浙江专升本—高等数学复习公式(下载)
专升本高等数学公式全集
专升本高等数学公式全集高等数学是专升本考试中的重要科目，掌握好相关公式对于解题和取得好成绩至关重要。
下面为大家整理了一份较为全面的专升本高等数学公式。
一、函数与极限1、函数的基本性质奇偶性：若 f(x) ＝ f(x)，则函数 f(x) 为偶函数；若 f(x) ＝ f(x)，则函数 f(x) 为奇函数。
周期性：若存在非零常数 T，使得对于任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝f(x)，则函数 f(x) 为周期函数，T 为其周期。
2、极限的定义与性质定义：对于数列｛an}，若当 n 无限增大时，an 无限趋近于一个常数 A，则称 A 为数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。
性质：唯一性、有界性、保号性。
3、极限的运算四则运算：若lim(n→∞） an ＝ A，lim(n→∞） bn ＝ B，则lim(n→∞）（an ± bn) ＝ A ± B，lim(n→∞）（an × bn) ＝ A × B，lim(n→∞）（an ／ bn) ＝ A ／ B（B ≠ 0）。
两个重要极限：lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1，lim(x→∞）（1 ＋ 1 ／ x)＾x ＝ e。
4、无穷小与无穷大无穷小：以零为极限的变量称为无穷小。
无穷大：当变量在某个变化过程中绝对值无限增大，则称该变量为无穷大。
无穷小的性质：有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小；无穷小与有界函数的乘积是无穷小。
二、导数与微分1、导数的定义函数 y ＝ f(x) 在 x0 处的导数定义为：f'（x0) ＝lim(Δx→0) f(x0 ＋Δx) f(x0) ／Δx。
2、导数的基本公式（C)＇＝ 0（C 为常数）（x^n)＇＝ nx^（n 1)（sin x)＇＝ cos x（cos x)＇＝ sin x（tan x)＇＝ sec^2 x（cot x)＇＝ csc^2 x（e^x)＇＝ e^x（ln x)＇＝ 1 ／ x3、导数的四则运算（u ± v)＇＝ u' ± v'（uv)＇＝ u'v ＋ uv'（u ／ v)＇＝（u'v uv'）／ v^2 （v ≠ 0）4、复合函数的求导法则若 y ＝ f(u)，u ＝φ(x)，则 dy ／ dx ＝ dy ／ du × du ／ dx5、隐函数的求导法则对于方程 F(x, y) ＝ 0 确定的隐函数 y ＝ y(x)，两边对 x 求导，然后解出 y'。
专升本高等数学公式全集
专升本高等数学公式（全）常数项级数： 级数审敛法：绝对收敛与条件收敛： 幂级数：函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 可降阶的高阶微分方程类型一：()()n y f x = 解法（多次积分法）：(1)()()n duu y f x f x dx -=⇒=⇒令多次积分求类型二：''(,')y f x y = 解法：'(,)dpp y f x p dx =⇒=⇒令一阶微分方程类型三：''(,')y f y y = 解法：'(,)dp dp dy dp p y p f y p dx dy dx dy =⇒==⇒⇒令类型二类型四：)()('x Q y x p y =+若Q(X)等于0，则通解为⎰=-dxx p Ce y )(（一阶齐次线性）。
若不等于0，通解⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x p dx x p )()()(（一阶齐次非线性）。
一阶齐次非线性方程的通解是对应齐次方程的通解与它的一个特解之和。
三、线性微分方程类型一：''()'()0y P x y Q x y ++=（二阶线性齐次微分方程） 解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：12(),()y x y x 则：1122()()()y x c y x c y x =+类型二：''()'()()y P x y Q x y f x ++=（二阶线性非齐次微分方程）解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：31122()()()y x c y x c y x =+ 再找出非齐次方程的任意特解()p y x ，则：1122()()()()p y x y x c y x c y x =++ 类型三：'''0y py q ++=（二阶线性常系数齐次微分方程）解法（特征方程法）：21,20p q λλλ++=⇒=（一）122121240x x p q y c e c e λλλλ∆=->⇒≠⇒=+（二）12120()x y c c x e λλλλ∆=⇒==⇒=+（三）12120,(cos sin )x i i y e c x c x αλαβλαβββ∆<⇒=+=-⇒=+导数公式：基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限： ·和差角公式： ·和差化积公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ中值定理与导数应用： ：空间解析几何和向量代数 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分：。
