奥数题及答案(初二)
初二奥数竞赛试题及答案
初二奥数竞赛试题及答案试题一：代数问题题目：若\( a \)、\( b \)、\( c \)为正整数，且满足\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，求\( a \)、\( b \)、\( c \)的值。
答案：由于\( a \)、\( b \)、\( c \)为正整数，且\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，我们可以推断出\( a \)、\( b \)、\( c \)的值只能是1或0。
因为\( 1^2 = 1 \)，而\( 2^2 = 4 \)，所以\( a \)、\( b \)、\( c \)不能大于1。
经过尝试，我们可以发现只有当\( a = b = c = 0 \)或\( a = 1, b = 0, c = 0 \)（或其它两种排列）时，等式成立。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形ABC中，∠C是直角，AC = 6，BC = 8，求斜边AB的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
所以，我们有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ AB^2 = 6^2 + 8^2 \]\[ AB^2 = 36 + 64 \]\[ AB^2 = 100 \]\[ AB = \sqrt{100} \]\[ AB = 10 \]试题三：组合问题题目：有5种不同的颜色的球，每种颜色有3个球，现在要从中选出3个球，求不同的选法总数。
答案：这是一个组合问题，我们可以使用组合公式来解决。
组合公式为：\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]其中\( n \)是总数，\( k \)是要选择的数目。
在这个问题中，\( n = 15 \)（因为有5种颜色，每种3个球），\( k = 3 \)。
所以：\[ C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} \]\[ C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} \]\[ C(15, 3) = 455 \]试题四：逻辑问题题目：有5个盒子，每个盒子里都装有不同数量的糖果，从1到5。
(完整版)初二奥数题及答案新人教版
初二奥数题及答案新人教版一、选择题(每小题6分，共30分)1.我们知道：太阳的温度很高，其表面温度大概有6 000℃，而太阳中心的温度更是达到了惊人的19 200 000℃，其实，对于具有一定质量的恒星来说，它的核心部分的温度总是随着年龄的增长而逐渐升高的，天文学家估算，有些恒星中心温度能够达到太阳中心温度的312.5倍，请你用科学记数法表示出这些恒星中心的温度为( )A.6.0× ℃B.6.0× ℃C.6.0× ℃D.6.1× ℃2.岩岩家住在人民广场附近，她经常看到有好多人把自行车存到广场旁边.有一次她问看自行车的老大爷，得知当天的存车量为6 882辆次，其中普通自行车的存车费是每辆次0.2元，电动自行车的存车费是每辆次0.5元，且到19∶00以后，两种存车费都要翻倍.已知该天普通自行车19∶00之前的存车量为5 180辆次，19∶00之后的存车量为335辆次，其总收入为电动自行车的1.5倍.那么电动自行车在晚19∶00前和19∶00后的存车量各有( )A.1 072辆次、294辆次B.1 174辆次、193辆次C.973辆次、394辆次D.1 173辆次、254辆次3.期中考试过后，李老师把八年级一班60名学生的成绩实行了统计，制成了如图1所示的统计图，其中60分以下的人数和90分以上的人数一样多，而其它三个分数段(60—70，70—80，80—90)的频率分别是0.15、0.35、0.30.按学校规定成绩在80分以上(含80分)为优秀，那么这次考试中成绩优秀的学生有( )A.20人B.24人C.25人D.27人4.小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整( )A.13分钟B.14分钟C.15分钟D.16分钟5.6月份以来，猪肉价格一路上涨.为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元.若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W(元)的最小值和值分别是( )A.8 000，13 200B.9 000，10 000C.10 000，13 200D.13 200，15 400二、填空题(每小题6分，共30分)6.小龙乘坐商场的自动扶梯下楼，他以每步一级的速度往下走，结果走了30步就到楼下，猛然发现，因为匆忙包丢在购物处了，接着他又以下楼时速度的3倍冲上楼梯，结果走了90步才到楼上，当电梯停下时，露在外面的电梯一共有级.7.如图2，是一玻璃盛水容器，高度为45厘米，现容器中水面高度为15厘米，如图2(1)所示，现将容器口密封并倒置此容器后，如图2(2)所示，这时水面高度为25厘米，已知，此容器最多可盛水700毫升，那么此时容器中水的体积为毫升.8.“爱心”教育基金会资助某山村学校13 440元，其中七、八年级的学生平均每人60元，七、八年级的每位学生都接受了资助;九年级每个学生100元，但九年级学生有40%因家庭条件好而未接受资助.则该学校一共有名学生.9.如图3所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为cm.10.你看过机器人大赛吗?在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头.如图4，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速前进向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC= cm.三、解答题(本大题共60分)11.(本题10分)去年在德国举行的“世界杯”足球赛吸引了世界各国球迷的目光，不知道你对足球比赛的积分规则了解多少呢?最为常用的足球比赛的积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分.现在知道，有一支足球队在某个赛季共需比赛16场，现已比赛了9场，输了2场，得19分.请问：。
