互斥事件、独立事件的概率
高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法
高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()426511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则()22323442131133448P B C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙∙∙∙∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故()22123313145444441024P C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+∙∙∙∙=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!324⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P（A 1）=.943!3424=⋅C （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P（A 3）=271334=，事件A 2的概率为P（A 2）=1－P（A 1）－P（A 3）=.2714271941=--解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32414C C +⋅（先从3个景区任意选定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!214⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有24C 种不同选法）.所以P（A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C 例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。
概率与统计1
【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24, 解析】三人均达标为0.8×0.6× 0.8 三人中至少有一人达标为1 三人中至少有一人达标为1-0.04=0.96
5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 5.（湖北卷14）明天上午李明要参加奥运志愿者活动， 14 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己， 为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设 甲闹钟准时响的概率是0.80， 甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.80 0.90， 0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 。.
题型二 相互独立事件同时发生的概率问题 2009北京卷文）（本小题共13分 北京卷文）（本小题共13 例2 （2009北京卷文）（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口， 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口 是否遇到红灯是相互独立的， 是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都
1 1 1 4 P ( A) = 1 − × 1 − × = 3 3 3 27
（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多 是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到 4min为事件B 为事件 的事件
Bk ( k = 0,1, 2 )
2 16 P ( B0 ) = = 3 81
1 的概率都是 2 若某人获得两个“支持” 则给予10万元的创业资助； 10万元的创业资助 .若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得
一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予 一个“支持” 则给予5万元的资助；若未获得“支持” 资助． 资助．求： 该公司的资助总额为零的概率； (1) 该公司的资助总额为零的概率； （2）该公司的资助总额超过15万元的概率． 该公司的资助总额超过15万元的概率． 15万元的概率
第51讲 互斥与独立事件的概率、条件概率
第 51讲 互斥与独立事件的概率、条件概率【考点解读】1．了解互斥事件的概率加法公式. 2．了解独立事件和条件概率的概率公式.【知识扫描】1．不会同时发生的两个事件叫 ．对互斥事件的理解，可以从集合的角度去加以认识.如果A 、B 是两个互斥事件，反应在集合上，是表示A 、B 这两个事件所包含结果组成的集合的交集为空集． 2．不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫 ．当事件A 与事件B 互斥时，有加法公式 ．特别地，若事件A 与B 为对立事件，则P(A)与P(B)之间的关系是 ．3．事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率 ，这样的两个事件叫独立事件．4．设A ，B 是两个事件，则A ·B 表示这样一个事件：它的发生，表示事件A ，B ，类似地可以定义事件A 1·A 2·……A n .5．两个相互独立事件A ，B 同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B)＝ 一般地，如果事件12n A ,A ,,A 相互独立，那么：P(A 1·A 2……A n )＝ . 6．n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是1k kn k n n P (k )C P (P )-=-．7. 条件概率：“事件A 发生的条件下事件B 发生的概率等价于局限在事件A 发生的范围内考虑事件A 和事件B 同时发生的概率”，从而将条件概率转化为古典概型的概率，用古典概型的概率公式推导出条件概率的计算公式.)()()()()(A P AB P A n AB n A B P ==将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式)()()(A B P A P AB P =【考计点拔】牛刀小试：1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )的值等于( )A ．0 B.116C.14D.12解析：选B.EF 表示E 与F 同时发生，∴P (EF )＝P (E )·P (F )＝116.故选B.2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( )A.12125B.16125C.48125D.96125解析：选C.由题意，3粒种子恰有2粒发芽，相当于3次独立试验有2次发生，故P (X ＝2)＝C 32·(45)2·(1－45)＝48125.3．（湖北11年高考）如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。
