人教版初中数学第八章二元一次方程组知识点
七年级二元一次方程组知识点总结
人教版七年级下册第八章第一课时认识二元一次方程组一、二元一次方程及其解（1）二元一次方程：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是(0,0)ax by c a b +=≠≠.（2）二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】二、二元一次方程组及其解（1）、二元一次方程组：含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.（2）、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：16x y x y +=⎧⎨+=⎩，1226x y x y +=⎧⎨+=⎩；②有且只有一组解，例如：122x y x y +=⎧⎨+=⎩；③有无数组解，例如：1222x y x y +=⎧⎨+=⎩.】 例1、若方程213257m n xy --+=是关于x y 、的二元一次方程，求m 、n 的值.解：∵方程213257m n x y --+=是关于x y 、的二元一次方程 ∴211321m n -=⎧⎨-=⎩解得11m n =⎧⎨=⎩ 例2、将方程102(3)3(2)y x --=-变形，用含有x 的代数式表示y .解:去括号得，106263y x -+=- 移项得，261063y x =-+-合并同类项得，223y x =- 系数化为1得，232x y -=例3、方程310x y +=在正整数范围内有哪几组解？解：有三组解，分别是147,,321x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 例4、若23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解，求m n 、的值. 解：∵23x y =⎧⎨=⎩是方程组2315x m nx my -=⎧⎨-=-⎩的解 ∴431235m n m -=⎧⎨-=-⎩解得11m n =⎧⎨=-⎩ 例5、已知(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程，求m n 的值. 解：∵(1)(1)1n m m x n y ++-=是关于x y 、的二元一次方程∴101101m m n n +≠⎧⎪=⎪⎨-≠⎪⎪=⎩ 解得11m n =⎧⎨=-⎩ ∴1(1)1m n =-=-（变式训练）已知218(26)(2)0n m m x n y +--++=是关于x y 、的二元一次方程，当2y =-时，求x 的值. 知识点1:二元一次方程及其解1、下列各式是二元一次方程的是（ ）..A 67x y -= .B 105x y-= .C 45x xy -= .D 210x x ++= 2、若32x y =⎧⎨=⎩是关于x y 、的二元一次方程30x ay -=的一个（组）解，则a 的值为（ ） .A 3 .B 4 .C 4.5 .D 63、对于二元一次方程21x y -=有无数个解，下列四组值不是该方程的解的一组是（ ）.A 012x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ .B 11x y =⎧⎨=⎩ .C 10x y =⎧⎨=⎩.D 11x y =-⎧⎨=-⎩ 4、二元一次方程27x y +=在正整数范围内的解有（ ）..A 无数个 .B 两个 .C 三个 .D 四个5、若226n m x y +=是二元一次方程，则m = n = .6、关于x y 、的方程11()()0,33m x m y ++-=当m = 时，是一元一次方程；当m = 时，是二元一次方程.7、已知在方程352x y -=中，若用含有x 的代数式表示y ，则y = ，用含有y 的代数式表示x ，则x =8、若5m n -=，则15m n -+=9、已知221(31)0x y ++-=，则2x y -= 10、在二元一次方程2(5)3(2)10x y ---=中，当0x =时，则y = ；当4y =时，则x = . 知识点2：二元一次方程组及其解1、有下列方程组：（1）30430x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）3049x y xy +=⎧⎨=⎩ （3）52m n =⎧⎨=-⎩ （4）1426x x y =⎧⎨+=⎩其中说法正确的是（ ）. .A 只有（１）、（3）是二元一次方程组 .B 只有（３）、（４）是二元一次方程组 .C 只有（４）是二元一次方程组 .D 只有（２）不是二元一次方程组2、下列哪组数是二元一次方程组324x y x +=⎧⎨=⎩的解（ ） .A 30x y =⎧⎨=⎩ .B 12x y =⎧⎨=⎩ .C 52x y =⎧⎨=-⎩ .D 21x y =⎧⎨=⎩ 3、若方程组162ax y x by -=⎧⎨+=⎩有无数组解，则a 、b 的值分别为（ ） .A 1,1a b == .B 2,1a b == .C 1,2a b ==- .D 2,2a b ==-4、写出一个以 ⎩⎨⎧-==24y x 为解的二元一次方程组 ；写出以12x y =⎧⎨=⎩为解的一个二元一次方程 . 5、已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -的值为 。
新课标人教版七年级数学下册《第八章二元一次方程组》知识要点概括
1、二元一次方程：
⑴定义：含两个未知数且未知项的最高次数是的方程。
即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：①含未知数；②未知项的最高次数是；③分母不含。
⑵使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的；
2、二元一次方程组：
⑴同时满足以下条件的方程组就是二元一次方程组：①共含两个未知数；②未知项的最高次数是；③分母不含。
考点：若︱m-2︱x0.5︱m︱+(n+1)y｜n｜=5是二元一次方程，则m=,n=.
