试探互斥事件与相互独立事件的区分方法
事件的独立性与互斥性
事件的独立性与互斥性无题早晨，在阳光透过窗户照射下，一切都显得特别宁静。
迷迷糊糊中，我从床上坐起，打开手机看了看时间，已经是早上8点了。
今天是周末，没有上班的压力，可以好好享受这个属于自己的休息日。
我走到阳台，深深地吸了一口清新的空气，感觉焕然一新。
突然，手机响了起来，是一个看起来很久没有联系的朋友给我发来了一条信息。
他问我有没有空，想约我一起去打羽毛球。
我想想，这个安排听起来不错，既可以锻炼身体，又可以与朋友聚聚。
所以我很快回复他，答应了这个邀约，并且约好在大悦城门口见面。
出门前，我先进了洗手间，洗漱了一番。
然后穿上合适的运动装备，整理好自己的东西，便背上背包出门了。
来到见面的地点，我远远地看到了他。
我们打了个招呼，一起来到了羽毛球馆。
羽毛球馆里，一片喧闹，不同的场地上，人们们正热火朝天地打着羽毛球。
我们找到了一个空场地，拿起球拍后开始了我们的游戏。
在紧张激烈的比赛中，我们尽情地挥洒汗水，享受着比赛的乐趣。
一小时的比赛结束后，我们非常疲惫，但是心情却很好。
我们一起走出羽毛球馆，决定去一家附近的餐厅吃午饭。
在餐厅里，我们点了我们喜欢的菜品，一边享受美食，一边畅谈着彼此的近况。
“你最近怎么样啊？”我问他。
“还行吧，公司最近有些忙，但是工作也很有意思。
”他回答。
我们一直谈论着工作、生活、兴趣爱好等话题，感觉时间过得飞快。
吃完饭后，我们决定再去电影院看一场电影。
我们选择了一部犯罪推理片，一边观影，一边分析电影中的情节和真相。
观影结束后，我们再次坐在了一家咖啡馆里，品尝着咖啡，继续聊天。
我突然提起了我最近的一个困扰，自己对工作和生活的迷茫。
他安慰我并且给我一些建议，让我觉得心情豁然开朗起来。
他的理解和支持，给了我很大的鼓励。
时间流逝得很快，我们聊到了傍晚时分。
我觉得不好意思一直占用他的时间，就和他道别，给予了他一个拥抱，并说了声再见。
在回家的路上，我想着今天的经历，觉得非常满足和快乐。
经历了一天的活动，我意识到独立性和互斥性的重要性。
互斥与相互独立
1.“互斥”的含义设若事件A与B不可能同时发生，即A与B的交为不可能事件（空集），从而P(AB)=0，则称A与B互不相容或互斥。
进一步地，设若A与B同时满足必有一个事件发生的条件，即A与B的交为不可能事件，A与B的并为必然事件，从而P(A)+P(B)=1，P(AB)=0，则称A与B互相对立(互逆)事件。
上述所谓两个互斥事件A 、B 不可能同时发生，具体包括三种情景：一是仅事件A 发生；二是仅事件B 发生；三是事件A和B 都不发生。
当然，设若事件A、B 对立，则只须考虑前两种情况了。
因此，互斥的概念适用于描述多个事件之间的关系，而对立概念则只适用于描述两个事件之间的关系。
两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可能都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
2.“相互独立”的含义设若事件A和B满足P(A/B)=P(A)，P(B/A)=P(B) ，从而满足P(AB)=P(A)P(B)，则称该事件A和B 相互独立。
可见，事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念。
互斥说的是两个事件不能同时发生；而相互独立则是允许两个事件同时发生，只是其中一个事件的发生与否对另外一个事件发生的可能性不会产生任何影响。
因此，互斥属于纯粹用来刻画事件之间相互关系的概念；而相互独立则是用来刻画事件之间概率关系的概念。
在逻辑上，可以将互斥事件理解为一次试验下可能出现的不同基本事件，而将相互独立事件理解为两次或更多次不同试验下相应出现的不同事件。
故此，若A 与B 为互斥事件，则应使用概率加法公式来计算A或B发生的概率：P( A + B) = P( A) +P( B)。
而若A 与B 为相互独立事件，则应使用概率乘法公式来计算A和B同时发生的概率（联合概率）：P( AB) = P( A)P( B) 。
3. “相互独立”与“互斥”互不相容设若A、B相互独立，则根据定义，必有P(AB)=P(A)P(B)。
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点在概率论中，随机事件的独立性与互斥性是两个非常重要的概念。
