苏教版高中数学必修二第二章-平面解析几何初步2.2.1第1课时ppt课件
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2.2
圆与方程
2．2.1 圆的方程 第 1 课时 圆的标准方程
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握圆的标准方程，会由圆的标准方程写出圆的半径 和圆心坐标．
【提示】 能．由 x－12＋y－22＝3 可知(x－1)2＋(y －2)2＝9.
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1 ．以 C(a ，b) 为圆心， r( r＞0) 为半径的圆的标准方程 为
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(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识． (2)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．
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●重点难点 重点：圆的标准方程及其应用． 难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程、应用圆 的标准方程解题． 重难点突破：以圆的定义为切入点，结合坐标法，让学 生导出圆的标准方程，考虑到不同条件下求圆的标准方程的 难度，教学时，可借助具体实例，通过让学生 “看一看、
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●教学建议 圆的方程是学生在初中认识了圆的几何知识后，又在学 习了直线与方程，初步认识解析法的基础上进行研究的．但 由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，对坐 标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难．为 此，为了充分调动学生学习的积极性，建议本节课采用“启 发式”问题教学法，结合具体问题情景，采用由特殊到一般 的思想方法将探究活动层层深入，在启发学生得出圆的标准 方程的同时，通过典例让学生熟知圆的标准方程的求法及其 应用，并初步体会待定系数法在求圆的标准方程中的作用．
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课 标 解 读
1.能根据已知条件求圆的标准方 程．(重点) 2．能用圆的标准方程解决简单的应用 问题．(难点)
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圆的标准方程
【问题导思】 在平面直角坐标系中，以(1,2)为圆心以 3 为半径的圆的 方程能否用(x－1)2＋(y－2)2＝9 表示？
想一想、练一练”等方式熟悉圆心、半径与圆的标准方程之
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间的关系，逐步理解圆的标准方程中三个参数的重要性，自 然形成待定系数法的解题思路， 在突出重点的同时化解难点．
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●教学流程
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(2)能根据条件写出圆的标准方程． (3)能应用圆的标准方程解决实际问题． 2．过程与方法 (1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力． (2) 加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运 用． (3)增强学生应用数学的意识． 3．情感、态度与价值观
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
.
2．以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程 为
x2＋y2＝r2
.
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高中数学必修2第2章212第二课时两点式课件(_1
1．直线的两点式方程
(1)条件：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)． (2)方程：_y_y2－_－_yy_11_＝__xx2_－－_x_x1_1 __ 2．直线的截距式方程 (1)条件：A(a,0)，B(0，b)且___a_b_≠__0_______ (2)方程：__xa_＋__by_＝__1______
1．在例1的条件下，求过点B且平行于AC的直线方程． 解：设所求的直线为 l，由于 l 与直线 AC 平行，则这两条直线 的倾斜角相等，所以 kl＝kAC＝3－0－－22＝－25， 故直线 l 的方程为 y－2＝－25(x－3)．
直线的截距式方程 求过定点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程．
(本题满分 12 分)求过点 A(4,2)，且在两坐标轴上的 截距的绝对值相等的直线 l 的方程．
[解] 当直线过原点时 ，它在 x 轴、y 轴上的截距都是 0， 满足题意，此时，直线的斜率为12，所以直线方程为 y＝12x.2 分 当直线不过原点时 ，由题意可设直线方程为xa＋by＝1，又过 点 A，所以4a＋2b＝1①，4 分 因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以|a|＝|b| ②，
[错因与防范] (1)方程xa＋by＝1 中的 a 与 b 是直线在 x 轴与 y 轴上的截距，而不是距离，所以由三角形面积为 4，应该有12|a||b| ＝4. (2)直线的截距是指直线在坐标轴上对应的坐标，因此可为正、 可为负、可为零；而距离是线段的长度，是非负的．截距不是 距离，解题中应注意准确把握两者的区别．
2．求过点 A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的 方程． 解：(1)当直线 l 在坐标轴上截距互为相反数且不为 0 时，可 设直线 l 的方程为xa＋－ya＝1.又 l 过点 A(3,4)， 所以3a＋－4a＝1，解得 a＝－1.
苏教版高中数学必修二第二章-平面解析几何初步2.1.5、6ppt课件
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3．类比问题 1、2，想一想 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距 离如何表示？
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●重点难点 重点：两点间的距离公式、中点坐标公式，点到直线的 距离公式的推导及应用、坐标法证明简单的几何问题． 难点：点到直线的距离公式的推导思路、坐标法证明简 单的几何问题． 重难点突破：利用由特殊到一般及类比归纳的思想，由 浅入深的引导学生探究点到直线的距离公式的推导思路，同 时，教师借助于多媒体的直观演示，帮助学生理解距离公式 的导出过程．坐标法的教学是本节知识的另一个难点，教学 时，教师可从建系原则、几何问题代数化等角度引导学生突 破难点．
高中数学必修二第二章第一节课件
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
高中数学必修2第2章211直线的斜率课件(31张)_1
(2)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将直线 l 绕坐 标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角 为__当__0_°__≤__α_＜__1_3_5_°__时__，__倾___斜__角__为__α_＋__4_5_°__，__当__1_3_5_°__≤__α___ _＜__1_8_0_°__时__，__倾___斜__角__为__α_－__1_3_5_°________ (3)已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之 间所成的角为 120°，如图所示，则直线 l2 的倾斜角为__1_3_5_°___． (链接教材 P79 倾斜角定义)
[解析] (1)上述说法中，⑤正确，其余均错误，原因是： ①与 x 轴垂直的直线倾斜角为 90°，但斜率不存在； ②举反例说明，120°＞30°，但 tan 120°＝－ 3＜tan 30°＝ 33； ③平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0°； ④如果两直线的倾斜角都是 90°，那么两直线的斜率都不存在， 也就谈不上相等．
2．已知点 A(1,2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜 角为 135°，则点 P 的坐标为____(_3_,0_)_或__(_0_,3_)_____． 解析：由题意知 kPA＝－1，设 x 轴上点(m,0)，y 轴上点(0，n)， 由m0－－21＝n0－－12＝－1，得 m＝n＝3.
