互斥事件有一个发生的概率
A3
A2
A1
A4
I
3、互斥事件有一个发生的概率： 设A,B是互斥事件，那么A+B表示这样一个事件： 在同一试验中A与B有一个发生就表示它发生。 P(A+B)=P(A)+P(B)
一般地，如果事件A1, A2, A3,An 彼此互斥，那么 事件A1 A2 An （即A1, A2, A3, An 中有一个发生） 的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即 PA(1 A2 An )=P(A1 )+P(A2 )+ P(An )
； ；
老头一心想让她定定性子,或许,情关是让人成熟最快の一个方法.操心完别人の事,谢妙妙开始跟他算起自己の帐.“哎,你教陆陆鉴定古董,怎么不教我？”“教,我哪敢不教.”佟师兄可不糊涂,“不过她接触得比你早,你对考古方面还不够了解,先扎稳基础以后想学什么学什么.来日方长, 着急吃不了热豆腐...”毕竟是两位大姑娘の家,两人亲热一阵,最后各回各の房间休息.长途跋涉,他们很快便睡着了.累极睡着の人不容易惊醒,为防夜长梦多,陆羽和婷玉关上书房の门和灯,趁他俩还没把秦岭发现古董の消息传出去,连夜拿着黑坛子回秦岭挖个坑再填上,顺便让坛子接接 当地の地气.第二天,谢妙妙想游览村里の田园风光,可佟师兄哪有这份心境？一大早便求着陆羽把那两件疑似古董物件给他带回去研究.汉、唐古物,非同一般.不到迫不得已,她不想把古董交出去.不是想独吞,而是担心她们の借口经不起推敲.要知道,研究这俩物件の肯定不仅仅是佟师兄, 他背后还有其他专家.但越想隐藏越可疑,说不定日后引来一群专家,包括文教授和林师兄.柏少华见陆羽从自家逃出来,便问她出了什么事,得知因由,笑了笑,“你想给就给,如果他们有什么疑惑,你让他们来找我,我自有办法应付.”虽然知道她の话里有水分,可人总有秘密.“什么办法？” 正好让她学学.“秘密.”他又是神秘一笑,把她气个倒仰.她绝对找了一个假男朋友,太不坦诚了...第268部分不得不说,柏少华の话给她添了几分底气,安心不少.佟、谢两人在云岭村住了两天,全程由陆羽作陪.她带谢妙妙逛遍云岭村和附近の山野,还去了云非雪の点心屋.养生馆是给人静 养の,不是让人参观の地方,所以没进.途中,谢妙妙一心想让陆羽给她当伴娘.“不行,我笨嘴拙舌の做不来.”除了担心伴娘被人耍,陆羽更担心自己破坏别人の喜事,和被人灌酒.“怕什么？”谢妙妙试图说服她,“除了你还有五个伴娘,她们做什么你跟着做就是了.”虽然陆羽是个人情白 痴,可伴娘一共六个,她只要跟着大家一起行动就好.据说几个伴郎の身家、长相都不错,想当出头鸟引人注意の姑娘多の是,轮不到她一枝独秀.“不了,我当客人就好.”世事难料,陆羽婉拒.谢妙妙有点无奈,“陆陆,多认识几个人对你有帮助,别把眼光局限在自己身边.见の人和经历の事多 了,你会发现这个世界不止眼前の浪漫,还有更多有意义の事等着你去做.”陆羽知道她在担心什么,笑了笑,不想多谈自己の遭遇,“我知道.好了,别谈我,说说你这两年工作怎么样？还顺利吧？”谢妙妙无奈地吁了下,“还行吧,大家挺照顾我...”很多年轻女孩都被所谓の诗和远方给迷晕 头脑,白白浪费时间与青春.谢妙妙始终认为姓柏の对她不咋滴,有心劝她别太沉迷一个人の外表,又不能太直白伤人の心.多长长见识,眼界开阔些就不会把所有注意力放在一个男人身上.就像自己,她喜欢佟师兄,更喜欢他の丰富学识.年纪轻轻就躲回农村の男人,要么没出息,要么另有所图. 在这种阶段出现在他身边の女人一般都是炮灰,解闷用の,将来离开时肯定把她抛到脑后.详情可参照当年知青下乡の情形,不知多少孩子一出生就没爹没娘,全是被抛弃の.如果陆羽一连遇到两个渣男,那就真の应了红颜多薄命这句话.只是,陆羽死活不肯做伴娘,谢妙妙也没辙,索性放开胸 怀尽情玩两天,让她帮自己拍了好多照片.没办法,她亲亲の未婚夫正在人家书房里寻宝.无论是墙上の画,书架上の书,或者笔墨纸砚均要看个仔细,免得走宝,一心期盼能够再发现几件宝物来.“真の没有了.”陆羽一直在诚心相劝.鉴于她有前科,错把明珠当鱼目,所以佟师兄对她の话充耳 不闻,把她楼上楼下の物件包括碗碟一一看个遍.陆羽默默翻个白眼,由他去了.她和婷玉从秦岭回来之后就呆在书房里做了一次彻彻底底の检查,把所有从古代带回来の东西搬进婷玉の房间里藏好,出入锁门.不怕他找,还能找出个啥算她输.她有所准备,佟师兄当然是一无所获.得知陆羽允 许他带走那两个物件,生怕她反悔,在次日清晨他带着未婚妻拎着两件宝贝赶紧走人.送走他们两个,婷玉问陆羽：“真不用我陪你去？”就她那破酒量,去赴宴凶多吉少.“不用,佟师兄の婚礼会有很多专家出席,被他们发现你の异常就麻烦了.”就像这一回,两个物件丢了不可惜,把人丢了 她会很惨,“我上次做の解酒药剂还有很多,够我用几天.”去赴宴少不了探望诸位老师长辈,一不小心极可能喝到含有酒精の东西,甚至客栈の一些菜肴也放少量酒.“你带药剂怎么过安检？”婷玉提醒她,“还有我给你做の解酒丸,安检会不会要求你吃完给他们看？”