理解这两个概念对于解决各种概率问题以及理解随机现象的本质具有关键意义。
首先，我们来谈谈互斥事件。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生。
比如说，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是互斥事件，因为在一次抛硬币的过程中，不可能既正面朝上又反面朝上。
再比如，从一副扑克牌中抽一张牌，抽到红桃和抽到黑桃就是互斥事件，因为一张牌不可能既是红桃又是黑桃。
用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即P(A ∩ B) ＝ 0。
这里的 P 表示概率。
互斥事件的概率计算相对简单。
如果事件 A 和事件 B 互斥，那么事件 A 或者事件 B 发生的概率，就等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
举个例子，一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机摸出一个球，摸到红球和摸到蓝球就是互斥事件。
摸到红球的概率是 5/8，摸到蓝球的概率是 3/8，那么摸到红球或者蓝球的概率就是 5/8 ＋ 3/8 ＝ 1。
接下来，我们说说独立事件。
独立事件是指一个事件的发生与否不影响另一个事件发生的概率。
比如说，今天下雨和明天考试成绩好不好就是独立事件，今天下雨不会影响明天考试成绩的好坏。
再比如，你第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上也是独立事件，第一次的结果不会影响第二次的结果。
如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 发生且事件 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以事件 B 发生的概率，即P(A ∩ B) ＝P(A) × P(B)。
举个例子，有两个独立的抽奖活动，抽奖活动甲中奖的概率是 02，抽奖活动乙中奖的概率是 03。
那么同时在甲和乙两个抽奖活动中中奖的概率就是 02 × 03 ＝ 006。
那么，互斥事件和独立事件之间有什么区别和联系呢？区别在于，互斥事件关注的是两个事件能否同时发生，而独立事件关注的是一个事件的发生对另一个事件发生概率的影响。
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点在概率论中，随机事件的独立性与互斥性是两个非常重要的概念。
理解这两个概念对于我们正确分析和解决概率问题至关重要。
首先，让我们来谈谈互斥事件。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生。
比如说，掷一枚骰子，出现点数为 1 和出现点数为 2 就是互斥事件，因为骰子在一次投掷中不可能同时出现 1 点和 2 点。
用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 互斥，那么它们的交集为空集，即 A ∩ B ＝∅。
再举个例子，从一副扑克牌中抽一张牌，抽到红桃和抽到黑桃就是互斥事件。
因为一张牌不可能既是红桃又是黑桃。
互斥事件的概率计算相对简单，如果 A 和 B 互斥，那么 P(A 或 B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
接下来，我们说一说独立事件。
独立事件是指一个事件的发生与否不影响另一个事件发生的概率。
例如，今天下雨和明天你考试取得好成绩就是两个独立事件。
今天是否下雨并不会对明天考试成绩的好坏产生直接影响。
用数学公式来表达，如果事件 A 和事件 B 独立，那么P(A ∩ B) ＝P(A) × P(B)。
比如说，有两个抽奖箱，抽奖箱 1 中有 5 个红球和 5 个白球，抽奖箱 2 中有 3 个红球和 7 个白球。
从抽奖箱 1 中抽取一个球是红球的事件 A 和从抽奖箱 2 中抽取一个球是红球的事件 B 就是独立事件。