[解] 如图，由斜率公式可知 kPA＝1－1－－23＝－4，kPB＝11－－－－23＝34. 要使直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是
(－∞，－4]∪34，＋∞.
[感悟提高] (1)本题关键是利用图形找到斜率变化的区间；画 出图形，借助图形可以看出，若直线 l 与线段 AB 有公共点， 则倾斜角应介于直线 PA，PB 的倾斜角之间，故斜率的变化范 围也随之确定． (2)借助图形，用运动变化的观点看问题，是这类题的一般解 法．本题容易把直线 l 的倾斜角介于直线 PA，PB 的倾斜角之 间与斜率介于二者之间混为一谈，得出错误答案为－4≤k≤34， 因此应注意倾斜角为 90°的“跨越”．
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标ຫໍສະໝຸດ 中的基本公式课程目标1.理解实数与数轴上的点的对应关 系,理解实数与位移的对应关系. 2.掌握数轴上两点间的距离公式,理 解数轴上的向量加法的坐标运算. 3.探索并掌握平面直角坐标系中两 点的距离公式和中点公式. 4.通过对两点的距离求解过程的探 索,进一步体会“坐标法”的基本思 想,学会构造直角三角形解决问题的 基本思路.
思考 4 点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?
提示:点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
思考 5 教材中的“?”
如果数轴上的单位长取作 1 cm,你能在数轴上标出数 0.001,0.000 1 和 2对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗?
若 AB∥x 轴或与 x 轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若 AB∥y 轴或与 y 轴重合,则 |AB|=|y2-y1|.
思考 3 算术平方根 ������2 + ������2的几何意义是什么?
提示: ������2 + ������2表示点(x,y)到原点的距离.
3.中点公式 (1)直线上的中点坐标公式. 已知数轴上两点 A(x1),B(x2),则线段 AB 的中点 M 的坐标为������1+2������2. (2)平面内的中点坐标公式. 设平面内两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点 M(x,y),则 x=������1+2������2,y=������1+2 ������2.
2.平面直角坐标系中的基本公式 平面直角坐标系中两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公
式:d(A,B)= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
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投影是光线(投射线)通过物体,向选 定的面(投影面)投射,并在该面上得到图形的 方法.
请同学们观察下列的投影的现象 , 它们 的投影过程有何不同?
S
投 射 方 向
中心投影
正投影
斜投影
投影
平行投影
中心投影
投影中心
S
投影线 投影 投影面
中心投影:投射线交于一点.
投影的分类: 平行投影
斜投影
正投影(本节主要学习利用正投 影绘制空间图形的三视图,并能 根据所给的三视图了解该空间 图形的基本特征.)
当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体 叫做棱锥(pyramid).
2.棱锥的元素
底面 侧面
A B
A B
类比棱柱，给棱锥各元素命名
C
S
顶点
由棱柱的一个 底面收缩而成
CA
C
B
底面 侧面
侧棱
相邻两侧面 的公共边
侧棱
相邻两侧面 的公共边
3.棱锥的性质
观察下列棱锥，归纳它们的底面和侧面各有什么特征？ 在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?