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高等数学公式导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ·倍角公式： ·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
(完整版)专升本数学公式大全
导数公式:专升本高等数学公式大全2(tgx) sec x (arcsin x)(ctgx) 2 csc x(secx) secx tgx (arccosx)(cscx) cscx ctgx(a x) a x I na(arctgx) (Iog a X) 1 (arcctgx)1 1a r 2 1 X2.1 X2 1 X2基本积分表：三角函数的有理式积分:tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx Ccscxdx In cscx ctgx Cdx 2 .2 sec xdx tgx C cos xdx 2・2 csc xdx ctgx C sin xsecx tgxdx secx Cdx ~2 2 a x 1 丄x arctg C a adx x2a2dx2 2a x 丄ln|x a2a |x a1 , a x In2a a xcscx ctgxdx cscx Cxa x dx CIn ashxdx chx Cchxdx shx C异—arcsin 仝C “ a2 x2 adx 2 2 ——2 2 "( x x a ) C.x a2 2nn sin xdx ncos xdx 0 0'、 2 a dx x 2 x 2 a2x2a2 dx x ..x2a22<a2 2x dx x ■ a2 2 xI n2a . / In(x2a2I ——In x2x2 a2)2a . x arcs in C2 2 a2usinx 2,cosx1 u 2一些初等函数: 双曲正弦:shx 双曲余弦：chx 双曲正切:thxtg2，dx2du V~u\两个重要极限:xxe e2 xxe e2 x x shx e e xxchx e esin x ’ lim 1 x 0x lim(1丄广 x xe 2.718281828459045…arshx ln(x x 2 1) archx In (x x 2 1)arthx 1|n1 x2 1 三角函数公式: •诱导公式：-和差化积公式:sin( )sin coscos sin cos( )cos cossin sin、tg tgtg()1 tg tgctg()ctgctg 1ctgctg-和差角公式: sin sin sinsincos cos cos cos2sin cos — 2 2 2 cossin —222 cos cos —2 2 2 sin ------- s in ------2 2sin 2 2si n cos2 2cos2ctg2 ctg2 2ctgtg2 2tg 2•倍角公式:cos1 -半角公式: 1 1 2si n2 2cos ・2sin sin3 3si ncos3 4cos3tg33tg4sin33cos-3tg~2sin —21 cos21 coscos—21 cos21 cos sinsin 1 cosct g-1 cos sin1 cos sin 1 cos-正弦定理：，一sin A sin B 亠2Rsin C -余弦定理:b22abcosC-反三角函数性质: arcs inxarccosx arctgx arcctgx高阶导数公式一一莱布尼兹( Leibniz公式:(uv)(n)nCnU(nk 0k)v(k)u(n)v nu(n 1)v n(n 1)u2!(n 2)vn(n 1) (n kk!1) (n k)v(k)uv(n)中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:柯西中值定理: f(b)f(b)f (a)f (a)F ()f ( )(b a))当F(x) x时,曲率：F(b) F(a)柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
浙江专升本数学公式
高等数学公式导数公式：ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx x x csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22⋅-='⋅='-='='22211)(11)(arccos 11)(arcsin x arctgx x x x x ='--='-='⎰++-=-Cax a x a x dx x a arcsin 2222222三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 两个重要极限：·和差角公式：·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos 2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( ...sin =xx·倍角公式：(αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==定积分的近似计算：⎰⎰⎰----+++++++++-≈++++-≈+++-≈ban n n ban n ban y y y y y y y y nab x f y y y y n a b x f y y y nab x f )](4)(2)[(3)(])(21[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：。
