单位冲激信号
单位阶跃响应和单位冲激响应关系
单位阶跃响应和单位冲激响应关系嗨，伙计们！今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——单位阶跃响应和单位冲激响应关系。
让我们来了解一下这两个概念。
啥是单位阶跃响应啊？其实就是当我们把一个信号从0突然变成1的时候，系统会产生一种反应。
这种反应就是单位阶跃响应。
想象一下，你正在玩电脑游戏，突然有人在门口大喊一声“开门”，你的电脑屏幕上的画面就会发生一个瞬间的变化，这就是单位阶跃响应的体现。
那么，什么是单位冲激响应呢？这个概念就有点儿深奥了。
简单来说，当我们把一个信号从0突然变成1或者从1突然变成0的时候，系统会产生一种反应。
这种反应就是单位冲激响应。
想象一下，你正在看电视，突然画面从黑屏变成了一个画面，然后又瞬间变回了黑屏，这就是单位冲激响应的体现。
那么，这两个响应之间有什么关系呢？其实，它们之间的关系就像是一对亲兄弟一样。
虽然它们都是信号的变化，但是它们的性质是不同的。
单位阶跃响应是一种线性的、短暂的响应，而单位冲激响应则是一种非线性的、持续的响应。
当然啦，这并不是说它们之间没有任何关系。
实际上，它们之间的关系非常密切，而且还相互影响着对方。
接下来，我们来聊聊它们之间的具体关系。
我们要知道一个重要的概念——卷积。
卷积就是把两个信号叠加在一起，然后通过一定的数学运算得到一个新的信号的过程。
在这个过程中，原来的信号会发生变化，产生一种新的响应。
而这种新的响应就是卷积的结果。
那么，卷积和单位阶跃响应有什么关系呢？其实就是这样子的：当我们把一个单位冲激信号和一个单位阶跃信号进行卷积的时候，就会得到一个单位脉冲响应。
这个响应就是一个短暂的脉冲信号，它的作用就是让系统对单位冲激信号做出快速的反应。
那么，卷积和单位冲激响应又有什么关系呢？其实就是这样子的：当我们把一个单位冲激信号和一个单位阶跃信号进行卷积的时候，就会得到一个单位脉冲响应。
这个响应就是一个短暂的脉冲信号，它的作用就是让系统对单位冲激信号做出快速的反应。
单位阶跃响应和单位冲激响应之间的关系是非常密切的。
信号与系统复习知识总结
重难点1.信号的概念与分类 按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号；正弦信号是最常用的周期信号,正弦信号组合后在任一对频率或周期的比值是有理分数时才是周期的;其周期为各个周期的最小公倍数;① 连续正弦信号一定是周期信号;② 两连续周期信号之和不一定是周期信号;周期信号是功率信号;除了具有无限能量及无限功率的信号外,时限的或,∞→t 0)(=t f 的非周期信号就是能量信号,当∞→t ,0)(≠t f 的非周期信号是功率信号;1. 典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =,a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =,s j σω=+ ④ 抽样信号： sin ()tSa t t= 奇异信号（1） 单位阶跃信号1()u t ={ 0t =是()u t 的跳变点;（2） 单位冲激信号单位冲激信号的性质：1取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞∞-∞-∞=-=⎰⎰()0t δ=当0t ≠时相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= 2是偶函数 ()()t t δδ=- 3比例性 ()1()at t aδδ=4微积分性质 d ()()d u t t tδ= ； ()d ()t u t δττ-∞=⎰5冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ； ()()d (0)f t t t f δ∞-∞''=-⎰ ()d ()tt t t δδ-∞'=⎰ ；带跳变点的分段信号的导数,必含有冲激函数,其跳变幅度就是冲激函数的强度;正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激;重难点2.信号的时域运算 ① 移位： 0()f t t +, 0t 为常数当0t >0时,0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上左移0t ；当0t <0时, 0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上右移0t ;② 反褶： ()f t - ()f t -的波形相当于将()f t 以t =0为轴反褶; ③ 尺度变换： ()f at ,a 为常数当a >1时,()f at 的波形时将()f t 的波形在时间轴上压缩为原来的1a； 当0<a <1时,()f at 的波形在时间轴上扩展为原来的1a; ④ 微分运算： ()df t dt信号经微分运算后会突出其变化部分; 2. 