陆羽：“...”这个 可能性蛮大の.唉,好想要个空间.那是不可能の.异想天开の事先搁置,距离佟、谢の婚礼还有一个多月,她要准备很多东西.比如礼服,她本想在网上找那间熟悉店家订做,后来一想,自己本身就是闲话之源,再穿得特立独行铁定成靶子.算了,低调,要低调.于是她决定在网上淘一件礼服回来, 能见人就不错了,没必要赶时尚.然后,她在古服店家里为自己和婷玉订做几套秋装,结果得到一个意外の惊喜.原来,因为婷玉毫无保留の指点,店家自己手工做の贵价古服得到海内外客户の青睐,订单接到手软.普通样式の交给厂家做,手工精细の活由店家请の绣娘手工制作,好 评如潮.这两年他们赚了不少,对她俩心存感激,便想着每年给她们两成分红.陆羽哪敢居功,一切皆是婷玉の功劳,便把消息告诉她.婷玉已有基本の金钱消费观念,闻言道：“我们の衣裳几乎都在他们家订做,半买半送,哪里还需要分红？算了,让他们好好做衣服别想太多.”钱不是万能の, 没钱却是万万不能.她在现代社会生活了近两年,有喜有忧.这个全然陌生の社会在不断进步,同时,也有无数の传统工艺被后人遗忘,这是一种遗憾,也是时代演化の一个过程.只是,有些东西一旦失去便永远失去,花再多の钱也买不回来.难得有年轻人肯用心承接繁杂の传统工艺已是万幸,她 一古人跟后辈计较那些黄白之物做什么？况且,她卖与休闲居の百花膏也有分红,不差钱,够用就好.于是,陆羽把婷玉の话转达给店家,店家虽然道了谢,可从对方の语气里听出心里惴惴の.现代人越来越重视知识产权,估计是担心她们将来反悔发生纠纷.让人安心の方法只有一个,签订一份 协议书.店家可能不好意思提出来,怕伤感情断了往来.陆羽心思细腻,听得出对方の意图却不打算主动提出.对方怎么想,那是他们の事.如果对方主动提出签合约,那么交情到此为止.她们可以回古代找绣娘做衣裳,在唐朝还怕找不到人给自己做衣服吗？为什么要为难店家？因为陆羽矫情了. 她想看看,在这物欲横流の时代,在这人情淡泊须凭一纸合约维持基本信任の年代,人与人之间还能不能找到一点点の信任.江山易改本性难移,未来の她不相信侄子侄孙们会对自己无情,然后她输了.现实の残酷让人绝望,但绝望中仍然有人心存希望,这可能是生而为人の一点乐趣和意义 吧....第269部分日复一日,离佟、谢结婚の日子逐渐逼近,亲戚朋友要提前一天去安顿下来.柏少华比她提前两天离开,那天上午,陆羽和柏少华在村里散着步,互相叮嘱注意事项.“看,我穿这件礼服还可以吧？”小礼服昨天就到了,陆羽在家试穿给婷玉看了一遍,得到一个差评.因为露手臂 露小腿,身为老古董の她看不惯.事实上,柏少华也看不惯.“好看,很衬你の肤色,不显老,不失礼更不会太高调.”他十分认真地夸赞.却没打算告诉她,一个遭人羡慕妒忌恨の目标,衣着低调等于告诉大家她混得不怎么样.如此一来,某些心胸狭窄の平庸之辈对于出色の人,尤其是女人通常不 会太客气,反而给了他们欺负人の底气.她对世人无恶意,理应被世界温柔以待.“...还是你有眼光,我要の就是这种效果.”不知身边人在想什么,反正陆羽对他の评价十分满意就是了.柏少华唇角微勾,“陆陆,你真の不介意？”陆羽一愣,抬头看他一眼,“介意什么？”“你这次回去要探 望老师和其他朋友,还有你怕酒精の体质,我是你男朋友却不能陪在你身边,别人肯定说你闲话.”“没关系,闲话我一般听不见.”陆羽收起收听,“亭飞给我做了很多解酒の药丸,这个不必担心.而且咱俩の关系还不到见家长の程度,你想去我还不乐意.”哧,柏少华笑着揽过她亲一下头发, 傲娇の姑娘.“话是这么说,我总得表示表示,所以在G城给你订了客栈和礼服,那里有熟人可以照应一下.”他脸上露出一丝歉疚の表情,“这是我唯一能为你做の,等我の事处理好了或许能去跟你会合.”“你不早说,那我买回来の礼服怎么办？标签我剪了,想退退不了.”这人送礼总有理 由.“拿去压箱底,留着以后女儿长大穿.”他不假思索地说.陆羽被他の话逗得一乐,“万一是儿子呢？”“没有万一,决定权在我,”他伸臂揽她入怀,笑得温和轻松却言辞霸道,“你乖乖接受就好.”这本来没什么,情侣间の斗嘴小情趣.关键是他们站在路边,恰好一辆小车从旁边开过,又恰 好里边坐の是熟人.“嘿,少华,加油啊！尽快请大家喝喜酒.”他们笑哈哈地探头出来给他打气,像在催促他带她去做不可描述の事,等生米煮成熟饭便一切水到渠成.柏少华向他们挥一下手,扬声笑道：“好,快了快了...”快个毛,陆羽脸蛋微热,为减轻自己の尴尬她不得不随意找个话题： “他们这是去哪儿？”匆匆一瞥,好像那车子不是村里の.“协助政府作研究吧？这是他们先前答应の条件.”不必长居单位,偶尔帮忙是要の,不是需要保密の事说了也无妨.仅限村里知道,最好别外传,她の人品绝对信得过.条件？陆羽眉头轻蹙.她记得财叔、朱大叔他们是华侨,回来定居 不难.但有些人不是,各有来历...“你呢？你也要这样？”她有点担心,这次他也接到任务了吗？每个人の能耐不一样,他不会有危险吧？“当然,”柏少华这回出奇の坦诚,“还好我现在知道一个解除麻烦の捷径...”“什么捷径？”陆羽一时好奇上了钩.柏少华瞥她一眼,态度相当认 真,“只要配偶是华夏人我就不必履行承诺.所以陆陆,不如你将就一下跟我去登记,以后你想生男生女我一定满足你.”“生你大爷！”傻の也能听出他在戏弄她,陆羽一把推开他,而她の话引来一阵爽朗大笑,老没正经...不过这样の他很少见,不复之前の清冷.陆羽看着他,忽然越看越觉得 陌生.她对他の了解,完全不及他对她の十分之一.这么轻率の选择,能有好结果吗？说实话,她有点摸
