人教版初三数学上册二次函数与动点问题
二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案
函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大〔小〕值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，提醒二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般及特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
〕 动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点5、〔湖北十堰市〕如图①， 抛物线32++=bx ax y 〔a ≠0〕及x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，及y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴及x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明理由．(3) 如图②，假设点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．注意：第〔2〕问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM 为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，及对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线及对称轴交点即为所求点P。
二次函数动点问题解题技巧
二次函数动点问题解题技巧
《二次函数动点问题解题技巧》
一、概述
在数学中，二次函数动点问题是用来求解一个二次函数满足某点移动的情况。
这是一个经典的问题，一般涉及到二次函数的开根号法等技巧，因此在解决动点问题上要有所准备。
本文将介绍二次函数动点问题的解题技巧，指导考生正确解答此类问题。
二、解题技巧
1、把问题转化为动点方程。
首先，我们要把问题转化为一个动点方程：y=ax^2+bx+c。
其中a，b，c代表着不同的变量，它们分别代表着二次函数的三个系数。
2、求解动点方程。
接下来，我们要求解动点方程，首先需要解出各个变量的值，即a，b，c的值。
可以使用开根号法来求解，具体的步骤如下：
①把动点方程化为一元二次方程
②使用开方法求出a、b、c的值
3、求解动点问题。
最后，我们要求解动点问题，就是找到动点移动后的位置。
这时可以使用同样的方法，即把二次函数带入动点方程，使用开根号法求出动点移动后的位置。
三、总结
本文介绍了二次函数动点问题的解题技巧，涉及到动点方程的求解和动点移动后位置的求解。
由此可见，要正确解答二次函数动点问
题，必须具备良好的开根号法的技巧，并熟练掌握求解动点方程和动点问题的解题技巧。
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)
函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标.需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号.或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置.要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点坐标.或已知与x 轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①. 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1.0)和点B (－3.0).与y 轴交于点C ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P.使△CMP为等腰三角形？若存在.请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在.请说明理由．(3) 如图②.若点E为第二象限抛物线上一动点.连接BE、CE.求四边形BOCE面积的最大值.并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时.以C为圆心CM为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.②M为顶点时.以M为圆心MC为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.③P为顶点时.线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
二次函数中的动点问题
二次函数中的动点问题二次函数是高中数学课程中比较重要的一种函数类型，它的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，可以用来表达很多实际问题中的关系。
其中，二次函数中的动点问题是一个常见的问题，主要涉及到了抛物线上某点的运动轨迹，对于此类问题的讨论可以帮助我们深入理解二次函数以及抛物线的特点和应用。
一、动点问题的形式通过一个具体的例子来展示二次函数中的动点问题。
设有一根长60m、重量为100N的弹性绳悬挂于两个点P、Q 之间，弹性绳呈现一个U形。
现有一质量为m的物体从点P 处自由下落，然后受到弹性绳的支撑反弹，反弹高度为h，再落回原点P处。
此时，假设物体在下落或反弹的任意时刻都在弹性绳的中垂线上，我们可以通过求出物体在任意时刻的高度求解出反弹的高度h与物体的质量m的关系。
初步分析这个问题，可以列出物体所在的位置函数，即h(t)。
我们假设物体下落时时间t=0s，其高度为0m，则有：h(t) = at^2 + bt其中，a和b都是常数，t是时间。
物体在弹性绳上下运动，向下运动的时候速度会不断加快，直到反弹的时候速度为0，然后速度逐渐加快，到达下落的时候又达到最大值。
