互斥事件与对立事件的概率

考点165 互斥事件与对立事件的概率
1.(11湖北T12)
在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【测量目标】对立事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】
145
28 【试题解析】从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为
()2272
30C 2713
C 1529
P B ⨯==⨯，（步骤1） 所以()()145282915132711=⨯⨯-
=-=B P A P ，所以填145
28
.（步骤2）
2.（11重庆T13）
将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_______． 【测量目标】互斥事件的概率. 【难易程度】中等 【参考答案】
1132
【试题解析】由题意知本题是一个n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，（步骤1） 正面出现的次数比反面出现的次数多包括 正面出现4次，反面出现2次； 正面出现5次，反面出现1次；
正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，（步骤2） ∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是
242611()()22C +55611()()22
C +61()2=1561646464++=1132（步骤3） 故答案为：11
32
3. (10辽宁T3)
两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为
23和3
4
，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
( ) A.
12 B.512 C.14 D.16
【测量目标】互斥事件与对立事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题解析】12()()()P A P A P A =+=
21135
343412
⨯+⨯=.
4.（10重庆T13）
某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为1625
，则该队员每次罚球的命中率为____________． 【测量目标】互斥事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】
35
【试题解析】由251612
=
-p 得5
3=p 5.（09辽宁T19）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为
1
3
.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1:3:6.击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比.
（1）设X 表示目标被击中的次数，求X 的分布列；
（2）若目标被击中2次，A 表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，
求()P A
【测量目标】分布列, 互斥事件与对立事件的概率. 【难易程度】中等
【试题解析】（1）依题意X 的分列为
（2）设A 1表示事件“第一次击中目标时，击中第i 部分”，1,2i =. B 1表示事件“第二次击中目标时，击中第i 部分”,1,2i = 依题意知P （A 1）=P (B 1)=0.1，P （A 2）=P (B 2)=0.3，（步骤1）
11111122A A B A B A B A B = ,（步骤2）
所求的概率为11111122()()()()P A P A B P A B P
A B P A B =+++（） =11111122()()())()()()P A B P A P B P
A P
B P A P B +++（ =0.10.90.90.10.10.10.30.30.28⨯+⨯+⨯+⨯= . （步骤3）
6.(09山东T19)
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分， 在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同 学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ，该同学选择先在A 处投一球，以后
都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为:
(1)求2q 的值；
(2)求随机变量ξ的数学期望E ξ;
(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率
的大小.
【测量目标】互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的期望. 【难易程度】中等
【试题解析】（1）设该同学在A 处投中为事件A ,在B 处投中为事件B ,则事件A ,B 相互 独立,且()0.25P A =,()0.75P A =,()2 P B q = ,2()1P B q =-.（步骤1） 根据分布列知: 0ξ=时,22()()()()0.75(103).0P ABB P A P B P B q ==-=,
210.2q ∴-=，20.8q =.（步骤2）
（2）当2ξ=时, 1()()()P P ABB ABB P ABB P ABB =+=+
()()2222()()()()()()0.7512 1.510.24P A P B P B P A P B P B q q q q =+=-⨯=-=（步骤3）
当3ξ=时, 222()()()()0.25(1)0.01P ABB P A P B P B q P ====-,（步骤4） 当4ξ=时, 232()()()()0.750.48P P ABB P A P B P B q ====,（步骤5）
当5ξ=时, 4()()()P P ABB AB P ABB P AB =+=+
222()()()()()0.25(1)0.250.24P A P B P B P A P B q q q =+=-+=（步骤6） ∴随机变量ξ的分布列为:
（步骤7）
随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （步骤8）
（3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++
()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=;（步骤9）
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.480.240.72+=.（步骤10） 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大.(步骤11) 7.（09天津T18）
在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3件，求： （I ） 取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； （II ） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
【测量目标】古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识.
【难易程度】中等
【试题解析】（Ⅰ）由于从10件产品中任取3件的结果为3C K
，从10件产品中任取3件，其中恰有K 件一等品的结果数为337C C K K -，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X =k )= 337
3
10
C C C K K
-,k =0,1,2,3. 所以随机变量X 的分布列是
X 的数学期望EX =10
9120134072402112470=⨯+⨯+⨯+⨯
（Ⅱ）设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品
和2件三等品”为事件A 1“恰好取出2件一等品“为事件A 2，”恰好取出3件一等品”为事件A 3由于事件A 1，A 2， A 3彼此互斥，且A =A 1∪A 2∪A 3而
1233
1310C C 3()C 40
P A ==
P (A 2)=P (X =2)= 40
7
,P (3A )=P (X =3)= 120
1,（步骤1）
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P (A )=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3)= 403+407+1201=120
31.（步骤2） 8.(09江西T10)
为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为 （ ） A.
3181 B.3381 C.4881 D.5081
【测量目标】互斥事件与对立事件的概率. 【难易程度】中等
【参考答案】D
【试题解析】没有获奖的概率：5532331
381
P ⨯-=
=,(步骤1) ∴能获奖的概率为：150
181
P P =-=
,故选D.（步骤2）。