那互斥事件和独立事件有什么区别呢？互斥事件强调的是两个事件不能同时发生，而独立事件强调的是一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
可以说，互斥事件关注的是事件的“同时性”，而独立事件关注的是事件的“关联性”。
为了更好地理解这两个概念，我们来看一些具体的题目。
假设事件 A 是掷一枚硬币正面朝上，事件 B 是掷另一枚硬币反面朝上。
这两个事件是独立事件，因为一枚硬币的投掷结果不会影响另一枚硬币的投掷结果。
那么 P(A) ＝ 05，P(B) ＝ 05，P(A ∩ B) ＝ P(A)× P(B) ＝ 025。
如何区分互斥事件与相互独立事件
如何区分互斥事件与相互独立事件作者：田麦来源：《世纪之星·交流版》2015年第07期[摘要]解决概率问题，需要明确所求事件是由哪些基本事件构成，这些基本事件有一个发生，还是同时发生，即事件是彼此互斥的还是相互独立的。
[关键词]互斥事件；相互独立事件试验中事件的概率计算何时使用概率的加法公式，何时使用相互独立事件概率乘法公式，常是初学这部分知识的人难以把握的问题。
引起麻烦的主要根源是无法确定事件的关系是互斥的还是相互独立。
下面我们从四个方面来解决这个问题。
首先，判定两个事件之间的关系从定义入手，互斥事件发生在一次实验可能出现的不同结果中，这两个事件不可能同时发生：而相互独立事件发生在互不干涉的不同实验中，一个事件发生与否对另一个发生的概率不产生影响。
其次，从事件发生的结果入手判断事件间的关系。
互斥事件若有一个发生，那么其它事件在实验中就不再发生了。
而相互独立事件中一个事件在实验中发生，对其它事件是否发生不产生任何影响。
再次，从事件的来源入手，即从产生事件的试验入手。
互斥事件发生在同一次试验中，两个互斥事件A和B不会同时发生，但它们的概率相互影响，总有相互独立事件发生于不同试验中，两个相互独立事件A和B是否发生不影响，产生事件的试验也相互独立互不影响，概率关系同样互不影响，总有.最后，根据两个概率公式，分析适应的事件关系也可以判断事件间的关系，对于互斥事件有一个发生的概率加法公式，要求事件A、B之一发生，具有明确的排它性。
对于相互独立事件的概率乘法公式，要求事件A、B同时发生，如果满足不了同时发生的条件，那这两个事件就肯定不是相互独立事件。
所以，是否能够分清事件A和B的关系至关重要，下面举例说明：例1 甲，乙两人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.8，计算（1）2人都击中目标的概率；＼（2）其中恰有一人击中目标的概率。
（3）至少有1人击中目标的概率。
解：（1）把甲射击一次的过程看作一次实验记“甲射击1次，击中目标”为事件A“乙射击1次，击中目标”为事件B2人各射击一次，这两个试验相互不影响，因此A，B为相互独立事件，2人都击中目标即A、B同时发生。
概率与统计中的独立与互斥事件
互斥事件的性质
互斥事件的定 义：两个事件 A和B是互斥的， 如果它们不能
同时发生。
概率与统计中的互斥事件：在决策分析中，互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生，即一个事件的发生会阻止另一个 事件的发生。例如，在体育比赛中，每个参赛选手只能获得一个名次，一个选手获得第一名就会阻止其他选手获得该名次。
独立与互斥事件的实例分析：在决策分析中，独立与互斥事件的应用非常广泛。例如，在金融投资中，投资者可以根据不 同投资品种之间的独立性来分散投资风险；在生产管理中，企业可以根据不同生产环节之间的互斥性来优化生产流程。
独立与互斥事件的实例分析
第五章
生活中的独立与互斥事件实例
独立事件实例：抛掷一枚骰子，出现偶数点与出现点数大于3的事件是 独立事件，因为一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
互斥事件实例：抽奖活动中，中奖与不中奖是互斥事件，因为两个事件 不能同时发生。
独立事件实例：投篮命中与投篮未命中是独立事件，因为一个事件的发 生不影响另一个事件的发生。
互斥事件实例：在掷骰子游戏中，出现1、2、3和出现4、5、6是互斥 事件，因为两个事件不能同时发生。
概率论中的经典独立与互斥事件问题解析
蒙提霍尔问题：一个著名的概率论问题，涉及到独立事件和概率计算。
生日悖论：一个经典的独立事件与互斥事件问题，通过实例分析理解概率 论在实际中的应用。