因此，可以得出物体的速度函数v(t)：v(t) = 2at + b而物体的位置函数是速度函数的积分，因此可以解出：h(t) = at^2 + bt + c其中，c是一个常数，其值等于物体下落的初速度的平方除以2g（g为重力加速度，约为9.8m/s^2）。
由于物体在任意时刻都在弹性绳中垂线上，因此可以确定物体的运动轨迹为抛物线。
在上述问题中，我们可以确定抛物线的顶点V的坐标为（30，hmax），其中hmax即为物体下落时的最大高度。
二、动点问题的解法对于二次函数中的动点问题，主要通过求出抛物线的顶点来解决。
通过求解出顶点的坐标、抛物线的开口方向和方程等，可以确定抛物线的形状和运动轨迹，进而判断动点的位置、速度和加速度等物理量。
具体来说，解决二次函数动点问题的步骤如下：1. 确定抛物线的形状和开口方向。
数学人教版九年级上册二次函数与动点问题
（2）过点P作PF垂直AB，垂足为F 因为AQ=t，所以QB=8-t，PB=t由图可知，PF//CE,所以PFCE=PBBC，即PF4=t5, PF=45t,所以S=12QB∙PF=12∙45t（8-t）=-25t2+165t=-25（t-4)2+325故，当t=4时，S取得最大值，最大值为32 5.（1）解：过点C作CE垂直AB，垂足为E 求得CE=4，BE=3，BC=5，所以，当t=5时，P、Q两点停止运动。
（3）当PQ=PB时，过P作PF垂直AB，垂足直为F，则有BF=12 BQ,由PF//CE可得，BFBE=BPBC,即BF3=t5，BF=35t,所以35t=12（8-t），t=4011.当BQ=BP时，有8-t=t，t=4.当QB=QP 时，过Q 作QG 垂直BC ，垂足为G ，则BG=12BP=12t.此时，ΔBGQ~ΔBEC ，所以BG BE =BQ BC,即，12t 3=8-t 4，t=245.所以，当t=4011或4或245时，ΔPQB 为等腰三角形.（2）1.当EFG 在梯形内部，重叠部分面积就是ΔEFG 的面积，∴y=12x 2.2.当2<x≤3时，重叠部分为四边形EMNF,其面积为S ΔEFG -SΔ 因为NF=FC=6-2x ，∴GN=x-(6-2x)=3x-6, GM=1∴2-12•12(3x-6)23.当3≤x ≤6因为EC=6-x, ∴EM=12（ ∴y=12•12(6-x)2(3) 当0<x ≤2时，42, 当x>0时，y 随x 的增大而增大， ∴当x=2时，y 有最大值为 3.当2<x ≤3时，8222当x=187时，y 7当3≤x ≤6时，822当x<6时，y 随x 的增大而减小，∴当x=3时，y综上所述，当x=187时，y。
九年级上册动点题
九年级上册动点题一、与二次函数有关的动点题。
题1：已知二次函数y = -x^2+2x + 3，设点P为该二次函数图象上的一个动点，当点P 到x轴的距离为4时，求点P的坐标。
解析：因为点P到x轴的距离为4，所以| y|=4。
1. 当y = 4时：方程-x^2+2x + 3=4，即x^2-2x + 1 = 0。
对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（这里a = 1，b=-2，c = 1），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×1 = 0。
解得x = 1，此时点P的坐标为(1,4)。
2. 当y=-4时：方程-x^2+2x + 3=-4，即x^2-2x 7 = 0。
这里a = 1，b=-2，c=-7，Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-7)=32。
根据求根公式x=(-b±√(Δ))/(2a)=(2±√(32))/(2)=1±2√(2)。
此时点P的坐标为(1 + 2√(2),-4)和(1-2√(2),-4)。
题2：二次函数y = x^2-2x 3的图象与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点M为抛物线上一动点，若△ MBC的面积等于△ ABC的面积，求点M的坐标。
解析：1. 先求A、B、C三点的坐标：对于y = x^2-2x 3，令y = 0，则x^2-2x 3 = 0，因式分解得(x 3)(x+1)=0，解得x=-1或x = 3，所以A(-1,0)，B(3,0)。
令x = 0，得y=-3，所以C(0,-3)。
那么△ ABC的面积S_△ ABC=(1)/(2)× AB× OC，AB = 3 (-1)=4，OC = 3，所以S_△ ABC=(1)/(2)×4×3 = 6。
2. 设点M的坐标为(m,m^2-2m 3)。
中考二次函数动点问题
中考二次函数动点问题一、背景介绍二次函数是初中数学的重要内容之一，也是中考数学的重要考点之一。
在中考数学中，二次函数往往与动点问题相结合，形成一种综合性较强的题目。
这种题目不仅需要学生掌握二次函数的性质和图像，还需要学生具备一定的数学思维和解决问题的能力。
因此，研究中考二次函数的动点问题对于提高学生的数学成绩和数学能力具有重要的意义。
二、问题建模1. 定义和公式二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）。
其中，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标是（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）。
2. 动点问题动点问题是指在题目中有一个或多个点在运动，通过运动过程中点的位置变化来解决数学问题。
在二次函数中，动点问题通常涉及到点的坐标、函数的图像和图形的性质等方面。
三、解题思路1. 建立数学模型在解决二次函数动点问题时，首先需要建立数学模型。
通常情况下，建立数学模型的方法是根据题目中的条件和问题，选择适当的数学符号和公式来表示问题。
例如，在解决一个动点问题时，可以先根据题目条件建立方程，然后通过对方程进行分析和求解来解决问题。
2. 图像分析图像分析是解决二次函数动点问题的重要方法之一。
通过对图像进行分析，可以直观地了解点的运动轨迹、函数的增减性等问题。
在进行图像分析时，需要注意以下几点：（1）分析图像的开口方向：开口向上表示函数递增，开口向下表示函数递减。
（2）找出对称轴：对称轴是一条垂直于x轴的直线，它把图像分为两个对称的部分。
