数列应用题中的递推关系
数列的递推关系重要知识点讲解Microsoft Word 文档 (2)
递推数列重要知识点讲解各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,…….（I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例1:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。
例2:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩ 12n n =≥类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .变式:在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________ 变式:已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{b n }滿足12111*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈ 证明：数列{b n }是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈ 类型4n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数）。
数列递推关系
数列递推关系嘿，朋友！咱今天来聊聊数列递推关系这个神奇的玩意儿。
你知道吗？数列就像一群排着队的小伙伴，而递推关系就是指挥它们怎么排队的规则。
比如说，有一个数列，第一个数是 1 ，从第二个数开始，每个数都是前一个数加上 2 ，这就是一种递推关系。
这递推关系就像一条看不见的线，把数列中的数一个一个串起来。
就好比我们走路，每一步的距离和方向都有个规律，数列里每个数的产生也有它的规律。
举个例子吧，斐波那契数列，那可是相当有名！它的递推关系是从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
这是不是很神奇？就好像是前面的两个数商量好了，一起孕育出后面的数。
再比如说等差数列，相邻两个数的差值都一样，这差值就是递推的关键。
就像爬楼梯，每一层之间的高度差都相同，你能根据这个规律轻松算出爬到某一层需要走多少级台阶。
那怎么去搞定这数列递推关系呢？这可得有点小技巧。
首先得把题目给看清楚，弄明白它到底是啥样的递推规则。
是加法、减法、乘法还是除法？是跟前一个数有关，还是跟前两个数有关？这就像是破案，得先找到关键线索。
然后呢，多做几道练习题，熟能生巧嘛。
刚开始可能会觉得有点头疼，这很正常，谁还没个适应的过程呢？就像学骑自行车，一开始摇摇晃晃，多练几次不就稳当了？还有啊，要善于总结归纳。
把做过的题目类型整理整理，找到共同点和不同点。
这就像整理自己的衣柜，把不同的衣服分类放好，下次找的时候就容易多了。
你说，要是连数列递推关系都搞不定，那数学的大门还能轻易迈进吗？所以啊，别害怕，别退缩，勇敢地去探索这个奇妙的世界！总之，数列递推关系虽然有点复杂，但只要用心去学，多思考，多练习，就一定能掌握它！相信自己，加油！。
数列的递推关系与求和公式详细解析
数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。
数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。
本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。
一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。
常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。
其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。
举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。
斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。
可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。
2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。
非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。
例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。
等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。
又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。
等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。
二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。
根据不同的数列类型，有不同的求和公式。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。
3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。
例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。
递推公式和通项公式
递推公式和通项公式递推公式和通项公式是数学中常用的两种表示数列的方式。
数列是按照一定规律排列的一系列数值，比如斐波那契数列、等差数列等都是数学中常见的数列。
递推公式是通过前面的项得出后面的项，而通项公式则是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值。
下面将详细介绍递推公式和通项公式的概念、计算方法以及应用。
一、递推公式递推公式是通过前面的项推导出后面的项的公式，通常用于描述数列的规律。
递推公式的形式可以是直接递推公式和间接递推公式。
1.直接递推公式直接递推公式是根据数列中前面的若干项直接计算出后面其中一项的公式。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F表示数列中的项数，n表示项数的下标，n-1表示前一项的下标，n-2表示前两项的下标。
根据这个递推公式，可以依次计算出数列中后续的项。
2.间接递推公式间接递推公式是通过数列中前面的项与后面的项的关系间接推导出后面其中一项的公式。
以等差数列为例，等差数列的递推公式为：an = a1+ (n-1)d，其中a表示数列中的项数，n表示项数的下标，a1表示首项，d表示公差。
根据这个递推公式，可以通过首项和公差来计算出数列中后续的项。
二、通项公式通项公式又称为数列的通项公式、一般项公式或通项公式，是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值的公式。
通项公式可以直接计算出数列中任意一项的数值，而不需要通过前面的项来逐步推导。
通项公式的形式可以是显式通项公式和递推通项公式。
1.显式通项公式显式通项公式是通过数列中任意项的位置直接计算该项的数值的公式。
以等差数列为例，等差数列的显式通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中第n项的数值，a1表示首项，d表示公差。
根据这个公式，可以直接计算出数列中任意一项的数值。
2.递推通项公式递推通项公式是通过数列中前面的若干项推导出后面其中一项的数值的公式。
递推通项公式通常是基于递推公式得到的。
如何总结高一数学的数列递推关系与应用