系统的分类根据其数学模型的差异,可将系统划分为不同的类型：连续时间系统与离散时间系统；线性系统与非线性系统；时变系统与时不变系统； 重难点3.系统的特性（1） 线性性若同时满足叠加性与均匀性,则称满足线性性;当激励为1122()()C f t C f t +1C 、2C 分别为常数时,系统的响应为1122()()C y t C y t +;线性系统具有分解特性：)()()(t y t y t y zs zi +=零输入响应是初始值的线性函数,零状态响应是输入信号的线性函数,但全响应既不是输入信号也不是初始值的线性函数;（2） 时不变性 :对于时不变系统,当激励为0()f t t -时,响应为0()f t t -; （3） 因果性线性非时变系统具有微分特性、积分特性; 重难点4.系统的全响应可按三种方式分解：各响应分量的关系：重难点5.系统的零输入响应就是解齐次方程,形式由特征根确定,待定系数由-0初始状态确定;零输入响应必然是自由响应的一部分;重难点6.任意信号可分解为无穷多个冲激函数的连续和：那么系统的的零状态响应为激励信号与单位冲激响应的卷积积分,即)()()(t h t f t y zs *=;零状态响应可分解为自由响应和强迫响应两部分;重难点7.单位冲激响应的求解;冲激响应)(t h 是冲激信号作用系统的零状态响应; 重难点8.卷积积分（1） 定义 ττττττd f t f d t f f t f t f )()()()()(*)(212121-=-=⎰⎰∞∞-∞∞-（2） 卷积代数① 交换律 )(*)()(*)((1221t f t f t f t f =② 分配率 )(*)()(*)()]()([*)(3121321t f t f t f t f t f t f t f +=+ ③ 结合律 )](*)([*)()(*)](*)([321321t f t f t f t f t f t f = 重难点9.卷积的图解法 求某一时刻卷积值 卷积过程可分解为四步：1换元： t 换为τ→得 f 1τ, f 2τ2反转平移：由f 2τ反转→ f 2–τ 右移t → f 2t-τ 3乘积： f 1τ f 2t-τ4积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分; 3性质1ft δt=δtft = ft )()(*)(00t t f t t t f -=-δ)()(*)(2121t t t f t t t t f --=--δ 210,,t t t 为常数2ft δ’t = f’t 3ftut ()()d ()d tf u t f τττττ∞-∞-∞=-=⎰⎰ut ut = tut4[]121221d ()d ()d ()*()*()()*d d d n n nn n nf t f t f t f t f t f t t t t ==5121212[()*()]d [()d ]*()()*[()d ]t t tf f f f t f t f τττττττ-∞-∞-∞==⎰⎰⎰6 f 1t –t 1 f 2t –t 2 = f 1t –t 1 –t 2 f 2t = f 1t f 2t –t 1 –t 2 = f t –t 1 –t 27 两个因果信号的卷积,其积分限是从0到t ; 8系统全响应的求解方法过程归纳如下：a.根据系统建立微分方程；b.由特征根求系统的零输入响应)(t y zi ；c.求冲激响应)(t h ；d.求系统的零状态响应)()()(t h t f t y zs *=；e.求系统的全响应)()()(t y t y t y zs zi +=;重难点10.周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t 1T 为其周期可展开为傅里叶级数; 1三角函数形式的傅里叶级数0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞==++∑ 式中112T πω=,n 为正整数;直流分量010011()t T t a f t dt T +=⎰ 余弦分量的幅度01112()cos()t T n t a f t n t dt T ω+=⎰ 正弦分量的幅度01112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+=⎰三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011()cos()n