（3）找出顶点：顶点是图像的最低点或最高点，它代表着函数的最值。
（4）分析增减性：当x增加时，如果函数值也随之增加，则称函数是递增的；当x增加时，如果函数值随之减小，则称函数是递减的。
3. 分类讨论分类讨论是一种重要的数学思想方法，也是解决二次函数动点问题的重要手段之一。
在进行分类讨论时，需要根据题目条件对各种情况进行分类，然后分别进行讨论和求解。
人教版九年级上册第二十二章二次函数动点问题训练
人教版九年级上册第二十二章二次函数动点问题专练（1）线段和差最值——将军饮马1．如图，抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线y=2x -+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．4．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.5．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D 为抛物线的顶点，连接DA 、DB ，试判断△ABD 的形状，并说明理由； （3）设P 为对称轴上一动点，要使PC ﹣PB 的值最大，求出P 点的坐标．6．如图1，已知二次函数y=mx 2+3mx ﹣274m 的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点D 和点B 关于过点A 的直线l ：y= （1）求A 、B 两点的坐标及二次函数解析式；（2）如图2，作直线AD ，过点B 作AD 的平行线交直线1于点E ，若点P 是直线AD 上的一动点，点Q 是直线AE 上的一动点．连接DQ 、QP 、PE ，试求DQ+QP+PE 的最小值；若不存在，请说明理由：（3）将二次函数图象向右平移32个单位，再向上平移象上存在一点M ，其横坐标为3，在y 轴上是否存在点F ，使得∠MAF=45°？若存在，请求出点F 坐标；若不存在，请说明理由．（2）线段最值问题1．如图，抛物线25y ax bx =++与x 轴交于()1,0A -、()5,0B 两点，直线334y x =-+与y轴交于点C ，与x 轴交于点D ．点P 是抛物线上一动点，过点P 作直线PF x ⊥轴于点F ，交直线CD 于点E ．设点P 的横坐标为m ．()1求抛物线的解析式；()2若点P 在x 轴上方的抛物线上，当5PE EF =时，求点F 的坐标；()3若点E ’是点E 关于直线PC 的对称点，当点E ’落在y 轴上时，请直接写出m 的值．2．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<分别交x 轴、y 轴于点(2,0)A 、(0,4)B ，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交抛物线于点D ． （1）若0a b +=． ①求抛物线的解析式；②当线段PD 的长度最大时，求点P 的坐标；（2）当点P 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以,,B P D 为顶点的三角形与AOB ∆相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．3．如图，一次函数1y=x+22分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．4．已知抛物线（是常数）经过点.（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P(m，t)为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为.①当点落在该抛物线上时，求的值；②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值.（3）三角形面积最值1．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣1x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y2x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．＝﹣12(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，点D是抛物线第四象限上的一动点，连接DC，DB，当S△DCB＝S△ABC时，求点D坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，点Q在CA的延长线上，连接DQ，AD，过点Q作QP∥y轴，交抛物线于P，若∠AQD＝∠ACO+∠ADC，请求出PQ的长．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．3．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S 关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(﹣5，0)，B(﹣4，﹣3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合)，设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，直线132y x =--与x 轴，y 轴分别交于点,A C ，经过点,A C 的抛物线23y ax bx =+-与x 轴的另一个交点为点()2,0B ，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE x⊥轴于点E ，连接,AD DC ，设点D 的横坐标为m .()1求抛物线的解析式；()2当点D 在第三象限，设DAC △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；()3连接BC ，若EAD OBC ∠=∠,请直接写出此时点D 的坐标.6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ，已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．