阶跃响应与冲激响应1
合集下载
第二章(2)冲激响应和阶跃响应
f (k )
f t
f t
f k
f (t )
- 0 2
k
t
k
f (k ) p (t k )
n
pn (t )作用于系统的零状态响 hn (t ) 应为
y f (t )
k
f (k )h (t k )
y f ( t ) lim f ( k )hn ( t k )
f ht d
这是求解零状态响 应的另一种方法.
y f (t ) f t * ht
f t * ht
二、卷积的图示
第一步，画出 f1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到 f1 () f 2 () 和 的波形。
h(t ) b h (t ) b h
( m) m 1
( m1) m1 1
(t ) b0h1 (t )
例2.2-2：描述系统的微分方程为：
y'' ( t ) y' ( t ) y( t ) f '' ( t ) f ' ( t ) f ( t )
单位阶跃响应时，系统的零状态响应。
1.若n阶微分方程等号右端只含激励f(t),当
f (t ) (t )时，系统的零状态响应g(t)满足方程：
g ( n ) ( t ) a n 1 g ( n 1 ) ( t ) a0 g ( t ) ( t ) ( j) g (0 ) 0 j 0,1,2, , n 1
g1 t C1e C 2 e
t
冲激响应和阶跃响应
二．阶跃响应 1．定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。
et
r t
H
ut
gt
H
系统的输入 e(t)=u(t)
，其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程的右端将包含阶跃函数 u(t) ，所以
除了齐次解外，还有特解项。
我们也可以根据线性时不变系统特性，利用 冲激响应与 阶跃响应关系求阶跃响应。
§2.2 冲激响应和阶跃响应 • 冲激响应 • 阶跃响应
一．冲激响应 1．定义
系统在单位冲激信号
作(t用) 下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用 h(t)表示。
t
ht
H
2．一阶系统的冲激响应
例 2-5-1 一阶系统的冲激响应 求下图 RC 电路的冲激响应。
（条件： vC 0 0 ）
h(t ) A1et A2e3t u(t )
h (t ) A1et A2e3t (t ) A1et 3A2e3t u(t ) A1 A2 (t) A1et 3A2e3t u(t )
ht A1 A2 t A1 3A2 t A1et 9A2e3t ut
RC
整理，方程左右奇异函数项系数相平衡
RCA (t) (t)
RCA 1 A 1 RC
vC (t ) h(t )
波形
ht
vC (t)
1 RC
1t
e RC u(t )
1 RC
O
t
iC (t)
iC
(t
)
C
d
vC (t dt
)
1
1 R2C
1
e RC
t
u(t)
阶跃响应、冲激响应
计算方法
对于线性时不变系统，可以通过求解微分方程或传递函数来 计算阶跃响应。
对于离散系统，可以通过差分方程或Z变换来计算阶跃响应。
阶跃响应的特点
1
阶跃响应具有非周期性和非振荡性。
2
阶跃响应的初始值和终值取决于系统的初始状态 和稳态值。
3
阶跃响应的变化速度取决于系统的动态特性和输 入幅度。
02
CATALOGUE
冲激响应
定义
冲激响应是指在单位冲激函数激励下 系统的输出，它是系统对输入信号的 瞬态响应。
冲激响应描述了系统在单位冲激函数 作用下的动态特性，是分析系统稳定 性和性能的重要依据。
计算方法
01
对于线性时不变系统，冲激响应可以通过系统的传 递函数进行计算。
02
对于离散时间系统，冲激响应可以通过系统的差分 方程进行计算。
阶跃响应、冲激响 应
目 录
• 阶跃响应 • 冲激响应 • 阶跃响应与冲激响应的联系与区别 • 阶跃响应与冲激响应的应用 • 阶跃响应与冲激响应的实验分析
01
CATALOGUE
阶跃响应
定义
阶跃响应是指系统在阶跃信号输入下 ，其输出量随时间的变化情况。
阶跃响应是系统对突然变化输入的响 应，其输出量由初始状态逐渐变化到 稳态值。
CATALOGUE
阶跃响应与冲激响应的联系与区别
联系
