单位冲激响应
单位阶跃响应和单位冲激响应关系
单位阶跃响应和单位冲激响应关系嗨，伙计们！今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——单位阶跃响应和单位冲激响应关系。
让我们来了解一下这两个概念。
啥是单位阶跃响应啊？其实就是当我们把一个信号从0突然变成1的时候，系统会产生一种反应。
这种反应就是单位阶跃响应。
想象一下，你正在玩电脑游戏，突然有人在门口大喊一声“开门”，你的电脑屏幕上的画面就会发生一个瞬间的变化，这就是单位阶跃响应的体现。
那么，什么是单位冲激响应呢？这个概念就有点儿深奥了。
简单来说，当我们把一个信号从0突然变成1或者从1突然变成0的时候，系统会产生一种反应。
这种反应就是单位冲激响应。
想象一下，你正在看电视，突然画面从黑屏变成了一个画面，然后又瞬间变回了黑屏，这就是单位冲激响应的体现。
那么，这两个响应之间有什么关系呢？其实，它们之间的关系就像是一对亲兄弟一样。
虽然它们都是信号的变化，但是它们的性质是不同的。
单位阶跃响应是一种线性的、短暂的响应，而单位冲激响应则是一种非线性的、持续的响应。
当然啦，这并不是说它们之间没有任何关系。
实际上，它们之间的关系非常密切，而且还相互影响着对方。
接下来，我们来聊聊它们之间的具体关系。
我们要知道一个重要的概念——卷积。
卷积就是把两个信号叠加在一起，然后通过一定的数学运算得到一个新的信号的过程。
在这个过程中，原来的信号会发生变化，产生一种新的响应。
而这种新的响应就是卷积的结果。
那么，卷积和单位阶跃响应有什么关系呢？其实就是这样子的：当我们把一个单位冲激信号和一个单位阶跃信号进行卷积的时候，就会得到一个单位脉冲响应。
这个响应就是一个短暂的脉冲信号，它的作用就是让系统对单位冲激信号做出快速的反应。
那么，卷积和单位冲激响应又有什么关系呢？其实就是这样子的：当我们把一个单位冲激信号和一个单位阶跃信号进行卷积的时候，就会得到一个单位脉冲响应。
这个响应就是一个短暂的脉冲信号，它的作用就是让系统对单位冲激信号做出快速的反应。
单位阶跃响应和单位冲激响应之间的关系是非常密切的。
单位冲激响应电路在单位冲激激励作用下产生的零状态响.
(2) 阶跃响应s(t)可由冲激响应(t)积分得到。
例1.
iC +
已知：uC(0+)=0。
iS
R
C
uC
求： is(t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t)
解 (1) 先求单位阶跃响应： 令 iS (t)= (t)A
uC(0+)=0 uC()=R = RC t
uC (t) R(1 e RC ) (t)
uC
(0
)
1 C
uC
1
C
全时间域表达式：
o
t
uC
1 C
t
e RC (t )
iC
iC
(t)
1 RC
e
t
RC (t )
(1) o 1
t
RC
例2.
+
(t)
R iL
1. t 从 0 0+
+ L uL
RiL
L diL dt
(t)
iL不可能是冲激
dt h(t) d s(t)
dt
证明：
(t)
s(t) 零状态
(t)
h(t)
零状态
f(t)
1
f (t) 1 (t) 1 (t Δ)
Δ
Δ
Δ
o
Δ
t
1 s(t) Δ
1 s(t Δ) Δ
1
d
h(t) lim [s(t) s(t Δ)] s(t)
Δ0 Δ
dt
注意： (1) s(t)定义在( ，)整个时间轴。
iC(0+)=1
单位冲激响应公式
单位冲激响应公式单位冲激响应公式在信号与系统这门学科中可是个相当重要的概念呢！咱先来说说啥是单位冲激响应。
打个比方，就像你在平静的湖面上扔了一颗小石子，激起的那一圈圈水波就是一种响应。
而单位冲激响应呢，就像是你扔的是一个超级微小但力量巨大的“魔法石子”，它在瞬间产生的水波效果。
单位冲激响应公式呢，通常用 h(t) 来表示。
这公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开很多信号处理中的谜团。
比如说，通过它我们可以知道一个系统对瞬间输入的反应有多快、多强烈。
给您讲讲我曾经遇到的一件事儿。
那时候我在给学生们讲解这个概念，有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这单位冲激响应到底有啥用啊，感觉好抽象！”我想了想，拿起教室的音响做例子。
我说：“同学们，假设这个音响就是一个系统，我们给它输入一个瞬间的强电流，就像单位冲激。
而音响发出的声音变化，就是它的响应。
通过单位冲激响应公式，我们就能算出这个音响的性能咋样，是能快速清晰地发声，还是会有延迟或者杂音。
”咱们再深入点说，单位冲激响应公式在通信领域也大有用处。
想象一下，手机信号在基站和手机之间传输，如果我们能准确掌握传输系统的单位冲激响应，就能优化信号传输，让咱们打电话、上网的时候更流畅，不会出现卡顿或者掉线的情况。
在控制系统中，单位冲激响应公式也能帮助工程师们设计出更高效、更稳定的系统。