初二奥数题及答案
初二数学奥数及答案班级姓名学号1、如图，梯形 ABCD中， AD∥BC，DE＝ EC，EF∥AB交 BC于点 F，EF＝ EC，连接 DF。
(1)试说明梯形 ABCD是等腰梯形；(2)若 AD＝1，BC＝3，DC＝2，试判断△ DCF的形状；(3)在条件 (2) 下，射线 BC上能否存在一点 P，使△ PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明原由。
2、在边长为 6 的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点 C运动，连接 DM交 AC于点 N.（1）如图 25－1，当点M在AB边上时，连接BN.①求证：△ ABN≌△ ADN；②若∠ ABC=60°，AM=4，求点 M到 AD的距离；（2）如图 25－2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的行程为x（6≤x≤ 12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形 .3、关于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯连续运动到N，使 OM＝ ON，且 OM⊥ ON，这一过程称为 M点关于 O点完成一次“左转弯运动”．正方形 ABCD和点 P，P 点关于 A 左转弯运动到 P1，P1关于 B 左转弯运动到 P2，P2关于 C左转弯运动到 P3，P3关于 D左转弯运动到P4，P4关于 A 左转弯运动到P5，．（1）请你在图顶用直尺和圆规在图中确立点P1的地点；（2）连接 P1A、P1B，判断△ ABP1与△ ADP之间有如何的关系？并说明原由。
(3) 以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，而且已知点B在第二象限， A、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推测：P4、P2009、P2010三点的坐标．BAO4、如图 1 和 2，在 20×20 的等距网格（每格的宽和高均是 1 个单位长）中，Rt△ABC从点N A 与点M重合的地点开始，以每秒1P个M单位长的速度先向下平移，当图BC边与网的C底部重合时，继D续同1图 2样的速度向右平移，当点 C与点 P 重合时，Rt△ ABC停止挪动. 设运动时间为x 秒，△ QAC的面积为 y.（1）如图 1，当 Rt△ABC向下平移到 Rt △A1B1C1的地点时，请你在网格中画出 Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图 2，在 Rt △ABC向下平移的过程中，请你求出y 与 x 的函数关系式，并说明当 x 分别取何值时， y 获得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在 Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x 取何值时， y 获得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为何？5、如图①，△ ABC中， AB=AC，∠ B、∠C的均分线交于 O点，过O点作 EF∥BC交 AB、AC于 E、F．(1)图中有几个等腰三角形 ?猜想： EF与 BE、CF之间有如何的关系，并说明原由．(2)如图②，若 AB≠AC，其余条件不变，图中还有等腰三角形吗 ?假如有，分别指出它们．在第 (1) 问中 EF 与 BE、CF间的关系还存在吗 ?(3)如图③，若△ ABC中∠ B 的均分线 BO与三角形外角均分线 CO交于 O，过 O点作 OE∥BC交 AB于 E，交 AC于 F．这时图中还有等腰三角形吗 ?EF 与 BE、CF关系又如何 ?说明你的原由。
初二奥数题及答案
初二数学奥数1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；(2)若AD＝1，BC＝3，DC DCF的形状；(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。
2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN.①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离；（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形.3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……． （1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；（2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。
(3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1）三点的坐标．PDCBA NM图1图24、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x 分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)图中有几个等腰三角形?猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。
初二组奥数试题及答案
初二组奥数试题及答案
1. 题目：一个数列的前三项是1, 2, 4，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
求数列的第10项。
答案：数列的第10项是144。
2. 题目：一个正方形的边长增加10%，它的面积增加了多少百分比？