01 阶跃响应和冲激响应都是系统对输入信号的响应 方式，用于描述系统的动态特性。
02 阶跃响应和冲激响应都是系统对单位阶跃函数和 单位冲激函数的响应，具有相似性。
03 阶跃响应和冲激响应在一定程度上可以相互转换 ，例如通过积分或微分运算。
区别
定义
信号检测
阶跃响应和冲激响应之间的关系
阶跃响应和冲激响应之间的关系阶跃响应和冲激响应是信号处理中常用的概念，它们之间存在着密切的关系。
阶跃响应描述了系统对于单位阶跃信号的输出响应，而冲激响应则描述了系统对于单位冲激信号的输出响应。
本文将从阶跃响应和冲激响应的定义、性质以及它们之间的关系进行详细介绍。
我们来看一下阶跃响应的定义。
阶跃响应是指系统对于单位阶跃信号的输出响应。
单位阶跃信号是一种在时间t=0时从0跳变到1的信号，它在t>0时始终保持为1。
阶跃响应描述了系统对于这种信号的输出情况。
接下来，我们来看一下冲激响应的定义。
冲激响应是指系统对于单位冲激信号的输出响应。
单位冲激信号是一种在时间t=0时瞬时出现，幅度为无穷大的信号，持续时间极短，但面积为1。
冲激响应描述了系统对于这种信号的输出情况。
阶跃响应和冲激响应之间存在着紧密的联系。
事实上，在很多情况下，我们可以通过冲激响应来求得阶跃响应。
这是因为单位阶跃信号可以看作是单位冲激信号的积分。
具体来说，我们可以将单位阶跃信号表示为单位冲激信号的积分形式。
假设单位阶跃信号为u(t)，单位冲激信号为δ(t)，那么单位阶跃信号可以表示为u(t)=∫δ(τ)dτ。
根据线性系统的性质，系统对于单位阶跃信号的输出可以表示为系统对于单位冲激信号的输出的积分形式。
换句话说，我们可以通过对系统的冲激响应进行积分，得到系统的阶跃响应。
这是因为阶跃信号是冲激信号的积分，而系统对于冲激信号的输出又可以通过冲激响应来描述。
阶跃响应和冲激响应之间的关系还可以通过频域的方法来理解。
在频域中，系统的阶跃响应和冲激响应之间存在着简单的关系。
阶跃响应可以通过冲激响应进行傅里叶变换得到，而冲激响应可以通过阶跃响应进行傅里叶变换得到。
总结起来，阶跃响应和冲激响应之间存在着密切的关系。
阶跃响应描述了系统对于单位阶跃信号的输出响应，而冲激响应描述了系统对于单位冲激信号的输出响应。
通过对冲激响应进行积分可以得到阶跃响应，而通过对阶跃响应进行傅里叶变换可以得到冲激响应。
冲激响应和阶跃响应
信号与系统
§2.6 冲激响应和阶跃响应
信号与系统
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 (t) 作用下产生的零状态响应，称为单位
冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t)
h(t)
H
说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 (t)
如果冲激响应 h(t) 不同，说明其系统特性不同，
(k1 k2 ) (t ) (k1e t 3k2e 3t )u(t )
d2h(t) dt 2
(k1
k2 )
(t)
(k1et
3k2e3t )
(t)
(k1et
9k2e3t )u(t)
(k1 k2 ) (t) (k1 3k2 ) (t) (k1et 9k2e3t )u(t)
信号与系统
4.求法
g(t
)
n
Ciei
t
u(t)
mn1
Dk
k
(t)
B0u(t)
i1
k 0
i) 先求h(t)，再积分求g(t)
ii) 直接代入求待定系数
信号与系统
二．阶跃响应
例：求下列g(t):
d2
d
d
r(t) 3 r(t) 2r(t) e(t) 3e(t)
dt 2
dt
dt
解： i)直接代入求待定系数法
信号与系统
一．冲激响应
3. h(t) 解的形式 由于δ(t) 及其导数在 t > 0+ 时都为零，因而方程式右端的自由
项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根）
②与n, m相对大小有关
§2.6 冲激响应和阶跃响应
信号与系统
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 (t) 作用下产生的零状态响应，称为单位
冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t)
h(t)
H
