单位冲激函数的妙用(图
阶跃函数和冲激函数
阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数在分析线性电路过渡过程时，常使用一些奇异函数来描述电路中的激励或响应。
阶跃函数和冲激函数是两个最常用最重要的函数。
一、单位阶跃函数。
单位阶跃函数定义为：（式8-2-1）图8-2-1其波形如图8-2-1所示。
单位阶跃函数在处有跳变，是一个不连续点。
将单位阶跃函数乘以常数，就得到阶跃函数，又称为开关函数。
因为它可以用来描述电路中的开关动作，如图8-2-2所示。
图8-2-2所示电路在时刻开关S从1切换至2，那么一端口网络的入端电压就可用阶跃函数表示为：，如图8-2-2所示。
图8-2-2延时的单位阶跃函数定义为：（式8-2-2）其波形如图8-2-3所示，同样以图8-2-2为例，若时刻将开关S 从1切换至2，那么一端口网络的入端电压就可用延时阶跃函数表示为：。
二、单位冲激函数单位冲激函数定义为：（式8-2-3）其波形如图8-2-5所示。
为了更好地理解单位冲激函数，先来看单位脉冲函数。
单位脉冲函数定义为：（式8-2-4）图8-2-5其波形如图8-2-5所示。
单位脉冲函数的宽度是，高度是，面积为1。
当脉冲宽度减小，其高度将增大，而面积仍保持为1。
当脉冲宽度趋于无限小时，其高度将趋于无限大，但面积仍然为1。
当脉冲宽度趋于零时，这时脉冲函数就成为单位冲激函数。
将单位冲激函数乘以常数K，就得到冲激强度为K的冲激函数，表示为。
延时的单位冲激函数定义为：（式8-2-5）其波形如图8-2-6所示。
图8-2-6冲激函数不是一般函数，属于广义函数，其更严格的定义可参阅有关数学书中的论述。
冲激函数
一冲激函数的定义在信息分析和系统分析中，单位冲激函数δ(t)是一个使用频率极高的奇异函数。
对这类奇异函数不能按普通函数进行定义，因为它本身不属于普通函数。
1 单位冲激函数的普通数学定义定义有多种方式，其中定义1设有一函数P(t)当n趋近于∞时，函数P(t)的宽度趋近于零，而幅度趋近于无限大，但其强度仍然等于1。
这个函数就定义为单位冲激函数δ(t)。
定义2 狄拉克（Dirac）定义上面两个对单位冲激函数的定义是不符合普通函数的定义对于普通函数来说当自变量t取某值时，除间断点外，函数有确定的值，而δ(t)在唯一不等于零的点t=0处函数值为无限大．因为单位冲激函数已经不属于普通函数的范畴，不能用普通函数进行定义，要用广义函数进行严格的定义。
2 单位冲激函数的广义定义选择一类性能良好的函数，称为检验函数(它相当于定义域)，一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数赋于一个数值N的映射，该数与广义函数g(t)和检验函数有关，记作N[g(t)，(t)]，通常广义函数g(t)可写为式中检验函数是连续的，具有任意阶导数，且用其各阶导数在无限远处急剧下降的普通函数这类函数的全体构成的检验函数空间称为急降函数空间，用表示．在上定义的广义函数称为缓增广义函数它的全体构成广义函数空间，用这类广义函数有良好的性质。
根据以上定义，如有一广义函数f(t)，它与的作用也赋给相同的值，即若就认为二广义函数相等，记作f(t)=g(t)。
按照广义函数的理论，冲激函数δ(t)由式定义，即冲激函数δ(t)作用于检验函数的效果是给它赋值。
如将(1)式中的函数看做广义函数，则有：当n趋近于∞时在（，）区间内有=，取广义函数(t)的极限(广义极限)，得比较以上两式，得按照此定义，冲激函数有多种定义形式，如:δ(t)=高斯钟形函数δ(t)=取样函数δ(t)=双边指数函数等等而对于离散的δ[n]定义很简单:δ[n]=1,(n=0)δ[n]=0,(n 0)二 冲激函数的性质 1.微分性质冲激函数δ(t)的一阶导数可定义为:通常称δ‘(t )为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示冲激偶信号两个重要性质n 阶导数为:由于选好了性能良好的检验函数空间中，广义函数的各阶导数存在并属于缓增广义函数空间中，广义函数的求导运算和求极限运算可以交换次序，这就摆脱了普通函数求导求极限运算的限制，分析更加灵活简便。