专升本高等数学公式全集
专升本高等数学公式全集高等数学是专升本考试中的重要科目，掌握好相关公式是取得好成绩的关键。
以下为大家整理了一份较为全面的专升本高等数学公式，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数的定义：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D，按照某种确定的对应关系 f，变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)， x ∈ D。
函数的定义域：使函数有意义的自变量 x 的取值范围。
函数的值域：函数值的集合。
2、极限的概念数列的极限：对于数列｛an}，如果当 n 无限增大时，数列的项 an 无限趋近于一个常数 A，则称 A 为数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞）an ＝ A。
函数的极限：当自变量x 趋近于某个值x0（或趋近于无穷大）时，函数 f(x) 趋近于一个常数 A，则称 A 为函数 f(x) 在该点的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A 或lim(x→∞） f(x) ＝ A。
3、极限的运算四则运算：若lim(x→x0) f(x) ＝ A，lim(x→x0) g(x) ＝ B，则lim(x→x0) f(x) ± g(x) ＝ A ± Blim(x→x0) f(x) × g(x) ＝ A × Blim(x→x0) f(x) ／ g(x) ＝ A ／ B （B ≠ 0）无穷小量与无穷大量：无穷小量：以 0 为极限的变量。
若lim(x→x0) f(x) ＝ 0，则称 f(x) 是x → x0 时的无穷小量。
无穷大量：绝对值无限增大的变量。
若lim(x→x0) f(x) ＝∞，则称f(x) 是x → x0 时的无穷大量。
无穷小量的性质：有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量；无穷小量与有界量的乘积是无穷小量。
无穷小量与无穷大量的关系：在自变量的同一变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，无穷小量的倒数是无穷大量。
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常数项级数： 专升本高等数学公式（全）n等比数列： 1 qq 2q n 11 q1 q等差数列： 1 2 3 n ( n 1) n2调和级数： 11 1231 是发散的n级数审敛法：1、正项级数的审敛法 — —根植审敛法（柯西判1时，级数收敛 别法）：设：lim nn u n ，则1时，级数发散 1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设：limnU n 1 ，则U n1时，级数发散 1时，不确定3、定义法： s nu 1 u 2 u n ; lim ns n 存在，则收敛；否则发散。
交错级数 u 1 u 2 u 3 u 4u n(或 u n 1u 1 u 2 u 3 ,u n0) 的审敛法— —莱布尼兹定理：如果交错级数满足lim u nn，那么级数收敛且其和 s 0u 1,其余项r n 的绝对值 r n u n 1 。
绝对收敛与条件收敛：(1) u 1 u 2 u n (2) u 1u 2u 3，其中 u nu n 为任意实数；如果 ( 2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果 ( 2)发散，而 1 (1) 收敛，则称 ( (1) 为条件收敛级数。
1) n调和级数：发散，而 n 收敛； n 级数： 1收敛； n 2p 级数： 1n pｐ １时发散 p 1时收敛2 n 03幂级数：1 x x2x3xnx 1时，收敛于11 xx 1时，发散对于级数 ( 3) a 0a 1 x a x 2a xnx，如果它不是仅在原点 R 时收敛收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存在R ，使x R 时发散 xR 时不定，其中 R 称为收敛半径。