说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 (t)
如果冲激响应 h(t) 不同，说明其系统特性不同，
(k1 k2 ) (t ) (k1e t 3k2e 3t )u(t )
d2h(t) dt 2
(k1
k2 )
(t)
(k1et
3k2e3t )
(t)
(k1et
9k2e3t )u(t)
(k1 k2 ) (t) (k1 3k2 ) (t) (k1et 9k2e3t )u(t)
信号与系统
4.求法
g(t
)
n
Ciei
t
u(t)
mn1
Dk
k
(t)
B0u(t)
i1
k 0
i) 先求h(t)，再积分求g(t)
ii) 直接代入求待定系数
信号与系统
二．阶跃响应
例：求下列g(t):
d2
d
d
r(t) 3 r(t) 2r(t) e(t) 3e(t)
dt 2
dt
dt
解： i)直接代入求待定系数法
信号与系统
一．冲激响应
3. h(t) 解的形式 由于δ(t) 及其导数在 t > 0+ 时都为零，因而方程式右端的自由
项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根）
②与n, m相对大小有关
冲激响应和阶跃响应
2e(t)
解： 将 e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d2 h(t ) dt2
4
d h(t) dt
3h(t )
d (t) dt
2
(t)
求特征根 2 4 3 0 1 1, 2 3
n 2, m 1, n m
ht 中不包含冲激项
冲激响应
h(t ) ( A1et A2e3t )u带(t )u(t)
1 2
hˆ(t ) 1 et e3t u(t )
2
则由系统的线性时不变特性
h(t) dhˆ(t) 2hˆ(t) dt
ht 1 et 3 e3t u(t ) 1 et 1 e3t (t ) et e3t u(t )
2
2
2
2
1 et e3t u(t) 2
系统框图
e RC u t
方法 2：奇异函数项相平衡原理
已知方程
RC
d
vC (t) dt
vC
(t)
(t)
冲激响应
t
vC (t) Ae RC u(t)
求导
d vC (t) A (t)
A
1t
e RC u(t )
dt
RC
注意其中 (t) 项！
RC
1
t
Ae RC
u(t )
RCA
(t)
t
Ae RC
u(t )
(t)
奇异函数项相平衡原理已知方程冲激响应求导注意其中rcrcrcrcrc整理方程左右奇异函数项系数相平衡波形注意其中时有一冲激这就是电容电压突变的原因3n阶系统的冲激响应1冲激响应的数学模型对于线性时不变系统可以用一高阶微分方程表示响应及其各阶导数最高阶为n2ht解答的形式由于时都为零因而方程式右端的自由项恒等于零这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同
实验1阶跃响应与冲激响应
实验1 阶跃响应与冲激响应一、实验目的1.观察和测量RLC串联电路的阶跃响应与冲激响应的波形和有关参数，并研究其电路元件参数变化对响应状态的影响；2.掌握有关信号时域的测量方法。
二、几个概念与解释1、系统的定义：系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
从数学角度，也可理解为：系统也可定义为实现某种功能的运算。
2、响应：将输入信号（又称激励）作用于系统，得到的输出信号就称为响应。
3、零输入响应：没有外加激励信号的作用，只是由初始状态（初始时刻系统的储能）所产生的响应。
4、零状态响应：不考虑初始状态系统的储能作用（初始状态为零）由系统的外部激励信号所产生的作用。
5、冲激响应：将冲激信号作用于系统得到的输出信号就叫冲激响应。
6、阶跃响应：将阶跃信号作用于系统得到的输出信号就叫阶跃响应。
7、单位冲激响应：单位冲激信号作为激励，在系统中产生的零状态响应，就称为单位冲激响应。
8、单位阶跃响应：单位阶跃信号作为激励，在系统中产生的零状态响应，称为单位阶跃响应。
四、实验原理说明实验如图1-1所示为RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应的电路连接图图1-1（a ）为阶跃响应电路连接示意图图1-1（b ）为冲激响应电路连接示意图图1-1 (a) 阶跃响应电路连接示意图图1-1 (b) 冲激响应电路连接示意图其响应有以下三种状态：（1） 当电阻R ＞2 L C 时，称过阻尼状态；（2） 当电阻R = 2 L C时，称临界状态； （3） 当电阻R ＜2 L C 时，称欠阻尼状态。
