2013年高考数学总复习 4-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件 新人教B版
4．三角函数求值中直角三角形的运用 先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的 直角三角形． ，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号 即可．
※5.同角三角函数关系的六边形法则
记忆：上弦中切下割，左正右余中 1，倒数对角线、 平方倒三角、乘积两边夹、商数依次除．
应用：寻找解题途径． 如已知 sinα ①利用平方关系可求 cosα，进而求 tanα，cotα. ②利用倒数关系可求 cscα，进而可求 cotα 等．
α 为第二象限角 2 α 为第四象限角 2
α π 2sin ＋ . 2 4
答案：±
α π 2sin ＋ 2 4
1－2sin40° cos40° (2011· 衡水一模) ＝________. 2 cos40° 1－sin 50° －
3．在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应 注意公式中符号的选取．应用公式时把角 α 看成锐角 ， ．．．． 如果出现 kπ±α 的形式时， 常对 k 值是奇数还是偶数进行 分类讨论，以确定角所在的象限． 4．要熟记特殊角的三角函数值．
解题技巧 1．怎样计算任意角的三角函数值 计算任意角的三角函数值，主要是运用诱导公式化 任意角三角函数为锐角三角函数，其一般步骤是： (1)负化正：当已知角为负角时，先利用－α 的诱导 公式把这个角的三角函数值化为正角的三角函数值；
5 解法 2：设 tanα1＝ ，α1 为锐角， 12 5 如图在 Rt△ABC 中，由 tanα1＝ ， 12 设 AC＝5，BC＝12，则 AB＝13， ∴sinα1＝ 5 ， 13
5 ∵α 为第二象限角，∴sinα>0，从而 sinα＝ . 13
解法 3：∵α 是第二象限角，∴sinα>0，排除 B、D， sinα 5 又 tanα＝ ＝－ ， 由勾股数组 5,12,13 知排除 A， cosα 12 ∴选 C.
[例 2] 已知 sinα· cosα<0，sinαtanα>0，化简 α cos · 2 α 1－sin 2 α ＋sin · α 2 1＋sin 2 α 1＋cos 2 ＝________. α 1－cos 2
分析：由 sinα· cosα<0，sinαtanα>0 可以判断角 α 所 α 在的象限，进一步可知 角所在的象限，注意到根号前的 2 因式，可将根号下的分母利用平方关系乘以它的平方差 因子化为与根号前因式相同的函数可以约分，最后整理 即可．
π (文)(2011· 福建文，9)若 α∈(0， )，且 sin2α＋cos2α 2 1 ＝ ，则 tanα 的值等于( 4 2 A. 2 C. 2 ) 3 B. 3 D. 3
解析：sin2α＋cos2α＝sin2α＋cos2α－sin2α 1 ＝cos α＝ ， 4
2
π 1 3 ∵α∈(0， )，∴cosα＝ ，sinα＝ ， 2 2 2 ∴tanα＝ 3.
[ 例 3]
已知
(
) A．2 C．0 B．－2 2 D. 3
π sin ＋θ－cosπ＋θ cosθ＋cosθ 2 解析： ＝ π cosθ－sinθ sin －θ－sinπ－θ 2
2 2 ＝ ＝ ＝－2.故选 B. 1－tanθ 1－2
答案：B
5 π (文)(2011· 天津模拟)若 cos(2π－α)＝ 且 α∈(－ ， 3 2 0)，则 sin(π－α)＝( 5 A．－ 3 1 C．－ 3 ) 2 B．－ 3 2 D．± 3
π 4 － ，0，cosα＝ ， α∈ 5 2
π 4 解析：∵－ <α<0，cosα＝ ， 2 5 3 sinα 3 ∴sinα＝－ 1－cos α＝－ ，∴tanα＝ ＝－ ， 5 cosα 4
2
2tanα 24 ∴tan2α＝ ，故选 A. 2 ＝－ 7 1－tan α