投掷硬币实验：通过投掷硬币的实验，分析独立事件和互斥事件的概率， 理解概率论的基本概念。
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点在概率论中，随机事件的独立性与互斥性是两个非常重要的概念。
理解这两个概念对于解决各种概率问题以及深入理解概率的本质都具有关键意义。
首先，咱们来聊聊什么是随机事件。
简单说，随机事件就是在一定条件下，可能出现也可能不出现的事情。
比如说，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
那么，什么是互斥事件呢？互斥事件指的是两个事件不能同时发生。
举个例子，扔骰子的时候，“出现 1 点”和“出现 2 点”这两个事件就是互斥的，因为骰子扔一次，不可能既出现 1 点又出现 2 点。
再来说说独立事件。
独立事件是指一个事件的发生与否，不影响另一个事件发生的概率。
比如，今天下雨和明天考试成绩好坏，这两件事通常就是相互独立的，今天下不下雨不会影响明天考试成绩的好坏。
为了更清楚地理解互斥事件，咱们来看看互斥事件的概率计算。
如果 A 和 B 是互斥事件，那么 A 或 B 发生的概率就等于 A 发生的概率加上 B 发生的概率，即 P(A 或 B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
比如说，盒子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机取出一个球，“取出红球”和“取出蓝球”就是互斥事件。
取出红球的概率是 5/8，取出蓝球的概率是 3/8，那么取出红球或者蓝球的概率就是 5/8 ＋ 3/8 ＝ 1 。
接下来谈谈独立事件的概率计算。
如果 A 和 B 是独立事件，那么A 和B 同时发生的概率等于 A 发生的概率乘以 B 发生的概率，即 P(A且 B) ＝ P(A) × P(B)。
例如，有两个独立的抽奖活动，第一个抽奖中奖的概率是 02，第二个抽奖中奖的概率是 03，那么同时在这两个抽奖中中奖的概率就是 02 × 03 ＝ 006 。
需要注意的是，互斥事件和独立事件并不是一回事。
互斥事件强调的是两个事件不能同时发生，而独立事件强调的是一个事件的发生不影响另一个事件的概率。
有时候，人们容易混淆这两个概念。
事件的互斥和独立性判断
事件的互斥和独立性判断事件的互斥和独立性是概率论中的重要概念，用于描述事件之间的关系和发生的可能性。
正确判断事件的互斥性和独立性对于理解概率论和应用概率进行合理推断至关重要。
本文将从事件互斥和独立的定义、判断方法以及实际案例等方面展开讨论。
一、事件互斥和独立的定义事件的互斥性指的是两个或多个事件不能同时发生的情况。
如果事件A发生，那么事件B就不会发生，反之亦然。
例如，抛掷一枚硬币的正面和反面事件就是互斥事件，因为只能有正面或反面，不可能同时出现。
事件的独立性指的是一个事件的发生与其他事件的发生无关。
如果事件A的发生与事件B的发生没有关联，那么它们就是独立事件。
例如，抛掷一枚硬币的正面事件与掷一颗骰子的点数为奇数事件就是独立事件，因为它们之间没有任何关系。
二、事件互斥和独立的判断方法判断事件的互斥性和独立性可以通过以下方法进行：1. 对事件发生的样本空间进行分析：样本空间是指事件可能发生的所有情况组成的集合。
通过分析样本空间中的元素，我们可以判断事件之间是否互斥或独立。
2. 对事件的发生概率进行比较：事件发生的概率是描述事件发生可能性的数值。
通过比较事件的概率，可以初步判断事件是否互斥或独立。
如果事件A的发生与事件B的发生的概率之和与事件A的概率相等，则说明事件A与事件B互斥；如果事件A的发生与事件B的发生的概率之积与事件A的概率相等，则说明事件A与事件B独立。
三、事件互斥和独立的实际应用事件的互斥和独立性在现实生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是几个实际案例的应用：1. 抽奖活动：在抽奖活动中，每个抽取的奖品都是互斥的。
一个人只可能获得一个奖品，而不可能同时获得多个奖品。
2. 医学诊断：在医学中，多个疾病的发生可能会相互影响，因此需要判断这些疾病之间是互斥还是独立的，以进行正确的诊断和治疗。