答案：面积增加了21%。
3. 题目：一个班级有40名学生，其中30%是女生。
如果班级中有5名学生转学，那么女生的比例变为多少？
答案：女生的比例变为33.33%。
4. 题目：一个数的平方减去它的一半等于36。
求这个数。
答案：这个数是12。
5. 题目：一个长方体的长、宽、高分别是10cm、8cm、6cm。
求这个长方体的体积。
答案：这个长方体的体积是480立方厘米。
6. 题目：一个圆的直径是14cm，求这个圆的面积。
答案：这个圆的面积是153.94平方厘米。
7. 题目：一个数的3倍加上它的一半等于45。
求这个数。
答案：这个数是15。
8. 题目：一个数的5倍减去它的2倍等于18。
求这个数。
答案：这个数是6。
9. 题目：一个数的4倍加上它的3倍等于72。
求这个数。
答案：这个数是12。
10. 题目：一个班级有50名学生，其中20%是男生。
如果班级中有10名学生转学，那么男生的比例变为多少？
答案：男生的比例变为24%。
初二奥数班考试试题及答案
初二奥数班考试试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是质数？A. 4B. 9C. 13D. 162. 如果一个数的平方等于其本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 23. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第10项是多少？A. 29B. 32C. 35D. 384. 一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米，它的体积是多少立方厘米？A. 480B. 560C. 600D. 7205. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根是它本身的数有_________和_________。
7. 一个数的立方根是它本身的数有_________。
8. 一个数的倒数是它本身的数有_________。
9. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是_________或_________。
10. 一个数的平方是36，那么这个数是_________或_________。
三、简答题（每题5分，共20分）11. 说明什么是完全平方数，并给出三个完全平方数的例子。
12. 解释什么是因数和倍数，并给出一个数的因数和倍数的例子。
13. 什么是等差数列？请写出一个等差数列的前5项。
14. 什么是圆周率π？请给出π的近似值。
四、计算题（每题10分，共20分）15. 计算下列表达式的值：(3 + 5) × (7 - 2)。
16. 解下列方程：2x + 5 = 17。
五、解答题（每题15分，共30分）17. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求它的表面积。
18. 一个圆的半径是r，求它的周长和面积。
答案一、选择题1. C2. B3. C4. C5. C二、填空题6. 0, 17. 0, 1, -18. 19. 5, -5 10. 6, -6三、简答题11. 完全平方数是指一个数可以表示为某个整数的平方。
初二奥数试题及答案
初二奥数试题及答案一、选择题1. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0 或 1答案：D2. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第10项是：A. 29B. 32C. 35D. 383. 一个二次方程的根是x1和x2，如果x1 + x2 = 5，x1 * x2 = 6，那么这个二次方程是：A. x^2 - 5x + 6 = 0B. x^2 + 5x + 6 = 0C. x^2 - 5x - 6 = 0D. x^2 + 5x - 6 = 0答案：A4. 如果一个三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不是三角形5. 一个圆的半径是5，那么这个圆的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：C二、填空题6. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是______。
答案：0 或 1 或 -17. 一个等比数列的首项是2，公比是2，那么第5项是______。
答案：328. 一个多项式P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，如果P(1) = 0，P(-1) = 0，那么a + b + c + d = ______。
答案：09. 如果一个三角形的内角和为180度，其中一个角是60度，另外两个角的和是______。
答案：120度10. 一个圆的直径是10，那么这个圆的周长是______。
答案：10π三、解答题11. 已知一个等差数列的首项是1，公差是2，求这个数列的前10项的和。
解答：等差数列的前n项和公式为：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)，其中a_1是首项，a_n是第n项。
首项a_1 = 1，公差d = 2，所以第10项a_10 = a_1 + (n-1)d = 1 + (10-1)*2 = 19。
将这些值代入公式，得到S_10 = 10/2 * (1 + 19) = 5 * 20 = 100。
八年级奥数测试题及答案
八年级奥数测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个数的平方根是3，那么这个数是多少？A. 9B. 6C. 3D. 12答案：A3. 计算：(2x - 3)(2x + 3) 的结果是？A. 4x^2 - 9B. 4x^2 + 9C. 9 - 4x^2D. 9 + 4x^2答案：A4. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第10项是多少？A. 23B. 32C. 35D. 40答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个数的立方根是2，则这个数是______。