0时， R1求收敛半径的方法：设limna n 1a n ，其中 a n ， a n 1是(3)的系数，则0时， R时， R 0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f ( x )f ( x 0 )( xx 0 )f ( x 0 ) ( x 2!x 0 )f( n)( x ) ( x n!x 0 )余项： Rf ( n 1)( )( x x ) n1, f ( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R(n 1)!f ( 0) 2 nnf( n )( 0)nx 00时即为麦克劳林公式：f ( x ) f ( 0) f ( 0) xx x2!n!一些函数展开成幂级数：(1 x)1 mx m( m 2!1) x m( m 1) ( m n!n 1) x( 1x 1)sin xxx x ( 1) n 12 n 1( x)3!5!( 2 n 1)!可降阶的高阶微分方程类型一： y( n )f ( x)解法（多次积分法）： 令u ydu f (x)dx多次积分求f ( x)类型二： y '' f (x, y ')解法： 令p y 'dp f ( x , p )dx一阶微分方程类型三： y '' f ( y, y ')m2n( n 2nn5 x1)p( x) dx1 212121 2121 2解法： 令p y 'dp dp dy p dpf ( y , p )类型二dxdy dx dy类型四： y 'p ( x ) y Q ( x )若 Q(X) 等于 0，则通解为 y Ce（一阶齐次线性）。
高数专升本公式汇总
高数专升本公式汇总以下是一些高数专升本常用的公式汇总：1. 三角函数相关公式：- 数学常数：π≈3.14159;- 三角函数关系：sin(θ)=cos(90°−θ); cos(θ)=sin(90°−θ);- 三角函数的基本关系式：sin^2(θ)+cos^2(θ)=1;- 三角函数的和差倍角公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;- 二倍角公式：sin2θ=2sinθcosθ;cos2θ=cos^2(θ)−sin^2(θ)=2cos^2(θ)−1=1−2sin^2(θ);- 半角公式：sin(θ/2)=±√[(1−cosθ)/2]; cos(θ/2)=±√[(1+cosθ)/2];2. 导数的基本公式：- 基本导数公式：(a^n)'=n×a^(n−1); (sinx)'=cosx; (cosx)'=−sinx; (ex)'=ex; (lnx)'=1/x;- 基本求导法则：- 乘法法则：(u×v)'=u'v+uv';- 除法法则：(u/v)'=(u'v−uv')/v^2;- 链式法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x);3. 微分中值定理：- 罗尔定理：若f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则必存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0;- 拉格朗日中值定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少有一点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)−f(a))/(b−a); - 柯西中值定理：若函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少有一点ξ，使得(f(b)−f(a))/(g(b)−g(a))=(f'(ξ))/(g'(ξ));4. 不定积分公式：- 基本积分表：∫kdx=kx+C; ∫x^n dx=(x^(n+1))/(n+1)+C (其中n≠−1);- 基本积分法则:- 基本积分公式：∫f'(x)dx=f(x)+C;- 代换法则：若∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C，则∫f(u)du=F(u)+C (其中u=g(x));- 分部积分法则：∫u'vdx=uv−∫uv'dx;希望以上的公式对您有所帮助！。
浙江省专升本高等数学归纳总结
等价，
教
育
。
② 常见的几个等价无穷小
(5) 无穷大的性质 ① 有限个无穷大量之积是无穷大量。 ② 有界变量与无穷大量之和是无穷大量。 ③ 无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量。 (6) 无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化的过程中， ① ② ③ 无穷小与无穷大互为“倒数” ，
2
铭
远
专 升
本
。
机 构
′ = − sin (11).(cos x )
′ = (6).(ln x )
x
′ = sec2 x (12).(tan x ) ′ = − csc2 x (13).(cot x )
5
′ = (18).(arctan x )
1 1 + x2 1 1 + x2
′ = − (19).(arc cot x )
= (−1)n ⋅
n！ (1 + x )n + 1
【备注】 ○表示的是同一个公式， 只是变了一个变量 a。
5.隐函数求导
由方程 F (x ,y ) = 0 确定的变量 x 与变量 y 之间的函数关系 y = 隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量 x 求导。