⑵同时使方程都成立的未知数的值叫二元一次方程组的解。
无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成的形式。
⑶二元一次方程组的解法：基本思路是。
①消元法；将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式再代入另一个方程，将二元化为一元；②消元法；适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数分别的特点，如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。
⑷列方程解应用题的一般步骤是：；关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。
八年级数学二元一次方程组知识点
八年级数学二元一次方程组知识点
以下是八年级数学二元一次方程组的主要知识点：
1. 二元一次方程组的定义：由两个未知数的一次方程组成的方程组。
2. 解二元一次方程组的方法：
a. 消元法：通过变换方程组中的某一方程使得两个方程的系数相同，从而使得方程组中某个未知数的系数为零，然后解得另一个未知数，再回代求解另一个未知数。
b. 代入法：将一个方程的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入另一个方程，得到包含一个未知数的一次方程，从而解出这个未知数，再代入另一个方程解出另一个未知数。
3. 方程组的解的情况：
a. 有唯一解：方程组有一个解，即两个方程表示的直线在某一点相交。
b. 无解：方程组的两个方程表示的直线平行，不相交。
c. 无穷多解：方程组的两个方程表示的直线重合，有无穷多个解。
4. 方程组解的判断：
a. 可以通过将解代入方程组中验证方程组是否成立，以确定解是否正确。
b. 可以通过画出方程组所表示的直线来观察直线的相交情况，以判断方程组是否有解及解的情况。
5. 方程组应用题：将实际问题转化为方程组，通过解方程组求解实际问题，如两个人同时出发，相遇时互相报告行进的时间等问题。
这些是八年级数学二元一次方程组的主要知识点，希望对你有帮助。
人教版初中数学第八章二元一次方程组知识点知识讲解
第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组1、 二元一次方程的定义：每一个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.3、 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解.4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.1．方程组23x y x y +=+=⎧⎨⎩■的解为2x y ==⎧⎨⎩■，则被遮盖的两个数分别是（ B ）A ．1，2B ．5，1C ．2，-1D ．-1，9解：把x=2代入x+y=3中，得：y=1，把x=2，y=1代入得：2x+y=4+1=5，则被遮住得两个数分别为5，1，2D ）A B ．2x －4y=5 C.xy=x+yD.x+(3 解：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．A 、是一元一次方程，故A 错误；B 、是二元二次方程，故B 错误；C 、是二元二次方程，故C 错误；D 、是二元一次方程，故D 正确；3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ D ）A ．12xy x y =⎧⎨-=⎩ BCD解：A 、第一个方程值的xy 是二次的，故该选项错误；B C 、含有3个未知数，故该选项错误；D 、符合二元一次方程组的定义；4．以方程组⎩⎨⎧+-=+=11x y x y 的解为坐标的点（x ，y ）位于（ C ） A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴C ．y 轴的正半轴D ．y 轴的负半轴解：解方程组⎩⎨⎧+-=+=11x y x y 可得⎩⎨⎧==10y x ，所以以方程组⎩⎨⎧+-=+=11x y x y 的解为坐标的点为（0，1），这个点的坐标位于y 轴的正半轴.5．已知2-=x ，y=3是二元一次方程5ax y +=的一个解，则解：把x=-2，y=3代入方程5ax y +=可得-2a+3=5，解得a=-1.6．若方程 2x 1-m + y m n +2 = 是二元一次方程，则mn = -1 .试题分析：由二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知项的的次数为1的整式方程.可以得到m-1=1，2n+m=1，可求得m=2，mn=-1. 8.2 消元——解二元一次方程组1、代入消元法解二元一次方程组：（1） 基本思路：未知数又多变少.（2） 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程.（3） 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这个方法叫做代入消元法，简称代入法.