答案：82. 如果一个数的相反数是-5，则这个数是______。
答案：53. 一个数的绝对值是5，则这个数可以是______或______。
答案：5，-54. 一个数的平方是25，则这个数可以是______或______。
答案：5，-5三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求第n项的通项公式。
答案：第n项的通项公式为 a_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1。
2. 计算：(3x^2 + 2x - 1)(2x^2 - 3x + 1) 的值。
答案：6x^4 - 13x^3 + 11x^2 - 2x + 1。
3. 已知一个等比数列的前三项分别是2，4，8，求第n项的通项公式。
答案：第n项的通项公式为 a_n = 2 * 2^(n - 1) = 2^n。
4. 计算：(2x - 1)^3 的值。
答案：8x^3 - 12x^2 + 6x - 1。
5. 已知一个数列的前三项分别是1，2，3，且每一项都是前一项的两倍加1，求第n项的通项公式。
答案：第n项的通项公式为 a_n = 2^(n+1) - 1。
6. 计算：(a + b)^2 的值。
答案：a^2 + 2ab + b^2。
初二上册奥数试题及答案
初二上册奥数试题及答案一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个数的平方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：D3. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0、1或-1答案：D4. 如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 任何数答案：A二、填空题1. 计算：\((-2)^3\) 的结果是 ______ 。
答案：-82. 一个数的绝对值是它本身的数是 ______ 。
答案：非负数3. 一个数的绝对值是它相反数的数是 ______ 。
答案：负数4. 如果一个数的平方等于16，那么这个数可以是 ______ 。
答案：4或-4三、解答题1. 一个数的立方等于它本身，求这个数的所有可能值。
答案：0、1、-12. 已知一个数的相反数是-5，求这个数。
答案：53. 如果一个数的绝对值等于它的两倍，求这个数。
答案：04. 计算：\((-3) \times (-4)\) 的结果是 ______ 。
答案：12四、证明题1. 证明：任何偶数都可以表示为两个整数的和。
答案：设偶数为2n，那么2n可以表示为n+n，其中n为任意整数。
2. 证明：对于任何整数n，\(n^2\) 总是非负数。
答案：设n为任意整数，\(n^2 = n \times n\)，因为整数乘法总是非负的，所以\(n^2\) 也是非负的。
五、应用题1. 一个商店在一天内卖出了10件商品，每件商品的利润是其成本的两倍。
如果总利润是500元，求每件商品的成本。
答案：设每件商品的成本为x元，则利润为2x元。
10件商品的总利润为10*2x=500，解得x=25元。
2. 一个班级有40名学生，其中男生人数是女生人数的两倍。
求班级中男生和女生的人数。
答案：设女生人数为x，则男生人数为2x。
x+2x=40，解得x=13.33，但人数必须是整数，所以题目条件有误。
初二奥数答案
参考答案与试题解析1．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°；BD平分∠ABC交AC于点D，点E是边AC上的一点，且满足ED=EA；过点D作DF∥CB交AB于点F，则图中等腰三角形的个数为（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．【解答】解：∵AB=AC，ED=EA，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∠ADE=36°，△ABC是等腰三角形，△ADE是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA=36°=∠A，∴∠CDB=72°，DB=DA，即△ABD是等腰三角形，∴∠C=∠CDB，∴BC=BD，即△BCD是等腰三角形，∵DF∥BC，∴∠AFD=∠ADF=∠C=72°，∠BDF=∠DBC=∠DBF=36°，∴AF=AD，即△ADF是等腰三角形，BF=DF，即△BDF是等腰三角形，∵∠FED=∠A+∠ADE=72°=∠AFD，∴BE=BD，即△BDE是等腰三角形，∵∠FED=∠EFD=72°，∴DF=DE，即△DEF是等腰三角形，故图中等腰三角形有8个，故选：C．2．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN的度数可求出结果．【解答】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10设∠A=3x°，则∠ABC=5x°，∠ACB=10x°3x+5x+10x=180解得x=10则∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°∴∠BCN=180°﹣100°=80°又△MNC≌△ABC∴∠ACB=∠MCN=100°∴∠BCM=∠NCM﹣∠BCN=100°﹣80°=20°∴∠BCM：∠BCN=20°：80°=1：4故选：D．3．已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB=AO+AP．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．