信号与系统冲激响应和阶跃响应
信号与系统 2.2 冲激响应和阶跃响应
系统冲激响应的求解方法(两种)
方法一： 按照求系统零状态响应的方法来求 例：描述某二阶LTI的微分方程为：
y (t ) 5 y (t ) 6 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 3 f (t )
'' ' '' '
求其冲激响应h(t)
系统冲激响应的求解方法二
方法二： 设置中间变量来求解 一般而言，若描述LTI系统的微分方程为：
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
一、冲激响应 h(t)
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
t
ht
T {0}
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示
g(t)= T [ε(t) ，{0}]
(t )
1
0
g (t )
(t )
t
g (t )
LTI
0
t
零状态
阶跃响应
◆阶跃响应和冲激响应之间的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
(t ) (t ) d t
t
g (t ) h( ) d
t
d g (t ) , h(t ) dt
yn (t ) an1 yn1 (t ) ..... a0 y(t ) bm f m (t ) bm1 f m1(t ) .... b0 f (t )
求解系统的冲激响应h(t)可分为两步进行： ①选新变量h1(t),使它满足方程式左端相同，而右端只含 f(t),即满足方程：
信号与系统2-2冲激响应与阶跃响应课件
8
举例
已知线性非时变系统的冲激响应 h(t) et (t)，激励信号为
f (t) (t) 。试求系统的零状态响应。
解：系统零状态响应为：yzs (t) h(t) f (t) et (t) (t)
h( )
f ( )
1
0
t
0
将f(t)反折，再扫描可
yzs (t)
t e d
0
e
t 0
1
3t f1( ) f2 (t )d
1 1 1d 1 (4 t)
3t 2
2
即为重叠部分的面积。
当 3 t 1 即 t 4时：
f2 (t ) 和 f1( )没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) f1(t) f2 (t) 0
7
例 2.7
f1( )
A
2t 0 t1 f1( )
A
2 t0 1 t f1( )
(1 et ) (t)
确定积分上下限。
9
课堂练习题
自测题2.3 自测题2.4 自测题2.5
10
几条结论
f (t) f1(t) f2 (t)
f(t)的开始时间等于f1(t)和f2(t)的开始时间之和； f(t)的结束 时间等于f1(t)和f2(t)的结束时间之和。 f(t)的持续时间等于 f1(t)和f2(t)的持续时间之和。
h(t) 2e2t (t) (t)
计算机例题C2.3
已知系统的冲激响应为h(t) 3 (t) e2t (t)，求阶跃响应。
h=sym('3*Dirac(t)-exp(-2*t)*Heaviside(t)'); g=int(h); g=simple(g)
g=1/2*Heaviside(t)*(5+exp(-2*t)) 阶跃响应为
阶跃响应、冲激响应
计算方法
对于线性时不变系统，可以通过求解微分方程或传递函数来 计算阶跃响应。
对于离散系统，可以通过差分方程或Z变换来计算阶跃响应。
阶跃响应的特点
1
阶跃响应具有非周期性和非振荡性。
2
阶跃响应的初始值和终值取决于系统的初始状态 和稳态值。
3
阶跃响应的变化速度取决于系统的动态特性和输 入幅度。
02
CATALOGUE
冲激响应
定义
冲激响应是指在单位冲激函数激励下 系统的输出，它是系统对输入信号的 瞬态响应。
冲激响应描述了系统在单位冲激函数 作用下的动态特性，是分析系统稳定 性和性能的重要依据。
计算方法
01
对于线性时不变系统，冲激响应可以通过系统的传 递函数进行计算。
02
对于离散时间系统，冲激响应可以通过系统的差分 方程进行计算。
阶跃响应、冲激响 应
目 录
• 阶跃响应 • 冲激响应 • 阶跃响应与冲激响应的联系与区别 • 阶跃响应与冲激响应的应用 • 阶跃响应与冲激响应的实验分析
01
CATALOGUE
阶跃响应
定义
阶跃响应是指系统在阶跃信号输入下 ，其输出量随时间的变化情况。
阶跃响应是系统对突然变化输入的响 应，其输出量由初始状态逐渐变化到 稳态值。
CATALOGUE