（4） 代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、 从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y ）用含另一个未知数（例如x ）的代数式表示出来，即写成y=ax+b 的形式，即“变”2、 将y=ax+b 代入到另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程，即“代”.3、 解出这个一元一次方程，求出x 的值，即“解”.4、 把求得的x 值代入y=ax+b 中求出y 的值，即“回代”5、 把x 、y 的值用｛联立起来即“联”2、加减消元法解二元一次方程组（5） 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（6） 用加减消元法解二元一次方程组的解1、 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”.2、 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”.3、 解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”.4、 将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”.5、 把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”.1．解方程组：2431x y x y -=⎧⎨+=⎩解：24(1)31(2)x y x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩ ①+②，得：5x=5 解得：x=1 把x=1代入（2），得：3+y=1 解得：y=－2 ∴方程组的解为：12x y =⎧⎨=-⎩2．解方程组： ⎩⎨⎧-=+=-1373y x y x 解：①×3：9321x y -= ③ ②＋③：1020x =2x =代入① 得：1y =- ∴原方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩3．解方程组：2()3()34()3153x y x y x y x y +--=⎧⎨++=+⎩． 解：方程组整理得：2()3()34()3()15x y x y x y x y +--=⎧⎨++-=⎩①② ①+②得x+y=3③，把③代入①，得x-y=1④，③+④得：x=2，③-④得：y=1， 则原方程组的解是21x y =⎧⎨=⎩．4x+3y 的平方根． 解：由已知得⎩⎨⎧=-+=--08201y x y x 解得⎩⎨⎧==23y x ∴x+3y=3+2×3=9∴x+3y 的平方根是±38.3 实际问题与二元一次方程组1．请根据图中提供的信息，回答下列问题：一个水瓶与一个水杯分别是多少元？解：设一个水瓶x 元，由一个水杯（48-x ）元，根据题意得：3x+4（48－x ）=152解得：x=40∴48－x=48－40=8（元）答：一个水瓶40元，一个水杯8元.2．甲、乙两个车间工人人数不相等，若甲车间调10人到乙车间，则两车间人数相等；若乙车间调10人到甲车间，则甲车间的人数就是乙车间人数的2倍，求原来甲、乙两车间各有多少名工人？解：设原来甲车间有x 名工人，乙车间有y 名工人，根据题意得：⎩⎨⎧-=++=-)10(2101010y x y x 解得：⎩⎨⎧==5070y x 答：原来甲车间有70名工人，乙车间有50名工人．3．小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元，小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元，求每支中性笔和每盒笔芯的价格.解：设每支中性笔为x 元，每盒笔芯为y 元依题意得⎩⎨⎧=+=+283256220y x y x ∴⎩⎨⎧==82y x 答：每支中性笔2元，每盒笔芯为8元4．儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省14元，已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元．解：设书包和文具盒的标价分别为x 元、y 元，依题意得：0.8()1436x y x y x y +=+-⎧⎨-=⎩， 解这个方程组，得5416x y =⎧⎨=⎩；答：书包和文具盒的标价分别为54元、16元．。
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第八章二元一次方程组二、基本定义：1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
三、二元一次方程的解法：1、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数又多变少。
（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”2、加减消元法解二元一次方程组(1) 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
(2)用加减消元法解二元一次方程组的解1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
人教版初中数学第八章二元一次方程组知识点
第八章 二元一次方程组8.1 二元一次方程组1、 二元一次方程的定义：每一个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.3、 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解.4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.1．方程组23x y x y +=+=⎧⎨⎩■的解为2x y ==⎧⎨⎩■，则被遮盖的两个数分别是（ B ） A ．1，2 B ．5，1 C ．2，-1 D ．-1，9解：把x=2代入x+y=3中，得：y=1，把x=2，y=1代入得：2x+y=4+1=5，则被遮住得两个数分别为5，1，2．下列方程是二元一次方程的是（ D ）A ．2132254y y B ．2x －4y=5 C.xy=x+y D.x+(3－2y )=5 解：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．A 、是一元一次方程，故A 错误；B 、是二元二次方程，故B 错误；C 、是二元二次方程，故C 错误；D 、是二元一次方程，故D 正确；3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ D ）A ．