抛物线及其标准方程学案
学案2：2.3.1抛物线及其标准方程
2．3.1 抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及其标准方程．2．了解抛物线的实际应用．3．能区分抛物线标准方程的四种形式．预习提示：1.我们知道，二次函数的图象是抛物线，那么抛物线上的点应满足什么条件呢？2. 抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？3．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？4．抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？抛物线的开口方向由什么决定？5．抛物线与二次函数有何关系？课堂探究：例1、(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点A(6，y0)，且点A到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是()A．4 B．8C．13 D．16(2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)变式训练：(1)抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则A点到抛物线焦点的距离为() A．2B．3 C．4 D．5(2)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x例2、分别求适合下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点M(－6,6)．(2)焦点在直线l：3x－2y－6＝0上．(3)已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程．变式训练：若把本例题目改为：(1)过点(1,2)．(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．试求抛物线的标准方程．例3、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．变式训练：定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点M 到y轴的距离的最小值．例4、如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?变式训练：某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4m ，高2 m ，载货后木船露在水面上的部分高为34 m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？当堂达标：1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x 3．已知动点M (x ，y )的坐标满足x －22＋y 2＝|x ＋2|，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．以上均不对4．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标． 答案：1.【提示】 抛物线上的点满足到定点的距离等于它到定直线的距离．2. 【提示】 不能，若l 经过点F ，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于l 的一条直线．3．【提示】 根据抛物线的几何特征，可以取经过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，以F 到l 的垂线段的中垂线为y 轴建系．4．【提示】 p 是抛物线的焦点到准线的距离 抛物线的标准方程有四种类型：①焦点在x 轴的正半轴上，其标准方程为y 2＝2px (p ＞0)； ②焦点在x 轴的负半轴上，其标准方程为y 2＝－2px (p ＞0)； ③焦点在y 轴的正半轴上，其标准方程为x 2＝2py (p ＞0)； ④焦点在y 轴的负半轴上，其标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 抛物线的方程中一次项决定开口方向．5．【提示】 二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当b ，c 为0时，y ＝ax 2表示焦点在y 轴上的抛物线，标准方程为x 2＝1a y ，a ＞0时抛物线开口向上，a ＜0时，抛物线开口向下，当抛物线的开口方向向左或向右时，方程为y 2＝2px ，这是一条曲线，不能称为函数．课堂探究：例1、 【自主解答】 (1)由题意6＋p2＝10，∴p ＝8.(2)因为点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，所以点P 到F (4,0)的距离与到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x .【答案】 (1)B (2)C变式训练：【解析】 (1)由抛物线的定义，点A 到焦点的距离等于它到准线的距离，而A 到准线的距离为4＋p2＝4＋1＝5.(2)由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x ＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x .【答案】 (1)D (2)A例2、 【自主解答】 (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p ＞0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x ；若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p ＞0)， 将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4， ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .(3)法一：设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0， 由题设可得⎩⎨⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎫3－p22＝5， 解得{ p ＝4，m ＝26或{ p ＝4，m ＝－26，故所求的抛物线方程为y 2＝－8x .法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2， 根据抛物线的定义，点M 到焦点的距离等于5，也就是M 到准线的距离为5， 则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .变式训练：【解】 (1)点(1,2)在第一象限，分两种情形： 当抛物线焦点在x 轴上时，设其方程为y 2＝2px (p >0)， 则22＝2p ·1，解得p ＝2， 抛物线标准方程为y 2＝4x ；当抛物线焦点在y 轴上时，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 则12＝2p ·2，解得p ＝14，抛物线标准方程为x 2＝12y .(2)令方程x －2y －4＝0的x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4. ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)， 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，这时抛物线标准方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p ＝4，这时抛物线标准方程为x 2＝－8y .例3、 【自主解答】 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为 5.①(2)如图，把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12.因为12＞2，所以点B 在抛物线内部，过点B 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P 1，连接P 1F .此时，由抛物线定义知：|P 1Q |＝|P 1F |.②所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.变式训练：【解】 如图，F 是抛物线y 2＝x 的焦点，过A 、B 两点分别作准线的垂线AC 、BD ，过AB 的中点M 作准线的垂线MN ，C 、D 、N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)．