阶跃响应与冲激响应的联系与区别
联系
01 阶跃响应和冲激响应都是系统对输入信号的响应 方式，用于描述系统的动态特性。
02 阶跃响应和冲激响应都是系统对单位阶跃函数和 单位冲激函数的响应，具有相似性。
03 阶跃响应和冲激响应在一定程度上可以相互转换 ，例如通过积分或微分运算。
区别
定义
信号检测
信号与系统4-3冲激序列响应与阶跃序列响应课件
k =0 时
f1(k)
1
2 1 0 1 2 k
f2 (k )
3
f1(i)
2
1
1
0 12 3 k
2 1 0 1 2
i
0
f 2 (i)
3
3
5
2
y(k) 6
1
3
2 1 0 1 2 3 i
1 0
k 2 k 2 k 1 k 0,1, 2 k 3 k 4 k 4
9
有限长序列卷积和的规律
两个有限长度序列f(k)和h(k)的卷积y(k)长度也是 有限的。
定义：
f1(k) f2 (k) f1(i) f2 (k i) i
f2 (i) f1(k i) i
称离散卷积或卷积和
f (k)
1 0 1 2 3
f (i) (k i)
i
k
5
任意激励信号的零状态响应
A(k(k-(nk-i))
任意信号：
f (k) f (i) (k i) i f (k) (k)
3 13
[1 2k 1 3k ] (k)
2
2
4
4.6 离散卷积
卷积和的意义
任意离散信号可分解为(k)的线性组合：
f(k)=······+f(-1)(k+1)+ f(0)(k)+ f(1)(k-1)+
······+ f(i)(k-i)+······
f (i) (k i) f (k) (k) i
10
卷积和的计算
不进位乘法法
对于两个有限序列，可以利用一种“不进位乘法”较快地求出卷积结果。
例：求
y(k)= f1(k) f2(k)
第二章第2讲_冲激响应与阶跃响应
2
将r(t)=h(t)及e(t)=(t)代入给定微分方程
(k1 k2 ) (t ) (3k1 k2 ) (t ) (t ) 2 (t )
k1 k2 1 3k1 k 2 2
将h(t)、h’(t)和(t)代入微分方程两端
ke (t ) ke u(t ) ke u(t ) (t )
k e (t ) (t )
t
t
duc (t ) uc (t ) e(t ) dt
t
t
h (t ) e u (t ) rzs (t ) uczs (t ) e(t ) h(t )
d h (t ) t 3t t 3t ( k1e k2e ) (t ) (k1e 9k2e )u(t ) 2 dt t 3t ( k1e 3k2e ) (t )
(k1 k2 ) (t ) ( k1 3k2 ) (t ) (k1et 9k2e3t )u(t )
当n＝m时， h ( t )
ki e
i 1
i t
u (t ) kn 1 (t )
当n<m时，h(t)中还应包含(t)的导数
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
三、确定h(t)中的系数ki 将h(t)及其各阶导数代入系统方程左端，(t)及其各 级导数代入 方程右端，令对应项系数相等。
k 0
n
2、系统的零状态响应
( t ) h ( t )
对于线性时不变系 统 n
k (t t0 ) kh(t t0 )
rzs (t )
k 0
e ( k t ) t h ( t k t )
阶跃响应与冲激响应实验总结
阶跃响应与冲激响应实验总结引言阶跃响应与冲激响应是信号系统领域中重要的概念，用于描述系统对输入信号的响应特性。
本文将对阶跃响应与冲激响应的实验进行总结与探讨。
实验目的本次实验的目的是通过测量系统的阶跃响应和冲激响应，了解信号传输过程中系统的性质和特性。
具体目标包括： 1. 了解阶跃信号与冲激信号的定义和性质； 2. 掌握如何测量系统的阶跃响应和冲激响应； 3. 分析阶跃响应和冲激响应的特性，如稳态响应、时间常数等。
实验原理阶跃响应阶跃响应是指系统对阶跃输入信号的响应。
阶跃信号是在某一时刻突变到一个常数值的信号，常用单位阶跃信号(Heaviside function)表示，具体定义如下：u (t )={0,t <01,t ≥0系统对阶跃信号的响应通常包括了两个重要的部分：零状态响应和零输入响应。
其中，零状态响应是指在初始时刻系统无驱动力时产生的响应，零输入响应是指在初始时刻系统已存在驱动力时产生的响应。
冲激响应冲激响应是指系统对冲激输入信号的响应。
冲激信号是单位冲击函数(单位脉冲函数)的导数，通常用单位冲激函数(单位脉冲函数)表示，具体定义如下：δ(t )={∞,t =00,t ≠0∫δ∞−∞(t )dt =1系统对冲激信号的响应称为冲激响应，它可以反映系统的特性和性能。