n n f t a A n t ωϕ∞==++∑2指数形式的傅里叶级数 1()jn tnn f t F eω∞=-∞=∑ 式中,n 为从-∞到+∞的整数;复数频谱011011()t T jn t n t F f t e dt T ω+-=⎰利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算;从而可知周期信号所包含的频率成分;有些周期信号的对称性是隐藏的,删除直流分量后就可以显示其对称性;①实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项,只可能包含直流项和余弦项; ②实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项,只可能包含正弦项;③实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项,而不包含偶次谐波项;重难点11.从对周期矩形脉冲信号的分析可知：1 信号的持续时间与频带宽度成反比;2 周期T 越大,谱线越密,离散频谱将变成连续频谱；3 周期信号频谱的三大特点：离散性、谐波性、收敛性;重难点12.傅里叶变换 傅里叶变换定义为正变换()[()]()j t F f f t f t e dt ωω∞--∞==⎰逆变换11()[()]()2j t f t f F F e d ωωωωπ∞--∞==⎰频谱密度函数()F ω一般是复函数,可以写作 ()()()j F F e ϕωωω=其中()F ω是()F ω的模,它代表信号中个频谱分量的相对大小,是ω的偶函数;()ϕω是()F ω的相位函数,它表示信号中各频率分量之间的相位关系,是ω的奇函数;常用函数 F 变换对：δtπδωut 1()j πδωω+e -t ut 1j ωα+ g τt2Sa ωττ⎛⎫⎪⎝⎭sgn t 2j ωe –|t |222ααω+ 重难点13.傅里叶变换的基本性质 1 线性特性1212()()()()af t bf t aF j bF j ωω+↔+2 对称特性 ()2()F jt f πω↔-3 展缩特性 1()()f at F j a aω←−→ 4 时移特性0-j t 0()()f t t F j e ωω-←→⋅5 频移特性 0j 0()[()]t f t e F j ωωω⋅←→- 6 时域卷积特性 1212()()()()f t f t F j F j ωω*←→⋅ 7 频域卷积特性 12121()()[()()]2f t f t F j F j ωωπ⋅←→*8 时域微分特性 ()()n n n d fj F j dtωω←→⋅9 积分特性1()()(0)()tf d F j F j ττωπδωω-∞←→+⎰10.频域微分特性 ()()n nnndF j t f t j d ωω←→⋅ 11奇偶虚实性若()()()F R jX ωωω=+,则①()f t 是实偶函数()()f R ωω=,即()f ω为ω的实偶函数; ②()f t 是实奇函数()()f jX ωω=,即()f ω为ω的虚奇函数; 重难点14.周期信号的傅里叶变换周期信号()f t 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的,这些冲激位于信号的谐频11(0,,2,)ωω±±处,每个冲激的强度等于()f t 的傅里叶级数的相应系数n F 的2π倍;即重难点15.冲激抽样信号的频谱冲激抽样信号()s f t 的频谱为1()()s sn sf F n T ωωω∞=-∞=-∑其中s T 为抽样周期,()f ω为被抽样信号()f t 的频谱;上式表明,信号在时域被冲激序列抽样后,它的频谱()s F ω是连续信号频谱()f ω以抽样频谱s ω为周期等幅地重复;重难点16．对于线性非时变系统,若输入为非周期信号,系统的零状态响可用傅里叶变换求得;其方法为：1 求激励ft 的傅里叶变换F j;2 求频域系统函数H j;3 求零状态响应y zs t 的傅里叶变换Y zs j,即Y zs j= H j F j;4 求零状态响应的时域解,即y zs t = F -1Y zs j重难点17．对于线性非时变稳定系统,若输入为正弦信号)cos()(0t A t f ω=,则稳态响应为其中,)()(00ϕωωj e j H j H =为频域系统函数;重难点18．对于线性非时变系统,若输入为非正弦的周期信号,则系统的稳态响应的频谱为其中,n F 是输入信号的频谱,即)(t f 的指数傅里叶级数的复系统;)(Ωjn H 是系统函数,为基波;n Y 是输出信号的频谱;时间响应为重难点19．