3. 统计调查：在统计学中，通过对不同事件的调查和分析，可以判断事件之间是互斥还是独立的，从而进行正确的推断和预测。
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试探互斥事件与相互独立事件的区分方法
随机试验中事件的概率计算何时使用互斥事件概率的加法公式，何时使用相互独立事件概率的乘法公式，常是初学这部分知识的人难以把握的问题，引起麻烦的根源主要是无法确定事件间的关系究竟属于互斥事件还是独立事件。
判断两个事件之间的关系首先从定义入手，互斥事件发生在一次试验可能出现的不同结果中，这两个（或多个）事件不可能同时发生，而相互独立事件发生互不干涉的不同试验中，一个事件发生与否对另一个事件发生的概率不产生影响。
其次，从事件发生的结果入手判断事件间的关系，互斥事件若有一个发生，那么其他事件在试验中就不能再发生了；而相互独立事件中一个事件在试验中发生，对其它事件是否发生不产生任何影响。
再之，从事件的来源入手，即从产生事件的试验入手，互斥事件发生在同一次试验中，两个互斥事件A和B不会同时发生，但它们的概率相互影响，总有0≤P（A）+P（B）≤1相互独立事件发生于不同试验中，两个相互独立事件A和B是否发生互斥影响，产生事件的试验也相互独立互不影响，概率关系同样互不影响，总有0≤P（A）≤1、0≤P（B）≤1。
从两个概率公式入手，分析适应的事件关系也可以判断事件间的关系，对于互斥事件有一个发生的概率加法公式P（A+B）=P（A）+P（B），要求事件A、B之一发生（且只能有一个发生），具有明确的排斥性；对于相互独立事件的概率乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），要求事件A、B同时发生，如果满足不了同时发生的条件，那么这两个事件肯定不是相互独立事件。
从两个概率公式的适用条件看，是否能够分清事件A和B的关系（这些事件是一次试验的结果还是几次独立试验的结果）到关重要，下面举两个例子加以阐述。
例1：甲乙两人各进行一次射击，如果两人击目标的概率都是0.8计算：
（1）工人都击中目标的概率
（2）其中恰有一人击中目标的概率
（3）至少有一人击中目标的概率
解（1）：把甲射击目标的过程看作一次试验，记“甲射击一次击中目标”为事件A，“乙射击一次击中目标”为事件B，两人各射击一次，这两个试验相互之间互不影响，因此，A、B为两个相互独立事件，2人都击中目标是A发生且B发生，即A、B同时发生，因此求解应利用相互独立事件的乘法公式。
P（A·B）=P（A）·P（B）=0.8×0.8=0.64
即甲乙两人都击中目标的概率为0.64
(2)”其中恰有一人击中目标”这一要求是把甲乙两人各射击一次的过程看作一次试验,这次试验含有两个过程,在由这两个过程形成的每一个事件中都抱括两种同时发生的情况,“恰有一人击中”包括A击中B没有击中（事件A·B，在这里A和B又是相互独立事件），或A没有击中B击中（事件A·B，在这里A和B相互独立）两个互斥事件，所以首先要利用相互独立事件的概率乘法公式分别计算A·B和A·B，再利用互斥事件的概率加法公式求A·B+A·B，所以其中恰有一人击中目标的概率为P（A·B+A·B）
=P（A·B）+P（A·B
=P（A）·P(B)+P（A）·P(B
=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32
（3）通过上面分析，对于“至少有一人击中目标的概率可直接求解，也可以从对立事件入手，易得：
P=P（A·B+ A·B+ A·B）=P（A·B）
=P（A·B）+P（A·B）+P（A·B）
=P（A）·P（B）+P（A）P（B）+ P（A）P（B）
=0.8×0.8+0.8×0.2+0.2×0.8=0.96
或P=P(A+B)=1-( A·B)
=1-P(A) ·P(B))
=1-(1-0.8)×(1-0.8)
=0.96 (对立事件法)
解2 有三种产品，合格率分别为0.9 0.85 0.85各抽取一件进行检验,求
恰有一件不合格品的概率
至少有两件不合格品的概率
解析:从抽取的结果看,每次在三件产品中各抽取一件,共三件,这三件产品合格与否互不影响,可以看作是相互独立的结果(把结果看成事件时,如三个相互独立事件),当把抽出的产品看成是一次试验(这个试验包含三个抽取过程)的结果时,不同质量的三件产品构成的事件为互斥事件.
