5单位冲激响应
单位冲激响应函数
单位冲激响应函数
单位冲激函数是信号与系统学科中的一个重要概念。
它是一个“面积”等于1的理想化了的窄脉冲。
也就是说，这个脉冲的幅度等于它的宽度的倒数。
当这个脉冲的宽度愈来愈小时，它的幅度就愈来愈大。
当它的宽度按照数学上极限法则趋近于零时，那么它的幅度就趋近于无穷大，这样的一个脉冲就是“单位冲激函数”。
在实际工程中，像“单位冲激函数”这样的信号是不存在的，至多也就是近似而已。
在理论上定义这样一个函数，完全是为了分析研究方便的需要。
单位冲激函数又称为狄拉克函数，它具有选择性。
狄拉克δ函数的定义为：
1、当t不等于0时，δ(t)=0;
2、
狄拉克δ函数有以下性质：
偶函数性:δ( − x) = δ(x)
展缩特性（尺度特性）：δ(ax) = |a|^-1 δ(x)
xδ(x) = 0,xδ(x − a) = aδ(x − a)
δ(x2 − a2) = (2 | a | ) − 1[δ(x + a) + δ(x − a)]
<LI><LI></LI>
表达式
狄拉克δ函数的表达式：。
冲激响应实验报告
冲激响应实验报告一、实验目的本次实验的目的是通过实验方法测量一阶系统的冲激响应.二、实验原理冲激响应是指一个系统在受到冲激信号(单位冲激函数)作用后的响应情况。
单位冲激函数的数学表达式为δ(t)，其特点是在t=0时刻响应值为1，其余时刻为0。
一个线性时不变系统的冲激响应可以用单位冲激函数和系统的冲激响应函数相乘得到。
根据线性时不变系统的特性，可以通过测量单位冲激响应来确定系统的总响应。
三、实验仪器与器材1.示波器：用于显示信号的波形。
2.函数发生器：用于产生方波和冲激信号。
3.电阻：用于构造RC电路。
四、实验步骤1.搭建一阶RC电路，将函数发生器的输出信号与电路连接。
2.将示波器的输入端连接到电路的输出端，并设置示波器的触发方式。
3.将函数发生器设置为方波信号输出，调整频率和幅度使得信号合适。
4.在示波器上观察电路的输出波形，并记录观察到的数据。
5.将函数发生器设置为冲激信号输出，重复步骤4五、实验结果与分析在方波信号激励下，我们观察到了电路的响应波形。
根据波形的特点，我们可以确定电路的冲激响应。
通过测量电路响应波形的时间常数，可以确定电路的RC值。
在冲激信号激励下，我们同样观察到了电路的响应波形。
通过测量响应波形的幅度和时间常数，我们可以判断电路的冲激响应以及系统的稳定性。
六、实验总结通过本次实验，我们学习了测量一阶系统的冲激响应的方法。
实验中我们观察到了方波信号和冲激信号对系统的响应情况，并通过测量波形的特征参数来确定系统的冲激响应和RC值。
通过本次实验，我们对系统的冲激响应有了更深入的了解，也为今后的实验和工作提供了基础。
七、实验中遇到的问题与解决方法1.示波器显示的波形不清晰：调整示波器的触发方式和触发电平。
2.函数发生器输出的信号幅值不稳定：检查连接线是否松动，保持信号输入的稳定性。
3.实验数据记录不准确：多次测量取平均值，减小误差。
八、实验存在的不足与改进方向实验中测量的数据可能存在一定的误差，主要是由于仪器的精确度以及人为操作的误差所导致的。
单位冲激响应电路在单位冲激激励作用下产生的零状态响.
(2) 阶跃响应s(t)可由冲激响应(t)积分得到。
例1.
iC +
已知：uC(0+)=0。
iS
R
C
uC
求： is(t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t)
解 (1) 先求单位阶跃响应： 令 iS (t)= (t)A
uC(0+)=0 uC()=R = RC t
uC (t) R(1 e RC ) (t)
uC
(0
)
1 C
uC
1
C
全时间域表达式：
o
t
uC
1 C
t
e RC (t )
iC
iC
(t)
1 RC
e
t
RC (t )
(1) o 1
t
RC
例2.
