阶跃信号傅里叶变换

阶跃函数的傅里叶变换

2 T21 4 an T1 f (t ) cos(n1t )dt f (t ) cos(n1t )dt T1 0 T1 2
T1 2
2 T21 bn T1 f (t )sin(n1t )dt 0 T1 2
三角级数只含有直流和余弦项，不含有正弦项。
an jbn an Fn 2 2
n1 E Fn Sa( ) T1 2

E n1 E Sa Fn Sa T1 T1 2 n1 2
0 n 或 n , Sa 1 2 n , Sa 1 2 0 0
1 Fn F n cn 2 cn Fn F n
3. 指数形式的信号频谱
Fn Fn e
Fn ~ n1
幅度频谱
jn

Fn 是 n 的偶函数
n
是 n 的奇函数
n ~ n1 相位频谱
E 例：周期矩形脉冲 f (t ) T1
实数

双边频谱
n1 jn1t Sa( 2 )e n
c0 a0 ,
cn a b ,
2 n 2 n
n tan1 (
bn ) an
an , bn , cn ,n 都是 n1 的函数。
cn ～ n1 关系曲线，称为信号的幅度频谱。
n
～
n1 关系曲线，称为信号的相位频谱。
周期矩形脉冲 f (t ) E 2 E T1 T1
1 t0 T1 {a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]}2 dt T1 t0 n1
1 2 2 a0 (an bn2 ) 2 n1

傅里叶变换的性质

பைடு நூலகம்
由于满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10）频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱若傅里叶变换式对求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上，通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中、为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明证明由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在处为
，在处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲信号的傅里叶变换。
解三角脉冲信号可表示为
对求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得

阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法

阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法何勇福皮小林潘芳芳南昌大学共青学院[摘要]因为阶跃信号不满足傅里叶变换所需的条件---信号绝对可积，故不能直接利用傅里叶变换的定义式来求阶跃信号的频谱密度函数，本文从多个方面给出求解其傅氏变换的方法。

[关键词]阶跃信号；频谱函数；傅里叶变换；拉普拉斯变换我们在用傅里叶变换公式计算一个信号的频谱密度函数时，要求该信号的积分必须存在，这就意味着信号要满足绝对可积这个条件。

对于单位阶跃信号来说很显然不满足绝对可积，所以我们只能采用别的方法求其频谱函数，通常，用取极限的方法是比较多的，下面就结合信号与系统相关知识进一步研究其频谱函数的多种求解。

一、按定义求解F [e (t )] = ò e - jwt dt = ò cos( wt )dt - j ò sin( wt )dt0 0 0¥¥¥= =1 1 sin( wt ) ¥ cos( wt ) ¥ 0 0 w jwlim ê ët ®¥é cos( wt ) ù 1 é sin( wt ) ù é sin( wt ) ù - sin ê - lim ê ú+ ú w ú w û t ®0 ë û t ®¥ ë jw û jw上式中第一项即 pd ( w) ，中间两项都等于零，最后一项是1 jw1 ，所以可 jw得阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) + 二、利用求极限的方法这是一种在很多教材上都采用了的一种方法。

将 e (t ) 看作单边指数信号衰减信号 e - at e (t ) 当 a ® 0 时的极限，对于单边指数衰减信号的傅里叶变换容易求出：F [e -at e (t )] = 1 a w = 2 -j 2 2 a + jw a + w a + w2 1 ，但实部满足以下关系： jw当我们取 a ® 0 时容易求出虚部的极限为由此可以看出，这正是冲激信号 d（t），然后求得定积分的值 p 即为此冲激信号的强度，所以可以得到阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) +1 jw三、利用符号函数求解ì+ 1, f (t ) = sgn( t) = í î- 1,t > 0 t < 0处理方法如下，作一个双边函数f1 ( t ) = sgn ( t ) e-a t，求 F1 (w )，求极限得到 F (w ) .(a ® 0)F1 (w ) = ò - ea t e- jw t dt + ò e -a t e- jw t dt =0 -¥ 0¥-1 1 - j 2w + = 2 a - jw a + jw a + w 2F (w ) = lim F1 (w ) = lima ®0 a ®0- j 2w 2 = 2 2 jw a +w又e (t ) =1 1 + sgn (t ) 2 21 jw故 e (t ) « pd (w ) +四、由冲激信号与阶跃信号的关系及傅里叶变换积分定理也可求得e (t ) = ò d (t )dt-¥tF ( w) = F [d (t )] = 1F [e (t )] =F ( w) 1 + pF (0)d ( w) = + pd ( w) jw jw这一方法结合傅里叶变换的性质，计算出了阶跃信号的频谱函数，而且也很简便。

阶跃信号的傅里叶变换

阶跃信号的傅里叶变换
阶跃信号是一种在某一时刻突然发生变化的信号，它的数学表达式为：
u(t) = {0, t < 0; 1, t >= 0}
其中，t表示时间，u(t)表示阶跃信号的值。