记“三种产品各抽取一件，抽取的是合格产品”的事件分别为A、B、C，P（A）=0.9 P(B)=0.85 P(C)=0.85
(1)“恰有一件不合格品”的事件有ABC，ABC，ABC三种情况，其概率为
P=P（ABC+ABC+ABC）
=P（A·B·C）+P（A·B·C）+P（A·B·C）
=P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）
=0.9×0.85×0.15+0.9×0.15×0.85+0.1×0.85×0.85
≈0.302
(2)至少有两件不合格品的概率为
P=P(A·B·C+ A·B·C + A·B·C + A·B·C)
=(1-0.9) ×(1-0.85) ×(1-0.85)+2×(1-0.9)(1-0.85) ×0.85+0.9×0.15×0.15
=0.048
总之，在利用两个公式计算事件概率时，确定出事件间的相互关系是正确利用公式的前提条件，能否在作题之前有珍上明确的思路判断和清楚的思想认识，显得尤为重要，也特别希望大家在学习过程中，不断研究，不断探索，在学习中提高，在总结中进步。
试用隔离法解“至少”的组合问题
对于初学排列与组合知识的学生而言解题非常困难，往往感到无从下手，那么我们谈谈一类组合问题的解法：有一类“至少”有一个的组合问题，用隔离法可快速求解。
例1：7个相同的小球全部装入3个不同的盒子，且每一个盒子至少装1个球，有多少种不同的装法？
解法1：设这三个盒子装入小球的个数分别为1
x 23、x 、x 则1237x x x ++=，且1
x 23、x 、x 均为正整数，所以小球的不同装法数等于上述方程的解的组数。
若，则236x x +=，有5组不同的正整数解
若12x =，则235x x +=，有4组不同的正整数解
…… …… …… ……
若，则方程232x x +=，有一组不同的正整数解
所以方程1237x x x ++=
，共有5+4+3+2+1=15组不同的正整数解，故有15种不同的装法。
解法2：我们先把每一个盒子装入一个球，再求剩余4个球全部放入3个盒子的不同装法数，就是原题答案。
第一类4个球装入1个盒子有13C 种装法
第二类1个盒子装3个，一个盒子装1个有23A 种装法
第三类2个盒子各装2个，有种装法
第四类1个盒子装2个，其余两个盒子各装1个有13C 种装法
因此，共有13C +23A ++13C =15种不同装法。
解法2比解法1简捷且容易想到，但随盒子和小球数目的增加，难度将越来越大，还不是一般性方法，下面给出一种隔离法解答。
解法3：将7个球排成一列，它们之间有6个空位，从中取两个空位把7个球分成三个组，叫6个空取出2个空的一种隔离，显然所有这样隔离的个数，就是本题的解答，因此共=15种装法。
例2 20种相同的物品，全部分给5名学生，且每人至少一件，有多少种不同分法？
解：将20种物品排成一排，它们之间有19个空位中任取4个的隔离数为419C =3876，因此，共有3876种分法。
例3 10个相同的小球，全部装入3个盒子，要求每个盒子至少装两个小球，有多少种不同装法？
解：先把每个盒子各装一个球，则问题转化为7个小球全部装入3个盒子，每盒至少装一个球的问题，共有=15种装法。
例4 12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，每盒可空，有多少不同装法？
解：因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，插入法无法应用，现在建立如下模型，将三块隔板与12个球排成一排，则如下000||00000|0000，隔板将这
一排球分成4块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即1、2、3、4四个盒子相应放入3个、0个、5个、4个小球，这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法，排列的位置有15个，先将这15个位置中选出3个位置放隔板有315C 种选法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以球与隔板的排法
有315C 种，故球的放法有315C =455种。