如何总结高一数学的数列递推关系与应用在高一数学的学习中，数列递推关系及其应用是一个重要且具有一定难度的知识点。
要想学好这部分内容，我们需要深入理解其概念，掌握常见的递推关系类型，并能够灵活运用它们解决各种实际问题。
首先，我们来明确一下什么是数列递推关系。
简单来说，数列递推关系就是通过已知的项，按照一定的规则推出后续的项。
比如，对于数列{aₙ}，如果给出了 a₁的值，以及一个关于 aₙ和 aₙ₋₁（或者其他前面的项）的关系式，那么就可以依次求出后面的项。
常见的数列递推关系类型有很多。
等差数列的递推关系是 aₙ ＝aₙ₋₁＋ d（d 为公差），等比数列的递推关系是 aₙ ＝ aₙ₋₁ × q（q为公比）。
除了这两种基本的数列，还有一些更复杂的递推关系，比如线性递推关系（形如 aₙ ＝ paₙ₋₁＋ q，其中 p、q 为常数）、非线性递推关系（如 aₙ ＝ aₙ₋₁²＋ 1 等）。
在学习数列递推关系时，理解其通项公式的推导过程是非常关键的。
以等差数列为例，我们知道 a₁的值，公差为 d，那么 a₂＝ a₁＋ d，a₃＝ a₂＋ d ＝ a₁＋ 2d，以此类推，可以得到 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d。
这个通项公式就是通过对递推关系的不断累加得到的。
对于等比数列，同样可以通过类似的方法推导出通项公式 aₙ ＝ a₁ × qⁿ⁻¹。
掌握了数列递推关系的类型和通项公式的推导，接下来就是要学会应用它们解决实际问题。
在数学竞赛或者高考中，经常会出现与数列递推关系相关的题目。
比如，让我们求数列的某一项的值，或者判断一个数列是否满足某种递推关系。
这时候，我们就需要根据已知条件，选择合适的递推关系类型，然后运用相应的方法进行求解。
例如，有这样一道题目：已知数列{aₙ}满足 a₁＝ 1，aₙ ＝2aₙ₋₁＋ 1（n ≥ 2），求 a₅的值。
首先，我们可以根据递推关系依次求出 a₂、a₃、a₄，最后求出 a₅。
数列的递推关系与应用
数列的递推关系与应用数列是数学中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
数列的递推关系是数列中一个项与前面的项之间的关系，通过递推关系可以方便地计算数列中的各个项。
本文将介绍数列的概念、递推关系的定义和求解方法，以及数列在实际应用中的一些例子。
一、数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
数列可以有无限个项，也可以有有限个项。
数列中的每一项称为数列的项。
根据数列中项的性质，数列可以分为等差数列、等比数列和斐波那契数列等不同类型。
二、递推关系的定义和求解方法递推关系是指数列中一个项与前面的项之间的关系。
递推关系可以用公式表示，通过该公式可以计算数列中的各个项。
递推关系可以是线性的，也可以是非线性的。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项与前面的一定个项之间存在线性关系。
线性递推关系通常可以表示为an = c1an-1 + c2an-2 + ... + ckan-k，其中an表示数列中第n项，c1、c2、...、ck为常数。
线性递推关系可以通过递推关系的通项公式求解。
2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列中的每一项与前面的一定个项之间存在非线性关系。
非线性递推关系通常不容易找到通项公式，但可以通过递推关系本身进行递推计算。
非线性递推关系的求解需要运用数学方法，如递推法、矩阵幂法等。
三、数列递推关系的应用1. 数学领域：数列递推关系在数学领域中有广泛的应用，比如在数学证明中可以通过递推关系得到一些重要的结论。
递推关系也是解决一些数学问题的有效工具，如求和、求极限等。
2. 经济学领域：数列递推关系在经济学中的应用十分重要。
经济学中有很多与时间相关的问题，通过建立数列递推模型可以分析经济变量的发展趋势，比如人口增长、GDP增长等。
3. 物理学领域：数列递推关系在物理学中也有一些应用。
比如在动力学中可以通过数列递推关系描述物体的位移、速度、加速度等物理量之间的关系，进而分析物体的运动规律。
数列的几种递推公式
数列的几种递推公式一、 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
二、 n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
例3:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a 。
解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---。
变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+⋅⋅⋅+++=-+13211)1(32， 用此式减去已知式，得当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+， 又112==a a ，n a a a aa a a a a n n =⋅⋅⋅====∴-13423121,,4,3,1,1， 将以上n 个式子相乘，得2!n a n =)2(≥n三、 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例4.已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n . 故递推公式为)3(231+=++n n a a , 令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b . 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列， 则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .变式:在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________（key:321-=+n n a ）四、类型4 nn n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
数列的递推公式
数列的递推公式数列的递推公式是指通过已知的数列前几项来推导出数列中后一项与前一项之间的关系的公式。
递推公式在数学和计算机科学中应用广泛，可以用于解决各种数值计算问题。
一、定义数列数列是按一定规律排列的一系列数的有序集合。
数列中的每个数称为该数列的项，项之间的序号称为项号。
通常用字母{n}表示数列中的第n项。
二、等差数列的递推公式等差数列是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的递推公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d例如，对于等差数列 2, 5, 8, 11, 14，首项a₁=2，公差d=3，第n项aₙ可以通过递推公式计算：aₙ = 2 + (n-1)3三、等比数列的递推公式等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为aₙ，则等比数列的递推公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)例如，对于等比数列 2, 4, 8, 16, 32，首项a₁=2，公比r=2，第n项aₙ可以通过递推公式计算：aₙ = 2 * 2^(n-1)四、斐波那契数列的递推公式斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列的递推公式可以用来计算数列中的任意项。
设斐波那契数列的首项为a₁，第二项为a₂，第n项为aₙ，则斐波那契数列的递推公式为：aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁例如，斐波那契数列的前几项为 0, 1, 1, 2, 3, 5，可以通过递推公式计算出后续的项。