实验装置本实验需要使用以下实验装置： 1. 信号发生器：用于产生阶跃信号和冲激信号；2. 示波器：用于接收和显示系统的响应信号；3. 测量仪器：例如计时器、数字万用表等，用于测量信号的参数。
实验步骤1.连接实验装置：将信号发生器和示波器正确连接，并对系统进行初始化设置；2.测量阶跃响应：将信号发生器设置为阶跃信号输出模式，调整阶跃信号的幅值和时间参数，观察示波器上的响应曲线，并记录相关数据；3.分析阶跃响应特性：根据测量得到的数据，分析系统的稳态响应、时间常数等特性；4.测量冲激响应：将信号发生器设置为冲激信号输出模式，调整冲激信号的幅值和时间参数，观察示波器上的响应曲线，并记录相关数据；5.分析冲激响应特性：根据测量得到的数据，分析系统的零状态响应、零输入响应等特性；6.实验数据处理：根据测量数据进行进一步分析和计算，得出阶跃响应和冲激响应的相关参数；7.结果比较与讨论：比较阶跃响应和冲激响应的差异和联系，分析实验结果的合理性和有效性。
信号与系统 冲激响应和阶跃响应
信号与系统
一．冲激响应
将r(t)=h(t)及e(t)=(t)代入给定微分方程
( k1 k 2 ) ( t ) ( 3k1 k 2 ) ( t ) ( t ) 2 ( t )
k1 k 2 1 3k 1 k 2 2
1 1 k1 , k 2 2 2
可计算得 A 0 ，即 则冲激响应为 h(t ) 由 可得
g (t ) et u(t )
d g (t ) (t ) e t u (t ) dt
y1 (t ) 2et u(t ) yzi (t ) yzs (t ) yzi (t ) g (t ) yzi (t ) y1 (t ) g (t ) 2et u(t ) et u(t ) et u(t )
t 0 时， h(t ) 0
冲激响应的求解至关重要。
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求 解方法直观、物理概念明确。
信号与系统
作业 13-04-09
P46 2-2(1）, 2-3(2) , 2-5 , 2-6
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
冲激响应为：
h(t ) (k1e t k2e 3t )u(tt ) (k1e t k2e 3t )u(t )
对h(t)求各阶导数：
dh( t ) ( k1e t k 2 e 3 t ) ( t ) ( k1e t 3k 2 e 3 t )u( t ) dt (k1 k2 ) (t ) (k1e t 3k2e 3t )u(t )
信号与系统名词解释
1 双端口网络：若网络有两个端口，则称为双口网络或二端口网络2 阶跃响应：当激励为单位阶跃函数时，系统的零状态响应3 冲激响应：当激励为单位冲激函数时，系统的零状态响应4 周期信号频谱的特点：①离散性》频谱是离散的②谐波性》频谱在频率轴上位置都是基波的整数倍③收敛性》谱线高度随着谐波次数的增高总趋势是减小的5 模拟离散系统的三种基本部件：数乘器·加法器·单位延迟器6 模拟连续系统的三种基本部件：数乘器·加法器·积分器7 线性系统：一个既具有分解特性，又具有零状态线性和零输入线性的系统8 通频带：我们把谐振曲线有最大值9 离散系统稳定的充分必要条件：∑︳h（n）︳〈∞（H（z）的极点在单位圆内时该系统必是稳定的因果系统）10网络函数：在正弦稳态电路中，常用响应向量与激励向量之比定义为网络函数，以H（jw）表示11 策动点函数：激励和响应在网络的同一端口的网络函数12 传输函数（转移函数）：激励和响应在不同的端口的网络函数13 因果连续系统的充分必要条件：h（t）=0 t＜0 （收敛域在S右半平面的系统均为因果系统）14 连续时间稳定系统的充分必要条件：∫︳h（t）︳dt≤M M：有界正实常数即h（t）满足绝对可积，则系统是稳定的15 傅里叶变换的时域卷积定理：若f1（t）↔F1（jw），f2（t）↔F2（jw）则f1（t）*f2（t）↔F1（jw）F2（jw）16 傅里叶变换的频域卷积定理：若f1（t）↔F1（jw），f2（t）↔F2（jw）则f1（t）·f2（t）↔（1／2π）F1（jw）*F2（jw）17 稳定系统：18 系统模拟：对被模拟系统的性能在实验室条件下模拟装置模仿19 因果系统：未加激励不会产生零状态响应的系统20 稳定的连续时间系统：一个连续时间系统，如果激励f（t）是有界的，其零状态响应y f（t）也是有界的，则称该系统是稳定的连续时间系统21 H（s）（h（t））求法：由微分方程、电路、时域模拟框图，考虑零状态条件下取拉氏变换、画运算电路、作S域模拟框图，应用Y f（s）／F（s）糗大H（s）。