+
(t)
R iL
1. t 从 0 0+
+ L uL
RiL
L diL dt
(t)
iL不可能是冲激
dt h(t) d s(t)
dt
证明：
(t)
s(t) 零状态
(t)
h(t)
零状态
f(t)
1
f (t) 1 (t) 1 (t Δ)
Δ
Δ
Δ
o
Δ
t
1 s(t) Δ
1 s(t Δ) Δ
1
d
h(t) lim [s(t) s(t Δ)] s(t)
Δ0 Δ
dt
注意： (1) s(t)定义在( ，)整个时间轴。
iC(0+)=1
冲激响应——精选推荐
冲激响应冲激响应科技名词定义中⽂名称：冲激响应英⽂名称：impulse response定义：电路或设备对冲击脉冲的响应。
应⽤学科：通信科技（⼀级学科）；通信原理与基本技术（⼆级学科）以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布当激励为单位冲激函数时，电路的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应单位冲激信号：是指在t!=0的时候，信号量恒为0，在t=0的时候，信号量为⽆穷⼤，但是信号在时间上的积分为1.很明显，单位冲激信号，是⼀种理想化的模型。
引⼊这个模型，可以使我们在分析某系问题的时候，变得相当的简单。
⽐如说，信号的取样。
⽤f （t）表⽰取样信号，⽤u（t）表⽰单位冲激信号。
那么对f（t）*u（t）进⾏积分，就得到f（t）在0点的信号，对f（t）*u（t-x）（x表⽰常量）积分，就得到f（t）在x点的信号。
冲击响应的⼀般求法：（1）简单电路，列出微分⽅程，直接求冲激响应。
注意电感电流和电容电压会产⽣跳变。
（2）最普遍的⼀种⽅法，利⽤三要素法先求出阶跃响应，再对时间求导的冲激响应，即利⽤下式由电路的阶跃响应计算出电路的冲激响应h(t)=ds(t)/d(t)其中，h(t)为冲激响应，s(t)为阶跃响应冲激响应维基百科，⾃由的百科全书跳转到：导航, 搜索在信号与系统学科中，冲激响应(或叫脉冲响应)⼀般是指系统在输⼊为单位冲激函数时的输出（响应）。
对于连续时间系统来说，冲激响应⼀般⽤函数h(t;τ)来表⽰，相对应的输⼊信号，也就是单位冲激函数满⾜狄拉克δ函数的形式，其函数定义如下：并且，在从负⽆穷到正⽆穷区间内积分为1：在输⼊为狄拉克δ函数时，系统的冲激响应h(t)包含了系统的所有信息。
所以对于任意输⼊信号x(t)，可以⽤连续域卷积的⽅法得出所对应的输出y(t)。
也就是：对于离散时间系统来说，冲激响应⼀般⽤序列h[n]来表⽰，相对应的离散输⼊信号，也就是单位脉冲函数满⾜克罗内克δ的形式，在信号与系统科学中可以定义函数如下：同样道理，在输⼊为δ[n]时，离散系统的冲激响应h[n]包含了系统的所有信息。
25LTI系统的单位冲激响应
解：此时方程应为
h(t) 3h(t) 2h(t) (t) 3(t)
⑴ 求特征根，确定齐次通解。
2 3 2 0
1 1 2 2
所以t>0时 h(t) A1et A2e2t
或表示为： h(t) ( A1et A2e2t )u(t)
6
6
36
同样，在大多数情况下不易得到封闭的解。
解法二：由因果性与零状态条件，通过迭代求得一组初始 条件，进而求n>0时的零输入响应（齐次解）。
设在n>0以后
h(n)
A1
(
1 2
)n
A2
(1)n 3
由以上
h(1) 5
h(2) 19
6
36
所以 求得
h(1)
1 2
A1
1 3
A2
5 6
h(2)
1 4
A1
比较以上方程两边可设：在t=0时刻（冲激函数平衡法）
h(t) B1(t) B0(t) 于是在t=0时刻
h(t) B1(t) B0u 将这两式代入以上方程