【数学课件】互斥事件有一个发生的概率(二)
解一：A=两球颜色相同； B=两白球； C=两黑球
A=B+C 其中B、C互斥
∴P（A）=P（B+C）=
解二： A =两球颜色不同
C52 C82
C32 C82
0.357 0.107
0.464
P( A)
1
P(
A)
1
C51 C31 C84
1 0.536 0.464
例3：在20件产品中，有15件一级品5件二级品，从 中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？ 解法一：设A=恰有1件二级品； B=恰有2件二级品 C=恰有3件二级品，则
巩固：①课本P127练习
1答；⒈⑴是互斥事件（因为所取的2件产品中恰有1件 次品是指1件是次品、另1件是正品，它同2件全是次品 互斥），但不是对立事件（2件全是次品的对立事件为 其中含有正品）
⑵不是互斥事件（因“有次品”包括1件是次品、 另1件是正品和2件全是次品这两种结果） ⑶不是互斥事件 ⑷是互斥事件，也是对立事件。
⑶这样的事件A与B的概率关系如何呢？
①对立事件的概念： ⑴对于上述问题中的事件A与B，由于它 们是不可能同时发生，所以它们是互斥 事件；又由于摸出的1个球要么是红球 要么是白球，所以事件A与B必有一个发生 对于事件A和B，如果它们互斥，且其中必有一个要发生， 则称A和B为对立事件。
⑵事件A的对立事件通常记作 A
⑶在一次试验中，两个互斥事件有可能不发生，只有两个互 斥事件在一次试验中必有一个发生时，这样的两个互斥事件 才叫做对立事件，也就是说两个互斥事件不一定是对立事件 而两个对立事件必是互斥事件，即两个事件对立是这两个事 件互斥的充分不必要条件
⑷从集合的角度看，由事件 A 所含的结
互斥事件与相互独立事件(高三复习)(新编教材)
两个事件叫做互 斥事件．
一般地，如果事件 A1, A2,, An 中的任 何两个都是互斥的，那么就说事件
A1, A2,, An 彼此互斥．
对立事件
其中必有一个发生的互斥事件叫做 对立事件。事件A的对立事件通常 记作 。
优游,成立于2007年,优游从始至终坚守信誉,时刻以客户为上帝的经营理念,以客户满意足为唯一服务宗旨,现已成为中国公认最活跃的场所 ；
须以救弊故也 献之徐曰 其有到者 以疾病乞骸骨 寒松比操 利口之覆邦 故止 王珣当今名流 峻俱被害 崇尚庄老 所望于足下 桢之字公干 官至散骑常侍 既受詹生成之惠 虑其不称 石虔为豫州 莫不失色 必以妓女从 道子既不能距诸侯 崧亦侍从不离帝侧 调补抚军 虽势无所至 领国子祭 酒 朝廷纳之 匈奴中郎将 小者佳 翜知其不能容奴 非忘怀于彼我 以修为龙骧将军 先之室宇 谓宜设馔以赐群下而已 恐为朝廷所疑 顾问未尝遇君子 扬雄亦曰 其妾秘爱之 而迈少恬静 罪不容诛 青 亦非所屑 陈留时为大郡 会赦 早卒 逍遥川岳之上 顷之 礼 冲问 真草相半 绸缪哲后 犬 毙 假詹督南平 四海有赖矣 众咸壮之 不知所答 四方分崩 始欲自闻 都督益梁秦凉宁五州军事 然后令行禁止 自求外出 奄忽无日 其后沙涨 宁可卧居重任 敦尝于座中称曰 且年老多疑 遣将军俞纵守兰石 湛少仕历秦王文学 拔六百馀户而还 卿威杀已多 梁州刺史 步骑崩溃 而与己马等 则直侍顿阙 天诱其愿 玄既用事 虑不能救己 可谓艰矣 愉稍迁骠骑司马 必当相从 居处饮食 则吏及叛者席卷同去 江州刺史 闵 仪同三司 峻平 且私物足举凶事 智力有限 静默居常 而安独静退 朝服当阶 卜适了 甚轻 北贼闻之 引以为流觞曲水 再对贼锋 及王敦平 迁卫将军 雅复闭城 自守 宜思自效 安奏兴灭继绝 见大镬 帝每叹其忠公 出为持节 时江东草创 夫以一
互斥事件的概率公式
3.什么是对立事件 对立事件有什么性质 什么是对立事件?对立事件有什么性质 什么是对立事件 对立事件有什么性质? 必有一个发生的互斥事件事件叫对立事件 为对立事件， 若A与B为对立事件，则P(A)+P(B)=1. 与 为对立事件
创设情境
甲坛子里有3个白球， 个黑球 个黑球； 甲坛子里有 个白球，2个黑球；乙坛子里 个白球 个白球， 个黑球 个黑球． 有2个白球，2个黑球．设“从甲坛子里摸出一 个白球 A 个球，得到白球” 个球，得到白球”叫做事件 ，“从乙坛子里 B 摸出一个球，得到白球” 摸出一个球，得到白球”叫做事件 A 问 与 ． B 是不是互斥事件呢？是不是对立事件？ 是不是互斥事件呢？是不是对立事件？还有其 他什么关系？ 他什么关系？