在t=0时，阶跃信号从0突然跳变到1，表示一个突然的事件发生了。

阶跃信号的傅里叶变换是指将阶跃信号在频域中的表达式，它可以用来分析阶跃信号的频谱特性。

傅里叶变换的公式为：
F(w) = ∫u(t)e^(-jwt)dt
其中，F(w)表示阶跃信号在频域中的表达式，w表示频率，j表示虚数单位，u(t)表示阶跃信号的值。

根据傅里叶变换的定义，我们可以得到阶跃信号的傅里叶变换表达式为：
F(w) = ∫u(t)e^(-jwt)dt = ∫0^∞e^(-jwt)dt = 1/jw
这个公式告诉我们，阶跃信号在频域中的表达式是一个复数，它的实部为0，虚部为1/w。

这意味着阶跃信号在频域中的幅度是与频率成反比的，频率越高，幅度越小。

阶跃信号的傅里叶变换还可以用来分析阶跃信号的相位特性。

根据傅里叶变换的定义，我们可以得到阶跃信号的相位为：
φ(w) = arg(F(w)) = -π/2
这个公式告诉我们，阶跃信号在频域中的相位是一个常数，它的值为-π/2。

这意味着阶跃信号在频域中的相位与频率无关，始终保持不变。

阶跃信号的傅里叶变换是一个重要的数学工具，它可以用来分析阶跃信号的频谱特性和相位特性。

在实际应用中，我们可以利用阶跃信号的傅里叶变换来设计滤波器、调制器等电路，以满足不同的信号处理需求。

阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法

阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法何勇福皮小林潘芳芳南昌大学共青学院[摘要]因为阶跃信号不满足傅里叶变换所需的条件---信号绝对可积，故不能直接利用傅里叶变换的定义式来求阶跃信号的频谱密度函数，本文从多个方面给出求解其傅氏变换的方法。

[关键词]阶跃信号；频谱函数；傅里叶变换；拉普拉斯变换我们在用傅里叶变换公式计算一个信号的频谱密度函数时，要求该信号的积分必须存在，这就意味着信号要满足绝对可积这个条件。

对于单位阶跃信号来说很显然不满足绝对可积，所以我们只能采用别的方法求其频谱函数，通常，用取极限的方法是比较多的，下面就结合信号与系统相关知识进一步研究其频谱函数的多种求解。

一、按定义求解F [e (t )] = ò e - jwt dt = ò cos( wt )dt - j ò sin( wt )dt0 0 0¥¥¥= =1 1 sin( wt ) ¥ cos( wt ) ¥ 0 0 w jwlim ê ët ®¥é cos( wt ) ù 1 é sin( wt ) ù é sin( wt ) ù - sin ê - lim ê ú+ ú w ú w û t ®0 ë û t ®¥ ë jw û jw上式中第一项即 pd ( w) ，中间两项都等于零，最后一项是1 jw1 ，所以可 jw得阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) + 二、利用求极限的方法这是一种在很多教材上都采用了的一种方法。

将 e (t ) 看作单边指数信号衰减信号 e - at e (t ) 当 a ® 0 时的极限，对于单边指数衰减信号的傅里叶变换容易求出：F [e -at e (t )] = 1 a w = 2 -j 2 2 a + jw a + w a + w2 1 ，但实部满足以下关系： jw当我们取 a ® 0 时容易求出虚部的极限为由此可以看出，这正是冲激信号 d（t），然后求得定积分的值 p 即为此冲激信号的强度，所以可以得到阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) +1 jw三、利用符号函数求解ì+ 1, f (t ) = sgn( t) = í î- 1,t > 0 t < 0处理方法如下，作一个双边函数f1 ( t ) = sgn ( t ) e-a t，求 F1 (w )，求极限得到 F (w ) .(a ® 0)F1 (w ) = ò - ea t e- jw t dt + ò e -a t e- jw t dt =0 -¥ 0¥-1 1 - j 2w + = 2 a - jw a + jw a + w 2F (w ) = lim F1 (w ) = lima ®0 a ®0- j 2w 2 = 2 2 jw a +w又e (t ) =1 1 + sgn (t ) 2 21 jw故 e (t ) « pd (w ) +四、由冲激信号与阶跃信号的关系及傅里叶变换积分定理也可求得e (t ) = ò d (t )dt-¥tF ( w) = F [d (t )] = 1F [e (t )] =F ( w) 1 + pF (0)d ( w) = + pd ( w) jw jw这一方法结合傅里叶变换的性质，计算出了阶跃信号的频谱函数，而且也很简便。

傅里叶变换详细讲述

第三章傅里叶变换3-1 概述对于一件复杂的事情，人们总是从简单的一步开始做起，富丽堂皇的高楼大厦，是人们一块砖一块砖垒起来的。

为了简化问题的求解，人们往往也使用“变换分析”这种技巧，所起“变换”大家可能会感到陌生，其实我们在中学时已经运用了“变换分析”技巧，大家一定还记得对数运算，它实际上也是一种数学变换，我们知道两个数的乘积的对数等于两个数的对数和，两个数的商的对数等于这两个数的对数差，利用对数这个运算规则我们可以将数的乘积运算转换（准确地说变换）为数的加法运算，可以将数的除法运算转换（变换）为数的减法运算，可见“变换分析”给我们解决问题带来了方便，傅里叶变换就是给我们分析问题和解决问题极为方便的数学工具。