比如说自动驾驶的汽车，要对各种突发情况做出迅速准确的反应，这就需要依靠对车辆控制系统的单位冲激响应的深入理解和优化。
总结一下哈，单位冲激响应公式虽然看起来有点复杂，但是它在各个领域的作用可不容小觑。
只要我们用心去理解它，就能发现它就像一个隐藏的宝藏，能为我们解决很多实际问题。
所以啊，同学们，可别小瞧了这个公式，好好掌握它，未来在相关领域就能大展拳脚啦！。
冲击响应
系统并联
f1 (t ) [ f 2 (t ) f3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
系统并联，框图表示：
h(t )
f (t )
f (t ) f (t )
h1 (t )
f (t ) * h1 (t )
g (t )
f (t ) h1 (t ) f (t ) h2 (t )
可表示为:
e(t ) e(t ) (t )
三．利用卷积求系统的零状态响应
当一个信号作用于系统时，响应为
e( ) (t ) d r (t ) H e(t ) H e( ) H (t ) d 当系统为线性时
3. i ( t ) e( ) h(t ) d
e
1 2
i (t )
L 1H
u( ) u( 2) e ( t ) u(t ) d
e t e 2 u( )u( t )d e t e 2 u( 2)u( t )d
卷积积分中积分限的确定是非常关键的。
四．卷积的计算
已知e( t ) e
u(t ) u(t 2)，求i(t )的零状态响应。 R 1 d i t 1．列写KVL方程 L Ri t et
t 2
2．冲激响应为
dt h( t ) e t u( t )
u (t )
H
g (t )
系统的输入 e t u t ，其响应为 r t gt 。系统方程的 右端将包含阶跃函数 ut ，t>0时输入不为0，所以其响应除 了齐次解外，还有特解项。
单位冲激响应
单位冲激响应
什么是单位冲激响应？单位冲激响应是一种描述和研究独立变量对因变量的影响的定量方法。
这种两个变量之间的定量关系可以用回归方程表示，而回归方程中的系数就是单位冲激响应。
由于本身和变量的变化具有一定的时间相关性，对单位冲激响应的研究通常包含时间序列分析，如建模和模型检验。
单位冲激响应就是指当独立变量中的每个单位变化时，因变量平均变化量，即每个单位变化对因变量的影响大小。
此外，通常还会根据要研究的问题同时检验多个变量对因变量的影响。
用单位冲激响应可以得到变量之间的相关关系。
单位冲激响应研究一般可以分为三个步骤：模型指定，参数估计和模型检验。
在模型指定的阶段，要指定回归模型的形式，包括模型的数学表达式、选择的独立变量和它们的关系，以及变量是否相互独立。
其次，进行参数估计，利用已知的数据估计模型的参数，计算出回归方程的参数和单位冲激响应系数。
最后，会进行模型检验，检验模型的解释能力，即检验模型是否具有显著性。
单位冲激响应研究非常重要，通过它可以理解变量之间的相关关系，从而针对性地进行策略制定。
例如，在经济领域，单位冲激响应可以用来研究不同经济政策对国民经济增长的影响，从而找出最有效的政策组合来实现国家的发展目标。
此外，它还可以用来研究生产率的变化，以发现提高生产率的有效措施和技术改进方法。
单位冲激响应研究是对变量之间关系的定量分析，它基于数据收
集、回归方程检验以及模型检验等技术，并且可以帮助研究者更好地理解变量之间的关系，给出更准确的策略制定。
通过不断研究变量之间的关系，可以更好地实施政策，最终实现国家发展的目标。
冲激响应和阶跃响应
§2.6 冲激响应和阶跃响应
信号与系统
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 (t) 作用下产生的零状态响应，称为单位
冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t)
h(t)
H
说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 (t)
如果冲激响应 h(t) 不同，说明其系统特性不同，
(k1 k2 ) (t ) (k1e t 3k2e 3t )u(t )
d2h(t) dt 2
(k1
k2 )
(t)
(k1et
3k2e3t )
(t)
(k1et
9k2e3t )u(t)
(k1 k2 ) (t) (k1 3k2 ) (t) (k1et 9k2e3t )u(t)
信号与系统
4.求法
g(t
)
n
Ciei
t
u(t)
mn1
Dk
k
(t)
B0u(t)
i1
k 0
i) 先求h(t)，再积分求g(t)
ii) 直接代入求待定系数
信号与系统
二．阶跃响应
例：求下列g(t):
d2
d
d
r(t) 3 r(t) 2r(t) e(t) 3e(t)
dt 2
dt
dt
解： i)直接代入求待定系数法
信号与系统
一．冲激响应
3. h(t) 解的形式 由于δ(t) 及其导数在 t > 0+ 时都为零，因而方程式右端的自由