在时域中,无失真传输的条件是 )()(0t t f K t y -=在频域中,无失真传输系统的特性为 0)(t j e K j H ωω-=20．理想滤波器是指可使通带之内的输入信号的所有频率分量以相同的增益和延时完全通过,且完全阻止通带之外的输入信号的所有频率分量的滤波器;理想滤波器是非因果性的,物理上不可实现的;重难点21．理想低通滤波器的阶跃响应的上升时间与系统的截止频率带宽成反比;重难点22．时域取样定理注意：为恢复原信号,必须满足两个条件：1f t 必须是带限信号；2取样频率不能太低,必须f s ≥2f m,或者说,取样间隔不能太大,必须T s ≤1/2f m ；否则将发生混叠; 通常把最低允许的取样频率f s=2f m 称为奈奎斯特Nyquist 频率； 把最大允许的取样间隔T s=1/2f m 称为奈奎斯特间隔;重难点23．单边拉氏变换的定义为积分下限定义为-=0t ;因此,单位冲激函数1)(⇔t δ,求解微分方程时,初始条件取为-=0t ;重难点24．拉普拉斯变换收敛域：使得拉氏变换存在的S 平面上σ的取值范围称为拉氏变换的收敛域;)(t f 是有限长时,收敛域整个S 平面；)(t f 是右边信号时,收敛域0σσ>的右边区域；)(t f 是左边信号时,收敛域0σσ<的左边区域；)(t f 是双边信号时,收敛域是S 平面上一条带状区域;要说明的是,我们讨论单边拉氏变换,只要σ取得足够大总是满足绝对可积条件,因此一般不写收敛域;单边拉氏变换,只要σ取得足够大总是满足绝对可积条件,因此一般不写收敛域;重难点25．拉普拉斯正变换求解：常用信号的单边拉氏变换 重难点26.拉普拉斯变换的性质6时域卷积定理 f 1t f 2t ←→ F 1s F 2s7周期信号,只要求出第一周期的拉氏变换1()F s ,1()()1sTF s F s e-=- 频域微分性： d ()()()d F s t f t s-←→频域积分性： ()()s f t F d tηη∞←→⎰初值定理：0(0)lim ()lim ()t s f f t sF s →+→∞+==终值定理若ft 当t →∞时存在,并且 ft ← → F s , Res>0, 0<0,则 0()lim ()s f sF s →∞=拉氏变换的性质及应用;一般规律：有t 相乘时,用频域微分性质; 有实指数t e α相乘时,用频移性质; 分段直线组成的波形,用时域微分性质;周期信号,只要求出第一周期的拉氏变换1()F s ,1()()1sTF s F s e-=- 由于拉氏变换均指单边拉氏变换,对于非因果信号,在求其拉氏变换时应当作因果信号处理;重难点27．拉普拉斯反变换求解：掌握部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换的方法1单实根时 )(t Ke a s Kt a ε-⇔+2二重根时2()()t KKte t s αεα-↔+ 重难点28．微分方程的拉普拉斯变换分析：当线性时不变系统用线性常系数微分方程描述时,可对方程取拉氏变换,并代入初始条件,从而将时域方程转化为S 域代数方程,求出响应的象函数,再对其求反变换得到系统的响应;重难点29．动态电路的S 域模型：由时域电路模型能正确画出S 域电路模型,是用拉普拉斯变换分析电路的基础; 引入复频域阻抗后,电路定律的复频域形式与其相量形式相似;重难点30．系统的零状态响应为 )()()(s F s H s Y zs =其中,)()(s H t h ⇔,)(s H 是冲激响应的象函数,称为系统函数;系统函数定义为)()()(s F s Y s H zs =重难点31．系统函数的定义重难点32．系统函数的零、极点分布图重难点33．系统函数H ·与时域响应h · ：LTI 连续因果系统的h t 的函数形式由H s 的极点确定;① Hs 在左半平面的极点无论一阶极点或重极点,它们对应的时域函数都是按指数规律衰减的;结论：极点全部在左半开平面的系统因果是稳定的系统;② Hs 在虚轴上的一阶极点对应的时域函数是幅度不随时间变化的阶跃函数或正弦函数;Hs 在虚轴上的二阶极点或二阶以上极点对应的时域函数随时间的增长而增大;③ H s 在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点,其所对应的响应函数都是递增的;重难点34．系统的稳定性：稳定系统 Hs 的极点都在左半开平面,)θ+边界稳定系统 Hs 的极点都在虚轴上,且为一阶, 不稳定系统 Hs 的极点都在右半开平面或虚轴上二阶以上;H s=11101110()()m m m m n n n n b s b s b s b N s D s a s a s a s a ----++++=++++ 判断准则：1多项式的全部系数i a 符号相同为正数；2无缺项；3对三阶系统,323210()D s a s a s a s a =+++的各项系数全为正,且满足1203a a a a > 重难点35、常用的典型信号 1．