答案：A
3．“1”的代换 在求值、化简、证明时，常把数 1 表示为三角函数式 或特殊角的三角函数值参与运算，使问题得以简化．常见 的代换有： 1＝sin2α＋cos2α 1＝sec2α－tan2α＝csc2α－cot2α 1＝cosα· secα＝sinα· cscα 1＝tan45° ＝tanα· cotα＝cot45° 1＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα 等等．
(2)正化主：当已知角不在区间[0° ，360° )时，可用 k· ＋α 的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区 360° 间[0° ，360° )上的角的三角函数值； (3)主化锐：当已知角是 90° 360° 到 间的角时，可利 用 180° α，360° ± －α 的诱导公式把这个角的三角函数值 化为 0° 90° 到 间的角的三角函数值(对于非特殊角用查表 或用计算器求出结果)．
5 5 解析：∵cos(2π－α)＝ ，∴cosα＝ ， 3 3 π 2 ∵α∈(－ ，0)，∴sinα＝－ ， 2 3 2 ∴sin(π－α)＝sinα＝－ . 3
答案：B
π 3π (理)(2011· 绍兴模拟)已知 α∈( ， )，tan(α－7π)＝ 2 2 3 － ，则 sinα＋cosα 的值为( 4 1 A．± 5 1 C. 5 ) 1 B．－ 5 7 D．－ 5
解析：∵sinα· cosα<0，∴α 为第二或第四象限角， 又∵sinα· tanα>0，∴α 为第四象限角， α ∴ 为第二或四象限角． 2
α α 1－sin 1＋cos α 2 α 2 ∴原式＝cos · ＋sin · 2 α 2 α cos sin 2 2 α α sin 2 ＋cos2 ＝ －sinα－cosα 2 2 ∴原式＝±
误区警示 1．已知角 α 的某一种三角函数值，求角 α 的其余 5 种三角函数值时， 如果应用平方关系， 就要进行分类讨论， 先确定角的终边所在的象限，再确定三角函数值的符 号．要注意公式的合理选择和方法的灵活性． 2．在利用同角三角函数的基本关系化简、求值时， 要注意用“是否是同角”来区分和选用公式．
5 答案：(1)－ 3
3 (2) 5
点评：形如 asinα＋bcosα 和 asin2α＋bsinαcosα＋ ccos2α 的式子分别称为关于 sinα、cosα 的一次齐次式和 二次齐次式．若已知 tanα＝m，求涉及它们的三角式的 值时，常作①1 的代换，②sinα＝mcosα 代入，③选择题 常用直角三角形法求解，④所给式是分式时，常用分子、 分母同除以 coskα(k＝1,2，„)变形．
2．证明三角恒等式的常用方法 证明三角恒等式的主要思考方法有： (1)化繁为简，即从等式较繁的一边出发，利用三角 公式及变形技巧，逐步变形到等式的另一边． (2)左右归一，当欲证式两边都比较复杂时，把两边 分别变形化简，得到同一个式子． (3)转换命题，即把原命题转化为它的等价命题，简 化证明过程．
1 解析：(1)由 sinx＋cosx＝ ，平方得 sin2x＋2sinxcosx 5 1 24 ＋cos x＝ ，∴2sinxcosx＝－ . 25 25
1 解析：由已知得 tanα＝ ， 2 1 sinα－3cosα tanα－3 2－3 5 ∴(1) ＝ ＝ ＝－ ； 3 sinα＋cosα tanα＋1 1 ＋1 2
sin2α＋sinαcosα (2)sin2α＋sinαcosα＝ sin2α＋cos2α
1 2 1 ＋ 2 tan α＋tanα 2 2 3 ＝ ＝ 2 ＝ . 2 5 1 tan α＋1 ＋1 2
解析：∵A 为第四象限角，∴sinA<0， cosA>0，tanA<0， 由 tanA<0，排除 A、B； 由 sinA<0，cosA>0，cosA＋sinA<0 知|sinA|>|cosA|， 从而|tanA|>1，排除 D，故选 C.
