“互斥事件”与“相互独立事件”的概念辨析

“互斥事件”与“相互独立事件”的概念辨析
江少芳 上海市上海大学附属中学 邮编 （200444）
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互斥事件和相互独立事件是概率论中的两个重要概念，但是很多同学在学习了这两个概念之后产生了混淆，从而在解题时导致了一些不易察觉的错误，那么互斥事件和相互独立事件到底有什么联系与区别？下面就来对这两个概念做一个有效的辨析。

一、概念辨析：
（1）互斥事件：对于事件A 、B ，若不可能同时发生，则称A 、B 为互斥事件。

从集合的角度来认识，满足A B φ⋂=，进一步的，当A B =ΩU 时，事件A 、B 是对立事件。

因此有概率加法公式：()()()P A B P A P B ⋃=+，
即()0P AB =，特别地，当A 、B 对立，记B A =，有()()=1P A P A +。

（2）独立事件：对于事件A 、B ，如果()()()P AB P A P B =•，那么称A 、B 是相互独立事件。

直观解释就是，事件A （或B ）发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响。

上述定义中的公式即相互独立事件的概率乘法公式。

可以证明，如果A 与B 相互独立，则A B A B A B 与、与、与也都相互独立。

二、实例辨析：
判断下列事件A 、B 是否是互斥事件？是否是相互独立事件？
（1）将一枚硬币连抛两次，事件A ：“两次出现正面”，事件B ：“只有一次出现正面”； 解析：显然事件A 、B 不可能同时发生，故为互斥事件，()0P AB =。

()()()()()11,42
P A P B P AB P A P B ==≠•Q 又，则，因此A 、B 不是相互独立事件。

（2）如图所示，用A 、B 两类不同的元件连接成系统S ，当元件A 、B 都正常工作时，系统S 正常工作，已知元件A 、B 正常工作的概率依次为、，求系统S 正常工作的概率；
解析：设元件A 、B 正常工作分别为事件A 、B ，由已知得()()0.80.9P A P B ==，，显然事件A （或B ）发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，A 、B 是相互独立事件，()()()0.720P AB P A P B =•=≠，即事件A 、B 完全可能同时发生，不是互斥事件。

（3）一个袋子里装有同质的5个白球和3个黄球，事件A ：“从8个球中任取1个，取出的是白球”，事件B ：“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
解析：显然事件A 、B 完全可能同时发生，不是互斥事件，()2528514
C P AB C ==，又()58P A =，当A 发生时，()47P B =，当A 不发生时，()57
P B =，因此事件A 、B 也不是相互独立事件。

（4）事件A ：“常温下，水结冰”，事件B ：“掷一枚硬币，出现正面”；
分析：显然事件A 是不可能事件，所以()0P A =，因此A 、B 不可能同时发生，是互斥事件，并且不管A 是否发生，都有()12
P B =，也即A 、B 也是相互独立事件。

()()()=0P AB P A P B =•。

三、归纳感悟： 从上述实例中我们会发现，互斥事件与相互独立事件有如下关系：
（1）对事件A 、B ，若()()00P A P B ≠≠且，有以下结论：若A 、B 相互独立，则A 、B 一定不互斥（否则与()0P AB =矛盾）；若A 、B 互斥，则A 、B 一定不相互独立。

反之，不互斥的两个事件可能相互独立也可能不相互独立，同样，不相互独立的两个事件可能互斥也可能不互斥。

（2）若事件A 、B 至少有一个为不可能事件，即至少有一个的概率为0，则A 、B 一定互斥，且一定相互独立。

同时，我们也不难归纳出对两个事件是否相互独立的两种判断方法：
（1）经验法：根据问题的实质，从直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率，若没有影响，则可判断相互独立。

（2）定义法：根据定义式()()()P AB P A P B =•来判断，这是因为并不是所有的问题都是那么容易通过“直觉”判断的，比如说一个家庭中有两个小孩（假定生男、生女是等可能的），令{}{}=A B =一个家庭中有男孩、又有女孩，一个家庭中最多有一个女孩，
则()()()(){}=Ω男，男，男，女，女，男，女，女，()(){}A =男，女，女，男，()12P A =
，()()(){}B =男，男，男，女，女，男， ()34P B =，()(){}AB =男，女，女，男，()12
P AB =，由此可知，()()()P AB P A P B ≠，故A B 与不相互独立。

四、综合应用：
甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率均为，求：
（1）两人都击中目标的概率；
（2）其中恰有1人击中目标的概率；
（3）至少有1人击中目标的概率。

解析：（1）记“甲射击一次击中目标”为事件A ，“乙射击一次击中目标”为事件B ，显然A 、 B 相互独立，所以()()()0.80.80.64P AB P A P B =•=⨯=。

（2）有两种情况：甲击中乙未击中，即AB 或甲未击中乙击中，即AB ，显然在一次试验中，两种情况不可能同时发生，即AB 与AB 是互斥的，又因为A B A B 与及与是相互独立的，所以()()()P AB AB P AB P AB =+U ()()()
()P A P B P A P B =•+•()=0.810.8⨯-+ ()10.80.8=0.32-⨯
（3）从正面考虑有三种情况：AB 或AB AB 或，从对立角度考虑只有一种情况：AB ，因为A B 与相互独立，所以()()()()()()()
11P AB P A P B P A P B =•=-•- =0.20.2=0.04⨯，所求概率为()10.96P AB -=。

总而言之，只有当我们厘清了事件之间的相互关系之后，才能正确的使用公式，才能对所要解答的问题有客观的认识从而作出准确的解答。

参考文献
魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983：41-46。