单位抽样序列)(n δ)(n δ的延迟形式： 1,()0,n m n m n mδ=⎧-=⎨≠⎩推出一般式： ∑∞-∞=-=k k n k x n x )()()(δ2．单位阶跃序列()n ε✧ 与)(n δ的关系： ()()(1)n n n δεε=-- ✧ 延迟的表达式()n m ε-; 3． 矩形序列)(n R N -----有限长序列 4． 实指数序列----实指数序列)(n u a n 重难点36、离散系统的时域模拟它的基本单元是延时器,乘法器,相加器; 重难点37、系统的零输入响应若其特征根均为单根,则其零输入响应为：1()nkx xi i i y k c λ==∑C 由初始状态定相当于0-的条件 重难点38、卷积和的定义12()()()k f n f k f n k ∞=-∞=-∑=f 1n f 2n卷积和的性质1 交换律：()()()()1221f n f n f n f n *=*2 分配律：()()()()()()123123f n f n f n f n f n f n **=**⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦3 结合律.：()()()()()()()1231213f n f n f n f n f n f n f n *+=*+*⎡⎤⎣⎦f n δn = f n , f n δn – n 0 = f n – n 0 f n εn =()nk f k =-∞∑f 1n – n 1 f 2n – n 2 = f 1n – n 1 – n 2 f 2n卷和的计算：不进位乘法求卷积、利用列表法计算、卷积的图解法 重难点39、离散系统的零状态响应离散系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应的卷积和;即 重难点40．z 变换定义()()n n F z f n z ∞-=-∞=∑称为序列f k 的双边z 变换()()n n F z f n z ∞-==∑ 称为序列f k 的单边z 变换重难点41．收敛域因果序列的收敛域是半径为|a|的圆外部分; 重难点42．熟悉基本序列的Z 变换;k ←→ 1 , z>0 k ←→1zz -, z>1 重难点43．z 变换的性质 1移位特性双边z 变换的移位：()n z F z -↔f(k -n)单边z 变换的移位： f k-2 ←→ z -2F z + f -2 + f -1z -1 2序列乘a k z 域尺度变换 a k f k ←→ F z/a3卷积定理 f 1k f 2k ←→ F 1z F 2z 重难点44．掌握部分分式法求逆Z 变换; 重难点45．掌握离散系统Z 域的分析方法; 1差分方程的变换解 2系统的z 域框图 3稳定性Hz 按其极点在z 平面上的位置可分为：在单位圆内、在单位圆上和在单位圆外三类;① 极点全部在单位圆内的系统因果是稳定系统;② Hz 在单位圆上是一阶极点,单位圆外无极点,系统是临界稳定系统;③ Hz 在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点,系统是不稳定系统;。
单位冲激响应公式
单位冲激响应公式单位冲激响应公式在信号与系统这门学科中可是个相当重要的概念呢！咱先来说说啥是单位冲激响应。
打个比方，就像你在平静的湖面上扔了一颗小石子，激起的那一圈圈水波就是一种响应。
而单位冲激响应呢，就像是你扔的是一个超级微小但力量巨大的“魔法石子”，它在瞬间产生的水波效果。
单位冲激响应公式呢，通常用 h(t) 来表示。
这公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开很多信号处理中的谜团。
比如说，通过它我们可以知道一个系统对瞬间输入的反应有多快、多强烈。
给您讲讲我曾经遇到的一件事儿。
那时候我在给学生们讲解这个概念，有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这单位冲激响应到底有啥用啊，感觉好抽象！”我想了想，拿起教室的音响做例子。
我说：“同学们，假设这个音响就是一个系统，我们给它输入一个瞬间的强电流，就像单位冲激。
而音响发出的声音变化，就是它的响应。
通过单位冲激响应公式，我们就能算出这个音响的性能咋样，是能快速清晰地发声，还是会有延迟或者杂音。
”咱们再深入点说，单位冲激响应公式在通信领域也大有用处。
想象一下，手机信号在基站和手机之间传输，如果我们能准确掌握传输系统的单位冲激响应，就能优化信号传输，让咱们打电话、上网的时候更流畅，不会出现卡顿或者掉线的情况。