项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根）
②与n, m相对大小有关
课件：单位冲激响应
§2.4 单位冲激响应
北京航空航天大学电子信息学院 2021/6/14
一、机理分析
单位冲激响应: 单位冲激信号δ(t)作用于系统的零状态响应，通常用h(t) 表示。
机理分析 • 激励: δ(t)除了在t=0取值无穷大且积分为1外,其它
时刻均为0。 • 系统:响应是在激励加入后产生的，是在t >0时的情
况，而此时激励为0。 • 响应:激励源是系统的储能。零状态系统起始状态
为0，则必然发生0-到0+状态的跳变在0时刻的瞬间将其能量转化 为系统的储能，使得系统的状态发生跳变。
• 求解δ(t)的零状态响应，实际变成了求解系统状态发 生状跳变时的零输入响应，解的形式为齐次解。
二、一般性单位冲激响应计算
从一般性系统模型入手
将δ(t)与 h(t)代入式
二、单位冲激响应一般性分析
当系统状态发生跳变时， h(t)中包含δ(t)项的可能分下面三 种情况：
1) 当n>m 时， h(t)不包含δ(t)及其导数项； 2) 当n=m 时， h(t)只包含δ(t) 项； 3) 当n<m 时， h(t) 包含δ(t) 项及其直到m-n阶导数项；
【VIP专享】信号与系统分析基础--- 系统的单位冲激响应与单位样值响应
下加同样的激励 t，看响应 h(t)。h(t) 不同说明其系
统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。 冲激响应的求解至关重要。 用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应会简 捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
2 离散系统单位样值响应的确定
2.4 系统的单位冲激响应与单位样值响应
1 连续系统的单位冲激响应的确定 2 离散系统单位样值响应的确定
1 连续系统的单位冲激响应的确定 一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 (作t) 用下产生的零状态响应，称
为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t)
h(t )
H
2．一阶系统的冲激响应 3．n阶系统的冲激响应
RC
波形
波形
ht
vC (t)
1 RC
1t
e RC u(t )
vc (t ) h(t ) 1 RC
iC
(t
)
C
d
vC (t dt
)
注意！
ic (t)
t
1 R2C
1t
e RC u(t )
1
R
(t)
1 R
t
电容器的电流在 t=0 时有一冲激，这就是电 容电压突变的原因
1
R2C
方法：奇异函数项相平衡原理
•当n m时，ht 中应包含 t ；
•当n〈m时，ht 应包含 t 及其各阶导数；
例2
求系统
d2 r(t dt2
)
4
d r(t dt
)
3r(t
的) 冲d e激(t响) 应2e。(t)
dt
解：
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系统的单位阶跃响应
定义：LTI连续系统（不考虑初始状态）
?(t)
H [ ?]
y(t) ? H??(t)? ? g(t)
? 求解： g(t) ?
t
h(t)dt
0?
解决问题步骤
1、LTI连续系统的微分算子方程
2、系统的零输入响应 3、系统的单位冲激响应 4、系统的零状态响应
5、系统的全响应
4、零状态响应
?
j
3 2
y(0? ) ? 0 ?
y?(0? ) ? ? 1
yx (t ) ? c1e?1t ? c2e?2t ? ?
2 3
?
e
t 2
sin
? ???
3 2
t
? ???
3、系统的单位冲激响应
定义：LTI连续系统（不考虑初始状态）
? (t)
H [?]
y(t) ? H??(t)? ? h(t)
求解： H(p) ?
第二章主要内容
线性时不变（LTI ）连续系统的响应
f (t)
H [ ?]
y(t) ? H ?f (t)?
激励
符号H[ ·]称为系统算子
已知
响应
未知
研究问题举例
y(t) ? i(t)
f (t) ?
1?
?
1H
1F ?
?
已知激励 f (t) ? 2? (t), 初始状态 (0-时刻)i(0? ) ? 0;
?
1?
1F ?
?
1H
已知激励 f (t) ? 2? (t), 初始状态 (0-时刻)i(0? ) ? 0;
且电容上存在 1V的电压 ,即u(0? ) ? 1V，求yx (t)?
? ? D( p) yx (t) ? p2 ? p ? 1 yx (t) ? 0
p2
?
p?1?
0的特征根
:?1,2
?
?
1 2
且电容上存在 1V的电压 ,即u(0? ) ? 1V，求y(t)?