12xy x y =⎧⎨-=⎩B ．52313x y y x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩ C ．20132x z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ D ．5723x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解：A 、第一个方程值的xy 是二次的，故该选项错误；B 、1x是分式，故该选项错误； C 、含有3个未知数，故该选项错误；D 、符合二元一次方程组的定义；4．以方程组⎩⎨⎧+-=+=11x y x y 的解为坐标的点（x ，y ）位于（ C ） A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴C ．y 轴的正半轴D ．y 轴的负半轴解：解方程组⎩⎨⎧+-=+=11x y x y 可得⎩⎨⎧==10y x ，所以以方程组⎩⎨⎧+-=+=11x y x y 的解为坐标的点为（0，1），这个点的坐标位于y 轴的正半轴.5．已知2-=x ，y=3是二元一次方程5ax y +=的一个解，则a = -1 .解：把x=-2，y=3代入方程5ax y +=可得-2a+3=5，解得a=-1.6．若方程 2x 1-m + y m n +2 = 21是二元一次方程，则mn = -1 . 试题分析：由二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知项的的次数为1的整式方程.可以得到m-1=1，2n+m=1，可求得m=2，n=12-，因此mn=-1. 8.2 消元——解二元一次方程组1、代入消元法解二元一次方程组：（1） 基本思路：未知数又多变少.（2） 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程.（3） 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这个方法叫做代入消元法，简称代入法.（4） 代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、 从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y ）用含另一个未知数（例如x ）的代数式表示出来，即写成y=ax+b 的形式，即“变”2、 将y=ax+b 代入到另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程，即“代”.3、 解出这个一元一次方程，求出x 的值，即“解”.4、 把求得的x 值代入y=ax+b 中求出y 的值，即“回代”5、 把x 、y 的值用｛联立起来即“联”2、加减消元法解二元一次方程组（5） 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（6） 用加减消元法解二元一次方程组的解1、 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”.2、 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”.3、 解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”.4、 将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”.5、 把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”.1．解方程组：2431x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解：24(1)31(2)x y x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩①+②，得：5x=5 解得：x=1 把x=1代入（2），得：3+y=1 解得：y=－2 ∴方程组的解为：12x y =⎧⎨=-⎩ 2．解方程组： ⎩⎨⎧-=+=-1373y x y x解：①×3：9321x y -= ③②＋③：1020x =2x =代入① 得：1y =-∴原方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩3．解方程组：2()3()34()3153x y x y x y x y+--=⎧⎨++=+⎩．解：方程组整理得：2()3()34()3()15x y x y x y x y +--=⎧⎨++-=⎩①② ①+②得x+y=3③，把③代入①，得x-y=1④，③+④得：x=2，③-④得：y=1，则原方程组的解是21x y =⎧⎨=⎩． 4．已知：0)82(12=-++--y x y x ，求：x+3y 的平方根．解：由已知得⎩⎨⎧=-+=--08201y x y x 解得⎩⎨⎧==23y x ∴x+3y=3+2×3=9∴x+3y 的平方根是±38.3 实际问题与二元一次方程组1．请根据图中提供的信息，回答下列问题：一个水瓶与一个水杯分别是多少元？解：设一个水瓶x 元，由一个水杯（48-x ）元，根据题意得：3x+4（48－x ）=152解得：x=40∴48－x=48－40=8（元）答：一个水瓶40元，一个水杯8元.2．甲、乙两个车间工人人数不相等，若甲车间调10人到乙车间，则两车间人数相等；若乙车间调10人到甲车间，则甲车间的人数就是乙车间人数的2倍，求原来甲、乙两车间各有多少名工人？解：设原来甲车间有x 名工人，乙车间有y 名工人，根据题意得：⎩⎨⎧-=++=-)10(2101010y x y x 解得：⎩⎨⎧==5070y x 答：原来甲车间有70名工人，乙车间有50名工人．3．