由抛物线的定义可知 |AF |＝|AC |，|BD |＝|BF |， ∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥12|AB |＝32.设M 点的坐标为(x ，y )，则|MN |＝x ＋14.又|MN |≥32，∴x ≥32－14＝54，当且仅当AB 过抛物线的焦点时等号成立．此时点M 到y 轴的距离的最小值为54.例4、【自主解答】 如图所示(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y .(2)设车辆高h ，则|DB |＝h ＋0.5，故D (3.5，h －6.5)， 代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．变式训练：【解】 以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y 轴，建立如下图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意知，点A (4，－5)在抛物线x 2＝－2py (p ＞0)上．所以16＝－2p ×(－5)，2p ＝165. 所以抛物线方程为x 2＝－165y (－4≤x ≤4)．设水面上涨船面两侧与抛物线拱桥接触于B 、B ′时，船开始不能通航． 设B (2，y )，由于22＝－165×y ，所以y ＝－54.所以水面与抛物线拱顶相距|y |＋34＝2(m)．答：水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m 时，船开始不能通航.当堂达标：1．【解析】 由y 2＝－8x ，得2p ＝8，∴p2＝2.从而抛物线的焦点为(－2,0)． 【答案】 B2．【解析】 由准线x ＝－2及顶点在原点， ∴焦点F (2,0)，p ＝4. ∴抛物线的方程为y 2＝8x . 【答案】 B3．【解析】 由条件知M 点轨迹满足抛物线定义．即M 到定点(2,0)与到定直线x ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是抛物线． 【答案】 C4．【解】 设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，M 点到准线的距离为d . 则d ＝|MF |＝10，即9＋p2＝10.∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x ， 将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6. ∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6).。
抛物线及其标准方程(高中数学学案)
抛物线及其标准方程
一．知识与技能
使学生了解抛物线的定义，理解焦点，准线方程的几何意义，能够根据已知条件写出抛物线的标准方程。
二．过程与方法
掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线方程的方法（坐标法）。
通过本节课的学习，培养学生在解决数学问题时能够具备观察，类比，分析，计算的能力。
三．情感态度与价值观
通过本节的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。
1.定义：
2.探究它的方程
3.例题1：已知抛物线的焦点是F（3,0）写出它的标准方程和准线方程。
巩固：根据下列条件，写出抛物线的标准方程。
（1）焦点是F（2,0）
（2）准线方程是x=-3/2.
例题2：已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3，求抛物线的标准方程以及焦点坐标和准线方程。
巩固：（1）已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且准线与y轴之间的距离为6.求此抛物线的标准方程。
（2）已知点M与点F（4,0）的距离比它到直线L：x+6=0的距离小2.求点M的轨迹方程。
（3）已知点M与点F（4,0）的距离比它到直线L：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程。
（4）已知抛物线26
和点A（4,0）。
质点M在此抛物线上运动，求点M与点A的距y x
离的最小值，并指出此点M的坐标。
椭圆定义
双曲线定义
抛物线定义。
学案8：2.4.1抛物线及其标准方程
2.4.1抛物线及其标准方程学习目标1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．2．会求简单的抛物线的方程．学习重点：抛物线的定义及其标准方程的求法．学习难点：抛物线定义及方程的应用．学习过程自学导引1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？2．抛物线标准方程的几种形式想一想：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？名师点睛1．抛物线定义的理解(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)在抛物线的定义中，定点F 不能在直线l 上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线，而是过点F 垂直于直线l 的一条直线．如到点F (1,0)与到直线l ：x ＋y －1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x －y －1＝0，轨迹为过点F 且与直线l 垂直的一条直线．2．抛物线标准方程的特点四种抛物线及其标准方程的共同特点是：(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于2p 4＝p2.抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是： 焦点决定于一次项，开口决定于正负号，即标准方程中，如果含的是x 的一次项，则焦点就在x 轴上，并且焦点的横坐标为p 2(或－p 2)，相应的准线是x ＝－p 2(或x ＝p2)，如果含的是y 的一次项，有类似的结论. 例题精析例1：(1)已知抛物线的标准方程是y 2=6x ,求它的焦点坐标和准线方程． (2)已知抛物线的焦点是F (0,-2)，求它的标准方程.例2一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.变式训练1、分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1；(3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.2、如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标．拓展训练1、已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )．A.172B ．2 C. 5 D.922、根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点．3、一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．4、某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？5、已知AB为抛物线y＝x2上的动弦，且|AB|＝a(a为常数且a≥1)，求弦AB的中点M 离x轴的最近距离．参考答案学习过程自学导引1．距离相等焦点准线试一试：当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l 不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2．抛物线标准方程的几种形式想一想：一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 例题精析例1：解:(1)因为p ＝3，故抛物线的焦点坐标为 3,02（） ，准线方程为3.2x =-(2)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上,且2,4,2pp ==故所求抛物线的标准方程为x 2=-8y. 例2：解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.设抛物线的标准方程是22(0),y px p =>由已知条件可得，点A 的坐标是（0.5，2.4），代入方程得22.420.5,p =⨯,即p =5.76.所以，所求抛物线的标准方程是211.52y x =, 焦点坐标是（2.88，0）.