答案：C
(理)(2010· 新乡市模考)已知 则 tan2α 等于( 24 A．－ 7 7 C．－ 24 ) 24 B. 7 7 D. 24
同角三角函数的基本关系
[例 1] ( ) 1 A. 5
5 α 是第二象限角，tanα＝－ ，则 sinα 等于 12
1 B．－ 5
5 C. 13
5 D．－ 13
sin2α＋cos2α＝1 解析：解法 1：∵ sinα ， 5 cosα ＝－12 5 解得 sinα＝± .又∵α 为第二象限角， 13 5 ∴sinα>0，∴sinα＝ .故选 C. 13
答案：D
(理)(2011· 镇江模拟)已知 tanθ＝2， sin2θ＋sinθcosθ 则 －2cos2θ＝( 4 A．－ 3 C．－ 3 4 ) 5 B. 4 4 D. 5
解析：sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ ＝ sin2θ＋cos2θ tan2θ＋tanθ－2 4＋2－2 4 ＝ ＝ ＝ . 5 tan2θ＋1 4＋1
答案：D
利用方程的思想解决三角问题
[例 5]
π 1 已知－ ＜x＜0，sinx＋cosx＝ . 2 5
(1)求 sinx－cosx 的值； sin2x＋2sin2x (2)求 的值． 1－tanx
分析：(1)(sinx± cosx)2＝1± sin2x，从而 sinx＋cosx 与 sinx－cosx 通过平方关系可相互转化． (2)由(1)获得 sinx－cosx 的值后，只须运用 sin2x＝ sinx 2sinxcosx 及 tanx＝ ，即可化简． cosx
3 π 3π 解析：∵tan(α－7π)＝tanα＝－ ，α∈( ， )， 4 2 2 π 3 4 ∴α∈( ，π)，sinα＝ ，cosα＝－ ， 2 5 5 1 ∴sinα＋cosα＝－ . 5
答案：Bபைடு நூலகம்
同角三角函数关系的综合应用
tanα [例 4] 已知 ＝－1，求下列各式的值： tanα－1 sinα－3cosα (1) ＝________； sinα＋cosα (2)sin2α＋sinαcosα＝________. 分析：由已知可以求出 tanα，再由同角三角函数关系式 可以求得 sinα 和 cosα，进而求出(1)、(2)的值．但实际操作 中，往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件．
高中数学人教版一轮复习课件：4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
180°
π
0 -1 0
-5-
1 2 3 4 5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)若 α,β 为锐角,则 sin2α+ cos2β=1. ( × ) (2)若 α∈R,则 tan α= (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限” ,其中的 π 奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化. 2 ( ) (4)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角. ( )
)
A.1+ 3 C.-1- 3
B.1- 3 D.-1+ 3
关闭
tan 300°+sin 450°=tan(360°-60°)+sin(360°+90°) =tan(-60°)+sin 90°=-tan 60°+1=1- 3.
关闭
B
解析 答案
-8-
1 2 3 4 5
4.(2015 广州调研)已知 sin A.2 5
B.-
1 5
5π + ������ 2 1 C. 5
=
1 ,那么 5 2 D. 5
cos α= (
)
关闭
∵sin
C
5π 2
+ ������ =sin
1
π 2
+ ������ =cos α,关闭Leabharlann ∴cos α=5.故选 C.
解析
答案
-9-
1 2 3 4 5
5.(教材习题改编P22T3)已知tan θ=2,则sin θcos θ=
4 sin������ cos������
2
=
2tan ������ -3 2×2-3 4tan ������ -9 4×2-9
高考数学总复习第四章三角函数、解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件理新人教A版
)
关闭
(1)× (2)× (3)× (4)×
答案
-6知识梳理 考点自测
1 2 3
3π -������ 2 4 B.3
4
5
2.已知 cos A.-3
4
=
3 π , 且|θ|< , 则 tan θ= ( 5 2 3 3 C.-4 D.4
)
关闭
∵cos
3 π ∴sin θ=-5.又|θ|< 2 , 4 3 ∴cos θ=5,则 tan θ=-4.
一 角 二 三 -α 四 π -α 五
π 2
六
π 2
2kπ+α π+ α (k∈Z)
-α
+α
正弦 sin α 余弦 cos α 正切 tan α
-sin α -sin α -cos α cos α
tan α -tan α
sin α cos α -cos α sin α
-tan α
cos α -sin α
4.2 同角三角函数的基本关系及 诱导公式
-2知识梳理 考点自测
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α= 1
sin������ (2)商数关系: = cos������
.
π + ������π,������∈Z 2
tan α
������ ≠
.
-3知识梳理 考点自测
2.三角函数的诱导公式
口诀 函数名不变,符号看象限
函数名改变, 符号看象限
-4知识梳理 考点自测
特殊角的三角函数值
角α 角α的
0° 0
30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° π
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件 理 新人教A版
∴
sin������ cos������
= =
4 5
-
,
3 5
∴tan
,
α=-43.
(2)co
s2
1 ������-si
n
2 ������
= = si n2������+co s2������
co s2������-si n2������
si n 2������ +co s 2������ co s 2������
(1)对任意的角α,β有sin2α+cos2β=1.( )
(2)若 α∈R,则 tan α=csoins������������恒成立. (
)
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.( )
(4)若 cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则 cos θ=13. ( )
(1)× (2)× (3)× (4)×
3.关于sin α,cos α的齐次式,往往化为关于tan α的式子.