小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元，小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元，求每支中性笔和每盒笔芯的价格.解：设每支中性笔为x 元，每盒笔芯为y 元依题意得⎩⎨⎧=+=+283256220y x y x ∴⎩⎨⎧==82y x 答：每支中性笔2元，每盒笔芯为8元4．儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省14元，已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元．解：设书包和文具盒的标价分别为x 元、y 元，依题意得：0.8()1436x y x y x y +=+-⎧⎨-=⎩， 解这个方程组，得5416x y =⎧⎨=⎩；答：书包和文具盒的标价分别为54元、16元．。
人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第八章8-2二元一次方程(组)的解法Ⅰ-代入法(能力提升)
第八章二元一次方程（组）8.2 二元一次方程（组）的解法Ⅰ——代入法（能力提升）【要点梳理】知识点一、消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.要点二、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．要点诠释：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．【典型例题】类型一、用代入法解二元一次方程组例1．用代入法解方程组：237 338x yx y+=⎧⎨-=⎩①②【思路点拨】比较两个方程未知数的系数，发现①中x的系数较小，所以先把方程①中x用y表示出来，代入②，这样会使计算比较简便．【答案与解析】解：由①得732yx-=③将③代入②733382yy-⨯-=，解得13y=．将13y=代入③，得x＝3所以原方程组的解为313 xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法，也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法，用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为：一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”．举一反三：【变式】m取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【答案】（1）m 是大于-4 的数时，原方程组的解为正数；（2）m=-3，-2，0，.例2.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【思路点拨】仿照已知整体代入法求出方程组的解即可．【答案与解析】解：由①得，2x﹣y=2③，把③代入②得，1+2y=9，解得：y=4，把y=4代入③得，x=3，则方程组的解为【总结升华】本题体现了整体思想在解二元一次方程组时的优越性，利用整体思想可简化计算．举一反三：【变式1】解方程组2320, 2352y9.7x yx y--=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩【答案】解：232235297x yx yy-=⎧⎪⎨-++=⎪⎩①②将①代入②：2529 7y++=，得 y=4，将y=4代入①：2x－12=2得 x=7，∴原方程组的解是74 xy=⎧⎨=⎩.（2）45:4:3x yx y-=⎧⎨=⎩①②解：由②，设x=4k，y=3k 代入①：4k－4·3k=5 4k－12k=5－8k=558k=-∴542x k==-，1538y k==-，∴原方程组的解为52158 xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.类型二、方程组解的应用例3.如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】求出方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出m的值．【答案】B．【解析】解：，由①得y=3-x ③将③代入②得：6x=12，解得：x=2，将x=2代入②得：10﹣y=9，解得：y=1，将x=2，y=1代入3x+my=8中得：6+m=8，解得：m=2．【总结升华】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．例4.已知2564x yax by+=-⎧⎨-=-⎩①②和方程组35168x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩③④的解相同，求2011(2)a b+的值．【思路点拨】两个方程组有相同的解，这个解是2x+5y＝-6和3x-5y＝16的解．由于这两个方程的系数都已知，故可联立在一起，求出x、y的值．再将x、y的值代入ax-by＝-4，bx+ay＝-8中建立关于a、b的方程组即可求出a、b的值．【答案与解析】解：依题意联立方程组256 3516①x yx y+=-⎧⎨-=⎩③①+③得5x＝10，解得x＝2．把x＝2代入①得：2×2+5y＝-6，解得y＝-2，所以22 xy=⎧⎨=-⎩，又联立方程组48ax bybx ay-=-⎧⎨+=-⎩，则有224228a ba b+=-⎧⎨-+=-⎩，解得13 ab=⎧⎨=-⎩．所以(2a+b)2011＝-1．【总结升华】求方程（组）中的系数，需建立关于系数的方程（组）来求解，本例中利用解相同，将方程组重新组合换位联立是解答本题的关键.举一反三：【变式】小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．