上底面
母线 轴 3．圆台的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆台OO’。
侧面
母线
下底面
4．圆台具有以下性质： （1）圆台的底面是两个半径不等的圆，两圆所在的平面互相平行又都和轴垂直； （2）平行于底面的截面是圆； （3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的等腰梯形； （4）任意两条母线（它们延长后会相交）确定的平面，截圆台所得的截面是等腰梯形； （5）母线都相等，各母线延长后都相交于一点。
解：设圆台的母线为l，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r，4r，根据相似 三角形的性质得
苏教版数学高二-苏教版必修2名师导学 第二章 平面解析几何初步
第2章平面解析几何初步第1课时直线的斜率(1)教学过程一、问题情境1.情境:多媒体投影现实世界中的一些美妙曲线,这些曲线都和方程息息相关,在数学中,我们可以通过研究这些曲线的方程来认识这些曲线.2.问题:在平面直角坐标系中,用一对有序实数(x,y)可确定点的位置,那么用什么来确定直线的位置呢?两点可以确定一条直线.还有什么样的条件可以确定一条直线?二、数学建构(一)生成概念1.探究活动学生进行思考、联想、讨论.学生回答并演示(①过两点;②过一点及确定的方向)观察:直线的方向与直线在坐标系倾斜度的关系.问题1我们熟悉的坡度是怎样确定的?利用木板进行演示,让学生有一个感性认识,体验坡度是由什么来确定的.问题2如果给你直线上两点,你能用它们的坐标来刻画其倾斜度吗?由学生讨论引出课题:直线的斜率.2.数学概念直线斜率的定义:已知两点P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率为:k=(x1≠x2).(二)理解概念1.因为k==(x1≠x2),所以斜率公式与P,Q两点的顺序无关.2.如果x1=x2,直线PQ与x轴垂直,公式中分母为0,那么直线PQ的斜率不存在.所以,在坐标系中,不是所有的直线都有斜率.3.对于与x轴不垂直的直线PQ,斜率可看作:k===.*问题3对于不垂直于x轴的直线的斜率与直线上所选两点的位置是否有关?为什么?设直线l不与x轴垂直.在直线l上有P(x1,y1),Q(x2,y2),其斜率为k=,在直线l上再取两点M(x3,y3),N(x4,y4),根据定义,直线l斜率应为k'=,≠0,因为与共线,所以=λ,即(x4-x3,y4-y3)=λ(x2-x1,y2-y1),x4-x3=λ(x2-x1),y4-y3=λ(y2-y1),k'===k.这表明,对于一条与x轴不垂直的定直线而言,它的斜率是一个定值.(三)巩固概念问题4一次函数y=-2x+1的图象是一条直线,它的斜率是多少?解答在直线上取两点(0, 1)与,根据斜率公式知,其斜率为-2.三、数学运用【例1】(教材P78例1)如图1,直线l1,l2,l3都经过点P(3, 2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(-2, -1),Q2(4,-2),Q3(-3, 2),试计算直线l1,l2,l3的斜率.(图1)解根据斜率的定义,直线l1的斜率为k1==,直线l2的斜率为k2==-4,直线l3的斜率为k3==0.变式1若点Q1的坐标变为(m,-1),(1)求直线l1的斜率.(2)若此时l1的斜率为2,求m的值.解(1)当m=3时,l1的斜率不存在;当m≠3时,直线l1的斜率为k1==.(2)若直线l1的斜率为2=,则m=.变式2在例1的坐标系中画出经过点(3, 2),斜率不存在的直线l4,并比较这些直线相对于x轴的倾斜程度与斜率的关系.解从图中可以看出当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(l1);当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(l2);当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(与y轴垂直)(l3);当直线的斜率不存在时,直线与x轴垂直(l4).【例2】(教材P78例2)经过点(3, 2)画直线,使直线的斜率分别为:(1);(2)-.让学生板演,在出现困难时作适当的提示:画直线需要两点,如何找另一点呢.解(1)根据斜率=,斜率为表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上,将点(3, 2)沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后得点(7, 5),因此经过点(7, 5)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图2所示.(图2)(图3)(2)∵-=,∴将点(3, 2)沿x轴方向向右平移5个单位,再沿y轴方向向下平移4个单位后得点(8,-2),因此经过点(8,-2)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图3所示.画一条直线,关键先找出两点,此题结合画图,让学生如何找点.【例3】已知三点A(a, 2),B(3, 7),C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值.解因为3≠-2,所以直线BC的斜率存在,据题意可知直线AB与直线BC的斜率相等,即=,解得a=2或.利用斜率构造等式,先要分析斜率是否存在,防止犯以偏概全的错误,对斜率不能确定是否存在,要进行分类讨论.问题5两个点可以确定一条直线,一个点及直线的斜率也可以确定一条直线,斜率既能反映直线的倾斜程度,也能反映直线的方向,方向还可以用什么来描述?让学生分组讨论.通过讨论认为:选用直线的上方与x轴正方向所形成的角α能最自然、最简单的刻画直线的方向,从而引出倾斜角的概念.四、数学概念1.直线的倾斜角的定义:在平面直角坐标系中,对于与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.巩固概念指出下列图中直线的倾斜角:(1)(2)(3)(4)(图4)问题6直线的倾斜角能不能是锐角?能不能是直角?能不能是钝角?能不能是平角?能否大于平角?倾斜角的取值范围如何?引导学生观察,当直线从x轴位置旋转180°后又回到x轴位置的过程中,直线的倾斜角如何变化,从而得出结论.2.直线的倾斜角的范围是: 0°≤α<180°.五、课堂练习1.分别求经过下列两点的直线的斜率.(1)(3, 2),(5, 4).