B1(t) B0(t) 2B1(t) (t) (t)
即有
B1(t) (B0 2B1)(t) (t) (t)
B1 1 B0 2B1 1
B1(t) B0(t) 3B1(t) (t) 3(t)
B1(t) (B0 3B1)(t) (t) 3(t)
所以 B1 1 B0 3B1 3
由此得到t=0+时刻的条件：
B0 0
h(0 ) B0 0
h(0 ) B1 1
⑶ 确定齐次解中的待定系数，求出系统的单位冲激响 应。
h(0 ) 1 A1 A2
冲击响应
系统并联
f1 (t ) [ f 2 (t ) f3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
系统并联，框图表示：
h(t )
f (t )
f (t ) f (t )
h1 (t )
f (t ) * h1 (t )
g (t )
f (t ) h1 (t ) f (t ) h2 (t )
可表示为:
e(t ) e(t ) (t )
三．利用卷积求系统的零状态响应
当一个信号作用于系统时，响应为
e( ) (t ) d r (t ) H e(t ) H e( ) H (t ) d 当系统为线性时
3. i ( t ) e( ) h(t ) d
e
1 2
i (t )
L 1H
u( ) u( 2) e ( t ) u(t ) d
e t e 2 u( )u( t )d e t e 2 u( 2)u( t )d
卷积积分中积分限的确定是非常关键的。
四．卷积的计算
已知e( t ) e
u(t ) u(t 2)，求i(t )的零状态响应。 R 1 d i t 1．列写KVL方程 L Ri t et
t 2
2．冲激响应为
dt h( t ) e t u( t )
u (t )
H
g (t )
系统的输入 e t u t ，其响应为 r t gt 。系统方程的 右端将包含阶跃函数 ut ，t>0时输入不为0，所以其响应除 了齐次解外，还有特解项。
单位冲激响应
单位冲激响应
什么是单位冲激响应？单位冲激响应是一种描述和研究独立变量对因变量的影响的定量方法。
这种两个变量之间的定量关系可以用回归方程表示，而回归方程中的系数就是单位冲激响应。
由于本身和变量的变化具有一定的时间相关性，对单位冲激响应的研究通常包含时间序列分析，如建模和模型检验。
单位冲激响应就是指当独立变量中的每个单位变化时，因变量平均变化量，即每个单位变化对因变量的影响大小。
此外，通常还会根据要研究的问题同时检验多个变量对因变量的影响。
用单位冲激响应可以得到变量之间的相关关系。
单位冲激响应研究一般可以分为三个步骤：模型指定，参数估计和模型检验。
在模型指定的阶段，要指定回归模型的形式，包括模型的数学表达式、选择的独立变量和它们的关系，以及变量是否相互独立。
其次，进行参数估计，利用已知的数据估计模型的参数，计算出回归方程的参数和单位冲激响应系数。
最后，会进行模型检验，检验模型的解释能力，即检验模型是否具有显著性。
单位冲激响应研究非常重要，通过它可以理解变量之间的相关关系，从而针对性地进行策略制定。
例如，在经济领域，单位冲激响应可以用来研究不同经济政策对国民经济增长的影响，从而找出最有效的政策组合来实现国家的发展目标。
此外，它还可以用来研究生产率的变化，以发现提高生产率的有效措施和技术改进方法。
单位冲激响应研究是对变量之间关系的定量分析，它基于数据收
集、回归方程检验以及模型检验等技术，并且可以帮助研究者更好地理解变量之间的关系，给出更准确的策略制定。
通过不断研究变量之间的关系，可以更好地实施政策，最终实现国家发展的目标。
第二章 线性时不变系统的时域分析