考点1 考点2 考点3
对点训练1(1)已知2sin αtan α=3,则cos α的值是( )
(∴又1)2∵DA(c2.oc)-os已12由sα知α+已∈3tc知a[o-n1s得,αα1=-]B22,-s.=43-i.n1202,α(c=o3scαo+s 2α),(C2c.34os
关闭
答案
-6-
知识梳理 考点自测
12345
2.已知 cos
3π 2
-������
=
3 5
,且|θ|<π2,则
tan
θ=
(
)
A.-43
B.43
C.-34
2013届高考数学第1轮总复习4.2同角三角函数的关系与诱导公式课件理(广西专版)
(2)因为 f(tanα)＝3sin2α－2sinαcosα－3 ＝3sinsi2nα2－α＋2scionsα2cαosα－3 ＝3tatna2nα2－α＋2t1anα－3. 所以 f(cosθ－sinθ)＝f(－43)＝3×1961－96＋2×1 －43－3＝－235.
参考题
题型 ：“1”的妙用
已知 sin(π－θ)，cosθ 是方程 3x2－ 2x ＋m＝0 的两个根，且2π<θ<π.
(1)求 m 与 sinθ－cosθ 的值； (2)若 f(tanα)＝3sin2α－2sinαcosα－3， 求 f(cosθ－sinθ)的值．
解：(1)依题意ssiinnππ－－θθ＋·cocsoθs＝θ＝m3
角的范围不能确定，则注意分类讨论.
• 已知tanα=m(m＜0)，求sinα的值.
•
因为tanα=m＜0，
• 所以α在第二、四象限.
• 当α在第二象限时,
sec - 1 tan2 - 1 m2 ,
•
当sinα在 第tan四 c象os限时stae，nc -
m; 1 m2
sec 1 m2 ,
1
sin2 cos2
(1- sin )(1 sin )
1
-
cos2
1
cos2
(1 sin )2 cos2
•
1
- 1 sin
cos2 1 -cos
-cos
• •
所c以o-s1结- 1论-c成osisn立 .
sin cos
tan
•
=右边，
【点评】：解决有关三角函数式的化简与证 明的问题,关键是合理选择公式和变形方向,如 异名化同名、整体代换、切化弦,等等.
第4章 §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第四章§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.同角三角函数的基本关系sin2α＋cos2α＝1(1)平方关系： .(2)商数关系： .2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－α正弦sin α___________________________余弦cos α____________________________正切tan α___________－tan α 口诀奇变偶不变，符号看象限－sin α－sin αsin αcos αcos α－cos αcos α－cos αsin α－sin αtan α－tan α同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( )(2)若α∈R ，则tan α＝ 恒成立.( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )√×××教材改编题＝－sin 2α.－sin 2αT A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一同角三角函数基本关系例1 (1)已知cos α＝，则13sin α＋5tan α＝ .0∴α是第二或第三象限角.①若α是第二象限角，②若α是第三象限角，综上，13sin α＋5tan α＝0.sin2α＋sin αcos α＋2因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，教师备选√可得tan α＝2，√由诱导公式得因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.√方法一 因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2，＝sin θ(sin θ＋cos θ)题型二诱导公式√√教师备选√易知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，√所以tan x＝－3，(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.跟踪训练2 (1)已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α) 0＝ .因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)](2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则＝ .3由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用。
同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
3．“1”的代换 在求值、化简、证明时，常把数 1 表示为三角函数式或特 殊角的三角函数值参与运算， 使问题得以简化． 常见的代换有： 1＝sin2α＋cos2α 1＝tan45° ＝tanα· cotα 1＝(sinα＋cosα)2－2sinαcosα 等等．
4．三角函数求值中直角三角形的运用 先根据所给三角函数值， 把角看成锐角构造相应的直角三 角形． ，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即可． ※5.同角三角函数关系的六边形法则
5 解法 2：设 tanα1＝ ，α1 为锐角， 12 5 如图在 Rt△ABC 中，由 tanα1＝12， 设 AC＝5，BC＝12，则 AB＝13， 5 ∴sinα1＝13， 5 ∵α 为第二象限角，∴sinα>0，从而 sinα＝13.
解法 3：∵α 是第二象限角，∴sinα>0，排除 B、D， sinα 5 又 tanα＝cosα＝－12，由勾股数组 5,12,13 知排除 A， ∴选 C.