【解答】解：①如图1，连接OB，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，∴OB=OC，∠ABC=90°﹣∠BAD=30°∵OP=OC，∴OB=OC=OP，∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正确；②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，∴∠POC=180°﹣（∠OPC+∠OCP）=60°，∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形；故③正确；④如图2，在AC上截取AE=PA，连接PB，∵∠PAE=180°﹣∠BAC=60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，∴∠APO+∠OPE=60°，∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，∴∠APO=∠CPE，∵OP=CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO=CE，∴AC=AE+CE=AO+AP；故④正确；本题正确的结论有：①③④故选：A．4．如图所示，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是B（填序号）【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．【解答】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．故答案是：B．5．从镜子中看到的这个号码，实际上是81938．【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的数与83918成轴对称，所以它的实际号码是81938．故答案为：81938【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．6．如图，△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC上一点，CE⊥BC，连接AD、DE，若CE=BD，则∠ADE=45°．【分析】如图连接AE．由△ABD≌△ACE，推出AD=AE，∠BAD=∠CAE，可得∠BAC=∠DAE=90°，推出△ADE是等腰直角三角形，由此即可解决问题．【解答】解：如图连接AE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵EC⊥CB，∴∠ECB=90°，∠ACE=45°，∴∠B=∠ACE，∵AB=AC，BD=CE，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠ADE=45°．7．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，已知∠AOB是任意一个角，在边OA，OB上分别截取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点P作射线OP，则OP是∠AOB的平分线，其理由是SSS．【分析】由作图过程可得MO=NO，NP=MP，再加上公共边PO=PO可利用SSS 定理判定△MOP≌△NOP．【解答】解：∵在边OA，OB上分别截取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，∴OM=ON，NP=MP，∵在△ONP和△OMP中，∴△MOP≌△NOP（SSS），∴∠BOP=∠AOP，故答案为：SSS8．△ABC中，∠A=62°，O是边AB和边BC的垂直平分线的交点，那么∠BCO= 28°．【分析】连接OA、OB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=130°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA=OB，OA=OC，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：连接OA、OB，∵∠A=62°，∴∠ABC+∠ACB=118°，∵O是AB，BC垂直平分线的交点，∴OA=OB，OA=OC，∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，∴∠OBA+∠OCA=50°，∴∠OBC+∠OCB=118°﹣62°=56°，∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO=28°，故答案为：28°．9．如图AB=6cm，AC=4cm，BC=5cm，AE=AC，AD是△ABC的角平分线，则△BED的周长为7cm．【分析】根据全等三角形的判定得出△AED与△ADC全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△AED与△ADC中，∴△AED≌△ADC（SAS），∴DE=DC，∵AB=6cm，AC=4cm，BC=5cm，∴△BED的周长=BE+DE+BD=AB﹣AE+DC+BD=AB﹣AC+BC=6﹣4+5=7cm，故答案为：7cm．10．在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3=135°．【分析】根据图形判断出∠1、∠3是全等直角三角形的两个互余的锐角，∠2为等腰直角三角形的锐角，然后求解即可．【解答】解：如图，在△ABC和△EGA中，，∴△ABC≌△EGA（SAS），∴∠3=∠BAC，在Rt△ABC中，∠BAC+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，由图可知，△ABD是等腰直角三角形，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．故答案为：135．11．如图a是长方形纸带，∠BFE=15°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是135°．【分析】根据长方形纸条的特征﹣﹣﹣对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出∠2=∠EFG，继而求出∠GFC的度数，再减掉∠GFE即可得∠CFE 的度数．