以上两个电路的输出信号可以工作在：欠阻尼、临界和过阻尼三种状态下，可根据不同的需要进行选择。
根据电路中的参数计算出临界状态状态下的电阻值为R = 2 L C当：R =630.5Ω时，输出处于临界状态。
冲激信号是阶跃信号的导数，所以对线性时不变电路冲激响应也是阶跃响应的导数。
为了便于用示波器观察响应波形，实验用中用周期方波代替阶跃信号。
阶跃响应与冲激响应1
duC uC C + = δ (t) dt R
图 6.30
duC uC C + = δ (t) dt R
对方程积分并应用冲击函数的性质得：
图 6.30
∫
0+
0
duC uC +∫ = ∫ δ (t ) = 1 C 0 dt R 0
0+
0+
因为 uc不是冲激函数，否则电路的 KVL 方程中将出现冲击函 数的导数项使方程不成立，因此上式第一项积分为零，得：
L[iL (0 ) iL (0 )] = 1,
+
1 iL (0 ) = ≠ iL (0 ) L
+
说明电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。
2） t＞0+ 后冲击电源为零，电路为一阶 RL 零输入响应问题， 如图 6.34 所示， 因此
iL = iL (0 + )e
t
τ
1 τt = e , t ≥ 0+ L
duC 1 2t iC = C = e ε (t ) mA dt 5
由齐次性和叠加性得实际响应为：
1 2t 1 2 ( t 0. 5 ) iC = 5[ e ε ( t ) e ε ( t 0.5)] 5 5
= e ε (t ) e
2 t
2 ( t 0. 5 )
ε ( t 0.5) mA
1
1
(1) u ( t )ε ( t )
( 2 ) u ( t 1)ε ( t )
0
2 t 1
－1
0
1
t
( 3 ) u ( t 1)ε ( t 1) 1
( 4 ) u ( t 2 )ε ( t 1 )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t t t d 1 uC (t ) R(1 e RC ) (t ) R(1 e RC ) (t ) e RC (t ) dt C 根据冲击函数的筛分性质： f (t ) (t ) f (0) (t )
上式等号右边第一项为零，最后得：
t 1 RC uC e (t ) C t t t d RC 1 iC (t ) e (t ) e RC (t ) e RC (t ) dt RC
电容电流和电容电压随时间变化的波形如图（b）所示。
例 6 -6-2 图（b）
例6-6-3 求图示电路电感
加冲击激励后的电流。
解：
例 6 -6-3 图（ a ）
1 t 1 t A iL (0 ) iL (0 ) uL dt iL (0 ) A (t )dt iL (0 ) L 0 C 0 L
lim p(t ) (t )
0
图 6.28
在任一时刻t0发生冲击的函数如 图6.29所示，称为延迟的单位冲
激函数，可定义为：
(t t0 )dt 1 (t t0 ) 0, t t0
图 6.29
2） 冲激函数的性质 冲激函数有如下两个主要性质： （1）单位冲激函数对时间的 积分等于单位阶跃函数，即
e (t ) e
2 t
2( t 0. 5 )
(t 0.5) mA
iC e 2 t ( t ) e 2 t ( t 0.5) e 2 t ( t 0.5) e 2( t 0.5 )( t 0.5)
e 2t [(t ) (t 0.5)] e 2 t (t 0.5) e 2( t 0.5)(t 0.5)
同理，对任意在时间t=t0连续的函数f（t），将有：
f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
说明冲激函数有把一个函数在某一时刻的值‘ 筛'出来的本领。
2. 一阶电路的冲激响应 一阶电路的冲激响应是指激励为单位冲激函数 时，电路中产生的零状态响应。以图6.30所示 RC 电路受冲击激励为例加以说明。 分二个时间段来考虑冲激响应。 （1）t 在 0－→ 0+ 区间， 电容充电，电路方程 为：
duC uC C (t ) dt R