单位冲激函数
单位冲激函数单位冲激函数，也被称为狄拉克δ函数（Dirac delta function），是一种特殊的数学函数，其特性是在零点处取无穷大的值，而在其他点上则等于零。
单位冲激函数在信号处理、概率论、物理学等领域都有广泛的应用。
一、定义单位冲激函数可以定义为：δ(t) = 0, t ≠ 0δ(t) = ∞, t = 0其中，t是时间变量。
这个函数的图形是一个垂直线段，其长度等于1，起点在原点上。
这个函数在除了原点之外的所有点上的值都是零，而在原点上的值则无穷大。
二、性质1.积分的性质：对于任何函数f(t)，如果在其定义域内某点t=a上有一个单位冲激函数，那么该函数在a点的积分等于f(a)。
2.期望的性质：如果一个随机变量的概率分布函数在原点处有一个单位冲激函数，那么这个随机变量的期望值就等于0。
3.微分的性质：单位冲激函数的导数等于零。
三、应用1.信号处理：在信号处理中，单位冲激函数被用来表示一个瞬时的、幅值无穷大的信号，这个信号在时间上无限接近于零时刻。
这种信号通常被称为“脉冲信号”。
2.概率论：在概率论中，单位冲激函数被用来描述随机事件在某一时刻发生的概率。
例如，在泊松分布中，单位冲激函数被用来描述在每个固定时间间隔内事件发生的概率。
3.物理学：在物理学中，单位冲激函数被用来描述某个物理量在某个时刻突然发生变化的情况。
例如，在连续介质力学中，单位冲激函数被用来描述液体在某个时刻突然出现或突然消失的情况。
四、总结单位冲激函数是一种非常重要的数学函数，它具有非常独特的性质和应用。
它是一种描述瞬时事件或突然变化的工具，被广泛应用于信号处理、概率论、物理学等领域。
虽然它的定义和性质看起来非常奇特，但是它在很多实际应用中都有着非常重要的意义。
通过对单位冲激函数的深入研究和学习，我们可以更好地理解和掌握各种领域中的基础知识和技能，提高自身的学术水平和实践能力。
单位冲激函数(图)
单位冲激函数（图）上一回说到，单个矩形脉冲的时域波形如下图：图1 单个矩形脉冲信号根据傅里叶变换可求出其频谱函数（1）频谱函数的图像（频域分布曲线）如下图：图2 单个矩形脉冲的频谱函数一、特殊的单个矩形脉冲信号如果我们令单个矩形脉冲信号的脉幅在数值上取（2）则无论脉宽τ怎样变化，函数图象下面的面积恒等于1，即（3）如下图所示：图3 特殊的单个矩形脉冲这个特殊的单个矩形脉冲信号的数学表达式为（4）因而其傅立叶变换由式（1）得（5）这是一种最大幅值为1的抽样函数，其频域曲线如下图图4 特殊的单个矩形脉冲的频谱二、单位冲激函数的定义对图3和式（4）表示的特殊的单个矩形脉冲，如果我们令脉宽τ趋于0，取极限，则单个矩形脉冲变成在t＝0处持续时间无限小、幅度无限大、面积仍为1的特殊信号（或广义函数）。
科学界把这个广义函数叫做单位冲激函数或狄拉克（Dirac）函数。
记为（6）单位冲激函数的图象如下图所示图5 单位冲激函数的图象单位冲激函数是一种广义函数，它的幅值为无穷大，图象只能用带箭头的射线表示。
但通常不标出其幅值∞，而是只用括号标出其冲激强度（S），即面积。
由式（3）和（6）可知其面积（冲激强度）为1，所以称之为“单位”冲激函数。
此外，单位冲激函数的自变量不仅仅限于时间t，可以是任何物理量x。
实际上还常用延迟的单位冲激函数，数学表达式如下：（7）其图象为图6 延迟的单位冲激函数的图象三、单位冲激函数的性质根据单位冲激函数的定义，它具有下列最基本的性质：1、广义积分归一性：（8）2、筛分性质：单位冲激函数与任意函数乘积，等于只筛选出t=t0时刻f（t）的值作为冲激强度。