4 4 2 tan2θ－tanθ－2 －3 ＋3－2 2 ＝ ＝ 4 ＝5. 2 tan θ＋1 － 2＋1 3
π 1 2 (文)(2011· 福建文)若 α∈(0， )， sin α＋cos2α＝ ， tanα 且 则 2 4 的值等于( 2 A. 2 C. 2 ) 3 B. 3 D. 3
5 α 是第二象限角， tanα＝－ ， sinα 等于( 则 12 1 B．－ 5 5 C. 13 5 D．－ 13
)
sin2α＋cos2α＝1， 解析：解法 1：∵ sinα 5 cosα＝－12. 5 解得 sinα＝± .又∵α 为第二象限角， 13 5 ∴sinα>0，∴sinα＝ .故选 C. 13
2 2 ＝ ＝ ＝－2.故选 B. 1－tanθ 1－2
高考数学(理)总复习课件：同角三角函数的基本关系与诱导公式
D. 1＋k2
[解析] 由cos α＝k，k∈R，α∈ π2，π ，可知k＜0，设
角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，|OP|＝1，所以 k2＋y2＝1，得
y＝ 1－k2，由三角函数定义可知sin α＝ 1－k2.
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1 (2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝___4_4_2___. [解析] 因为sin 1°＝cos 89°，所以sin21°＋sin289°＝ cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋ sin246°＝1，而sin245°＝12，故原式＝44＋12＝4412.
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考点二 诱导公式的应用[师生共研过关]
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[典例精析]
(1)设f(α)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α 1＋sin2α＋cos32π＋α－sin2π2＋α
(1＋2sin
α≠0)，则f－236π＝____3____.
[解析] 因为f(α)＝
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (2)sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1. (3)若α∈R，则tan α＝csions αα恒成立． (4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (5)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝13.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2＝
sin2α＋sin αcos α sin2α＋cos2α
＋2＝
tan2α＋tan tan2α＋1
α＋2＝121222＋ ＋121＋2＝153.
考法(三) “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系的应用 返回
【高考调研】高考数学总复习 4-2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式配套课件 理 新人教A版
第 2 课时 同角三角 函数的基本关系式及诱导公式
2013•考纲下载
1．借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式：sin2α ＋cos2α＝1，csionsαα＝tanα，掌握已知一个角的三角函数值求其他 三角函数值的方法．
2．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(π2±α，π±α 的 正弦、余弦、正切)，经历并体验用诱导公式求三角函数值，感 受诱导公式的变化规律．
思考题 4 已知 tanα＝2，求sinαc＋ os2cαosα2的值．
【解析】 方法一 原式可化为sin2α＋cocos2sα2α－＋si2ns2iαnαcosα 分子、分母同除以 cos2α tan2α1＋－2tatann2αα＋1＝－3.
方法二 原式可化为 csoinsα2α＋－csoisnα2α2＝cosα－sisninαα＋ccoossαα＋2 sinα ＝scionsαα＋－csoinsαα＝t1a－nαt＋an1α＝－3. 【答案】 －3
tanα －tanα
1．(课本习题改编)sin2 490°＝________；
cos(－335π)＝________.
答案
－12
1 2
2．若 tanα＝2，则2sisninαα＋－2ccoossαα的值为
A．0
3 B.4
C．1
5 D.4
答案 B 解析 2sisniαnα＋－2ccoossαα＝2ttaannαα＋－21＝42－ ＋12＝34.