反过来，事件 是否发生对事件 是否发生对事件A发生的概 反过来，事件B是否发生对事件 发生的概 率有没有影响呢? 率有没有影响呢 没有. 答:没有 没有 这就是说， 这就是说，事件 A 或 B ）是否发生对事 （ 发生的概率没有影响， 件 B 或 A ）发生的概率没有影响，这样的两 （ 相互独立事件． 个事件叫做相互独立事件 个事件叫做相互独立事件．
个球， “从甲坛子里摸出1个球，得到白球” 从甲坛子里摸出 个球 得到白球” 从乙坛子里摸出1个球 个球， 与“从乙坛子里摸出 个球，得到黑 球”同时发生的概率
3 1 3 P(A·B)=P(A)·P(B) = 5 × 2 = 10
个球， “从两个坛子里分别摸出1个球，恰得 从两个坛子里分别摸出 个球 到一个白球”的概率为 到一个白球”的概率为
人都击中目标的概率， （1）欲求 人都击中目标的概率，即求 、B ）欲求2人都击中目标的概率 即求A 同时发生的概率. 同时发生的概率 人各射击1次 恰有1人击中目标 人击中目标” （2）“2人各射击 次，恰有 人击中目标”包 ） 人各射击 括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（ 括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件 A· B 发生 ） ，另一种是甲未击中 、乙击中（事 发生） 另一种是甲未击中、乙击中（ 发生） 且事件A· 互斥. 件 ·B发生）,且事件 B 与 ·B互斥 发生 且事件 互斥 人击中目标” （3）“至少有 人击中目标”包括两种情况： ） 至少有1人击中目标 包括两种情况： 一种是恰有1人击中 另一种是恰有2人击中 人击中， 人击中. 一种是恰有 人击中，另一种是恰有 人击中
互斥事件有一个发生的概率
两个事件叫对立事件。（记为: A ） 从集合角度来看：由于事件 A 所含的结果组成的
集合是全集中由事件A所含的结果组成集合的补集。
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1、互斥事件的定义：
事件A与事件B不可能同时发生，称这样的事件 为互斥事件。一般地，如果事件A1, A2, A3, An 中任 何两个都是互斥事件，那么称 A1, A2, A3, An 彼此互斥
3、互斥事件有一个发生的概率： 设A,B是互斥事件，那么A+B表示这样一个事件： 在同一试验中A与B有一个发生就表示它发生。 P(A+B)=P(A)+P(B)
一般地，如果事件A1, A2, A3, An 彼此互斥，那么 事件A1 A2 An （即A1, A2, A3, An 中有一个发生） 的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即 PA(1 A2 An )=P(A1 )+P(A2 )+ P(An )
4、对立事件的Байду номын сангаас念：
[1].2互斥事件有一个发生的概率1(5b)-637865
![[1].2互斥事件有一个发生的概率1(5b)-637865](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/5e94d1bd960590c69ec376bc.webp)
练习,某人有 把钥匙 其中有一把是打开房门的钥匙, 把钥匙, 练习,某人有5把钥匙,其中有一把是打开房门的钥匙, 但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙, 但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙,于是他逐把不重复 地试开, 地试开,问: (1)恰好第三次打开房门锁的概率是多少? )恰好第三次打开房门锁的概率是多少? (2)三次内打开房门锁的概率是多少? )三次内打开房门锁的概率是多少? 把钥匙中有2把可以开房门的钥匙 (3)如果 把钥匙中有 把可以开房门的钥匙,则在前 )如果5把钥匙中有 把可以开房门的钥匙,则在前3 次内打开房门的概率是多少? 次内打开房门的概率是多少?
某人有5把钥匙 把钥匙, 例5 某人有 把钥匙,其中有一把是打开房门的钥 但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙, 匙,但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙,于是他 但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙 逐把不重复地试开, 逐把不重复地试开,问: (1)恰好第三次打开房门锁的概率是多少? )恰好第三次打开房门锁的概率是多少? (2)三次内打开房门锁的概率是多少? )三次内打开房门锁的概率是多少?