（9）3、抽样性质：（10）更一般地，有（11）即通过与δ函数（或延时的δ函数）乘积的积分，把任意的连续函数f（t）抽样为t＝t0处的一个函数值。
4、微积分性质：δ函数的累计积分等于单位阶跃函数ε（t）。
（12）反过来单位阶跃函数的微商等于单位冲激函数：（13）其中单位阶跃函数为（14）其图象为图7 单位阶跃函数的图象四、单位冲激函数的频谱由单位冲激函数的定义和抽样性质，其频谱密度函数（傅里叶变换）为：（15）频谱如下图：图8 单位冲激函数的频谱实际上，由式（5）和图5可以看出，当特殊的单个矩形脉冲信号的持续时间τ趋于无穷小时，频谱图5中的零点趋于无穷远处，即（16）则很容易看出图5的频谱曲线就转化成图8的水平线。
冲击函数
1、单位阶跃函数单位阶跃函数用符号表示，其定义式如下（1）此函数的图形如图l所示。
图1 单位阶跃函数的图单位阶跃函数的定义式表明：该函数在t<0 时，其值为0；t>0时，其值1;当t＝0时,发生跳变，其值未定(可取为)；当t由负值(或正值)趋近于0时，其值则是确定的，即其中t=0-是t由负值趋近于零的极限，t=0+则是t由正值趋近于零的极限。
函数称为移位的单位阶跃函数。
因为若令，则根据式(1)有图2 移位的单位阶跃函数的图形此函数的图形表示在图2a中（仅向右平移）。
由此可见，函数在时，其值为0；时，其值为时，发生跳变。
与此类似，移位的单位阶跃函数表示在图2(b)中，此函数在时发生跳变。
对任一函数f(t)与单位阶跃函数的乘积f(t)而言，当t<0时，其值为0；当t>0时，等于f(t)。
也就是f(t)只存在于t>0的区间。
类似地, f(t)只存在于t＞的区间。
图3 用单位阶跃函数表示电路的输入示例图3(a)表示的网络在t<0时，A、B两端问的电压为零；在t>0时，接入一个电压为的直流电压源。
此电路用单位阶跃函数等效地表示于图3(b)。
2、单位冲激函数1、单位冲激函数单位冲激函数用符号表示，其定义式如下（2）图5 单位冲激函数的图形这表明单位冲激函数只存在于t=0时，其图形与t轴之间所限定的面积等于1，如图5(a)所示(图中括号内的数值表示函数图形的面积)。
2、移位的单位冲激函数:令其图如5（b）3、冲激函数：——常数A与的乘积。
单位冲击函数与单位阶跃函数之间的关系：图6 冲激函数Aδ（t）的图形。
复变函数与积分变换 第三节单位冲激函数 (2)
t 0
t
t0 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数 能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度,
引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数:
d
t
0
t0 t0
5
第三节单位冲激函数
第
七 一. 单位冲激函数的概念
章
傅 定义 单位冲激函数 d (t ) 满足：
里
(1) 当 t 0 时，d (t) 0;
变 换
(2)
d(t
t0)dt
1.
称为延迟单位冲激函数 d(t t0)
10
第三节单位冲激函数
第
七 二. 单位冲激函数的性质
章
傅 性质 (1) 抽样性质
里
设函数 f (t) 是定义在 ( , ) 上的连续函数，
叶 变 换
则
d (t) f (t)d t f (0).
d (t t0 ) f (t )d t f (t0 ) .
第
七
章
解 (1) F1()
傅
[ f1(t)]
1 e j td t
里
2π d ( ) 2π d ( ) .
叶
变 换
(2)
将等式
e j td t
2π d ( )
的两边对
求导，有
( jt )e j td t
2πd (),
t e j td t
2π jd (),
即得 F2() [ f2(t)] 2π jd ().