(2)(-1, 2),(3, 0).(3)(-2,-2),(3,-2).(4)(-2, 6),(2,-2).2.根据下列条件,分别画出经过点P,且斜率为k的直线.(1)P(1, 2),k=;(2)P(2, 4),k=-2;(3)P(-1, 3),斜率不存在;(4)P(-2, 0),k=0.3.分别判断下列三点是否在同一条直线上.(1)(1, 0),(3, 3),(4, 5).(2)(0, 2),(3,-1),(-1, 3).解答1.(1) 1;(2)-;(3) 0;(4)-.2.略.3.(1)不在同一条直线上;(2)在同一条直线上.六、课堂小结1.在本节课中,你学到了哪些新的概念?2.怎样求出已知两点的直线的斜率?3.斜率与倾斜角在刻画直线倾斜程度方面有什么区别?(直线的倾斜角侧重于几何直观形象,而直线的斜率侧重于用数来刻画直线的方向)第2课时直线的斜率(2)教学过程一、问题情境1.经过点原点(1, 0)与B(2,)两点的直线斜率为,倾斜角为60°.2.已知两点P(x1,y1),Q(x1,y1),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率与倾斜角有什么关系?二、数学建构(一)生成概念1.分直线的倾斜角为锐角(见图①)和直线的倾斜角为钝角(见图②)启发学生利用斜率的定义发现:k=tanα(注:tan(180°-α)=-tanα).①②(图1)2.用几何画板演示,引导学生观察,当直线绕一定点旋转时,斜率与倾斜角的变化关系.(二)理解概念(1)①当α≠90°时,k=tanα;②当α=90°时,k不存在;③当α=0°时,k=0;④当α为锐角时,k>0;⑤当α为钝角时,k<0.(2)当倾斜角α=90°时,斜率k不存在,这就是说任何直线都有倾斜角,但不是任何直线都有斜率,与x 轴垂直的直线就没有斜率.(图2)(三)巩固概念判断下列命题的真假:(1)若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;(2)若两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角也一定相等;(3)若两条直线的倾斜角不等,则它们中倾斜角大的,其斜率不一定大;(4)若两条直线的斜率不等,则它们中斜率大的,其倾斜角不一定大.答(1)假;(2)真;(3)真;(4)真.三、数学运用【例1】(1)直线l1,l2,l3如图2所示,则l1,l2,l3的斜率k1,k2,k3的大小关系为,倾斜角α1,α2,α3的大小关系为.(2)填写下表直线平行于x轴从左向右上升垂直于x轴从左向右下降倾斜角α的大小斜率k的范围斜率k的增减性可以利用几何画板动态地显示斜率与倾斜角的关系.解答(1)k1>k2>k3,α3>α1>α2.(2)填写下表直线平行于x轴从左向右上升垂直于x轴从左向右下降倾斜角α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°斜率k的范围0k>0不存在k<0斜率k的增减性k随α的增大而增大k随α的增大而增大这道题阐明倾斜角与斜率在变化过程中的关系,讲解中注意用从特殊到一般的方法.如果学过必修4课本,可以从正切函数的单调性上去分析.【例2】已知直线过点A(2m, 3),B(2,-1),根据下列条件,求实数m的值(或范围):(1)直线的倾斜角为135°.(2)直线的倾斜角为90°.(3)直线倾斜角为锐角.(4)直线倾斜角为钝角.此题让四个学生板演.解(1)斜率为k=tan135°==-1,解得m=-1.(2)因为AB⊥x轴,所以2m=2,解得m=1.(3)据题意,k=>0,解得m>1.(4)据题意,k=<0,解得m<1.【例3】已知直线l的斜率的取值范围为,求其倾斜角的取值范围.可以利用数形结合的思想(如图3)及例1的结果,分两段直接写出,也可利用正切函数的性质解题.解①当斜率k∈0, 1题后反思5处理建议1,+∞),倾斜角的取值范围是{α|45°≤α≤150°}.此题利用数形结合方法较好,直线的旋转,引起直线的斜率、倾斜角的变化:在不同的两段上,都是随直线的逆时针旋转而增大的.四、课堂练习1.已知y轴上的点B与点A(-, 2)连线所成直线的倾斜角为60°,则点B的坐标是(0, 5).2.已知直线l1的倾斜角α1=30°,直线l2垂直于l1,则l2的斜率为-.3.直线l的倾斜角的正弦值为,求直线l的斜率.4.已知A(4, 2),B(-8, 2),C(0,-2),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是什么角?解答3.设直线l的倾斜角为α,则sinα=.当α为锐角时,cosα==,斜率为k=tanα==;当α为钝角时,cosα=-=-,斜率为k=tanα==-.综上所述,直线l的斜率为或-.4.直线AB的斜率为k AB==0,直线AB的倾斜角为0°;直线BC的斜率为k BC==-,直线BC的倾斜角是钝角;直线CA的斜率为k CA==1,直线CA的倾斜角是45°.五、课堂小结1.直线的倾斜角和斜率之间的关系是什么?2.倾斜角为特殊角时与直线斜率的对应关系.倾斜角30°45°60°90°120°135°150°斜率3.为什么不用直线的倾斜角的正弦来作直线的斜率呢?解答:1.当倾斜角α≠90°时,斜率k=tanα,此时倾斜角与斜率一一对应;当倾斜角α=90°时,斜率不存在.2.倾斜角30°45°60°90°120°135°150°斜率1不存在--1-3.倾斜角的正弦与倾斜角不能一一对应,互补的两个倾斜角的正弦相等.第3课时直线的方程(1)教学过程一、问题情境问题1确定一条直线需要几个独立条件?请举例说明.归纳得出:1.直线上的两个点;2.直线上的一个点及直线的斜率.问题2给出直线l上一点及斜率两个条件:经过点A(-1, 3),斜率为-2,(1)你能在直线l上再找一点,并写出它的坐标吗?(2)这条直线l上的任意一点P(x,y)的横坐标x和纵坐标y满足什么关系呢?二、数学建构(一)生成概念1.探究问题情境中的问题.2.直线l经过点P1(x1,y1),且斜率为k.设点P(x,y)是直线l上的任意一点,请建立x,y与k,x1,y1之间的关系.(图1)学生根据斜率公式,可以得到,当x≠x1时,k=,故y-y1=k(x-x1)①问题3过点P1(x1,y1),斜率是k的直线l上的点(包括点P1),其坐标都满足方程①吗?坐标满足方程①的点都在经过P1(x1,y1),斜率为k的直线l上吗?答过点P1(x1,y1),斜率是k的直线l上的点,其坐标都满足方程①,且坐标满足方程①的点都在经过P1(x1,y1),斜率为k的直线l上.3.直线的点斜式方程.我们把方程y-y1=k(x-x1)叫做直线的点斜式方程.问题4直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?