在控制系统中，单位冲激响应公式也能帮助工程师们设计出更高效、更稳定的系统。
比如说自动驾驶的汽车，要对各种突发情况做出迅速准确的反应，这就需要依靠对车辆控制系统的单位冲激响应的深入理解和优化。
总结一下哈，单位冲激响应公式虽然看起来有点复杂，但是它在各个领域的作用可不容小觑。
只要我们用心去理解它，就能发现它就像一个隐藏的宝藏，能为我们解决很多实际问题。
所以啊，同学们，可别小瞧了这个公式，好好掌握它，未来在相关领域就能大展拳脚啦！。
matlab单位冲激信号 信号与系统
【文章标题】探讨MATLAB单位冲激信号在信号与系统中的重要性一、引言在信号与系统的学习中，MATLAB单位冲激信号是一个非常重要的概念。
本文将探讨MATLAB单位冲激信号的定义、性质和在信号与系统中的应用，帮助读者更好地理解这一概念。
二、MATLAB单位冲激信号的定义MATLAB单位冲激信号通常用dirac函数来表示，其数学表达式为δ(t)。
它在t=0时为无穷大，其他时刻均为0。
这意味着在时刻t=0时，信号强度突然增加到无穷大，然后立即恢复为0。
这种极窄的脉冲信号在信号与系统中有着重要的作用。
三、MATLAB单位冲激信号的性质1. 面积为1：MATLAB单位冲激信号在任意时刻的面积都为1，这是其非常重要的性质之一。
2. 位移不变性：MATLAB单位冲激信号具有位移不变性，即δ(t-T)表示在时刻T产生一个单位冲激信号。
3. 线性性：与其他信号一样，MATLAB单位冲激信号也具有线性性，满足叠加原理。
四、MATLAB单位冲激信号在系统中的应用1. 系统冲激响应的计算：在信号与系统中，单位冲激信号常用于计算系统的冲激响应。
通过输入单位冲激信号，可以得到系统的冲激响应，从而了解系统的特性和行为。
2. 系统的频率响应：MATLAB单位冲激信号还可以用于计算系统的频率响应，通过傅里叶变换可以得到系统的频率特性，包括幅频特性和相频特性。
3. 系统的稳定性分析：通过单位冲激响应可以分析系统的稳定性，包括判断系统的稳定性和研究系统的阶数。
五、个人观点和理解在我看来，MATLAB单位冲激信号是信号与系统领域中至关重要的概念，它不仅在理论分析上有着重要作用，还在实际工程中有着广泛的应用。
掌握好单位冲激信号的性质和应用，对于深入理解信号与系统的原理和方法非常重要。
六、总结通过本文的探讨，我们对MATLAB单位冲激信号在信号与系统中的重要性有了更深入的了解。
我们了解了单位冲激信号的定义、性质和在系统中的应用，以及个人观点和理解。
理工类专业课复习资料-信号与系统-复习知识总结
重难点1.信号的概念与分类按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号；连续信号和离散信号；周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号；因果信号与反因果信号；正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。
其周期为各个周期的最小公倍数。
①连续正弦信号一定是周期信号。
②两连续周期信号之和不一定是周期信号。
周期信号是功率信号。
除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或或 T3,仏）=°的非周期信号就是能量信号，当t *，丰0的非周期信号是功率信号。
1.典型信号①指数信号： f (t) = Ke at，a e R②正弦信号：f (t) = K sin(破 + O')③复指数信号：f (t) = Ke st，s = a + j①④抽样信号：Sa(t)=乎奇异信号（1）单位阶跃信号/八(0 (t v0)u(t) = {1 t = 0 是u(t)的跳变点。
（2）单位冲激信号1「5(t)dt=1I 5(t)= 0 （当t丰0时）单位冲激信号的性质：(1)取样性j f(t)5(t)dt = f(0) j 5(tf f(t)dt = f仏)J—8 J—8相乘性质：f(岡)=f(0R(t)f(t')3(t-10)= f (t0)S(t- t)(2)是偶函数d(t )= 5 -1(3)比例性5(at) =15(t)l a l（4）微积分性质5（t）=迎）；d tf 5(丁) d 丁 = u (t)J—8(5)冲激偶 f (t )5(t) = f (0)5(t) - f r(0)5(t)d —8d —85'(—t ) = —5'()f 5'(t )d t = 0J —8带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应 着正冲激；负跳变对应着负冲激。