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t
第
14 页
g( t ) h( t ) d t
t
阶跃响应是冲激响应的 积分，注意积分限：
t
－
, 对因果系统：
0
t
X
第
三．齐次解法求冲激响应（补充）
ˆ(t ) ˆ(t ) d n h d n 1 h ˆ(t ) (t ) a a h n 1 0 dtn d t n 1
r ( t) → h ( t)
d 2 h( t ) d h( t ) d (t ) 4 3h( t ) 2 ( t ) 2 dt dt dt
求特征根
2 4 3 0 1 1, 2 3
ht 中不包含冲激项
n 2, m 1, n m
当n m时，ht 中应包含 t ； 当n m时，ht 应包含 t 及其各阶导数。
X
第
例2-5-2
10 页
d 2 r (t ) d r (t ) d e( t ) 4 3r ( t ) 2e( t ) 的冲激响应。 求系统 2 dt dt dt 解：
将e(t)→(t)，
1 t 1 RC ht vC ( t ) e u( t ) RC
7 页
1 RC
d vC ( t ) 注意！ iC ( t ) C dt 1 1 RC t 1 2 e u( t ) ( t ) RC R
O
iC ( t )
1 R
t
O
t
电容器的电流在 t =0时有一冲激， 这就是电容电压突 变的原因 。
1 A1 2 h0 A1 A2 1 ' 1 h 0 A1 3 A2 2 A2 2 1 t 3t h( t ) e e u( t )
第
11 页
设
代入h(t),得
X
第
用奇异函数项相平衡法求待定系数
此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更 有优越性。
X
第
例2-5-3
16 页
d 2 r (t ) d r (t ) d e( t ) 4 3r ( t ) 2e( t ) ，求h(t) 。 已知系统 2 dt dt dt
ˆ 0 0 h 1 A A1 3 A2 1 1 2 将边界条件代入 ht 式 A A 0 1 2 1 A2 2 1 t 3 t ˆ ( t ) e e u( t ) h 2 ˆ(t ) dh ˆ(t ) 则由系统的线性时不变特性 h( t ) 2h dt 1 t 3 3t 1 t 1 3t ht e e u( t ) e e ( t ) e t e 3 t u( t ) 2 2 2 2 1 t e e 3 t u( t ) X 2 ˆ ( t ) A e t A e 3 t u( t ) h 1 2
2
d dt
d 2 r t dt 2
4
3
dr t dt
r t
子系统交换
e t
d dt
ˆ t d2r dt 2
4
3
ˆ t dr dt
ˆ t r
2
r t
d dt
X
第
求冲激响应的几种方法
18 页
方法1：冲激函数匹配法求出0 ~ 0 跃变值，定系数A。 方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法3：齐次解法求冲激响应。
X
第
方法2：奇异函数项相平衡原理
已知方程 冲激响应 求导 代入原方程
d vC ( t ) RC vC ( t ) ( t ) dt t vC ( t ) Ae RC u( t ) 1 d vC ( t ) A RC t A ( t ) e u( t ) dt RC
第
信号与系统
§2.6 冲激响应和阶跃响应
1 页
• 冲激响应 • 阶跃响应
X
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 ( t ) 作用下产生的零状态响应， 称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
t
H
ht
第 2 页
2．一阶系统的冲激响应
3．n阶系统的冲激响应
X
例2-5-1 一阶系统的冲激响应
8 页
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
令 e(t)=(t) 则 r(t)=h(t)
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
C 0 h n ( t ) C 1 h n1 ( t ) C n1 h 1 ( t ) C n h( t )
E 0 m ( t ) E1 m 1 ( t ) E m 1 1 ( t ) E m ( t )
X
ˆ 0 1 h
系统框图