y(x )，称为隐函数。
6.幂指函数求导
左导数和右导数都存在，并且相等。 和 存在，则称 在闭区间[a,b]内可导。 在开区间（a,b）内可导，且
② 右导数
f +′( x0 ) = lim +
h →0
【备注】 ① 函数在点 x0 处可导 ② 函数
2.导数的几何意义
铭
② 法线方程： y -
y0 = -
3.导数公式
(1). C ′ = 0
高等数学各章重要公式及知识点归总
第一章 函数类1. y=x 1，x ≠0 →y=□1，□≠0 （-∞，0）∪（0，+∞）类2.y=2n x ，x ≥0 →y=2n □，□≥0 [0,+∞）反函数（一一对应）1. 函数的定义域对应着反函数的值域 函数的值域对应着反函数的定义域2. 若f （x ）过（a ，b ），f -1（x ）过（b ，a ）3. f （x ）和f -1（x ）的图像关于y=x 对称4.Sinx sin[arcsinx]=x →arcsinx arcsin[sinx]=xEg.f[f -1(3)]=3基本初等函数幂函数：y=x u ，u 取任意的实数 共同点（1，1）偶函数：图像关于y 轴对称 y=x 2 指数函数（变化最快）：y=a x ，a ＞0且a ≠12共同点（0，1）对数函数：y=log a x ，a ＞0且a ≠1 y=a x →log a y=x →y=log a x1.a ＞1 （若a=e ≈2.71 →y=log e x=lnx ） 2.0＜a ＜1共同点（1，0）y=e x 反函数是 y=log e x=lnx反sinx ：ππcosx ：[2k π-π,2k π] k ∈z ，增函数 [2k π,2k π+π] k ∈z ，减函数tanx:单调增区间：z k k π2πk π2π-∈++），（cotx:→1.奇函数：sinx，tanx，cotx原点对称偶函数：cosx y=x对称2.有界函数：sinx，cosx 有界是根据值域定的3.周期函数：sinx，cosx→T=2πtanx，cotx→T=πtanx·cotx=1 sin0=0Sin2x=2sinxcosxCos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x2.特殊角度→函数值反三角函数：arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx arcsinx:arccox:arctanx ：arccotx:→1.奇函数：arcsinx ，arctanx2.有界函数：arcsinx ，arccosx ，arctanx ，arccotxarcsin1=2π arcsin 23=3π arctan1=4π arctan 3=3π定义域： -1≤x ≤1复合函数：y=f （u),u=g （x ） ， y=f[g(x)] Z ⊂D复合1.y=u 2，u=sinx →y=sin 2x2.y=u 3，u=cosv ，v=2x+3→y=cos 3（2x+3） 条件：3.y=arccosu ，u=x 2+3→y=arccos （x 2+3）×初等函数：由基本的初等函数经过有限次的四则运算及复合得到的函数 复合函数的分解：1.由内到外，分解的每一步必须为基本初等型 2.遇到四则运算或基本初等型则停止 e x ,x ≥0 分段函数：f （x ）=X+1，x ＜0取整函数：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作：[x] Eg: [1.5]=1 [2.8]=2 [4.5]=4 [e]=2 [π]=3[-1.5]=-2 [-2.8]=-3 [-4.5]=-5 x-1＜[x]≤x 隐函数：x+y=2，sinx+cosy=3参数方程： x=sint x=t 2+2→y 与x →y 与xy=cost y=3t引入参数，导致y 与x 有联系幂指函数：y=u （x ）v （x ）→1.lny=lnu （x ）v （x ）=v （x ）lnu （x ）2.）（）（）（）（x lnu x v x lnu e ey x v ==，恒等变形函数的性质：必须在所给的定义域内单调性，有界性，周期性，奇偶性1.常见的有界函数：sinx，cosx，arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx2.有界函数的运算：有界+有界=有界有界-有界=有界有界×有界=有界无穷大量±有界一定＞0+∞+有界=+∞－∞+有界=-∞周期函数：sinx→T=2πcosx→T=2πtanx→T=πcotx→T=π奇偶性：1.偶函数：图像关于y轴对称，f（x0）=f（-x0）2.奇函数：图像关于原点对称，f（x0）=-f（-x0）常见的奇函数：sinx，tanx，cotx，arcsinx，arctanx，x n（n为奇数）常见的偶函数：cosx，x n（n为偶数），|x|常熟C C,C≠0→偶函数0，可奇可偶奇偶运算规则：偶偶：+ - ×÷是偶函数→x2，1-x2，x2（1-x）2，1+x2，，cosx1=secx奇奇：+ - 是奇函数x+x3×÷是偶函数x×x=x2x·sinx sin4x=sinx·sinx·sinx·sinx 1+x21+x2 1-x2奇偶：×÷是奇函数x×x2=x3+ - 可奇，可偶，非奇非偶极限等差数列： 1，2，3，4，……，n ，…… 公差d=1，通项x n =n=1+（n-1）×1通项x n =x 1+（n-1）d →等差数列：首项x 1，公差d前n 项和，（求和公式）：2nxn +x1）（等比数列：2，22，23，24，……，2n 公比q=2，x n =2n =2·2n-1 X n =x 1·q n-1 →等比数列：首项x 1（x 1≠0），公比q （q ≠1）前n 项和公式：s n 特殊数列前n 项和：1.2n 1n n 4321k z n 1k ）（+=+⋯⋯++++== 2.