高考数学总复习 第四章4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式教案 理 北师大版
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第四章4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式考纲要求1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝πtan π2k αα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭＋(k ∈Z ))．2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2α±，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：__________； (2)商数关系：__________； (3)倒数关系：__________. 2．诱导公式总口诀为：奇变偶不变，符号看象限，其中“奇”“偶”是指“k ·π2±α(k ∈Z )”中k 的奇偶性；“符号”是指把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成__________时原函数值的符号；π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( )．A ．－1213B ．1213C ．±1213D ．5122．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝( )．A ．65B ．95C ．43D ．533．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( )．A ．15B ．－15C ．513D ．－5134．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是________．思维拓展1．有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α.2．“符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限的角．一、同角三角函数关系式的应用【例1－1】已知tan α＝14，则cos 2α＋sin 2α的值为__________．【例1－2】已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 方法提炼1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.请做[针对训练]1二、诱导公式的应用 【例2－1】化简：sin(540°－x )tan(900°－x )·1tan(450°－x )tan(810°－x )·cos(360°－x )sin(－x )＝__________.【例2－2】化简：cos(π＋θ)cos θ[cos(π－θ)－1]＋cos(θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos(θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ.【例2－3】已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2n π)·cos (α－2n π)(n ∈Z )．方法提炼利用诱导公式化简求值时的原则为：1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．请做[针对训练]2三、sin x ±cos x 与方程思想【例3】已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ；(2)sin 3θ－cos 3θ；(3)sin 4θ＋cos 4θ.方法提炼1．已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x ，一般此法不常用，原因是计算麻烦．2．sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为：(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值可求其余两个代数式的值．请做[针对训练]3考情分析从近几年的高考试题来看，同角三角函数的基本关系和诱导公式中是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查诱导公式在三角函数式求值，化简的过程中与同角三角函数的关系式，和差角公式及倍角公式的综合应用，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法．预测2013年高考仍将以诱导公式为主要考点，重点考查考生的运算能力与恒等变形能力．针对训练 1．(2011重庆高考，文12)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝__________.2．已知A ＝sin(k π＋α)sin α＋cos(k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是__________．3．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求m 的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1(2)tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z(3)tan α·cot α＝12．sin α －sin α －sin α sin α cos αcos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α tan α tan α －tan α －tan α 锐角3．0 π6 π4 π3 π2 2π3 56ππ 3π2 0 12 22 32 1 32 120 －1 132 22 12 0 －12－32 －1 0 0 331 3 不存在 － 3 －33不存在基础自测1．A 解析：cos(α－π)＝－cos α＝－513，cos α＝513.sin α＝±1－cos 2α＝±1213，∵α是第四象限角，∴sin α＝－1213.2．B 解析：∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x 2＝1，∴sin 2x ＝45，∴sin 2x ＋1＝95.3．D 解析：由tan α＝sin αcos α＝－512，sin 2α＋cos 2α＝1及α是第四象限角，解得sin α＝－513.4．25 解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得，tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. 考点探究突破【例1－1】1617 解析：cos 2α＋sin 2α＝1－2sin 2α＋sin 2α＝cos 2α＝cos 2αcos 2α＋sin 2α＝11＋tan 2α＝1617. 【例1－2】解：(1)联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1.①②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②.整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α.∵tan α＝－43， ∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257. 【例2－1】sin x 解析：原式＝sin(180°－x )tan(180°－x )·1tan(90°－x )tan(90°－x )·cos x－sin x＝sin x－tan x ·ta n x ·tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan x ＝sin x . 【例2－2】解：原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ. 【例2－3】解：∵cos(π＋α)＝－12.∴－cos α＝－12，cos α＝12.则sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(a ＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin(2n π＋π＋α)＋sin(－2n π－π＋α)sin(2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin(π＋α)＋sin(－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin(π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.【例3】解：(1)∵sin θ－cos θ＝12，∴(sin θ－cos θ)2＝14，即sin 2θ－2sin θcos θ＋cos 2θ＝14.由平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋cos θsin θ＋cos 2θ)．由平方关系及sin θ－cos θ＝12，可得sin 3θ－cos 3θ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116.(3)由(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θ·cos 2θ＋cos 4θ＝1，可得sin 4θ＋cos 4θ＝1－2sin 2θ·cos 2θ＝1－2×964＝2332.演练巩固提升 针对训练1．43 解析：由1＋tan 2α＝1cos 2α，则tan 2α＝169.又因α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，故tan α＞0，则tan α＝43.2．{－2,2} 解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.3．解：由韦达定理可知⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m 2.①②由①式平方得1＋2sin θcos θ＝2＋32，∴sin θcos θ＝34，由②得m 2＝34.∴m ＝32.。
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教版
为( B )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b
5．(2021·唐山模拟)已知sin52π＋α＝35，那么tan α的值为( C )
A．－43
B．－34
C．±43
D．±34
6．(2021·苏州模拟)化简：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosα α＝________. 解析：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosαα＝sin1＋α＋cossinααtcaonsαα＝cos α.
3 4
π，B＝56π，不符合题意，舍去．
综上，C＝172π.
[答案]
7 12π
三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的发掘以及三角形内 角和定理的应用.
(二)创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题
[例2] 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上
有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝23，则|a－b|＝( B )
1 A.5
B．
5 5
25 C. 5
D．1
本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重 考查了逻辑推理与数学运算核心素养．
[题组突破]
1．已知曲线f(x)＝32x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则
2sinsiαn2cαo－s αc＋osc2αos2α＝( C )
1 A.2
B．2
函数名不变 符号看象限
函数名改变，符 号看象限
1．若sin6π－α＝13，则cos3π＋α＝( C )
A．－79
B．－13
1 C.3
D．79
2．化简scions25απ－＋π2α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．