【答案】解：把代入cx﹣3y=﹣2，得c+3=﹣2，解得：c=﹣5，把与分别代入ax+by=2，得，解得：，则a+b+c=2+﹣5=3﹣5=﹣2．【巩固练习】一、选择题1．解方程组347910250m n m n -=⎧⎨-+=⎩①②的最好方法是（ ）.A ．由①得743n m +=再代入②B ．由②得25109n m +=再代入① C ．由①得347m n =+再代入② D ．由②得91025m n =-再代入①2. 若二元一次方程式组的解为x=a ，y=b ，则a+b 等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．关于x ，y 的方程y kx b =+，k 比b 大1，且当12x =时，12y =-，则k ，b 的值分别是（ ）.A ．13，23- B ．2，1 C ．-2，1 D ．-1，0 4．已知24x y =-⎧⎨=⎩和41x y =⎧⎨=⎩都是方程y ＝ax+b 的解，则（ ）.A ．125a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．123a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩C ．121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩D ．121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩5．如果二元一次方程组4x y a x y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3x-5y-30＝0的一个解，那么a 的值是（ ）.A ．3B ．2C ．7D ．66．一艘缉毒艇去距90海里的地方执行任务，去时顺水用了3小时，任务完成后按原路返回，逆水用了3.6小时，求缉毒艇在静水中的速度及水流速度．设在静水中的速度为x 海里/时，水流速度为y 海里/时，则下列方程组中正确的是（ ）.A ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．3 3.6903.6390x y y x +=⎧⎨+=⎩C ．3()903()90x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．33903.6 3.690x y x y +=⎧⎨-=⎩二、填空题7．已知51,62x t y t =+=-，用含y 的式子表示x ，其结果是_______．8．若方程组的解为，则点P （a ，b ）在第 象限．9．方程组的解是 ． 10．若532y x a b +与2244x y a b --是同类项，则x ＝ ________，y ＝ ________．11．已知方程组3524x y ax y -=⎧⎨-=⎩的解也是方程 47135x y x by -=⎧⎨-=⎩的解，则a ＝ _____，b ＝ ____ ． 12.关于,x y 的二元一次方程组1353x y m x y m +=-⎧⎨-=+⎩中，m 与方程组的解中的x y 或相等，则m 的值为 .三、解答题13．用代入法解方程组：（1）0.50.2 1.2,0.30.60.2;y x y x -=⎧⎨-=-⎩ （2）3252,2(32)117.x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩14．研究下列方程组的解的个数：（1）21243x y x y -=⎧⎨-=⎩； （2）2123x y x y -=⎧⎨-=⎩； （3）21242x y x y -=⎧⎨-=⎩.你发现了什么规律？15．若方程组的解是，求（a+b）2﹣（a﹣b）（a+b）．16.甲、乙两位同学一起解方程组，甲正确地解得，乙仅因抄错了题中的c，解得，求原方程组中a、b、c的值．【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C；2.【答案】A．【解析】把x=a，y=b代入方程组得：，将b=15a 代入5a-b=5,解得：，∴a+b=. 3. 【答案】A ；【解析】将12x =时，12y =-代入y kx b =+得1122k b -=+ ①，再由k 比b 大1得1k b -= ②，①②联立解得13k =，23b =-. 4. 【答案】B ；【解析】将24x y =-⎧⎨=⎩和41x y =⎧⎨=⎩分别代入方程y ＝ax+b 得二元一次方程组：2441a b a b -+=⎧⎨+=⎩，解得1,32a b =-=. 5. 【答案】B ；【解析】由方程组可得，代入方程，即可求得. 6. 【答案】D.二、填空题7. 【答案】151x y =-+；8.【答案】四.【解析】将x=2，y=1代入方程组得：，解得：a=2，b=﹣3， 则P （2，﹣3）在第四象限．9.【答案】；【解析】解：解方程组， 由①得：x=2﹣2y ③，将③代入②，得：2（2﹣2y ）+y=4，解得：y=0，将y=0代入①，得：x=2，故方程组的解为，故答案为：．10．【答案】2， -1；【解析】由同类项的定义得方程组，解之便得答案.11.【答案】3， 1；【解析】由题意得：35471x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，代入 2435ax y x by -=⎧⎨-=⎩，得关于a 、b 的方程组22465a b -=⎧⎨-=⎩，解得31a b =⎧⎨=⎩12. 【答案】12-2或； 【解析】解：解关于x，y 的方程组得21x y m =⎧⎨=--⎩，当x m =时，2m =；当y m =时，12m =-. 三、解答题13.【解析】解：（1）0.50.2 1.2,0.30.60.2;y x y x -=⎧⎨-=-⎩①②将②代入①得，0.50.30.6 1.2y y +-=，得94y =， 将94y =代入①得，38x =-， 所以原方程组的解是3894x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ .（2）3252,2(32)117.x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩①② 把3x+2y 看作整体，直接将①代入②得，2(52)117x x +=+，解得3x =-， 将3x =-代入①得，2y =-所以原方程组的解是32x y =-⎧⎨=-⎩． 14.【解析】解：（1）无解；（2）唯一一组解；（3）无数组解.规律：当两个一次方程对应项系数不成比例时，方程组有唯一一组解，如（2）；当两个一次方程对应项系数成比例时，方程组有无数组解，如（3）；当两个一次方程对应项系数成比例，但比值不等于两个常数项对应的比时，方程组无解，如（1）.15.【答案】解：将代入得，解得：．∵（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）=2b（a+b），∴当a=，b=时，原式=2b（a+b）=2×=6．16.【解析】解：把代入到原方程组中，得可求得c=﹣5，乙仅因抄错了c而求得，但它仍是方程ax+by=2的解，所以把代入到ax+by=2中得2a﹣6b=2，即a﹣3b=1．把a﹣3b=1与a﹣b=2组成一个二元一次方程组，解得．故a=，b=，c=﹣5．。
八年级数学二元一次方程组知识点
八年级数学二元一次方程组知识点一元一次方程组是由两个一元一次方程组成的方程组。
一元一次方程是指只含有一个未知数，且该未知数的最高次数是1的方程。
例如：2x + 3 = 7。
二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组。
一般形式为：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f都是已知的实数，且a、b、d、e不同时为0。
二元一次方程组的解是同时满足两个方程的数对(x, y)。
解二元一次方程组的方法有多种，常用的有代入法、消元法和等式法。
- 代入法：从一个方程中解出一个变量，然后将其代入另一个方程中求解另一个变量。
- 消元法：通过适当的方式使得方程组中的一个未知数消失，然后解得另一个未知数，最后再带回求解另一个未知数。
- 等式法：将两个方程中相同的未知数系数相等，得到一个新的方程，然后解这个方程得到一个未知数的值，再带回求解另一个未知数。
解二元一次方程组时，可能有以下几种情况：- 有唯一解：两个方程的图象相交于一点，此时方程组有一个唯一解。
- 无解：两个方程的图象平行或重合，此时方程组无解。
- 无穷多解：两个方程的图象完全重合，此时方程组有无穷多个解。
在解二元一次方程组时，可以利用以下技巧：- 对方程组的两个方程进行加减运算，使得一个未知数的系数相等的绝对值，然后求解另一个未知数。
- 对方程组的两个方程进行倍乘运算，使得两个方程中一个未知数的系数相等（或相差为1），然后消元求解。
- 求解时可以利用分式方程的性质，将一个未知数的系数除以另一个未知数的系数，得到一个分式，再进行简化运算。
除了上述基本知识点外，还需了解线性方程组的应用问题，如解题思路和实际应用等相关内容。
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第八章 二元一次方程组
8.1 二元一次方程组
1、 二元一次方程的定义：每一个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做
二元一次方程.
2、 二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
3、 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元
一次方程有无数个解.
4、 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
1．方程组23x y x y +=+=⎧⎨⎩■的解为2x y ==⎧⎨⎩■
，则被遮盖的两个数分别是（ B ） A ．1，2 B ．5，1 C ．2，-1 D ．-1，9
解：把x=2代入x+y=3中，得：y=1，
把x=2，y=1代入得：2x+y=4+1=5，
则被遮住得两个数分别为5，1，
2．下列方程是二元一次方程的是（ D ）
A ．
2132254
y y --=- B ．2x －4y=5 C.xy=x+y D.x+(3－2y )=5 解：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．A 、是一元一次方程，故A 错误；B 、是二元二次方程，故B 错误；C 、是二元二次方程，故C 错误；D 、是二元一次方程，故D 正确；
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ D ）
A ．12xy x y =⎧⎨-=⎩
B ．52313x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
C ．20132x z x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
D ．5723
x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解：A 、第一个方程值的xy 是二次的，故该选项错误；
B 、1x
是分式，故该选项错误； C 、含有3个未知数，故该选项错误；
D 、符合二元一次方程组的定义；
4．以方程组⎩
⎨⎧+-=+=11x y x y 的解为坐标的点（x ，y ）位于（ C ） A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴
C ．y 轴的正半轴
D ．y 轴的负半轴
解：解方程组⎩⎨
⎧+-=+=11x y x y 可得⎩⎨⎧==10y x ，所以以方程组⎩⎨⎧+-=+=1
1x y x y 的解为坐标的点为（0，1），这个点的坐标位于y 轴的正半轴.