重难点2.信号的时域运算 ① 移位：f (t +10)， t 0为常数当t 0>0时，f (t +10)相当于f (t)波形在t 轴上左移t 0 ；当t 0 <0时，f (t +10)相当于f (t ) 波形在t 轴上右移t 0。
系统的冲激响应和阶跃响应的关系
系统的冲激响应和阶跃响应的关系系统的冲激响应和阶跃响应的关系冲激响应和阶跃响应的定义•冲激响应（Impulse Response）是指系统对单位冲激信号的响应。
单位冲激信号是一个幅度为1、宽度为0的信号，其面积为1。
•阶跃响应（Step Response）是指系统对单位阶跃信号的响应。
单位阶跃信号是一个幅度从0突变到1的信号，其面积为1。
冲激响应和阶跃响应的关系•冲激响应和阶跃响应是系统响应的两种特殊形式。
•冲激响应是系统对单位冲激信号的响应，而阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应。
•冲激响应和阶跃响应之间存在一定的数学关系。
•对于线性时不变系统，可以通过积分的方式来获得阶跃响应。
冲激响应和阶跃响应的解释•冲激响应可以看作是系统对瞬时激励的响应。
通过对冲激响应进行积分，可以得到系统对任意激励的响应。
•阶跃响应可以看作是系统对持续激励的响应。
通过对阶跃响应进行微分，可以得到系统对瞬时激励的响应。
总结•冲激响应和阶跃响应是系统响应的两种特殊形式。
•冲激响应是系统对单位冲激信号的响应，阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应。
•冲激响应和阶跃响应之间存在数学关系，可以通过积分和微分来相互转换。
•通过研究冲激响应和阶跃响应，可以了解系统对不同类型激励的响应特性。
•系统的冲激响应和阶跃响应是系统描述和分析的重要内容。
•冲激响应可以提供系统的频率特性信息，通过对冲激响应进行傅里叶变换，可以得到系统的频率响应函数，从而了解系统的频率选择性。
•阶跃响应可以提供系统的时域特性信息，通过观察阶跃响应的形态，可以得到系统的时间稳定性和响应速度等信息。
•通过对比冲激响应和阶跃响应，可以判断系统的稳定性和动态特性。
•冲激响应和阶跃响应对系统设计和故障诊断也具有重要意义。
•在实际应用中，通过对系统的冲激响应和阶跃响应进行测量和分析，可以优化系统的性能，改善系统的稳定性和响应速度。
补充说明•系统的冲激响应和阶跃响应在信号处理、控制系统、电子电路等领域都是重要的概念和工具。
单位冲激函数和冲击函数的区别
单位冲激函数和冲击函数是信号与系统理论中常见的两种函数形式，它们在控制理论、信号处理、电路分析等领域中有着重要的应用。
虽然它们在名称上非常相似，但它们的数学定义和物理意义却有着明显的区别。
本文将从数学定义、性质和应用等方面对单位冲激函数和冲击函数进行比较，帮助读者清晰地理解它们之间的区别。
一、单位冲激函数的定义和性质1.1 单位冲激函数的数学定义单位冲激函数通常用δ(t)来表示，其数学定义为：δ(t) = \begin{cases} 0, t\neq 0 \\ +\infty, t=0 \end{cases}单位冲激函数在t=0时取无穷大，在其他时刻取零。
在实际应用中，单位冲激函数常常被理解为一个瞬时强度无限大、持续时间极短的冲激信号。
1.2 单位冲激函数的性质（1）面积为1：单位冲激函数的面积为1，即∫δ(t)dt=1。
（2）零相位：单位冲激函数的频谱幅度恒为1，相位为0。
（3）与任意函数的卷积：单位冲激函数与任意函数f(t)的卷积满足δ(t)*f(t)=f(t)。
二、冲击函数的定义和性质2.1 冲击函数的数学定义冲击函数通常用u(t)来表示，其数学定义为：u(t) = \begin{cases} 0, t<0 \\ 1, t\geq 0 \end{cases}冲击函数在t=0时从0跃迁到1，表征了一个瞬时的冲击信号。
冲击函数也常被称为跃变函数。
2.2 冲击函数的性质（1）面积为½：冲击函数的面积为½，即∫u(t)dt=½。
（2）无相位：冲击函数的频谱幅度恒为1，相位不确定。
（3）与任意函数的卷积：冲击函数与任意函数f(t)的卷积满足u(t)*f(t)=∫f(τ)dτ。
三、单位冲激函数和冲击函数的区别3.1 数学定义的区别单位冲激函数在t=0时取无穷大，其他时刻取零；冲击函数在t=0时从0跃迁到1，其他时刻取1。
3.2 物理意义的区别单位冲激函数常被理解为一个瞬时强度无限大、持续时间极短的冲激信号，用于描述系统的冲击响应；冲击函数常被用于表示系统的跃变响应，表征系统由静止到激活的瞬时过程。
常用信号的频谱
1
END
(t)e jtdt
1
δ(t)及其频谱如下图所示。由图可知，单位冲激信号
在时域中的持续时间为无限小，而其频带度为无限宽。
这与信号持续时间与信号频宽之间成反比关系的一般结
论相符。