=+=+⋯⋯+++==21)n-2n (11)-2n 5311-2k z n 1k （）（n 2 3.1k z n =k 2=12+22+32+……+n 2=61-2n 1n n ））（（+ 4.1k z =∞k 3=13+23+33+……+n 3=]2n 1n [）（+ 2 5.1n 1-n 131-2121-111n n 12?11?11k k 1z n 1k ++⋯⋯++=++⋯⋯++=+=）（）（=1n 1-1+ =1n n + 数列极限的定义：若不存在常数a ，则极限不存在，或x n 发散1-q几何含义：当n>N 时，所有的点x n 都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有N 个）在其外数列的性质：极限存在的充要条件：左极限=右极限1.唯一性2.有界性：|x n -a|＜ξ3.保号性：∀ξ＞0，∃n ＞N ，使得|x n -a|＜ξ 若a ＞0，n ＞N 时，x n ＞0 若a ＜0，n ＞N 时，x n ＜0 去心领域：只考虑点a 邻近的点，不考虑点a ，即考虑点集（a-δ，a ）∪（a ，a+δ），称这个点集为点a 的去心邻域函数的极限性质：1.函数极限的唯一性：若A =∞→→）（x f lim x x0x ，则极限必唯一2.函数极限的局部有界性3.函数极限的局部保号性：若A =→）（x f lim x0xA ＞0，0＜|x-x 0|＜δ，f （x ）＞0A ＜0，0＜|x-x 0|＜δ，f （x ）＜0无穷小（无穷小量）与无穷大常数的极限永远是本身关系：1.∞=→）（x f lim x0x →0x f 1limx0x =→）（互为倒数关系2.0x f 0x f lim x0x ≠=→）（且）（→∞=→）（x f 1limx0x01=∞ ∞=01总结：极限不存在的三种情形 1.limf （x ）=∞ 2.左极限≠右极限3.没有确定的函数值极限值区间内波动]1,1[sinx lim x -=∞→方法一：000=⨯=⨯有界）无穷小量（即无穷小量有界函数 方法二:四则运算：（极限存在，则可以拆） 1.lim[f （x ）±g （x ）]=limf （x ）±limg （x ）=A ±B 2.lim[f （x ）·g （x ）]=limf （x ）·limg （x ）=A ·B 3.）（）（）（）（）（0x lim g x lim f x g x f lim≠==B BA 4.limC ·f （x ）=C ·limf （x ）=C ·A C 是常数 5.lim[f(x)]n =limf （x ）·limf （x ）……=A n总结：x →x 0时，x 0在初等函数定义域内，可直接将值代入求极限 方法三：消0因子法（0）方法四：抓大头思想（∞∞） 方法五：利用分子有理化求极限 方法六：先求和再求极限 方法七：先求积再求极限方法八：利用夹逼准则求极限（找两边） 极限存在准则：1.夹逼准则（1）x n ≤y n ≤z n ，且a zn lim a xn lim n n ==∞→∞→，→a yn lim n =∞→（2）g （x ）≤f （x ）≤h （x ），且A A ==）（，）（x lim h x lim g →A =）（x limf2.单调有界数列必有极限→{x n }单调增且有上届→则{x n }必有极限 数列是以点的形式→{x n }单调减且有下届→则{x n }有极限 方法九：利用两个重要极限求极限0·∞ 谁简单就把谁往下放 ① 1□□sin lim 1x sinx lim0□0x =→=→→1.sin □和分母中的□必须保持一致 → 12xsin2xlim 0x =→2.□→00·∞→∞⨯=⨯→001000 →01⨯∞=∞⨯∞→∞∞②e x 1limx1x =+→）（ ①∞1 e x11limxx =+∞→）（ ②1+形式→e □1lim 0□□1=+→时）（e n 11lim nn =+∞→）（ ③互为倒数总结：若今后遇到∞1型①若)()](1[lim x g x f + 为∞1，则原式=）（）（x g x limf e②若）（x g )]([lim x f 为∞1，则原式=）（x g ]1)([lim e ⨯-x f方法十：利用等价无穷小求极限 → 无穷小的比较→型→0，∞，c （c ≠0） 常用的等价无穷小的公式：前提条件 ： □→0Sin □~□ ， tan □~□ ， arcsin □~□ ， arctan □~□注意1.因子：只有乘除关系，等价必须是因子 2.非0因子直接代入方法十一：利用左右极限求极限左极限：0-0x x x x x f lim -0＜），（→ 右极限：+→+00x x x x x f lim 0＜），（极限存在的充要条件：若A A =→→=+→→→）（）（）（x f lim x f lim x f lim 0-0x x x x x x左极限=右极限极限不存在：1.limf （x ）=∞2.左极限≠右极限3.没有确定的函数值极限值区间内波动]1,1[sinx lim x -=∞→注意：分段函数分界点要分左右极限 已知极限求反参数幂指函数方法处理：连续与间断→极限的应用设f （x ）在x 0的邻域内又定义，如果）（）（0x x x f x f lim 0=→，则称f （x ）在x 0处连续。