随机事件的互斥事件和独立事件
随机事件的互斥事件和独立事件1. 互斥事件1.1 定义互斥事件（Mutually Exclusive Events）指的是两个事件不可能同时发生。
用数学符号表示为：A ∩ B = ∅，即事件A和事件B的交集为空集。
1.2 性质（1）完备性：对于任意事件A，有P(A) = P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，其中B’为事件B的补集。
（2）互斥事件的概率公式：若A1, A2, …, An为互斥事件，则P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。
1.3 应用互斥事件在实际生活中有很多应用，如在抽奖活动中，中奖和不中奖这两个事件就是互斥的。
在统计分析中，也可以利用互斥事件来计算概率。
2. 独立事件2.1 定义独立事件（Independent Events）指的是两个事件的发生与否互不影响。
用数学符号表示为：P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
2.2 性质（1）组合性：对于任意事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。
（2）独立事件的乘法公式：若A1, A2, …, An和B1, B2, …, Bm为独立事件，则P(A1 ∩ B1 ∩ … ∩ An ∩ Bm) = P(A1)P(B1) … P(An)P(Bm)。
2.3 应用独立事件在实际生活中也有很多应用，如在投掷两个骰子的情况下，第一个骰子出现1点，第二个骰子出现2点的概率就是独立事件。
在统计分析中，独立事件可以用来计算联合概率。
3. 互斥事件与独立事件的区别与联系3.1 区别（1）定义不同：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响。
（2）概率公式不同：互斥事件的概率公式为P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，独立事件的概率公式为P(A)P(B)。
3.2 联系（1）互补事件：互斥事件和独立事件都可以看作是互补事件。
高中数学概率与统计知识点
高中数学概率与统计知识点1、概率的定义随机事件A的概率是频率的稳定值；频率是概率的近似值。
2、等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是1/n，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)=m/n。
3、互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。
如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生（A、B中有一个发生）的概率，等于事件A、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。
4、对立事件对立事件是指两个事件必有一个发生的互斥事件。
例如:从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件。
而抽到“红色牌”与抽到“黑色牌”互为对立事件，因为其中一个必发生。
对立事件的性质:1)对立事件的概率和等于1:P(A)+P(Ä)=P(A+A)=1。
2)互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件。
5、相互独立事件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B)。
相互独立事件的性质:1)如果事件A与B相互独立，那么A与B,A与B，A与B也都相互独立。
2)必然事件与任何事件都是相互独立的。
3)独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件。
6、独立重复试验若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的。
如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率:P…(k)=CP*(1-P)"-*7、两个事件之间的关系对任何两个事件都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)。
概率与统计中的独立与互斥事件
互斥事件的性质
互斥事件的定 义：两个事件 A和B是互斥的， 如果它们不能
同时发生。
概率与统计中的互斥事件：在决策分析中，互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生，即一个事件的发生会阻止另一个 事件的发生。例如，在体育比赛中，每个参赛选手只能获得一个名次，一个选手获得第一名就会阻止其他选手获得该名次。
独立与互斥事件的实例分析：在决策分析中，独立与互斥事件的应用非常广泛。例如，在金融投资中，投资者可以根据不 同投资品种之间的独立性来分散投资风险；在生产管理中，企业可以根据不同生产环节之间的互斥性来优化生产流程。
独立与互斥事件的实例分析
第五章
生活中的独立与互斥事件实例
独立事件实例：抛掷一枚骰子，出现偶数点与出现点数大于3的事件是 独立事件，因为一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
互斥事件实例：抽奖活动中，中奖与不中奖是互斥事件，因为两个事件 不能同时发生。
独立事件实例：投篮命中与投篮未命中是独立事件，因为一个事件的发 生不影响另一个事件的发生。
互斥事件实例：在掷骰子游戏中，出现1、2、3和出现4、5、6是互斥 事件，因为两个事件不能同时发生。
概率论中的经典独立与互斥事件问题解析
蒙提霍尔问题：一个著名的概率论问题，涉及到独立事件和概率计算。
生日悖论：一个经典的独立事件与互斥事件问题，通过实例分析理解概率 论在实际中的应用。
投掷硬币实验：通过投掷硬币的实验，分析独立事件和互斥事件的概率， 理解概率论的基本概念。
独立和互斥的关系图