13
第三节单位冲激函数
第 (4) 微分性质
七 章
若对任意紧支集函数f (t)，有
傅
f (t)d tdt f (t)d tdt
《单位冲激函数》课件
单位冲激函数具有可分离性，即它可以表示为其 他函数的乘积或组合。
单位冲激函数与其他函数的区别
与普通函数相比，单位冲激函数具有 无穷大的值和积分为1的特性，这使 得它在某些数学分析和物理问题中具 有特殊的应用价值。
与脉冲函数相比，单位冲激函数更为 理想化，其值在零点处为无穷大，而 在其他点处为零，这使得它在描述某 些理想化的情况时更为精确。
冲激响应与系统特性
在物理学中，单位冲激函数可以用于描述系 统的冲激响应，从而分析系统的特性。
波动方程的求解
在物理学中的波动方程求解中，单位冲激函数可以 用于表示波前的传播和扩散。
其他物理现象的模拟与解 释
单位冲激函数还可以用于模拟和解释其他物 理现象，如电磁波的传播、量子力学的波函 数等。
05
单位冲激函数的扩展与展望
单位冲激函数的扩展
01
定义域扩展
将单位冲激函数的定义域从实数 轴扩展到复数域，以便更好地处 理复数信号和系统。
离散化
02
03
多维扩展
将单位冲激函数离散化，以适应 数字信号处理和计算机模拟的需 求。
将单位冲激函数从一维扩展到多 维，以处理更复杂的多维信号和 系统。
单位冲激函数的研究展望
深入研究单位冲激函数的性质
起源
单位冲激函数的概念最初由英国物理学家和数学家狄拉克提出， 用于描述量子力学中的粒子状态。
发展
随着数学和物理学的发展，单位冲激函数在各个领域得到了广泛的 应用，如信号处理、控制系统、概率论等。
现代应用
在现代科学和技术中，单位冲激函数在处理瞬态信号、解决奇异积 分方程以及量子力学等领域仍然发挥着重要的作用。
单位冲激函数的重要性
详细版单位冲击函数_卷积.ppt
像平面分布
设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)
f(x)
x x1 0 x2
成像
f(0)h(x) f(x 1)h(x-x 1)
f(x 2)h(x-x 2) x
像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以
后的结果. 需用卷积运算来.新.描述
13
§0-3 卷积 convolution
一、概念的引入
5. 卷积的缩放性质 Scaling
若f(x)*h(x) = g(x), 则
f x h x b g x
b .新. b
b
23
§0-3 卷积 convolution
五、包含脉冲函数的卷积
根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:
f (x) d (x) f (x )d (x x )dx f (x)
§0-2 单位冲击函数 d -Function
一、定义
定义1. d (x) 0, x 0
d (x)dx 1
-
可描述: 单位质量质点的密度,
定义2. 基于函数系列的极限
若存在函数系列满:足:
lnim fn ( x) 0, x 0
- fn (x)dx 1
则 lim n
fn
( x)
d
( x)
即任意函数与d(x) 卷积后不变
利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置. f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x) 的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
a
a
b
= .新.
a
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单位冲激函数的妙用（图）
上一回说到，单位冲激函数是连续函数与离散函数之间相互转换的桥梁，因此在工程技术尤其是IT领域的信号分析中有十分重要的妙用。
比如有许多不满足绝对可积条件的信号，应用单位冲激函数就可以求出其傅立叶变换，“化验”出信号包含的频率成分。
我们已经知道单位冲激信号的频谱密度函数是常数1，则根据傅里叶变换的对称性，有常数（直流信号）f（t）＝1的傅里叶变换（频谱密度函数）为
（1）可见单位冲激函数δ（t）与常数1构成一个傅里叶变换对：
（2）推而广之，再根据傅里叶变换的频移性质，可知指数函数的频谱为频域的冲激函数
（3）再根据欧拉公式，可导出正弦函数的傅里叶变换（频谱）为离散频谱：
（4）
（5）
一般地，对于周期函数（傅立叶级数展开式的指数形式）
（6）利用冲激函数的特性也可求出其傅里叶变换为
（7）综上所述，周期函数的傅里叶变换（频谱密度函数），是位于周期函数各次谐波频率nω1处的频域冲激函数串，频率间隔是周期函数的基频ω1，冲激强度等于相应的傅立叶系数C n 的2π倍。
可见用频域的冲激函数串来表示时域周期信号的离散频谱是非常方便的。
通过引入冲激函数的概念，把傅里叶变换的适用范围拓展到周期函数，则周期函数的离散频谱都可以用冲激函数串方便地表示。
例：有脉幅为E、脉宽为τ、周期为T的周期矩形脉冲信号f T（t），如下图所示：
图1 周期矩形脉冲的时域波形
求其离散频谱。
我们知道通过傅立叶级数的方法，求出其傅立叶系数为
（8）其中ω1＝2π/T为基频。
由式（7）可得周期矩形脉冲的频谱密度函数为
（9）其离散频谱图如下图所示：
图2 周期矩形脉冲信号的频谱的冲激函数表示
单位冲激函数还有更大的妙用，且听下回分解。
（作者：周法哲2009-7-16于广东）。