答因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的点斜式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用点斜式方程表示.问题5经过点P1(x1,y1)且垂直于x轴的直线方程是什么?经过点P1(x1,y1)且垂直于y轴的直线方程又是什么?4.两种特殊的直线方程.经过点P1(x1,y1)且垂直于x轴的直线方程是x=x1;经过点P1(x1,y1)且垂直于y轴的直线方程是(二)理解概念1.为什么方程=k不称为直线l的点斜式方程?因为直线l上的点P1(x1,y1)不满足方程=k.2.把直线方程y=kx+6k-5写成点斜式方程,并说明此直线过哪个定点?方程y=kx+6k-5可变形为y-(-5)=k,这即为点斜式方程,此直线恒过定点(-6,-5).三、数学运用【例1】一条直线经过点P1(-2, 3),斜率为2,求这条直线方程.解根据点斜式方程的形式,这条直线的方程为y-3=2(x+2)即2x-y+7=0.【例2】直线l斜率为k,与y轴的交点是P(0,b),求直线l的方程.解根据点斜式方程形式,直线l的方程为y-b=k(x-0),即y=kx+b.数学概念(1)直线l与x轴交点(a, 0),与y轴交点(0,b),称a为直线l在x轴上的截距,称b为直线l在y轴上的截距(截距可以大于．．．．．．0．,．也可以等于或小于．．．．．．．．0．).(一定要讲清楚截距的概念,“第一印象”非常重要)(2)方程y=kx+b由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定,叫做直线的斜截式方程.问题6你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b?一次函数中k和b的几何意义是什么?一次函数y=kx+b中,常数k是直线的斜率,常数b为直线在y轴上的截距.问题7直线的斜截式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?答因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用斜截式方程表示.【例3】在同一坐标系中作出下列直线,分别说出这两组直线有什么共同特征?(1)y=2,y=x+2,y=-x+2,y=3x+2,y=-3x+2.(2)y=2x,y=2x+1,y=2x-1,y=2x+4,y=2x-4.解(1)图略,这组直线的共同特征是都过点(0, 2),斜率不同.(2)图略,这组直线的共同特征是斜率都相同,截距互不相同,它们是一组平行直线.画直线关键是找出两点,常常找直线与坐标轴的交点,此题意在说明共点直线或平行直线在方程形式上的联系(相同点).【例4】(1)求直线y=-(x-2)的倾斜角.(2)求直线y=-(x-2)绕点(2, 0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解(1)设直线的倾斜角为α,从方程可知,直线的斜率是-,所以tanα=-,又因为0°≤α<180°,所以直线y=-(x-2)的倾斜角为120°.(2)所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°,且经过点(2, 0),所以,所求的直线方程为x=2.方程为y=k(x+a)+b的直线的斜率为k,第(2)题注意直线的旋转的方向.*【例5】已知直线l经过点P(4, 1),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8,求直线l的点斜式方程.引导学生分析,要求出方程,先求出斜率,如何把“面积为8”用上,能否转化为关于斜率k的方程,用点斜式方程要注意哪些呢?解根据题意,直线l不垂直于x轴,其斜率存在且为负数,故可设直线l的方程为y-1=k(x-4), (k<0),在方程中令y=0得x=4-,令x=0得y=1-4k,故直线l与两坐标轴交于点与(0, 1-4k),与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为S=(1-4k)=8,解得k=-,故直线l的点斜式方程为y-1=-(x-4).利用点斜式或斜截式设直线方程,首先要分析直线的斜率是否存在,如不能确定,一般要分类讨论,此题不仅分析了斜率是存在的,而且还挖掘出隐含条件:斜率小于0,为下面的求解避免了分类讨论,如果解出两解,还要注意取舍.四、课堂练习1.经过点(3,-1),斜率为3的直线的点斜式方程为y+1=3(x-3).2.经过点(2, 2),斜率为的直线的点斜式方程为y-2=(x-2).3.斜率为-3,在y轴上的截距为-4的直线的斜截式方程为y=-3x-4.4.斜率为,在x轴上的截距为6的直线的方程为y=(x-6).5.直线x=m(y+1)的图象恒过定点(0,-1).五、课堂小结1.本节课我们学了哪些知识?2.直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么?3.求一条直线的方程,要知道多少个条件?4.如何根据直线方程求出直线的斜率及y轴上的截距?第4课时直线的方程(2)教学过程一、问题情境1.情境:能否根据我们已经学过的直线的点斜式、斜截式方程求出符合下列条件的直线方程(学生活动):(1)直线经过点(1, 2),.(2)直线经过点(1, 2),(-1, 2).(3)直线经过点(0, 2),(1, 0).(4)直线经过点(x1,y1),(x2,y2),其中x1≠x2.2.问题:如果已知直线经过的两个点,或已知直线在x轴上的截距和在y轴上的截距,如何求直线方程?二、数学建构(一)生成概念1.引导学生研究上面的问题.根据直线的点斜式方程,经过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2)直线l的方程为:y-y1=(x-x1).2.直线的两点式方程.若x1≠x2,y1≠y2,经过两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)的直线l的方程为=,我们把方程=叫做直线的两点式方程.(二)理解概念1.方程=的左右两边各具有怎样的几何意义?它表示什么图形?答左边是动点和一个定点的连线的斜率,右边是两个定点的连线的斜率,这两者始终相等,因而方程表示除去点(x1,y1)的一条直线.2.方程=和方程=表示同一图形吗?前者表示经过两定点(x1,x2),(x2,y2)但除去点(x1,y1)的一条直线,后者表示经过两定点(x1,x2), (x2,y2)完整的一条直线.所以才把后者称为两点式方程.3.