独立和互斥的关系图如下：
独立和互斥的区别：
1、性质不同：相互独立事件可能是互斥事件，也可能不是互斥事件，而互斥事件一定不是独立事件。
相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
相互独立事件同时发生的概率P(A*B)=P(A)*P(B)。
互斥事件指的是不可能同时发生的两个事件。
2、关系不同：互斥事件中的事件个数可以是两个或多个，而对立事件只是针对两个事件而言的，两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件。
3、影响不同：独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生。
互斥事件是不可能同时发生的事件即交集为空，但可能会产生相互影响(比如A发生，B就一定不发生了)。
从联系上来说独立事件可能是互斥事件也可能不是互斥的，而互斥事件一定不是独立事件。
2-互斥事件独立事件的概率(文)
(1(2(3互斥独立事件的概率(文)例,甲、乙两人独立地破译1个密码,他们能译出密码的概率分别为1/3和1/4,求下列事件的概率： (1)两人都译出密码; （2）两人都译不出密码; （3）恰有一人译出密码; （4）至多一人译出密码； （5）译出密码。
例,有4名学生参加体育达标测验,4人各自合格的概率分别是1/3,1/4,1/5,1/6,求以下的概率: （1）四人中至少有二人合格的概率; （2）四人中恰好只有二人合格的概率.例,如图,电路中每个开关闭合的概率都为0.7,计算这段时间内线路正常工作的概率, 练习:1、从一批乒乓球产品中任取1个，如果其质量小于2.45g 的概率是0.22，质量不小于2.50g 的概率是0.20，那么质量在[)2.45,2.50g 范围内的概率是________.2、甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果他们预报准确的概率分别为0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是___________.3、甲、乙两人下棋,甲不输的概率是80%,两个下成和棋的概率是50%,则甲获胜的概率为_______.4、抛掷一枚骰子，若事件A 为“朝上一面的点数是奇数”，事件B 为“朝上一面的点数不超过3”，求P （A+B ）5、如图:用A 、B 、C 、D 四类不同的元件连接成系统N,当元件A 正常工作且元件B 、C 都正常工作,或当元件A 正常工作且元件D 正常工作时,系统N 正常工作.已知元件A 、B 、C 、D 正常工作的概率依次为.4,3,3,2 （1）求元件A 不正常工作的概率; （2）求元件A 、B 、C 都正常工作的概率; （3）求系统N 正常工作的概率.作业：1、某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中耙”的互斥事件是 （ ） （A ）至多有一次中耙 （B ）两次都中耙 （C ）两次都不中耙 （D ）只有一次中耙2、甲、乙两种型号的导弹同时向一架敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，则敌机被击中的概率为 .3、某射手在一次射击中射中10环，9环，8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，计算这个射手在一次射击中 （1）射中10环或9环的概率 ;（2）不够8环的概率 .4、两个事件互斥是这两个事件对立的______________条件.5、一段外语录音，甲能听懂的概率是80%，乙能听懂的概率是70%，两人同时听这段录音，其中至少有一人能听懂的概率是多少？6,（03天津）有三种产品,合格率分别是0.90，0.95和0.95,各抽取一件进行检验。
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记为事件 A
例3：从1，2，3，……30这30个数中，随 机抽取一个数，求
（1）能被2整除的概率 （2）能被3整除的概率 （3）能被2或3整除的概率
有6 名献血者参加献血活动，其中A型有2人，O 型有3人，B型有1人，现从这6人中选取4人，其 中三种血型齐全的概率是多少？
用概率思想证明等式： n Cni 2 C2nn i0
2020年4月15日
互斥事件有一个发生 的概率
2020年4月15日
知识点回顾
1、互斥事件：不可能同时发生的两个事件A、B 叫做互斥事件。
如果 A1, A2 , A3 L An 中任何两个都是互斥事 件,则称 A1, A2 , A3 L An 彼此互斥。
2、对立事件：必有一个发生的互斥事件叫
做对立事件。记为：A, A
3、互斥事件有一个发生的概率
需列式）
从男女学生共36名的班级中，任意选出2名委员， 任何人都有同样的当选机会。如果选得同性委员的
1 概率等于 2 ，求男女生相差几名？
袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个， 有放回地抽取三次，计算下列事件的概率：
（1）三次颜色各不相同； （2）三次颜色不全相同； （3）三次取出的球无红色或无黄色。
基础练习
1、下列命题正确的有： （1）两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件 （2）事件A，B的概率都大于0，若A+B是必然事件，则 A、B一定是对立事件
（3）若A、B互斥，则 P( A B) 1
（4）若A、B互斥，概率都大于0，则 A B 为必
然事件
（1）、（4）
2、从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球， 那么互斥不对立的事件是（ ）C A、至少有1个白球与都是白球 B、至少有一个白球与至少有1个红球 C、恰有1个白球与恰有2个白球 D、至少有1个白球与都是红球
练习：在1000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一 等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中买1张奖券， 求 （1）分别得一等奖，二等奖，三等奖的概率 （2）中奖的概率
在900张奖券(其奖券号为100~999的三位自然数) 中抽一张奖券，若中奖的号码是仅有两个数字相 同的奖券，求中奖面是多少？
0.27
例2：四个编号为1，2，3，4的小球放入 编号为1，2，3，4的盒子中，每个盒中1 个球，求至少有一个小球的编号和盒子的 编号相同的概率。
3、掷一个骰子，设A为“出现2点”，Ｂ为“出现
奇数点”则P（A+B）为_______2
3
例题讲解:
例1:苏大例1
另题:有A、B两个口袋，A中有4个白球和两个 黑球，B中有3个白球和4个黑球，从A、B中各 取两个球交换，求A中仍有4个白球的概率。
交换的球必须是相同的球，共有三种可能： 两个白球；两个黑球；一白一黑。