【解答】解：如图，延长AE到H，由于纸条是长方形，∴EH∥GF，∴∠1=∠EFG，根据翻折不变性得∠1=∠2，∴∠2=∠EFG，又∵∠DEF=15°，∴∠2=∠EFG=15°，∠FGD=15°+15°=30°．在梯形FCDG中，∠GFC=180°﹣30°=150°，根据翻折不变性，∠CFE=∠GFC﹣∠GFE=150°﹣15°=135°．故答案为：135°．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若DC=6，AB=12，则△ABD的面积是36．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可求出DE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C=90°，DC=6，∴DE=DC=6，∵AB=12，=AB•DE=×12×6=36．∴S△ABD故答案为：36．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．13．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=26°，∠2=32°，点B，D，E三点在一条直线上，则∠3=58°．【分析】先证明△ABD≌△ACE，得出∠2=∠ABD，再由外角得出∠3=∠1+∠2，从而得出答案．【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠1=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠2，∵∠3=∠1+∠ABD，∴∠3=∠1+∠2，∵∠1=26°，∠2=32°，∴∠3=26°+32°=58°，故答案为58°．14．如图，在△ABC中，∠B=∠C，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，则∠B=α（填“＞”“﹦”或“＜”）．【分析】利用SAS得到三角形BDF与三角形CED全等，利用全等三角形对应角相等得到∠BFD=∠CDE，利用三角形内角和定理及等式的性质得到关于α的关系式，即可表示出∠B．【解答】解：在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∴∠EDF=180°﹣∠CDE﹣∠BDF=180°﹣∠BFD﹣∠BDF=∠B=α．故答案为：=．15．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则此等腰三角形的顶角为40°或140°．【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【解答】解：当为锐角时，如图∵∠ADE=50°，∠AED=90°，∴∠A=40°当为钝角时，如图∠ADE=50°，∠DAE=40°，∴顶角∠BAC=180°﹣40°=140°，故答案为40°或140°．16．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=40°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=70°．【分析】先判断出△ACD≌△BCE，再判断出△ACM≌△BCN即可得到CH平分∠AHE，即可得出结论．【解答】解：如图，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）；过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN，∴CM=CN，∴CH平分∠AHE；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠AMC，∴∠AHB=∠ACB=40°，∴∠AHE=180°﹣40°=140°，∴∠CHE=∠AHE=×140°=70°，故答案为：70°．17．如图，△ABE≌△ADC≌△ABC，若：∠1=130°，则∠α的度数为100°．【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠1，∠ACB=∠E，然后根据周角等于360°求出∠2，再根据三角形的内角和定理求出∠α=∠2，从而得解．【解答】解：∵△ABE≌△ADC≌△ABC，∴∠BAE=∠1=130°，∠ACB=∠E，∴∠2=360°﹣∠1﹣∠BAE=360°﹣130°﹣130°=100°，∴∠DFE=180°﹣∠α﹣∠E，∠AFC=180°﹣∠2﹣∠ACD，∵∠DFE=∠AFC（对顶角相等），∴180°﹣∠α﹣∠E=180°﹣∠2﹣∠ACD，∴∠α=∠2=100°．故答案为：100°．18．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE 沿直线DE翻折，使点B落在B′处，DB′，EB′分别交AC于点F，G．若∠ADF=80°，则∠DEG的度数为70．【分析】由折叠的性质得到∠BDE=∠B′DE，根据∠ADF的度数，利用平角定义求出∠BDE的度数，再由等边三角形的性质得到∠B的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠BED的度数，进而解答即可．【解答】解：由折叠的性质得到∠BDE=∠B′DE，∵∠ADF=80°，∠ADF+∠BDE+∠B′DE=180°，∴∠BDE=∠B′DE=50°，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，则∠BED=180°﹣（50°+60°）=70°．∴∠DEG=70°，故答案为：70°19．如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若S四边形BFDE=9，则AB的长为6．【分析】连接BD，根据的等腰直角三角形的性质证明△BED≌△CFD就可以得出△BED的面积=△CFD的面积，利用面积关系解答即可．【解答】解：连接BD．∵D是AC中点，∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，∴∠EDB=∠CDF，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（ASA），∴△BED的面积=△CFD的面积，∵S=△BED的面积+△BDF的面积=△CFD的面积+△BDF的面积=△四边形BFDEABC的面积=9，∴△ABC的面积=18，∴AB=6，故答案为：6．