d 2 r (t ) d r (t ) d e( t ) 4 3r ( t ) 2e( t ) 2 dt dt dt
e t
2
第
17 页
d 2 r t dt 2
4
3
dr t dt
r t
两个加法器
et
第 5 页
代入方程得 得出
RCa t RCbut aut t
RCa 1 1 即 a RC
所以
1 1 υ C 0 υ C 0 RC RC
1 t RC
1 把 C 0 代入 C t Ae 得A RC 1 t 1 RC C t e ut RC
1 R 2C
X
第
3．n阶系统的冲激响应
(1)冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
d n r (t ) d n 1 r ( t ) d r (t ) C0 C1 C n 1 C nr (t ) n n 1 dt dt dt d m e( t ) d m 1 e ( t ) d e( t ) E0 E1 E m 1 E m e( t ) m m 1 dt dt dt
12 页
h ( t ) A e
1 1
h(t ) A1e t A2e 3t u(t )
t 3 t 2
A e ( t ) A e 3 A e u( t ) A A ( t ) A e 3 A e u( t ) ht A A t A 3 A t A e 9 A e ut
15 页
ˆ t 令方程左端系数为1，右端只有一项(t)时，冲激响应为 h
左端最高阶微分中含有(t)项
(n-1)阶微分中含有u(t)项。
可以由此定初始条件
( n 1 ) ( n 2 ) h (0 ) 1, h(0 ) h(0 ) h(0 ) h (0 ) 0
系统的输入 et ut ，其响应为 r t gt 。系统 方程的右端将包含阶跃函数 ut ，所以除了齐次解外， 还有特解项。 我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应和阶 跃响应关系求阶跃响应。
X
2．阶跃响应与冲激响应的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
带 u ( t)
冲激响应 h(t ) ( A1e t A2e3t )u(t ) 求待定系数 ，冲击匹配法求0+法, 奇异函数项相平衡
X
冲击匹配法求0+定系数
d 2 r t a t b t cu t 2 dt d r t a t bu t dt r t au t h0 1 , h' 0 2
X
第
(2)h(t)解答的形式
9 页
由于 t 及其导数在 t 0 时都为零，因而方程式右 端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次 解的形式相同。 ①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根）
n it h( t ) Ai e u( t ) i 1 ②与n, m相对大小有关 当n m时，ht 不含 t 及其各阶导数；
A1 A2 (t ) 3 A1 A2 (t ) 0 u(t ) (t ) 2 (t )
X
二．阶跃响应
1．定义
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单 位阶跃响应，简称阶跃响应。
e t
第
13 页
X
求解
特征方程
1 RC 1 0 特征根 RC
vC ( t ) Ae
t RC
第 4 页
u( t )
t 0 时的解
下面的问题是确定系数A,求A有两种方法： 方法1：冲激函数匹配法求出 vC (0 ) ，定系数A。 方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。 1 A RC 1 波形
X
第
总结
冲激响应的定义
19 页
•零状态；
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。 冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况 下加同样的激励 t ，看响应 h( t )， h( t )不同，说明其 系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。 冲激响应的求解至关重要。
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简 捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
vC 0 0） 求下图RC电路的冲激响应。 （条件：