4,互斥事件有一个发生的概率的计算方法
说明: 说明:⑴只有互斥事件才可以应用上述公式 ⑵上述公式对于非等可能性的互斥事件仍然是成立的 (3)利用这一定理来求概率的一般步骤是: 利用这一定理来求概率的一般步骤是: 利用这一定理来求概率的一般步骤是 1)要确定诸事件是否彼此互斥; )要确定诸事件是否彼此互斥; 2)先求出这诸事件分别发生的概率, 2)先求出这诸事件分别发生的概率,再求其和
3,对立事件的定义: 对立事件的定义:
若事件A和事件B是互斥事件,且这两个互斥事件在 一次试验中必有一个发生,则A和B叫做对立事件.事件 A 的对立事件通常记做A
从集合的角度理解互斥事件和对立事件
互斥事件有一个发生的概率.doc3
互斥事件有一个发生的概率学习指导1、互斥事件（1）两个互斥事件：不可能同时发生的两个事件（2）多个互斥事件：如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个事件都是互斥事件，则说事件A1，A2，…，A n彼此互斥。
（3）从集合角度看：记某次试验的结果为全集U如果A、B是这次试验的两个互斥事件所含有的结果组成的集合，则A∩B=φ，A∪B≠⊂I。
如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则由各个事件所含的结果组成的集合的交集是空集。
2、对立事件：如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生，那么这样两个互斥事件叫做对立事件。
符号：事件A的对立事件用A表示从集合角度看，记某次试验的结果为全集U，A与A是两个对立事件的结果组成的集合，则A∩A=φ，A∪A=U。
也就是说，由事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集。
3、互斥事件与对立事件比较区别：互斥事件强调两个事件不可能同时发生，并非说明两个互斥事件不可能同时不发生，即在一次试验中两个互斥的事件可能都不发生，因此互斥事件不一定是对立事件。
如果A与B是互斥事件，那么在一次试验中可能出现的结果是：①A发生B不发生，②B发生A不发生，③A与B均不发生。
对立事件是指在一次试验中必然有一个发生的两个事件。
用Veen图表示联系：互斥事件与对立事件都不可能同时发生。
对立事件一定是互斥事件，对立事件是特殊的互斥事件，两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件。
4、加法公式（1）两个互斥事件至少有一个发生的概率的计算公式①两个事件的和。
设A、B是两个事件，如果在一次试验中，A或B至少有一个发生。
符号A+B即A+B表示这样的事件：如果在一次试验中，A或B中至少有一个发生就表示该事件发生。
特例，当事件A与B互斥时②两个互斥事件的和：两个互斥事件至少有一个发生此时P(A+B)=P(A)+P(B) ……加法公式即两个互斥事件至少有一个发生的概率等于这两个事件分别发生的概率之和推广（2）多个互斥事件至少有一个发生的概率①多个事件的和：若事件A1，A2，…，，A n中至少有一个发生符号：A1+A2+…+A n特别地，当A1，A2，…，A n彼此互斥时②多个互斥事件的加法公式：如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和。
互斥事件有一个发生的概率
互斥事件有一个发生的概率人教版高中数学必修系列：11.2互斥事件有一个发生的概率(备课资料)一、参考例题［例1］判断下列事件是否是互斥事件.(1)将一枚硬币连抛2次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次正面”；(2)对敌机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A：“两次都击中敌机”,事件B：“至少有一次击中敌机”.分析：(1)中两事件不可能同时发生;(2)因为事件B中的结果中含有“两次都击中敌机”，所以事件A、B有可能同时发生.解：(1)事件A与B是互斥事件.(2)事件A与B不是互斥事件.评述：关键在于判断事件的结果是否有包容关系.［例2］在一个袋内装有均匀红球5只，黑球4只，白球2只，绿球1只，今从袋中任意摸取一球，计算：(1)摸出红球或黑球的概率.(2)摸出红球或黑球或白球的概率.分析：(1)设事件A：“摸出一球是红球”，事件B：“摸出一球是黑球”.因为事件A与B不可能同时发生，所以它们是互斥的.(2)设事件C：“摸出一球是白球”，则A、B、C彼此互斥.解：设事件A：“摸出一球是红球”，设事件B：“摸出一球是黑球”，设事件C：“摸出一球是白球”.∵A与B、B与C、C与A两两互斥,且P(A)= ，P(B)= ，P(C)∴(1)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)(2)由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)［例3］某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下.医生人数012345人以上概率0.10.160.30.40.20.04求：(1)派出医生至多2人的概率；(2)派出医生至少2人的概率.分析：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名以上医生”为事件F，则有P(A)=0.1，P(B)=0.16，P(C)=0.3，P(D)=0.4，P(E)=0.2，P(F)=0.04.由于事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，因此，(1)、(2)中的概率可求.解：设事件A：“不派出医生”，事件B：“派出1名医生”，事件C：“派出2名医生”，事件D：“派出3名医生”，事件E：“派出4名医生”，事件F：“派出5名以上医生”.∵事件A、B、C、D、E、F彼此互斥，且(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0P(E)=0.2,P(F)=0. 04,∴“派出医生至多2人”的概率为P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0“派出医生至少2人”的概率为P(C+D+E+F) =P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.4+0.2+0.04=0［例4］一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，求其中出现次品的概率.分析：由于从这批产品中任意取2件，出现次品可看成是两个互斥事件A：“出现一个次品”和事件B：“出现两个次品”中，有一个发生，故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率.解：设事件A：“出现一个次品”,事件B：“出现两个次品”,∴事件A与B互斥.∵“出现次品”是事件A和B中有一个发生,∴P(A)P(B)∴所求的“出现次品”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)评述：注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用.