7．如图，已知抛物线y=－x2+mx+3与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），抛物线与直线y=－32x+3交于C、D两点．连接BD、AD．（1）求m的值．（2）抛物线上有一点P，满足S△ABP=4S△ABD，求点P的坐标．（4）几何图形中的动点问题1．如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P 从点A出发，沿A→D方向以2 cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC 上)，设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)．(1)经过几秒钟后，S1＝S2?(2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值．3．如图，在ABC 中，B 90∠=，AB 12cm =，BC 24cm =，动点P 从点A 开始沿着边AB 向点B 以2cm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着边BC 向点C 以4cm /s 的速度移动（不与点C 重合）．若P 、Q 两点同时移动()t s ； 1（）当移动几秒时，BPQ 的面积为232cm ．2（）设四边形APQC 的面积为()2S cm ，当移动几秒时，四边形APQC 的面积为2108cm ？4．如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一直线上，开始时点与点重合，让以每秒厘米的速度向左运动，最终点与点重合，则重叠部分面积（厘米）与时间（秒）之间的函数关系式为________．（5）四边形面积最值1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．2．已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A 在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB,（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．①当PA⊥NA，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．4．如图，二次函数2y ax bx =+的图象经过点()2,4A 与()6,0B ． ()1求a ，b 的值；()2点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为(26)x x <<，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．（6）其它几何问题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数212y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A ，且当0x =和5x =时所对应的函数值相等．一次函数3y x =-+与二次函数212y x bx c =-++的图象分别交于B ，C 两点，点B 在第一象限．（1）求二次函数212y x bx c =-++的表达式． （2）连接AB ，求AB 的长．（3）连接AC ，M 是线段AC 得中点，将点B 绕点M 旋转180︒得到点N ，连接AN ，CN ，判断四边形ABCN 的性状，并证明你的结论．2．二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，14）；点F （0，1）在y 轴上．直线y=﹣1与y 轴交于点H ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y=﹣1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP；（3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．。
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（2）过点P作PF垂直AB，垂足为F 因为AQ=t，所以QB=8-t，PB=t
由图可知，PF//CE,所以PF
CE
=
PB
BC
，
即PF
4
=
t
5
, PF=
4
5
t,
所以S=1
2
QB∙PF=
1
2
∙
4
5
t（8-t）=-
2
5
t2+
16
5
t
=-2
5
（t-4)2+
32
5
故，当t=4时，S取得最大值，最大值为32 5
.
（1）解：过点C作CE垂直AB，垂足为E 求得CE=4，BE=3，BC=5，
所以，当t=5时，P、Q两点停止运动。
（3）当PQ=PB时，过P作PF垂直AB，垂足直为F，则有BF=1
2 BQ,
由PF//CE可得，BF
BE
=
BP
BC
,即
BF
3
=
t
5
，BF=
3
5
t,
所以3
5
t=
1
2
（8-t），t=
40
11
.
当BQ=BP时，有8-t=t，t=4.
当QB=QP 时，过Q 作QG 垂直BC ，垂足为G ，则BG=12BP=12
t.此时，ΔBGQ~ΔBEC ，所以BG BE =BQ BC
,即，12t 3=8-t 4，t=245
.所以，当t=4011或4或245
时，ΔPQB 为等腰三角形.
（2）1.当
EFG 在梯形内部，重叠部分面积就是ΔEFG 的面积，
∴y=12x 2.
2.当2<x
≤3时，重叠部分为四边形EMNF,其面积为S ΔEFG -S
Δ 因为NF=FC=6-2x ，∴GN=x-(6-2x)=3x-6, GM=1
∴2-12•1
2(3x-6)2
3.
当3≤x ≤6
因为EC=6-x, ∴EM=12（ ∴y=12•12(6-x)2
(3) 当0<x ≤2时，4
2, 当x>0时，y 随x 的增大而增大， ∴当x=2时，y 有最大值为 3.
当2<x ≤3时，8222当x=187时，y 7
当3≤x ≤6时，822当x<6时，y 随x 的增大而减小，
∴当x=3时，y
综上所述，当x=187时，y。