基本内容： 基本内容： （1） 系统的定义及表示 ） （2） ） 系统的基本性质 （3） ） 线性时不变系统的时域描述 （4） ） 零输入响应和零状态响应 （5） ） 单位冲激响应
重点难点： 重点难点： 零状态响应的求解方法 响应的求解方法； （1） ） 零状态响应的求解方法； 冲激响应的求解方法； （2） ） 冲激响应的求解方法；
4.稳定性 稳定性
有界输入产生有界输出，则这个系统就 是稳定系统。 所谓有界，即输入或输出的最大幅值是 一个有限值。 例系统 y[n]=nx[n] 就是一个不稳定系统， 因为，当输入 x[n] 是有界时，系统的输 出却有界，它将随着 n 值的增加而增加， 直至无穷。
三、线性时不变系统的时域描述
线性时不变系统也简称为LTI系统，其 系统， 线性时不变系统也简称为 系统 分析方法建立在信号分解的基础之上。 分析方法建立在信号分解的基础之上。 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。 的组合。 连续时间LTI系统用微分方程描述； 系统用微分方程描述； 连续时间 系统用微分方程描述 离散时间LTI系统用差分方程描述。 系统用差分方程描述。 离散时间 系统用差分方程描述
这个常系数线性微分方程， 这个常系数线性微分方程，其完全解由 齐次解和特解两部分组成 。 齐次解是微分方程在输入为0时的齐次 齐次解是微分方程在输入为 时的齐次 方程的解（ 方程的解（式2.111） ） 而特解则是在输入的作用下满足微分方 程式(2.109) 的解。 的解。 程式
对于式(2.109)的微分方程，相应的齐次 方程为
如果系统的起始状态y(0－)≠0，则系统的 输出 y(t) 和系统的输入 x(t) 之间就不满 足线性和时不变性。然而，只要 y(0－)=0， y(t) 和 x(t) 之间就能够满足 线性和时不变的关系。
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t
h(t)dt
0
解决问题步骤
1、LTI连续系统的微分算子方程
2、系统的零输入响应 3、系统的单位冲激响应 4、系统的零状态响应
5、系统的全响应
4、零状态响应
定义：LTI连续系统（不考虑初始状态）
(t)
H []
y(t) H (t) h(t)
K (t)
H []
f (t) (t) f (0) (t)
f (t)
1
1H
1F
已知激励f (t) 2 (t), 初始状态(0-时刻)i(0 ) 0;
且电容上存在1V的电压,即u(0 ) 1V，求y(t)?
H ( p)
y(t) f (t)
p p2 p 1
特征根:1,2
1 2
j
3 2
p
c1
1
c2
p 2
cc112
c2
1
c21
0
h(t)
y(t) H K (t)
齐次性
K H (t) K h(t)
f (0) h(t)
续上
(t t0 )
H []
f (t) (t t0) f (t0) (t t0)
时不变性
y(t) H (t t0) h(t t0)
f (t0 ) h(t t0 )
f (t) f ( ) (t )d lim f (k ) (t k )
信号与系统
信息工程系 谭静
第二章主要内容
线性时不变（LTI）连续系统的响应
f (t)
H []
y(t) H f (t)
激励
符号H[·]称为系统算子 响应
已知
未知
研究问题举例
y(t) i(t)
f (t)
1
1H
1F
已知激励f (t) 2 (t), 初始状态(0-时刻)i(0 ) 0;
且电容上存在1V的电压,即u(0 ) 1V，求y(t)?
c1e1t c2e2t
(t)
2
t
e 2 cos(
3t)
3
26
举例3：课堂练习
已知系统的转移算子：H ( p)
p2
p 2p 2p 1
求系统的单位冲激响应?