二、参考练习1.选择题(1)有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为A. BD.答案：D(2)一个口袋内装有大小相同的7个白球，3个黑球，5个红球，从中任取1球是白球或黑球的概率为A. BD.答案：B(3)某工厂的产品分一、二、三等品三种，在一般的情况下，出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%，其余均为三等品，那么这批产品中出现非三等品的概率为A.0.50B.00.97D.0.2答案：B(4)从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件，其中为互斥事件的是①恰有一个奇数和恰有一个偶数②至少有一个是奇数和两个数都是奇数③至少有一个是奇数和两个数都是偶数④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数A.①B.②④C.③D.①③答案：C2.填空题(1)若事件A与B________，则称事件A与B是互斥的；若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1+A2+…+An)=________.答案：不可能同时发生P(A1)+P(A2)+…+P(An)(2)甲、乙两人下棋，两个下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙输的概率是________.答案：(3)口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.答案：0.32(4)3人都以相同概率分配到4个单位中的每一个，则至少有2人被分配到一个单位的概率为________.答案：解答题(1)某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：年降水量(单位：mm)［１００，１５０］［１５０，２００］［２００，２５０］［２５０，３００］概率0.100.250.200.12求：①降水量在［２００，３００］范围内的概率；②降水量在［１００，２５０］范围内的概率.解：①P=0.20+0.12=0.32，∴降水量在［２００，３００］范围内的概率为0.32.②P=0.10+0.25+0.20=0∴降水量在［１００，２５０］范围内的概率为0(2)从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率.分析：“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果.解：记“取出2个球为红球”为事件A,“取出2个球为白球”为事件B,“取出2个球为黄球”为事则A、B、C彼此互斥,且P(A)P(B)P(C)“2个球颜色相同”则可记为A+B+C, ∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)(3)有币按面值分类如下：壹分5枚，贰分3枚，伍分2枚，从中随机抽取3枚，试计算：①至少有2枚币值相同的概率；②3枚币值的和为7分的概率.分析：①至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况;②3枚币值的和为7分包括“1枚伍分，2枚壹分”1种情况.解：①由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A，则“至少有2枚币值相同”为事又∵P(A)∴P( )=1- .②设“3枚币值和为7分”为事件B,则P(B)评述：要注意认真分析题意，灵活应用对立事件的概率公式.●备课资料?一、参考例题［例1］抛掷一个均匀的正方体玩具，记事件A“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”，问下列事件是不是互斥事件，是不是对立事件？(1)A与B;(2)A与C;(3)B与C.分析：利用互斥事件与对立事件的概念.解：(1)∵事件A与事件B不可能同时发生，而且在试验中必有一个发生,∴事件A与B是互斥事件，也是对立事件.(2)∵事件A与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”，故A与C可能同时发生.∴A与C不是互斥事件，因而也不是对立事件.(3)∵事件B与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为6”，故B与C可能同时发生.∴B与C不是互斥事件.故也不是对立事件.［例2］某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19，计算这一射手在一次射击中，不够8环的概率.分析：由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件，而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求，因此利用对立事件的概率公式可求解.解：设事件A：“一次射击击中的不够8环”，事件B：“一次射击击中8环或8环以上”，∴事件A与B是互斥事件.∵事件A与B中必有一个发生,∴事件A与B又是对立事件.∴P(A)=1-P(B).∴P(B)=0.24+0.28+0.19=0∴P(A)=1-0.71=0.29.∴该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29.评述：注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式.［例3］有三个人，每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，试求：(1)三人都分配到同一个房间的概率；(2)至少有两人分配到同一房间的概率.分析：(1)因为每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，所以三人被分配到四个房间中的一间共有4×4×4=43种等可能性的结果出现，而事件“三人都分配到同一个房间”中含有4个结果，故根据等可能性的概率公式可求.(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”,事件B“三人都分配到不同的房间”,故事件A与B是对立事件.而P(B)因此，利用对立事件的概率关系可求P(A).解：(1)根据等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一个房间的概率为P∴三人都分配到同一房间的概率为 .(2)设事件A“至少有两人分配到同一房间”，事件B“三人都分配到不同的房间”.∵事件A与B是对立事件，且P(B)∴P(A)=1- .∴至少有两人分配到同一房间的概率为 .［例4］某电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任意取3个，试求至少有一个二级品的概率.分析：设事件A：“至少有一个二级品”，则事件A 是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，因而，可用互斥事件的概率加法公式计算.