图 6.30
duC uC C (t ) dt R
对方程积分并应用冲击函数的性质得：
图 6.30
0
0
duC uC C (t ) 1 0 0 dt R
0 0
因为 uc不是冲激函数，否则电路的 KVL 方程中将出现冲击函 数的导数项使方程不成立，因此上式第一项积分为零，得：
C[uC (0 ) uC (0 )] 1,
1 uC (0 ) uC (0 ) C
说明电容上的冲激电流使电容电压发生跃变。
（2）t＞0+ 后冲击电源为零，电路为一阶 RC 零输入响应问题， 如图6.31所示。因此
uC uC (0 )e
t RC
1 e C
t RC
(0 t 0.5s) e mA i(t ) -2(t -0.5) mA (t 0.5 s) -0.632e
2t
1
0.368 0 -0.632 0.5 t(s)
§6-6一阶电路的冲激响应
1.单位冲激函数 1）单位冲激函数的定义 单位冲激函数也是一种奇异函数，如图 6.27 所示。 函数在 t=0 处发生冲激，在其余处为零，可定义为：
+
5k
ic 100F
RC 100 10 6 5 10 3 0.5s
阶跃响应为：
-
(t )
uC ( t ) (1 e 2t ) ( t )
duC 1 2t iC C e (t ) mA dt 5
由齐次性和叠加性得实际响应为：
1 2t 1 2( t 0.5 ) iC 5[ e ( t ) e ( t 0.5)] 5 5
t
( t 1)( t 1)
例5
1
u ( t)
已知电压u(t)的波形如图，试画 出下列电压的波形。
－2
0
2 t
1
1
(1) u ( t ) ( t )
( 2) u ( t 1) ( t )
0 2 t 1
－1
0
1
t
( 3) u ( t 1) ( t 1) 1
(4) u ( t 2) ( t 1)
t = 0合闸 u(t) = E ( t )
E
K
u(t)
E( t )
u(t)
i (t )
K
t = 0合闸 i(t) = Is ( t )
Is
I S (t )
u(t)
（2）延迟一个函数
f ( t)
sin t ( t )
t
f(t) sin( t t 0 ) (t t 0 ) t
0
（3）起始一个函数
0
t0
f ( t)
sin( sin(tt)) ((tt ) t0 )
t0
0
t
用单位阶跃函数表示复杂的信号
例1
f ( t)
1
f ( t) 1 0 t0
( t)
t - (t-t0)
0
例2 2 1 0
t0
t
f ( t ) ( t ) ( t t0 )
0
1
t
0
1
2
t
2. 一阶电路的阶跃响应
阶跃响应
R
i
C
t RC
激励为单位阶跃函数时，电路中产生的 零状态响应。 u
1
c
(t )
uC
–
+
t
1 R
i
t 1 i 0 t
uC (0－)=0
uC ( t ) (1 e ) ( t ) t 1 RC i(t ) e (t ) R
注意
解：先求电路的单位阶跃响应 , 令：
iS (t ) (t )
则
uC (0 ) uC (0 ) 0,
t RC
= RC
uC (t ) R(1 e
) (t )
iC e
t RC
例 6 -6-1 图 （ a ）
(t )
根据单位冲激响应与单位阶跃响应之间的关系, 当 iS (t ) (t ) 时有：
t
1 t i e (t ), 上式也可以表示成： L L
冲击响应的波 形如图 6.35 所示。 图 6.35
L 其中 R
R uL iL R e , t 0 L
t
图 6.34
R t uL (t ) e (t ) L
3.单位阶跃响应和单位冲激响应关系
0
ie
t RC
(t )
和
ie
t RC
t 0 的区别
+
R
iC
C
-
(t -t0)
uC
–
+
激励在 t = t0 时加入， 则响应从t=t0开始。
1 R
iC t
1 iC e R
注意
t- t0
RC
( t - t0 )
0
t0
不要写为
1 e R
－t
RC
( t - t0 )
例 求图示电路中电流iC(t）。
e 2t [(t ) (t 0.5)] e 1e 2( t 0.5)(t 0.5) e 2( t 0.5)(t 0.5)
e 2 t [( t ) ( t 0.5)] 0.632e 2( t 0.5 )( t 0.5)
分段表示为 波形 i(mA)
由于单位冲击函数与单位阶跃函数之间满足 关系：
d (t ) (t ) dt