线性非时变系统的卷积分析实际上是基于将输入信号分解为一组加权延时的单位冲激（或样值）激励的线性组合。

本章将讨论信号和系统的另一种表示，其基本观点还是将信号分解为一组简单函数的线性组合，但是这里用的简单函数不是单位冲激（或样值）而是三角函数（或复指数函数）。

用“三角函数和”表示信号的想法至少可以追溯到古代巴比伦时代，当时他们利用这一想法来预测天体运动。

这一问题的近代研究始于1748年，欧拉在振动弦的研究中发现：如果在某一时刻振动弦的形状是标准振动（谐波）模的线性组合，那么在其后任何时刻，振动弦的形状也是这些振动模的线性组合。

另外，欧拉还证明了在该线性组合中，其后的加权系数可以直接从前面时间的加权系数中导出。

欧拉的研究成果表明了：如果一个线性非时变系统输入可以表示为周期复指数或正弦信号的线性组合，则输出也一定能表示成这种形式。

现在大家已经认识到，很多有用的信号都能用复指数函数的线性组合来表示，但是在18世纪中期，这一观点还进行着激烈的争论。

1753年D.伯努利（D.Bernoulli）曾声称：一根弦的实际运动都可以用标准（谐波）振荡模的线性组合来表示。

而以J.L.拉格朗日(grange)为代表的学者强烈反对使用三角级数来研究振动弦运动的主张，他反对的论据就是基于他自己的信念，即不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。

求阶跃信号u(t)的傅立叶变换

求阶跃信号u(t)的傅立叶变换阶跃函数是一种特殊的周期函数，在控制理论、电子电路、信号分析、模拟系统等众多领域中都有着重要的应用。

阶跃信号u(t)是在0时刻前的函数值为0，而在0时刻后的函数值为1，数学形式表达为：$$ u(t)=\begin{cases} 0, & t<0 \\ 1, & t \geq 0 \end{cases} $$阶跃信号的傅立叶变换在信号处理中也有着重要的应用。

下面将对阶跃信号u(t)的傅立叶变换进行详细的阐述。

1. 理论基础傅立叶变换是一种常见且常用的数学工具，用于将时域信号转换为频域信号。

傅立叶变换将一个函数表示为一系列正弦波的叠加，通过对其进行积分来得到各个频率分量的复振幅和相位。

傅立叶变换可以帮助我们了解信号的频谱，进而实现信号的滤波、解调和编码等操作。

傅立叶变换的公式如下：$$ F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt $$其中，f(t)表示原函数，F(ω)表示原函数在频率为ω处的傅立叶变换，j表示虚数单位。

傅立叶变换是一个复变换（即输入和输出都为复数），其结果常常以复数形式表示。

在t<0时，u(t)=0，所以对t<0的积分其值为0。

在t≥0时，u(t)=1，所以对t≥0的积分其值为：当ω>0时，e^{-j\omega t}在t→∞时趋近于0，因此上式可以化简为：因此在ω=0处，阶跃信号不存在傅立叶变换。

当ω=0时，阶跃信号不存在傅立叶变换。

此外，由于阶跃信号u(t)本身是一个奇函数，因此其傅立叶变换也是一个奇函数。

3. 实际应用阶跃信号的傅立叶变换在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在控制理论中，阶跃信号常用于表示系统的输入信号。

当系统的输入信号为阶跃信号时，系统的输出信号可以通过对输入信号的傅立叶变换得到。

这样，我们就可以通过对输出信号的傅立叶变换来分析系统的频率响应特性，进而实现对系统的控制和调节。

3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

1
F(w) (w)
求f(t)
0
w
直流信号 f(t)=E
f (t)
1 2
其傅里叶变换为：
0
F() 2 E ,
F() 2 E
() 0
t
（正实函数）
求解直流信号的傅里叶变换解：采用宽度为的矩形脉冲
f
(t)

E
u

t

2

1
其傅里叶变换为：
F () j,
F ()

( )

22,
,
0 0
（纯虚函数）
0
t
1
F (w)
0
w
(w)
2
0
w
2
推导：
解： IFT : (t) 1 e jwtdw
两边求导：
2
d (t) 1 ( jw)e jwt dw
2
若令
[] lim k Sa(kw) k
k 比较上两式可得到：
2
F[w] 2E (w)
当E=1时， F[w] 2(w)
(t) FT1 1FT2(w)
二、冲激偶信号的傅里叶变换
冲激偶函数： f (t) '(t)
f (t) '(t)
F () 1 ,
j
（复函数）

F ()

2
2

1
2

0, 0

(
)

2