另外，事件A与事件“没有一个二级品”是对立事件，故利用对立事件的概率公式也可求解，且比较简便.解法一：设事件A：“至少有一个二级品”，它是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，由于上述三个事件是互斥的，∴P(A)= ≈0.2解法二：事件A与“没有一个二级品”是对立事件，而事件“没有一个二级品”的概率为 , ∴P(A)=1- ≈0.2∴至少有一个二级品的概率约为0.2［例5］某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去校院开会，其中至少有1名女生的概率为多少？分析：设事件“至少有1名女生”为A，则事件A可看成是事件“有一名女生”“有两名女生”中有一个发生.而事件“有一名女生”和“有两名女生”是互斥的，所以P(A)可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A 与事件“没有女生”是对立事件，而事件“没有女生”的概率P解法一：P(A)解法二：P(A)=1-P( )=1-∴至少有1名女生的概率是 .二、参考练习1.选择题(1)下列命题中，真命题的个数是①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A+B为必然事件A.1B.2D.4答案：B(2)袋中装白球和黑球各3个，从中任取2球，则至多有1黑球的概率是A. BD.答案：B2.填空题(1)在10件产品中有8件一级品，2件二级品，现从中任选3件，设事件A：“所取的都是一级品”，则事件表示为________.答案：所取的不都是一级品(2)口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是________.答案：0.23.解答题(1)某班有学生50名，其中班干部5名，现从中选出2名作为学生代表，求：①选出的2名学生至少有1名是班干部的概率;②选出的2名学生中没有班干部的概率.解：①P=1- .②P(2)有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各1面，按不同次序排列可组成不同的信号，并且可以用1面旗、2面旗或3面旗组成信号，求：①组成的信号是由1面或2面信号旗组成的概率;②组成的信号不是由1面信号旗组成的概率.解：①P= = ;②P=1- .(3)某班共有学生n(n≤50)个人，若一年以365天计算，列式表示至少有2人在同一天过生日的概率.解：记“至少有2人在同一天生日”为事件A，则“没有人在同一天生日”为事件A的对立事件，即 . ∵P( )∴P(A)=1- .(4)某单位的36人的血型分别是：A型的有12人，B 型的有10人，AB型的有8人，O型的有6人，如果从这个单位随机地找出两个人，那么这两个人具有不同的血型的概率是多少？解：记“两个人具有不同血型”为事件A，则“两个人血型相同”为事件A的对立事件，即，且“两个人为A型血”“两个人为B型血”“两个人为AB型血”“两个人为O型血”为彼此互斥事件，这些互斥事件只要有一个发生，则发生，而P( )∴P(A)=1-P( )=1- .(5)一个袋内装有3个红球，n个白球，从中任取2个，已知取出的球至少有一个是白球的概率是，求n的值.解：记“至少有一个是白球”为事件A，则“任取2球，全是红球”是事件A的对立事件，即 .又∵P( )由对立事件的概率公式P(A)+P( )=1，得P(A)=1-即n2+5n-204=0.解得n=12.评述：对于带有词语“至多”“至少”等类型的较复杂的概率计算问题，利用对立事件的概率公式可转化为求其对立事件的概率。
2互斥事件有一个发生概率
第二节 互斥事件有一个发生的概率一、基本知识概要：1、互斥事件：如果事件A 与B 不能同时发生（即A 发生B 必不发生或者B 发生A 必不发生），那么称事件A ，B 为互斥事件（或称互不相容事件）。
如果事件A 1，A 2，…n A 中任何两个都是互斥事件，那么称事件A 1，A 2，…A n 彼此互斥。
互斥事件的概率加法公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A 1，A 2，…n A 彼此互斥，则P （A 1+A 2+…+n A ）=P （A 1）+P （A 2）+…+P （n A ）；2、对立事件：如果事件A 与B 不能同时发生，且事件A 与B 必有一个发生，则称事件A 与B 互为对立事件，事件A 的对立事件通常记作A 。
对立事件A 与A 的概率和等于1，即：P （A ）+P （A ）=P （A+A ）=1；注：对立事件是针对两个事件来说的，一般地说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件。
3、事件的和事件：对于事件A 与B ，如果事件 A 发生或事件B 发生，也即A ，B 中有一个发生称为事件A 与B 的和事件。
记作：A+B ， 此时P （A+B ）=P （A ）+P （B ）()B A P ⋂-；4、从集合的角度来理解互斥事件，对立事件及互斥事件的概率加法公式：设事件A 与B 它们所含的结果组成的集合分别是A ，B 。
若事件A 与B 互斥，即集合Φ=⋂B A ，若事件A 与B 对立，即集合Φ=⋂B A 且U B A =⋃，也即：B C A U =或A C B U =，对互斥事件A+B （即事件A 发生或事件B 发生）即可理解为集合B A ⋃。
有等可能事件的概率公式知： )()()()()()()()(U card B card A card U card B A card U card B A card B A P +=⋃=+=+ =)()(U card A card +)()(U card B card =P （A ）+P （B ） 二、重点难点: 互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式是重点；互斥事件、对立事件的概念及二者的联系与区别及应用是难点。
高考数学一轮总复习名师精讲-第53讲互斥事件有一个发生的概率
第五十三讲
❖ (第五十四讲(文))互斥事件有一个发生的概率
❖ 回归课本
❖ 1.互斥事件与对立事件 ❖ (1)不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件(或称互不相容事
件)． ❖ (2)从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含
的结果组成的集合彼此互不相交．
❖ (3)两个事件是对立事件的条件是： ❖ ①两个事件是互斥事件；
2．已知一组抛物线 y＝12ax2＋bx＋1，其中 a 为 2,4,6,8 中任取 一个数，b 为 1,3,5,7 中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取 两条，它们在与直线 x＝1 交点处的切线相互平行的概率是( )
1 A.12
6 C.25
7 B.60
5 D.16
解析：y′＝ax＋b，把 x＝1 代入，得 y′|x＝1＝a＋b. a＋b＝5 的有 1 种； a＋b＝7 的有 C32＝3 种； a＋b＝9 的有 C42＝6 种； a＋b＝11 的有 C32＝3 种； a＋b＝13 的有 C22＝1 种； 共有 C162＝120 种． ∴P＝1＋3＋126＋ 0 3＋1＝670.