若两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2,此时直线P1P2方程能否用两点式方程表示?如果不能,应该如何表示?这说明了什么?答因为有分母为0,所以不能用两点式方程表示,若x1=x2,直线P1P2方程为x=x1,若y1=y2,直线P1P2方程为y=y1,这说明两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.(三)巩固概念已知直线分别经过下面两点,求直线的两点式方程.①A(3, 1),B(2,-3);②A(2, 1),B(0,-3);③A(0, 5),B(4, 0).解答①直线的两点式方程为:=;②直线的两点式方程为:=;③直线的两点式方程为:=.三、数学运用【例1】(教材P84例1)已知直线l经过两点A(a, 0),B(0,b),其中ab≠0,求直线l的方程(如图1).(图1)解根据两点式方程形式,直线l的方程为=,即+=1.数学概念直线的截距式方程及适用范围:我们把方程+=1叫做直线的截距式方程.因为ab≠0,所以截距式方程不能表示过原点的直线,因为纵、横截距必须存在,所以截距式方程也不能表示与坐标轴垂直的直线.【例2】(教材P84例2)已知三角形的顶点是A(-5, 0),B(3,-3),C(0, 2)(图2),试求这个(图2)三角形三边所在直线的方程.解根据两点式方程,直线AB的方程为=,即3x+8y+15=0;直线BC的方程为=,即5x+3y-6=0;根据截距式方程,直线CA的方程为+=1,即2x-5y+10=0.用直线的两点式或截距式写直线方程只需一步到两步,但要先分析两点式或截距式的使用条件是否满足.【例3】求过点(3,-4)且在坐标轴上的截距相等的直线方程.在做此题之前,画一条通过原点的直线,问问学生:直线在x,y轴上的截距是什么?相等吗?横截距是纵截距的几倍?根据以往经验,采取先错后纠正的方法不理想,以后还会错,所以截距的概念“第一印象”非常重要.解①当截距不为0时,设所求直线的方程为+=1,将坐标(3,-4)代入这个方程得+=1解得a=-1,此时所求直线的方程为+=1;②当截距为0时,直线过原点(0, 0),根据两点式方程,此时所求直线的方程为=,即y=-x.综上,所求直线的方程为x+y+1=0或y=-x.要准确理解截距的概念,直线过原点时,它在x,y轴上截距都为0,当然相等,当直线斜率为1且不过原点时,截距互为相反数,当然不等.【例4】求过点P(2,-1),在x轴和y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b的直线方程.先引导学生分析,此题会有几解?解①当a=0时,b=0,此时直线方程为y=-x;②当a≠0时,b≠0,根据截距式方程,此时直线方程为+=1,把P(2,-1)代入方程得+=1,解得b=-,此时a=-1.综上,所求直线方程为x+3y+1=0或y=-x.当截距不能确定是否为0时,使用截距式方程,要注意分类讨论.四、课堂练习1.过两点(2, 2),(-1, 3)的直线的两点式方程为=.2.过两点(0, 3),(-1, 0)的直线的截距式方程为-x+=1.3.已知两点A(5, 1),B(10, 11).(1)求出直线AB的方程.(2)若点C(-2,a)在直线AB上,求实数a的值.解(1)根据两点式方程,直线AB的方程为=,即2x-y-9=0.(2)因为点C(-2,a)在直线AB上,所以2×(-2)-a-9=0,因此实数a的值为-13.4.(1)如果两条直线有相同的斜率,但在x轴上的截距不同,那么它们在y轴上的截距可能相同吗?(2)如果两条直线在y轴上的截距相同,但是斜率不同,那么它们在x轴上的截距可能相同吗?解答(1)假设它们在y轴上的截距也相同.则它们的方程都可写成y=kx+b,而这只表示一条直线,与前提矛盾,所以假设不成立.因此它们在y轴上的截距不相同.(2)它们在x轴上的截距可能相同,如:直线y=2x与直线y=x.五、课堂小结1.任何一条直线都有x轴上的截距和y轴上的截距吗?2.什么样的直线不能用两点式、截距式方程?第5课时直线的方程(3)教学过程一、问题情境问题1直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于x,y的什么方程?问题2关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)是否一定表示一条直线?二、数学建构(一)生成概念1.引导学生研究上面的问题.(1)直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程都是关于x,y的二元一次方程.(2)关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)是否一定表示一条直线呢?这个方程是否表示直线,就看此方程能否转化为点斜式、斜截式、截距式、两点式、x=x1这五种形式之一.(1)当B≠0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-x-,它表示斜率-,在y轴上的截距为-的直线.(2)当B=0时,方程Ax+By+C=0可化为x=-,它表示垂直于x轴的直线.综上:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示一条直线.问题3平面直角坐标系内的任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示呢?平面直角坐标系内的直线可分为两类,第一类是与x轴垂直的直线,第二类是与x轴不垂直的直线.与x轴垂直的直线的方程为x=x1,可化为x+0·y-x1=0,(1与0不全为0)与x轴不垂直的直线可用斜截式方程表示,而y=kx+b可化为kx-y+b=0,(k与-1不全为0)所以平面直角坐标系内的任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示.2.数学概念直线的一般式方程方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)叫做直线的一般式方程.(二)理解概念1.直线方程的一般式Ax+By+C=0中,A,B满足条件不全为0;当A=0,B≠0时,方程表示垂直于y轴的直线;当B=0,A≠0时,方程表示垂直于x轴的直线.2.直线方程的一般式Ax+By+C=0(A,B不全为0)没有局限性,它能表示平面内任何一条直线.3.直线方程的一般式Ax+By+C=0中,因为A,B不全为0,总可以两边同除以A,B之一,从而转化为只有两个参量的方程:mx+y+n=0或x+my+n=0.不与y轴垂直的直线方程可设为x=py+t.4.