可查阅第42页表2-2
系统的单位阶跃响应
定义：LTI连续系统（不考虑初始状态）
(t)
H []
y(t) H (t) g(t)
求解： g(t)
全响应y(t) 零输入响应yx (t) +零状态响应y f (t)
解决问题步骤
1、LTI连续系统的微分算子方程
2、系统的零输入响应 3、系统的单位冲激响应 4、系统的零状态响应
5、系统的全响应
y(t) i(t)
举例
f (t)
1 1F
1H
已知激励f (t) 2 (t), 初始状态(0-时刻)i(0 ) 0;
2、 cos100t * (t)
4、 第53页习题2 10(a)
作业（要抄题）
2-7 2-9(c) 2-10(b)
定义：LTI连续系统（不考虑初始状态）
(t)
H []
y(t) H (t) h(t)
求解： H ( p)
y(t) f (t)
y(t) H( p) f (t) H( p) (t) h(t)
举例1：已知 ( p2 5 p 6) y(t) ( p 4) f (t)，求h(t)
举例1
0 k
y(t) lim f (k ) h(t k ) f ( )h(t )d
0 k
零状态响应yh (t)
卷积
卷积
定义： y(t) f (t) h(t)
f ( )h(t )d
h( ) f (t )d
运算法则：
1、交换律 f1(t)* f2 (t) f2 (t)* f1(t)
3、f (t) (t) t f ( )d f 1(t)
4、 f1(t) f2(t) f1(t) f2(t) f1(t) f2(t)
f1(t)
f2 (t )
1
f11(t)
f2 (t )
f1 (t )
f
1 2
(t)
f1(t)
f2 (t)
f11(t)
f2(t)
f1(t)
f
2、分配律 f1(t)* f2(t) f3(t) f1(t)* f2(t) f1(t)* f3(t)
3、结合律 f1(t) * [ f2(t) * f3(t)] [ f1(t) * f2(t)] * f3(t) [ f1(t) * f3(t)] * f2(t)
举例
f1 (t )
1
0
1
f2 (t)
H ( p)
p4 p2 5p 6
2 p2
1 p3
h(t)
2 p2
1 p3
(t)
讨论：
h1(t)
2 (t)
p2
h1(t) 2h1(t) 2 (t)
p 2h1(t) 2 (t)
h1(t) 2e2t (t)
h(t) 2e2t e3t (t)
举例2
y(t) i(t)
1 2
(t
)
续上
y(t) f1(t)* f2(t)
5、f1(t)* f2 (t t0 ) f1(t t0 )* f2 (t) y(t t0) f1(t t1) * f2 (t t2 ) y(t t1 t2 )
课堂练习： 1、 cos100t * (t) 3、 cost et * (t)
两图形分离，其乘积等于零
t
0 t 1,
f1( ) f2 (t ) 1 0.5, f (t)
1 0.5d 0.5t
0
1
1 t 2,
f1( ) f2 (t ) 1 0.5, f (t)
1 0.5d 0.5(2 t)
t 1
t 2, f1( )与f2 (t )完全分离，f (t) 0
且电容上存在1V的电压,即u(0 ) 1V，求yx (t)?
D( p) yx (t) p2 p 1 yx (t) 0
p2
p 1
0的特征根:1,2
1 2
j
3 2
y(0 ) 0 yx (t) c1e1t c2e2t y(0 ) 1
2 3
e
t 2
sin
3 2
t
3、系统的单位冲激响应
* 0.5
t
0
1
t
1、f1(t), f2 (t)的自变量t用 代换，将f2 ( )反转得f2 ( )
f1( )
f2 ( )
f2 ( )
1 01
0.5
01
0.5
1 0
续上
2、将f2 ( )沿正 轴平移时间t，得f2 (t )
t0
1
f1( )
0t 1
1
f1( )
f2 (t ) 0.5
f2 (t )
0.5
t 1 t 0
t 1 0 t 1
1t 2
1
0.5
f1( ) f2 (t )
1 f1( )
t2
f2 (t )
0 t 1 1 t 2
0
1 t 1 2 t
续上
3、两信号重叠部分相乘，求相乘后图形的积分
t 0, f1( ) f2 (t ) 0, f (t) f1( ) f2 (t )d 0
以上计算结果归纳为
f1(t) * f2 (t)
0.5
0
1
2t
卷积的性质
1、f (t)* (t) f (t)
f (t)* (t t0 ) f (t0 )
区分：f (t) (t) f (0) (t) f (t) (t t0) f (t0) (t t0)
2、f (t)* (t) f (t) 区分：f (t) (t) f (0) (t) f (0) (t)