全响应 y(t) ? 零输入响应 yx (t) +零状态响应 yf (t)
解决问题步骤
1、LTI连续系统的微分算子方程
2、系统的零输入响应 3、系统的单位冲激响应 4、系统的零状态响应
5、系统的全响应
y(t) ? i(t)
举例
f (t) ?
H [ ?]
f (t)?? (t ? t0) ? f (t0 )?? (t ? t0)
时不变性
y(t) ? H ?? (t ? t0)?? h(t ? t0)
f (t0) ?h(t ? t0 )
? ? ??
f (t) ? f (?)? (t ? ?)d? ? lim f (k??) ?? (t ? k??)??
??
??? 0
k
?
? ? y(t) ? lim f (k??) ?h(t ? k? ?)? ? ? ?? f (?)h(t ??)d?
??? 0
??
k
零状态响应yh (t)
卷积
卷积
? ? 定义： y(t) ? f (t)?h(t) ?
??
f (?)h(t ? ?)d? ?
??
h(?) f (t ? ?)d?
续上
3、两信号重叠部分相乘 ，求相乘后图形的积分
? t ? 0,
f1(? ) ? f2 (t ? ? ) ? 0, f (t) ?
? ??
f1(? ) ? f2 (t ? ? )d?
?
0
两图形分离，其乘积等 于零
? 0 ? t ? 1,
f1(? ) ? f2 (t ? ? ) ? 1? 0.5, f (t) ?
举例
f1 (t )
1
0
1
f2 (t )
* 0.5
t
0
1
t
1、f1 (t), f2 (t )的自变量 t用 ? 代换，将 f2 (? )反转得 f2 (?? )
f1 (? )
f2 (? )
f2 (?? )
1 01
0.5
?
0
1
?
0 .5
?1 0 ?
续上
2、将 f2 (?? )沿正 ? 轴平移时间 t，得 f2 (t ? ? )
?
c2
p ? ?2
?
? ? ?
c1 ?
c1? 2
c2 ? 1
? c2?1
?
0
? ? ?
h(t) ?
c1e?1t ? c2e?2t
?(t) ?
2
?t
e 2 cos(
3t? ? )
3
26
举例3：课堂练习
已知系统的转移算子：
H ( p) ?
p2
?
p 2p
?
1
?
2p
求系统的单位冲激响应 ?
可查阅第 42页表2-2
f (t) ?
1?
?
1H
1F ?
?
已知激励 f (t) ? 2? (t), 初始状态 (0-时刻)i(0? ) ? 0;
且电容上存在 1V的电压 ,即u(0? ) ? 1V，求y(t)?
H ( p) ?
y(t)
特征根 :?1,2
?
?
1? 2
j
3 2
?
p
c1
? ?1
??
??
运算法则：
1、交换律 f1(t)* f2(t) ? f2(t)* f1(t)
2、分配律 f1(t)*?f2(t) ? f3(t)?? f1(t)* f2(t) ? f1(t)* f3(t)
3、结合律 f1(t)*[ f2(t)* f3(t)]? [ f1(t)* f2(t)]* f3(t) ? [ f1(t)* f3(t)]* f2(t)
定义：LTI连续系统（不考虑初始状态）
? (t)
H [?]
y(t) ? H??(t)? ? h(t)
K?? (t)
H [?]
f (t)?? (t) ? f (0)?? (t)
y(t) ? H ?K?? (t)?
齐次性
? K?H ?? (t)?? K?h(t)
f (0)?h(t)
续上
? (t ? t0)
2 ?
2
?
?1 p?3
???
?
(t)
讨论：
h1(t) ?
2 ? (t)
p?2
? h1?(t) ? 2h1(t) ? 2? (t)
? ?p ? 2?h1(t) ? 2? (t)
? h1(t) ? 2e?2t?(t)
? ? ? h(t) ? 2e?2t ? e?3t ?(t)
举例2
y(t) ? i(t)
y(t) f (t)
?
y(t) ? H( p) f (t) ? H( p)?(t) ? h(t)
举例1：已知 ( p2 ? 5 p ? 6) y(t) ? ( p ? 4) f (t)，求h(t)
举例1
H(p) ?
p? 4 ? p2 ? 5p ? 6
2? p?2
?1 p?3
?
h(t)
?
? ? ?
p
t?0
1
f1 (? )
1
f1(?) 0 ? t ? 1
f2 (t ? ? ) 0.5
f2 (t ? ? )
0.5
t?1 t 0
?
?
t ?1 0 t 1
1? t ? 2
1
0.5
f1 (? ) f2 (t ? ? )
1 f1(? )
t?2
f2 (t ? ?)
0 t ?1 1 t 2 ?
0
1 t?1 2 t ?
t
1?
0.5d?
?
0.5t
0
? 1 ? t ? 2,