因为方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示一条直线,所以它也称为线性方程.(三)巩固概念1.把方程y-y1=k(x-x1)化为一般式为kx-y+y1-kx1=0.2.把方程+=1(ab≠0)化为一般式为bx+ay-ab=0.3.把方程=化为一般式为(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0.三、数学运用【例1】(教材P86例1)求直线l:3x+5y-15=0的斜率及它在x轴、y轴上的截距,并作图.可以把例1、例2放在一起让学生板演.解直线l的方程可化为y=-x+3,也可化为+=1,直线的斜率为-,它在x轴、y轴上的截距分别为5和3.(图略)根据方程求斜率,可把方程化斜截式.【例2】(教材P86例2)设直线l的方程为x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值:(1)直线l在x轴上的截距为-3.(2)直线l的斜率为1.解(1)据题意直线l过点(-3, 0),把坐标(-3, 0)代入直线l的方程得-3-2m+6=0,解得m=.(2)据题意,直线l的斜率存在,所以m≠0,直线l的方程可化为y=-x+2-,所以-=1,解得m=-1.【例3】求斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程.引导学生分析,求直线方程,差什么量?如何构造此量的方程,如何设出直线方程,设直线方程需要注意什么?解法一据题意可设所求直线的方程为y=x+m,(m≠0),在方程中令y=0得x=-m,直线与两坐标轴交于A与B(0,m)两点,△AOB的面积为|m|=6.解得m=3或m=-3.因此,所求直线的方程为y=x+3或y=x-3,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.解法二据题意可设所求直线的方程为+=1(ab≠0),此方程可化为y=-x+b,据题意可知解得或因此,所求直线的方程为+=1或+=1,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.根据条件,恰当选择方程的形式,可简化解题,最后形式常化为一般式方程,解法二对解方程组的要求较高.*【例4】已知直线l:+=1.(1)如果直线l的斜率为2,求m的值.(2)如果直线l与两坐标轴的正半轴相交,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.引导学生审题:“正半轴相交”是什么意思?“三角形面积最大时”是什么意思,为什么三角形面积会有最大值?解(1)直线l的方程可化为y=x+m,所以=2,解得m=4.(2)直线l与两坐标轴的交点为(2-m, 0),(0,m),据题意直线l与两坐标轴围成三角形面积为S=m(2-m)=-(m-1)2+,因为0<m<2,所以m=1时,S取到最大值,故所求的直线l的方程为+=1,即x+y-1=0.注意挖掘条件此题可变为“已知直线l与两坐标轴的正半轴相交,在两坐标轴上的截距之和为2,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.”这样解法就多了,可以设斜截式方程,利用基本不等式求解.四、课堂练习1.直线3x+4y=6的斜率为-,在y轴上截距为.2.直线4x-3y-12=0在x轴、y轴上的截距分别为3,-4.3.填写下表直线l:Ax+By+C= 0(A,B不全为0)与坐标轴的关系直线过原点直线l垂直于x轴直线l垂直于y轴直线l与两坐标轴都相交A,B,C满足的关系C=0B=0A=0AB≠04.过两点(-4, 0)和(0, 2)的直线的一般式方程为x-2y+4=0.5.过两点(3, 0)和(0,-1)的直线的一般式方程为x-3y-3=0.五、课堂小结1.到目前为止研究了直线方程的五种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,要掌握五种形式的适用范围,并能在直线方程的各种形式之间熟练转化.2.学会根据条件选用恰当的形式求直线的方程,用一般式设方程,往往并不简单,因为一般式中有三个参量A,B,C.第6课时两条直线的平行与垂直(1)教学过程一、问题情境问题1平面内两条不重合直线的位置关系有几种?如何判断这种关系?问题2初中学习过平面内两条直线的位置关系,学习过两条直线的平行的判定,如同位角相等得到两条直线平行,这种方法是将一个几何问题转化为另外一个几何问题来解决它,我们能否用代数方法(代数量)来判定两条直线的平行与垂直(几何量)呢?二、数学建构(一)生成概念1.引导学生探究两直线平行的判定条件问题3直线有哪些代数量?直线的倾斜角、斜率、在x轴、y轴上的截距.问题4当l1∥l2时,它们的代数量满足什么关系?l1∥l2,首先想到平行线的判定方法:同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,三角形中位线平行于第三边.在直线的代数量中,直线的倾斜角是同位角,所以得到:若l1∥l2,则它们的倾斜角相等,如果倾斜角不是直角,根据斜率与倾斜角的关系得到,它们的斜率相等;再来考察它们在x轴、y轴上的截距,如果倾斜角不是0°也不是直角,因为l1,l2不重合,所以,它们在x轴上的截距不等,在y轴上的截距也不等.于是l1∥l2时有如下表格:。
苏教版必修2数学课件-第2章平面解析几何初步第2节直线与方程教学课件
3．如何判断点(m，n)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系？ [提示] 将点A(m，n)代入方程左边，若(m－a)2＋(n－b)2＝r2， 点A在圆上；若(m－a)2＋(n－b)2<r2，点A在圆内；若(m－a)2＋(n－ b)2>r2，点A在圆外．
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【例3】 已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)． (1)若点M(6，9)在圆上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的 取值范围．
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自主预习 探新知
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1．圆的定义及标准方程 (1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是 圆的圆心；定长是圆的半径．