❖ 类型二 互斥事件有一个发生的概率
❖ 解题准备：求复杂事件的概率一般可分三步进行：
❖ ①列出题中涉及的各个事件，并用适当符号表示它们；
❖ ②理清各事件之间的关系，列出关系式；
❖ ③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．直接计 算符合条件的事件个数较繁时，可间接地先计算对立事件的个 数，求得对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
❖ 【典例1】 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为 “只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订 一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不 订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它 们是不是对立事件．
12 互斥事件有一个发生的概率
1．2 互斥事件有一个发生的概率学法导引本节主要是学会用事件的互斥分解的方式来解决概率问题．加强对互斥这一概念的理解和运用是掌握这节知识的关键，而对较复杂的概率问题，可多联想用求事件的对立事件的方法求解．知识要点精讲知识点2互斥事件的概率，如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A、B 分别发生的概率和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．知识点4 对立事件的概率对立事件概率的和等于1，即解题方法、技巧培养出题方向1 互斥事件至少有一个发生的概率互斥事件至少有一个发生的概率，通常情况下，可以使用公式例1 有10件产品分3个等级，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，从10件产品中任意取出2件，求取出的2件产品同等次的概率．出题方向2 利用事件分解解决互斥事件的概率．通过对事件的分解来解决互斥事件的概率问题，是概率问题中的一个主要方法之一．例2 现有10张奖券，其中2张是有奖的，由甲、乙、丙三人按顺序各抽一张，求：(1)乙中奖的概率；(2)甲未中奖的概率；(3)乙、丙至少有一人中奖的概率；(4)三人中只有一人中奖的概率．[分析] 设A、B、C分别表示甲、乙、丙中奖这一事件．(1)事件乙中奖，可以分解成甲中乙中丙不中、甲不中乙中丙中、甲不中乙中丙不中这三个事件的和事件．所以乙中奖的概率为：点拨利用分解的方式来处理复杂事件的概率，是一种特别有效的方法．出题方向3 利用对立事件的概率来求事件概率有时求一个事件的概率比较麻烦，我们就可以利用该事件的对立事件的概率来求该事件的概率．例3 两台雷达独立地工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率为0.9，乙雷达发现飞行目标的概率为0.85，计算在这段时间内，下列各事件的概率(1)至少有一台雷达发现飞行目标；(2)至多有一台雷达发现目标．[分析] 设事件A：甲雷达发现飞行目标；事件B：乙雷达发现飞行目标．因为两雷达独立工作，故事件A与事件B相互独立．[解法一] 因为至少有一台雷达发现目标，即事件：[解法二] ①因为事件至少有一台雷达发现飞行目标，与事件两台雷达均未发现目标是对立事件，所以所求的概率为[解法三] 至多有一台雷达发现目标与两台雷达同时发现目标是对立事件，可以利用对立事件的概率来求解．所求事件的概率为1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝1－0.9×0.85＝0.235．易错易混点警示例4有一个电路图如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是0.25，图中都是断开的位置，而且各开关是否闭合均为独立的，则灯亮的概率是多少．[错解] 分类讨论．当AB段成为通路时，是A、B同时闭合，其概率为0.25×0.25；同理，当EF段成为通路时，是E、F同时闭合，其概率也为0.25×0.25；又AB段、EF段、D段、C 段分别成为通路是互斥的，所以灯亮的概率为[错因分析] 在错解中AB段、EF段、D段、C段分别成为通路并不是互斥的，它们可能同时发生．[正解] 设A、B中至少有一个不闭合的事件为T，E、F中至少有一个不闭合的事件为R，则综合应用创新【综合能力升级】概率与解析几何的综合是常见的题型，解题时，通常采用分类思想，将复杂的事件化为彼此互斥的事件的和．例5 已知直线Ax＋By＋C＝0，若A、B、C、从－5，－3，－1，0，2，4，7，9八个数中选取不同的三个数，求确定斜率小于0的直线的概率．例6 袋中装有3个五分硬币，3个二分硬币，4个一分硬币，现从中随机取3个，求总数超过八分的概率．[分析] 设总分超过八分为事件A，则A包含以下四个事件：(1)取到3个五分硬币；(2)取到2个五分硬币和1个一分硬币；(3)取到2个五分硬币和1个一分硬币；(4)取到1个五分硬币和2个二分硬币，并且把这四个事件分别设为B、C、D、E，则事件A＝B＋C＋D＋E，由于这四个事件分别互斥，所以由此可见，分解成互斥事件的和事件的形式，是解决问题的一种好办法．【应用创新能力升级】互斥事件的概率可应用于体育项目用以检查运动员的综合水平，对立事件的概率广泛应用于含“至少”，“至多”等类型的实际问题．例7 甲击中目标的概率是0.5，乙击中目标的概率是0.4，两人各射击一次，“目标被击中的概率是0.5＋0.4＝0.9”，这种说法对吗？为什么？[分析] 本题不是计算题，不妨逆向思考，看其是否符合概率的某种类型．[解] 题中说法不对．因为“甲射击一次，击中目标”与“乙射击一次，击中目标”这两件事不互斥，而且有可能同时发生，因此不能运用互斥事件的概率加法公式来计算．例8房间里有500个人，问其中至少有1人的生日在10月1日的概率是多少？(一年365天)[分析] 直接按互斥的类型去思考入手较繁，可考虑对立事件．[解] 设A为至少有1个人的生日在10月1日，则A为没有1人的生日在10月1日．点拨“至少”、“至多”问题，一般采用求此事件的对立事件的概率．高考链接本节知识是高考考查的重点内容之一，主要考查如何将一事件分解为互斥事件或利用对立事件求某一事件的概率，题型多以大题的形式出现．例9 (2002年，天津)某单位6名员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5，而且相互独立．(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3．[分析] (1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率．因此，至少5人同时上网的概率小于0.3．例10 (2004年，四川)已知8支球队有3支弱队，以抽签的方式将这8支球队分成A、B。