因此线性电路中 单位阶跃响应与单位冲激响应之间满足关系： h(t )
ds (t ) dt
式中s(t) 为单位阶跃响应，h(t) 为单位冲激响应。
例 6-6-1 电路如图所示，求：电源is(t)为 单位冲激时的电路响应uC(t)和iC(t)。
例66-3图 （b）
电感电流和电感电压随时间变化的波形如图（b）所示。 注意：冲激激励使电容电压和电感电流初值发生跃变。
(t )dt 1 (t ) 0, t 0
图 6.27
单位冲激函数可看作是单位脉冲函数的极限情况。图 6.28 的单位脉冲波形可以表示为
1 p(t ) [ (t ) (t )] 2 2
令： 则
1 0, ,
图（b）（c)分别给出了阶跃响应和冲激响应的波形。
（ b ） 阶跃响应
（ c ） 冲激响应
例 6-6-2 求图示电路电容
加冲击激励后的电压。
解：
例 6 -6-2 图（ a ）
1 t 1 t A uC (0 ) uC (0 ) iC dt uC (0 ) A (t )dtຫໍສະໝຸດ uC (0 ) C 0 C 0 C
t RC
,t 0
uC 1 iC e R RC
,t 0
图 6.31
上式也可以表示成：
1 uC e C
t RC
(t ),
1 iC (t ) e RC
上式等号右边第一项为零，最后得：
t 1 RC uC e (t ) C t t t d RC 1 iC (t ) e (t ) e RC (t ) e RC (t ) dt RC
电容电流和电容电压随时间变化的波形如图（b）所示。
例 6 -6-2 图（b）
例6-6-3 求图示电路电感
加冲击激励后的电流。
解：
例 6 -6-3 图（ a ）
1 t 1 t A iL (0 ) iL (0 ) uL dt iL (0 ) A (t )dt iL (0 ) L 0 C 0 L
lim p(t ) (t )
0
图 6.28
在任一时刻t0发生冲击的函数如 图6.29所示，称为延迟的单位冲
激函数，可定义为：
(t t0 )dt 1 (t t0 ) 0, t t0
图 6.29
2） 冲激函数的性质 冲激函数有如下两个主要性质： （1）单位冲激函数对时间的 积分等于单位阶跃函数，即
e (t ) e
2 t
2( t 0. 5 )
(t 0.5) mA
iC e 2 t ( t ) e 2 t ( t 0.5) e 2 t ( t 0.5) e 2( t 0.5 )( t 0.5)
e 2t [(t ) (t 0.5)] e 2 t (t 0.5) e 2( t 0.5)(t 0.5)
同理，对任意在时间t=t0连续的函数f（t），将有：
f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
说明冲激函数有把一个函数在某一时刻的值‘ 筛'出来的本领。
2. 一阶电路的冲激响应 一阶电路的冲激响应是指激励为单位冲激函数 时，电路中产生的零状态响应。以图6.30所示 RC 电路受冲击激励为例加以说明。 分二个时间段来考虑冲激响应。 （1）t 在 0－→ 0+ 区间， 电容充电，电路方程 为：
duC uC C (t ) dt R
图 6.30
duC uC C (t ) dt R
对方程积分并应用冲击函数的性质得：
图 6.30
0
0
duC uC C (t ) 1 0 0 dt R
0 0
因为 uc不是冲激函数，否则电路的 KVL 方程中将出现冲击函 数的导数项使方程不成立，因此上式第一项积分为零，得：
C[uC (0 ) uC (0 )] 1,
1 uC (0 ) uC (0 ) C
说明电容上的冲激电流使电容电压发生跃变。
（2）t＞0+ 后冲击电源为零，电路为一阶 RC 零输入响应问题， 如图6.31所示。因此
uC uC (0 )e
t RC
1 e C
t RC
(0 t 0.5s) e mA i(t ) -2(t -0.5) mA (t 0.5 s) -0.632e
2t
1
0.368 0 -0.632 0.5 t(s)
§6-6一阶电路的冲激响应
1.单位冲激函数 1）单位冲激函数的定义 单位冲激函数也是一种奇异函数，如图 6.27 所示。 函数在 t=0 处发生冲激，在其余处为零，可定义为：
+
5k
ic 100F
RC 100 10 6 5 10 3 0.5s
阶跃响应为：
-
(t )
uC ( t ) (1 e 2t ) ( t )