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(2)圆的标准方程
圆
特殊情况
一般情况
圆心
(0，0)
(a，b)
半径 标准方程
备注
r(r>0)
r(r>0)
_x_2_＋__y_2＝__r_2_
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[解] 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
a＋b＋5＝0，
则（0－a）2＋（2－b）2＝r2， （－3－a）2＋（3－b）2＝r2，
a＝－3，
解得b＝－2， r＝5.
∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
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法二：因为A(0，2)，B(－3，3)，所以线段AB的中点坐标为 －32，52，直线AB的斜率kAB＝－3－3－20＝－13，
_(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2＝__r_2_
确定圆的标准方程的关键是确定_圆__心__和_半__径__
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2013-2014版高中数学(苏教版)必修二同步课堂配套ppt课件：第二章 平面解析几何初步1.1.1 (5)
证明：∵E1、E 分别为 A1D1 和 AD 的中点，∴A1E1 綉 AE， ∴四边形 A1E1EA 是平行四边形， ∴E1E∥A1A. 又 A1A∥B1B，∴E1E∥B1B.
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误区警示 对异面直线定义理解不正确致误 【示例】 分别在两个平面内的两条直线是否是异面直线， 说明理由．
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自学导引 1．异面直线： 不同在任何一个平面内 叫做异面直线． 2．空间两条直线的位置关系： 的两条直线
平行直线 、 相交直线、 异面直线 ．
3．公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．该公 理可用符号语言叙述为： a∥c，b∥c⇒a∥b .
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4． 等角定理： 空间中如果两个角的两边分别 平行并且方向， 那么这两个角 相等 ．
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题型一 异面直线的判定 【例 1】 长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是矩形 BCC1B1 的中心，F 是矩形 ADD1A1 的中心，连接 AE、B1F，求证：AE 与 B1F 是异面直线．
[思路探索] 根据异面直线的判定，关键是寻找定理满足的 条件．
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A′O′B′＝30° 或 150° .
课前探究学习 课堂讲练互动
[思路探索] 根据等角定理和两直线的平行概念逐一判断．
解析 由等角定理知，①正确，④正确，对于②，可知如
图所示的正方体中，取∠ABC 和∠BCB1，显然有 AB⊥B1C，BC ⊥B1B，但∠ABC＝90° ，∠BCB1＝45° ，故②错；当两直线没有 公共点时，尽管它们位于不同的平面内，但也可以平行或异面， 故③错，因此正确的只有①④.
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件：第二章 平面解析几何初步-2.1-2.1.2-第1课时
探究1 对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的 取值范围是多少？
【提示】 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.
探究2 已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距 b，以及与y轴交点P的坐标． 【提示】 ∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y ＝1，即b＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．
【答案】 y＝－x＋5
2．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为 ________． 【解析】 过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程 为x＝1.
【答案】 y＝1 x＝1
3．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．
4－1 【解析】 k＝ ＝1，l的方程为y－1＝1· (x＋1)，即y＝x＋2. 2－－1
【答案】 y＝x＋2
教材整理2
直线的斜截式方程
阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．
y＝kx＋b 斜截式方程：__________________ ，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的
截距 ． 直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的______
【导学
【解析】 直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－ 1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135° .
【答案】 135° ，－1
5．求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．
【解】 设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)． 当x＝0，y＝4＋3k， 4 当y＝0，x＝－ k－3，