5．已知2-=x ，y=3是二元一次方程5ax y +=的一个解，则a = -1 .
解：把x=-2，y=3代入方程5ax y +=可得-2a+3=5，解得a=-1.
6．若方程 2x 1-m + y m n +2 = 2
1是二元一次方程，则mn = -1 . 试题分析：由二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知项的的次数为1的整式方程.可以得到m-1=1，2n+m=1，可求得m=2，n=12
-，因此mn=-1. 8.2 消元——解二元一次方程组
1、代入消元法解二元一次方程组：
（1） 基本思路：未知数又多变少.
（2） 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程.
（3） 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一
个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这个方法叫做代入消元法，简称代入法.
（4） 代入法解二元一次方程组的一般步骤：
1、 从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y ）用含另一个未知数
（例如x ）的代数式表示出来，即写成y=ax+b 的形式，即“变”
2、 将y=ax+b 代入到另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程，即“代”.
3、 解出这个一元一次方程，求出x 的值，即“解”.
4、 把求得的x 值代入y=ax+b 中求出y 的值，即“回代”
5、 把x 、y 的值用｛联立起来即“联”
2、加减消元法解二元一次方程组
（5） 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能
消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
（6） 用加减消元法解二元一次方程组的解
1、 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程
两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”.
2、 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”.
3、 解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”.
4、 将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”.
5、 把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”.
1．解方程组：2431
x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解：24(1)31(2)x y x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩
①+②，得：5x=5 解得：x=1 把x=1代入（2），得：3+y=1 解得：y=－2
∴方程组的解为：12
x y =⎧⎨=-⎩ 2．解方程组： ⎩
⎨⎧-=+=-1373y x y x 解：①×3：9321x y -= ③
②＋③：1020x =
2x =代入① 得：1y =-
∴原方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩
3．解方程组：2()3()34()3153x y x y x y x y
+--=⎧⎨++=+⎩． 解：方程组整理得：2()3()34()3()15x y x y x y x y +--=⎧⎨++-=⎩
①② ①+②得x+y=3③，
把③代入①，得x-y=1④，
③+④得：x=2，
③-④得：y=1，
则原方程组的解是21x y =⎧⎨=⎩
． 4
．已知：0)82(12
=-++--y x y x ，求：x+3y 的平方根． 解：由已知得⎩⎨⎧=-+=--08201y x y x 解得⎩
⎨⎧==23y x ∴x+3y=3+2×3=9
∴x+3y 的平方根是±3
8.3 实际问题与二元一次方程组
1．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
一个水瓶与一个水杯分别是多少元？
解：设一个水瓶x 元，由一个水杯（48-x ）元，根据题意得：
3x+4（48－x ）=152
解得：x=40
∴48－x=48－40=8（元）
答：一个水瓶40元，一个水杯8元.
2．甲、乙两个车间工人人数不相等，若甲车间调10人到乙车间，则两车间人数相等；若乙车间调10人到甲车间，则甲车间的人数就是乙车间人数的2倍，求原来甲、乙两车间各有多少名工人？
解：设原来甲车间有x 名工人，乙车间有y 名工人，根据题意得： ⎩
⎨⎧-=++=-)10(2101010y x y x
解得：⎩
⎨⎧==5070y x 答：原来甲车间有70名工人，乙车间有50名工人．
3．小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯，小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元，小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元，求每支中性笔和每盒笔芯的价格.
解：设每支中性笔为x 元，每盒笔芯为y 元
依题意得⎩
⎨⎧=+=+283256220y x y x ∴⎩⎨⎧==82y x 答：每支中性笔2元，每盒笔芯为8元
4．儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省14元，已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元．
解：设书包和文具盒的标价分别为x 元、y 元，依题意得：
0.8()1436x y x y x y +=+-⎧⎨-=⎩
， 解这个方程组，得5416
x y =⎧⎨=⎩； 答：书包和文具盒的标价分别为54元、16元．。