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中连接BD是解题的关键．20．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N 两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边（3）．形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的序号为（1）（2）【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO=∠PFO=90°，∴∠EPF+∠AOB=180°，∵∠MPN+∠AOB=180°，∴∠EPF=∠MPN，∴∠EPM=∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE=PF，在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴OE=OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN，∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，=S△PNF，∴S△PEM=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，∴S四边形PMON∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故（4）错误，故答案为：（1）（2）（3）【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21．已知，如图△ABC中，AB=6，AC=4，则中线AD的取值范围是1＜AD ＜5．【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=8，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，解答此题的关键是运用“中线倍长法”．22．在△ABC中，∠B=36°，若过点A的直线能把三角形划分成两个等腰三角形，那么△ABC最大的内角是72°，90°，108°，126°．【分析】分为以下情况：①当最大角是72°时，如图∠A=36°，AD=BD=BC；②当最大角是90°时，如图∠B=36°，AD=AC，CD=BD；③当最大角是108°时，如图∠B=36°，BD=AB，AD=DC；④当最大角是132°时，如图∠ABC=36°，AD=BD，CD=BC，⑤当最大角是∠A=126°，∠B=36°，AD=AB=CD．【解答】解：当36度的角是所在的小等腰三角形的底角时：①另一个三角形的腰是36°角所在三角形的腰时：∠A=36°，AD=BD=BC，则最大角是72°；，2）另一个三角形的腰是36°角所在三角形的底边时：有两种情况：①∠B=36°，AD=AC，CD=BD，当最大角是90°；②当最大角是108°时，如图∠B=36°，BD=AB，AD=DC，当最大角是∠A=126°，∠B=36°，AD=AB=CD（如图），故答案为：72°，90°，108°，126°．【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的判定等知识点的理解和掌握，能找出所有的情况是解此题的关键，题型较好，能锻炼学生的能力．三．解答题（共5小题）23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；（2）若∠C=30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据余角的性质即可得到∠5=∠C；由AD平分∠MAC，得到∠3=∠4，根据三角形的外角的性质得到∠BAD=∠ADB，推出△BAD是等腰三角形，于是得到结论．（2）根据∠5=∠C=30°，AM⊥BC，可得∠ABD=60°，∠CAM=60°，进而得到∠ADB=∠3+∠C=60°，∠BAD=60°，依据∠ABD=∠BDA=∠BAD，可得△ABD是等边三角形．【解答】解：（1）BE垂直平分AD，理由：∵AM⊥BC，∴∠ABC+∠5=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠5=∠C；∵AD平分∠MAC，∴∠3=∠4，∵∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C，∴∠BAD=∠ADB，∴△BAD是等腰三角形，又∵∠1=∠2，∴BE垂直平分AD．（2）△ABD是等边三角形．理由：∵∠5=∠C=30°，AM⊥BC，∴∠ABD=60°，∵∠BAC=90°，∴∠CAM=60°，∵AD平分∠CAM，∴∠4=∠CAM=30°，∴∠ADB=∠3+∠C=60°，∴∠BAD=60°，∴∠ABD=∠BDA=∠BAD，∴△ABD是等边三角形．24．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．（1）如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°﹣18°=57°，于是得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110°，∵∠BAD=80°，∴∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=180°﹣35°﹣30°﹣75°=40°；（2）∵∠ACB=75°，∠CDE=18°，∴∠E=75°﹣18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°，∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，∴∠BAD=36°；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，∴，（2）﹣（1）得α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．