
2 1有k重根：rn (t) cie1tt k i
c j e jt
i 1
其中1为k重根， j为单根
jk 1
特解的形式：根据激励查表得rf(t) 全解的形式： r(t) rn (t) rf (t)
解： 特征方程为 2 3 2 0 1 1,2 2 所以齐次解为： rn (t) c1et c2e2t
与例４相同： rf (t) t 2 2t 2 所以全解 r(t) c1et c2e2t t 2 2t 2
其一阶导为：r ' (t) c1et 2c2e2t 2t 2
3 2
零输入响应为 rZi (t) 3et 2e2t
t 0
求零状态响应：根据上例结果有：
rZS (t) CZS1et CZS 2e2t t 2 2t 2
有零初始条件得：
rZS (0) CZS1 CZS 2 2 0
r
' ZS
(0)
CZS1
2 特解的形式：由激励信号决定――＞强迫响应．
§2-1-2 零输入响应与零状态响应
全解可分解为： r(t) rZi (t) rZS (t)
rZi (t) :
零输入响应
零状态响应
没有外加激励信号的作用，仅有系统的初始储能
引起的响应。解的形式是齐次解的形式。
n
rzi (t )
czii eit