五、其他数列的递推公式除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，还存在其他类型的数列，它们各自具有特定的递推公式。
例如，如下所示的数列为自然数的平方数列：1, 4, 9, 16, 25该数列的递推公式为：aₙ = n^2再例如，如下所示的数列为自然数的阶乘数列：1, 2, 6, 24, 120该数列的递推公式为：aₙ = n!在解决具体问题时，需要根据数列的规律来确定递推公式，从而计算出数列中任意一项的值。
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数列应用题中的递推关系
以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。
一、等差、等比数列问题
等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。
例1、流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。
某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。
由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。
分析：设11月n 日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。
这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。
略解：由题意，11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列a n ，a 1=20,d 1=50,11月n 日新感染者人数a n =50n —30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n ,b 1=50n-60,d 2=—30，b n =(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b 30-n =20(30-n)-30=-20n+570. 故共感染者人数为：2
)30)](57020(6050[2)305020(n n n n n -+-+-+-+=8670，化简得：n 2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。
二、a n - a n-1=f(n),f(n)为等差或等比数列
有的应用题中的数列递推关系，a n 与a n-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。
例2、某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件。
若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n-1）千元时多
卖出n b 2
件，（n ∈N *）。
（1）试写出销售量s 与n 的函数关系式；
（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？
分析：对于(1)中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为s n ,则s n-1表示广告费为(n-1)元时的销量，由题意，s n ——s n-1=n b 2，可知数列{s n }不成等差也不成等比数列，但是两者的差n b 2构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：
解法一、直接列式：由题，s=b+
2b +22b +32
b +…+n b 2=b(2-n 21) （广告费为1千元时，s=b+2b ；2千元时，s=b+2b +22b ；…n 千元时s=b+2b +22b +32b +…+n b 2） 解法二、（累差叠加法）设s 0表示广告费为0千元时的销售量， 由题：⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=--n n n b
s s b s s b s s 222121201 ，相加得S n -S 0=2b +22b +32b +…+n b 2, 即s=b+
2b +22b +32
b +…+n b 2=b(2-n 21)。
（2）b=4000时，s=4000(2-n 21),设获利为t,则有t=s ·10-1000n=40000(2-n 21)-1000n 欲使T n 最大，则：⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n T T T T ，得⎩
⎨⎧≤≥55n n ，故n=5,此时s=7875。
即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大。
三、a n = C ·a n-1+B ，其中B 、C 为非零常数且C ≠1
例3、某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？（lg2=0.3）。
分析：设经过n 年后，该项目的资金为a n 万元，则容易得到前后两年a n 和a n-1之间的递推关系：a n =a n-1（1+25%）-200（n ≥2），对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”：
解：由题，a n =a n-1（1+25%）-200（n ≥2），即a n =
45a n-1-200，设a n +λ=45（a n-1+λ），展开得a n =45a n-1+41λ，41λ=-200，λ=-800，∴a n -800=4
5（a n-1-800），即{a n -800}成一个等比数列，a 1=1000(1+25%)-200=1050, a 1-800=250，∴a n -800=250（45）n-1，a n =250（4
5）n-1+800，令a n ≥4000，得（4
5）n ≥16，解得n ≥12,即至少要过12年才能达到目标。
四、二个（或多个）不同数列之间的递推关系
有的应用题中还会出现多个不同数列相互之间的递推关系，对于该类问题，要正确处分没数列间的相互联系，整体考虑。
例4、甲乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml ，同时从甲乙两个容器中取出100ml 溶液，将近倒入对方的容器搅匀，这称为是一次调和，记a 1==10%,b 1=20%,经（n-1）次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为a n 、b n ，
（1）试用a n-1、b n-1表示a n 、b n ；
（2）求证数列 {a n -b n }是等比数列，并求出a n 、b n 的通项。
分析：该问题涉及到两个不同的数列a n 和b n ，且这两者相互之间又有制约关系，所以不能单独地考虑某一个数列，而应该把两个数列相互联系起来。
解：（1）由题意
a n =11115154500100400----+=+n n n n
b a b a ； b n =11115
154500100400----+=+n n n n a b a b （2）a n -b n =
115353---n n b a =5
3（1-n a 1--n b ）（n ≥2），∴{a n -b n }是等比数列。
又a 1-b 1=-10%, ∴a n -bn=-10%()53n-1.......（1） 又∵n a n b +=1-n a 1-+n b =...= a 1+b 1=30%， (2)
联立（1）、（2）得n a =-()53
n-1·5%+15%；n b =()5
3n-1·5%+15%。