25．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点P为边BC上的一点，BC=3BP，且∠PAB=15°点C关于直线PA的对称点为D，连接BD，又△APC的PC边上的高为AH（1）求∠BPD的大小；（2）判断直线BD，AH是否平行？并说明理由；（3）证明：∠BAP=∠CAH．【分析】（1）根据点C关于直线PA的对称点为D，即可得到△ADP≌△ACP，进而得出∠APC=∠APD=60°，即可得到∠BPD=180°﹣120°=60°；（2）先取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BCDE为等腰三角形，进而得到∠DBP=90°，即BD⊥BC．再根据△APC的PC边上的高为AH，可得AH⊥BC，进而得出BD∥AH；（3）过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．根据∠GBA=∠CBA=45°，可得点A在∠GBC的平分线上，进而得到点A在∠GDP的平分线上．再根据∠GDP=150°，即可得到∠C=∠ADP=75°，进而得到Rt△ACH中，∠CAH=15°，即可得出∠BAP=∠CAH．【解答】解：（1）∵∠PAB=15°，∠ABC=45°，∴∠APC=15°+45°=60°，∵点C关于直线PA的对称点为D，∴PD=PC，AD=AC，∴△ADP≌△ACP，∴∠APC=∠APD=60°，∴∠BPD=180°﹣120°=60°；（2）直线BD，AH平行．理由：∵BC=3BP，∴BP=PC=PD，如图，取PD中点E，连接BE，则△BEP为等边三角形，△BCDE为等腰三角形，∴∠BEP=60°，∴∠BDE=∠BEP=30°，∴∠DBP=90°，即BD⊥BC．又∵△APC的PC边上的高为AH，∴AH⊥BC，∴BD∥AH；（3）如图，过点A作BD、DP的垂线，垂足分别为G、F．∵∠APC=∠APD，即点A在∠DPC的平分线上，∴AH=AF．∵∠CBD=90°，∠ABC=45°，∴∠GBA=∠CBA=45°，即点A在∠GBC的平分线上，∴AG=AE，∴AG=AF，∴点A在∠GDP的平分线上．又∵∠BDP=30°，∴∠GDP=150°，∴∠ADP=×150°=75°，∴∠C=∠ADP=75°，∴Rt△ACH中，∠CAH=15°，∴∠BAP=∠CAH．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质的运用，解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．26．如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE=CA；（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．【分析】（1）实际上也就是求两条线段相等，在AC上取一点F，使CF=CD，然后求证△ADF≌△EDC即可．（2）归根究底仍是求两条线段的问题，通过求证全等，最终得出几条边之间的关系．【解答】（1）证明：在AC上取点F，使CF=CD，连接DF．∵∠ACB=60°，∴△DCF为等边三角形．∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°．∴∠3=∠5．∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE，∴∠1=∠2．在△ADF和△EDC中，，∴△ADF≌△EDC（AAS）．∴CE=AF．∴CD+CE=CF+AF=CA．（2）解：CD、CE、CA满足CE+CA=CD；证明：在CA延长线上取CF=CD，连接DF．∵△ABC为等边三角形，∴∠ACD=60°，∵CF=CD，∴△FCD为等边三角形．∵∠1+∠2=60°，∵∠ADE=∠2+∠3=60°，∴∠1=∠3．在△DFA和△DCE中，∴△DFA≌△DCE（ASA）．∴AF=CE．∴CE+CA=FA+CA=CF=CD．注：证法（二）以CD为边向下作等边三角形，可证．证法（三）过点D分别向CA、CE作垂线，也可证．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键．27．如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；（2）如图2，若AB=8，点P、Q两点在直线BE上且CP=CQ=5，试求PQ的长；（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再求出∠ACD=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）过点C作CN⊥BQ于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得PQ=2PN，CM⊥AD，根据全等三角形对应边上的高线相等可得CN=CM，然后利用勾股定理列式求出PN的长度，从而得解；（3）根据（2）的结论，点C到PQ的距离等于CM的长度，是定值，所以，PQ的长是定值不变．【解答】解：（1）AD=BE．理由如下：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）如图，过点C作CN⊥BQ于点N，∵CP=CQ，∴PQ=2PN，∵△ABC是等边三角形，AM是中线，∴CM⊥AD，CM=BC=×8=4，∴CN=CM=4（全等三角形对应边上的高相等），∵CP=CQ=5，∴PN===3，∴PQ=2PN=2×3=6；（3）PQ的长为定值6．∵点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，△ACD和△BCE全等，∴对应边AD、BE上的高线对应相等，∴CN=CM=4是定值，∴PQ的长是定值．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据全等三角形对应边上的高线相等求出点C到PQ的距离等于CM是解题的关键．。