概率论 (14)

16
概率论与数理统计
(4) 设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为
f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ),
若广义积分
g(x, y) f (x, y)dxdy
绝对收敛, 则
E(Z )
g(x, y) f (x, y)dxdy
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概率论与数理统计
例4 设 (X ,Y ) ~ N (0,0,1,1,0), 求 Z X 2 Y 2 的数学期望.
的期望值与算术平均值相等.
8
概率论与数理统计
定义2 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 f (x) 若广义积分
xf ( x)dx
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望,
记作 E( X ), 即
E(X
)
xf
( x )dx
数学期望的本质 —— 加权平均
它是一个数不再是r.v. 9
概率论与数理统计
解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则
X 10000 p 1 105
5000 2 105
1000 100 10 0 10 105 100 1051000 105 p0
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概率论与数理统计
每张彩票平均能得到奖金
E(
X
)
10000
1 105
5000
2 105
0
p0
0.5(元),
每张彩票平均可赚 2 0.5 0.3 1.2(元),
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概率论与数理统计
例6 把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数 字k恰好出现在第k个位置上，则称为一个巧 合，求巧合个数的数学期望.
解 设巧合个数为X, 引入
Xk
1, 0，
数字 k恰好出现在第 否则
k个位置上
k=1,2, …,n
则 由于
n
X Xk
k 1
E(Xk)=P(Xk
=1)
(n 1)! n!
解
若设
X
i
1 0
如第 i次试验成功 如第 i次试验失败
i=1,2, …, n
24
概率论与数理统计
则 X= X1+X2+…+Xn
因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p E(Xi)= 1 p 0 (1 p) = p
n
所以 E(X)= E(Xi ) = np i 1
可见，服从参数为n和p的二项分布的随机 变量X的数学期望是np.
解 设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得
的收益, i =1~1000 . 则
Xi ~
100 100 a 0.98 0.02
32
概率论与数理统计
由题设 E(Xi ) 1000.98 (100 a)0.02
100 0.02 a 0 100 a 5000
公司每笔赔偿小于5000元, 能使公司获益. 公司期望总收益为
4
5
5
38 6
E
Y X
y x
f
(x,
y)dxdy
21
02
1
dx 0
y
1 2
(1
3
y
2
)dy
5 8
15 32
E(Y) E( X )
28
概率论与数理统计
4.1.4 数学期望的应用
案例1 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头
等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三 等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100 元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本 费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.
0,
其它
22
概率论与数理统计
但
E( X ) 1 x 2 1
1 x2 0;
E(XY )
xy 1dxdy 0;
x2 y2 1
E( XY ) E( X )E(Y ) 0
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概率论与数理统计
例5 求二项分布的数学期望 若 X~B(n, p)， 则 X 表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. 现在我们来求 X 的数学期望 .
1
f (x)
1
e(
x ) 2 2
2
2
13
概率论与数理统计
注意 不是所有的 r.v.都有数学期望
例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为
f
(x)
(1
1
x
2
)
,
x
但
|
x|
f
( x)dx
| (1
x
| x
2
)
dx
发散
它的数学期望不存在!
14
概率论与数理统计
4.1.2 r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望
(3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
7
概率论与数理统计
X1 2 假设
p 0.02 0.98 随机变量 X 的算术平均值为 1 2 1.5,
2 E( X ) 1 0.02 2 0.98 1.98.
x
O
1
2
它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值.
当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X
(ii) 按 k 个人一组进行分组 , 把从 k 个人抽来 的血混合在一起进行化 验 , 如果这混合血液呈阴 性反应 , 就说明 k 个人的血都呈阴性反应 , 这样, 这 k 个人的血就只需验一次 . 若呈阳性 , 则再对这 k 个人的血液分别进行化 验 ,这样, k 个人的血共 最多需化验 k 1 次.
试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
1
概率论与数理统计
解
平均射中环数
射中靶的总环数 射击次数
02 113 215 310 420 530 90
0 2 1 13 2 15 3 10 4 20 90 90 90 90 90
5 30 90
5 k nk 3.37. k0 n 设射手命中的环数为随机变量 X .
例1 X ~ B ( 1 , p ), 求 E( X ) . 解 E( X ) 0 (1 p) 1 p p
例2 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) .
解 E ( X ) x
1
e dx
(
x ) 2 2
2
2
令x u
（ u ）
1
u2
e 2 du
2
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概率论与数理统计
x)
f
(
x)dx
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概率论与数理统计
(3) 设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为
P(X xi,Y yj ) pij, i, j 1,2,
Z = g(X ,Y ),
若级数
g ( xi , y j ) pij
i , j 1
绝对收敛 , 则
E(Z ) g(xi , y j ) pij i, j1
解 E(Z ) x2 y2 f (x, y)dxdy
x2 y2
1
x2 y2
e 2 dxdy
2
2
0
0
r
1
2
r2
e 2 rdr
d
2
18
概率论与数理统计
4.1.3 数学期望的性质
1o E (C ) = C
常数
2o E (aX ) = a E (X )
3o E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
4
概率论与数理统计
定义1 设 X 为离散 r.v. , 其分布为
P( X xk ) pk , k 1,2,
若无穷级数 x k p k 绝对收敛, 则称 k 1
其和为 X 的数学期望, 记作 E( X ), 即
E( X ) xk pk k 1
5
概率论与数理统计
射击问题 “平均射中环数”应为随机变量 X 的数学
8
21
概率论与数理统计
反例2 ( X ,Y ) ~ U (D), D {(x, y) x2 y2 1}
f
(
x,
y)
1
,
0,
x2 y2 1, 其它
2
f
X
(
x)
1 x2 ,
0,
1 x 1, 其它
f (x, y) fX (x) fY ( y)
2
fY
(
y)
1 y2 ,
1 y 1,
期望 E(X) 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4 5 p5 .
6
概率论与数理统计
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值.
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为
100000 1.2 120000(元).
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概率论与数理统计
案例2 如何确定投资决策方向?
某人有10万元现金，想投资于某项 目，预估成功的机会为 30%，可得利 润8万元 ， 失败的机会为70%，将损 失 2 万元．若存入银行，同期间的利 率为5% ，问是否作此项投资?
概率论与数理统计
4.1 随机变量的数学期望
4.1.1 数学期望的概念
引例( 射击问题)设某射击手在同样的条
件下,瞄准靶子相继射击90次,(命中的环 数是一个随机变量).射中次数记录如下