duC 1 2t iC C e (t ) mA dt 5
由齐次性和叠加性得实际响应为：
1 2t 1 2( t 0.5 ) iC 5[ e ( t ) e ( t 0.5)] 5 5
t
( t 1)( t 1)
例5
1
u ( t)
已知电压u(t)的波形如图，试画 出下列电压的波形。
－2
0
2 t
1
1
(1) u ( t ) ( t )
( 2) u ( t 1) ( t )
0 2 t 1
－1
0
1
t
( 3) u ( t 1) ( t 1) 1
(4) u ( t 2) ( t 1)
t = 0合闸 u(t) = E ( t )
E
K
u(t)
E( t )
u(t)
i (t )
K
t = 0合闸 i(t) = Is ( t )
Is
I S (t )
u(t)
（2）延迟一个函数
f ( t)
sin t ( t )
t
f(t) sin( t t 0 ) (t t 0 ) t
0
（3）起始一个函数
0
t0
f ( t)
sin( sin(tt)) ((tt ) t0 )
t0
0
t
用单位阶跃函数表示复杂的信号
例1
f ( t)
1
f ( t) 1 0 t0
( t)
t - (t-t0)
0
例2 2 1 0
t0
t
f ( t ) ( t ) ( t t0 )
0
1
t
0
1
2
t
2. 一阶电路的阶跃响应
阶跃响应
R
i
C
t RC
激励为单位阶跃函数时，电路中产生的 零状态响应。 u
1
c
(t )
uC
–
+
t
1 R
i
t 1 i 0 t
uC (0－)=0
uC ( t ) (1 e ) ( t ) t 1 RC i(t ) e (t ) R
注意
解：先求电路的单位阶跃响应 , 令：
iS (t ) (t )
则
uC (0 ) uC (0 ) 0,
t RC
= RC
uC (t ) R(1 e
) (t )
iC e
t RC
例 6 -6-1 图 （ a ）
(t )
根据单位冲激响应与单位阶跃响应之间的关系, 当 iS (t ) (t ) 时有：
t
1 t i e (t ), 上式也可以表示成： L L
冲击响应的波 形如图 6.35 所示。 图 6.35
L 其中 R
R uL iL R e , t 0 L
t
图 6.34
R t uL (t ) e (t ) L
3.单位阶跃响应和单位冲激响应关系
0
ie
t RC
(t )
和
ie
t RC
t 0 的区别
+
R
iC
C
-
(t -t0)
uC
–
+
激励在 t = t0 时加入， 则响应从t=t0开始。
1 R
iC t
1 iC e R
注意
t- t0
RC
( t - t0 )
0
t0
不要写为
1 e R
－t
RC
( t - t0 )
例 求图示电路中电流iC(t）。
e 2t [(t ) (t 0.5)] e 1e 2( t 0.5)(t 0.5) e 2( t 0.5)(t 0.5)
e 2 t [( t ) ( t 0.5)] 0.632e 2( t 0.5 )( t 0.5)
分段表示为 波形 i(mA)
由于单位冲击函数与单位阶跃函数之间满足 关系：
d (t ) (t ) dt
因此线性电路中 单位阶跃响应与单位冲激响应之间满足关系： h(t )
ds (t ) dt
式中s(t) 为单位阶跃响应，h(t) 为单位冲激响应。
例 6-6-1 电路如图所示，求：电源is(t)为 单位冲激时的电路响应uC(t)和iC(t)。
例66-3图 （b）
电感电流和电感电压随时间变化的波形如图（b）所示。 注意：冲激激励使电容电压和电感电流初值发生跃变。
(t )dt 1 (t ) 0, t 0
图 6.27
单位冲激函数可看作是单位脉冲函数的极限情况。图 6.28 的单位脉冲波形可以表示为
1 p(t ) [ (t ) (t )] 2 2
令： 则
1 0, ,
图（b）（c)分别给出了阶跃响应和冲激响应的波形。
（ b ） 阶跃响应
（ c ） 冲激响应
例 6-6-2 求图示电路电容
加冲击激励后的电压。
解：
例 6 -6-2 图（ a ）
1 t 1 t A uC (0 ) uC (0 ) iC dt uC (0 ) A (t )dtຫໍສະໝຸດ uC (0 ) C 0 C 0 C
t RC
,t 0
uC 1 iC e R RC
,t 0
图 6.31
上式也可以表示成：
1 uC e C
t RC
(t ),
1 iC (t ) e RC