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浙江专升本—高等数学复习公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xx x x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()()()()()())(()()(ξξξ曲率：.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααααααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==定积分的近似计算：⎰⎰⎰----+++++++++-≈++++-≈+++-≈ban n n ban n ba n y y y y y y y y nab x f y y y y n a b x f y y y nab x f )](4)(2)[(3)(])(21[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：⎰⎰--==⋅=⋅=bab a dt t f a b dx x f a b y k rmm k F Ap F sF W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。
代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθϕϕ,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(2222222212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M Md zyx z y xzy xzyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x u u⋅⨯==⋅⨯=⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++=⋅=⋅+=+=-+-+-==0000000000001()()()0{,,},(,,)2031,{,,};A x x B y y C z z n A B C M x y z Ax By Cz D x y za b cd x x mtx x y y z z t s m n p y y ntm n p z -+-+-==+++=++===+---=====+=平面的方程：、点法式：，其中、一般方程：、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：空间直线的方程：其中参数方程：0z pt⎧⎪⎨⎪+⎩常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnn n q q q q q nn 1312112)1(32111112+++++=++++--=++++-级数审敛法：散。
存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞→+∞→∞→+++=⎪⎩⎪⎨⎧=><=⎪⎩⎪⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。
的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛１时发散ｐ 级数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。
收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n幂级数：010)3(lim)3(1111111221032=+∞=+∞===≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n nn n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。
，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于ρρρρρ函数展开成幂级数：+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++nn n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ 一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n xx x x x x x n n m m m x m m mx x n n nm 微分方程的相关概念：即得齐次方程通解。