δ(t)
F [δ(t)]
(1)
1
0
t
0
ωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、 直流信号E f (t) E t
直流信号不满足绝对可积条件，不能直接用定义 式求F(ω)，在此用反变换的定义式来求。
傅立叶变换
几种常用信号的频谱
1、 单位冲激信号δ(t)
2、 直流信号E
3、 单边指数信号
4、 矩形脉冲
傅立叶正变换 傅立叶反变换
F () f (t)e jtdt
f (t) 1 F()e jtd 2
1、 单位冲激信号δ(t)
利用δ(t)的筛选特性可得δ(t)的付氏变换为
F
[
(t )]
2
E
j
e jt
2
2
j
j
E
e
2
e 2j
2
2
sin
E
2
2
ESa
2
因为矩形脉冲是偶函数，它的频谱是 实函数,可以将幅度频谱和相位频谱画在一 幅图中，如下图所示。
F() E
4
2
0 2
4
幅度频谱： F ( ) E Sa
2
F( ) E
4 2 0 2 4
频宽： B
2
或Bf
f (t) 1 F()e jtd 2 设： F() 2E () 代入上式
f (t) 1 2E ()e jtd E 2
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2.3.1单位冲激信号
1.工程意义：
持续时间无穷小，瞬间幅度无穷大，涵盖面积恒为１的一种理想信号， 记为
(t)
3
2.定义： 狄拉克定义
(t) 0
(t)dt 1
t 0
(t)
0
t
4
另一种定义：
( t ) =
0
(t)dt 1
(t=0) (t0)
(t)
0
t
5
冲激函数可以看成是由其它函数演变成 矩形脉冲演变成冲激函数
14
*冲激函数的标度变换
at 1 t
a
p(at)
0 p(t) (t)
p(at) 1 (t)
a
15
*矩形脉冲的微分与积分：
16
6. 任意信号f( t )的冲激分解
p (t)
1
t
p .0 (t) p .n (t)
22
f (0) p .0 (t) 1 p (t)
p .n (t)
f (n )
1
p (t n )
则台阶信号：
f1(t) f (n )pτ (t n ) 0 n
f ( ) (t )d
dx
n x
P ( t ) ( t )
f (t) f (x) (t x)dx
f1(t) f (t)
5-417
作业
P.38 2-3 ( f ) 2-5 2-6 2-7 a c e
18
f (t0 )
f (0)
0
t
13
*冲激偶性质：
①
(t)dt 0
t
(t )dt
t
②
f (t) '(t)dt f '(0)
③
(t) (t)
(t)是奇函数
(t0 t) (t t0 )
④
f t (t) f 0 (t) f (0) t
f (t) (t) f 0 t
Rt , t , (t) 的关系
R(t )
u((t t) )
1 1
t
t
01
0
11
5. ( t )的性质：
• １．( t )是偶函数： ( t ) = ( t )
• ２．( t )的取样性（筛选性）：
•
f( t )( t ) = f( 0 )( t )
f( t )( t t0 ) = f( t0 )( t t0)
第2章 连续时间信号
2.3单位冲激信号
1
2.3 单位冲激函数
• 1.冲激信号的工程意义 • 2.定义
– 定义、数学上理解、冲激函数的强度和延迟
• 3.冲激函数的导数冲激偶
– 定义，波形，演变
• 4.冲激函数和阶跃函数的关系 • 5.冲激函数的性质
– 偶函数、取样性（筛选性）
• 6.任意函数分解为冲激函数。
矩形面积不变，宽趋于0时的极限
(t)
lim
0
1
(t
2
)
(t
2
)
0
t
6
其他函数演变的冲激脉冲
• 三角脉冲的极限
• 双边指数脉冲的极限
(t)
lim
1
(1
t
)
(t
) (t
)
(t) lim 0
e 1
t
2
7
冲激函数的强度：
强度为Ａ的冲激函数：A( t) 延迟的冲激： A( t t0 )
5-28
3.冲激偶信号——
' (t )
d dt
(t
)
取极限
(t)
0
求
取极限
导
' (t)
0
9
4. ( t )与( t )的关系：
因为
(t)dt
0 (t)dt 1
0
故 从而
t
( )d
1 (t>0) 0 (t<0)
t
(t) ( )d
(t) d (t)
dt
5-310
故
f (t) (t)dt f (0)
f (t) (t t0 )dt f (t0 )
5-212
筛选特性
(t t0 ) f (t)dt f (t0 ) (t t0 )dt f (t0 )
Hale Waihona Puke (t) f (t)dt (t) f (0)dt
f (0) (t)dt f (0)