变式训练1、解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝－8x . (2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)， 将点A (2,3)的坐标代入，得 32＝m ·2或22＝n ·3， ∴m ＝92或n ＝43.∴所求的抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .2、解 如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，由图可知，求|P A |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|PA |＋d 的最小值的问题．将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d .由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72.即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2.∴点P 坐标为(2,2)．规律方法 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．拓展训练 1、A【解析】如图，由抛物线定义知|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|P A |＋|PF |的最小值， 则当A 、P 、F 三点共线时，|P A |＋|PF |取得最小值． 又A (0,2)，F (12，0)，∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AF | ＝0－122＋2－02＝172. 2、解 (1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px ，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py ，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y .(2)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3； 令y ＝0，得x ＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)． 当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ； 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x . ∴所求抛物线的标准方程x 2＝－12y 或y 2＝16x . 3、解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直线坐标系，则点B 的坐标为(a 2，－a4)，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则(a 2)2＝m ·(－a4)，∴m ＝－a . 即抛物线方程为x 2＝－ay .将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a .欲使卡车通过隧道，应有y －(－a 4)>3，即a 4－0.82a >3.∵a >0，∴a >12.21.∴a 应取13. 4、解以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(如图) 设抛物线的方程是 x 2＝－2py (p >0)由题意知A (4，－5)在抛物线上， 故：16＝－2p ×(－5)⇒p ＝85，则抛物线的方程是x 2＝－165y (－4≤x ≤4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B 、B ′时，木船开始不能通航． 设B (2，y ′)，∴22＝－165y ′⇒y ′＝－54.∴54＋0.75＝2.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2米时，木船开始不能通航． 5、解 如图所示，设A ，M ，B 点的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，A ，M ，B 三点在抛物线准线上的射影分别为A ′，M ′，B ′.由抛物线的定义， |AF |＝|AA ′|＝y 1＋14，|BF |＝|BB ′|＝y 3＋14.∴y 1＝|AF |－14，y 3＝|BF |－14.又M 是线段AB 的中点， ∴y 2＝12(y 1＋y 3)＝12(|AF |＋|BF |－12)≥12×(|AB |－12)＝14(2a －1)． 等号成立的条件是A ，F ，B 三点共线，即AB 为焦点弦． 又|AB |＝a ≥1，所以AB 可以取为焦点弦，即等号可以成立， 所以中点M 到x 轴的最近距离为14(2a －1)．。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课选自《解析几何》教材第四章第一节，主要内容包括抛物线的定义、性质及其标准方程的推导和应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的性质。
2. 学会推导抛物线的标准方程，并能解决实际问题。
3. 能够运用抛物线标准方程解决几何问题和实际应用。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质及其标准方程。
难点：抛物线标准方程的推导和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入2. 知识讲解(1) 抛物线的定义：平面内到一个定点F的距离等于到一条定直线l的距离的点的轨迹。
(2) 抛物线的性质：① 对称性；② 焦点、准线；③ 直线与抛物线的交点；④ 平面几何关系。
(3) 抛物线的标准方程：y^2 = 2px (p > 0) 或 x^2 = 2py (p > 0)。
3. 例题讲解(1) 求抛物线y^2 = 4x的焦点和准线。
(2) 已知抛物线x^2 = 8y，求过点P(2,3)且与抛物线相切的直线方程。
4. 随堂练习(1) 求抛物线y^2 = 12x的焦点、准线及对称轴。
(2) 已知抛物线x^2 = 16y，求过点A(4,2)且与抛物线相交的直线方程。
5. 课堂小结六、板书设计1. 定义2. 性质3. 标准方程4. 例题解析5. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目(1) 求抛物线y^2 = 20x的焦点、准线及对称轴。
(2) 已知抛物线x^2 = 18y，求过点B(3,2)且与抛物线相切的直线方程。
2. 答案(1) 焦点：F(5,0)，准线：x = 5，对称轴：y轴。
(2) 直线方程：y = 4/3x 2/3。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、知识讲解、例题讲解、随堂练习等环节，使学生掌握了抛物线的定义、性质和标准方程。
学案10：2.3.1 抛物线及其标准方程
2.3.1 抛物线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3．明确p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)1．通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养． 2．通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养．新知初探1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做 ．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ． 思考1：抛物线的定义中，若点F 在直线l 上，那么点的轨迹是什么？2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标 准线方程y 2＝2px (p >0)F ⎝⎛⎭⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0x ＝p 2x 2＝2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p2x 2＝－2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？初试身手1．抛物线x 2＋8y ＝0的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(0,4)D ．(0，－4)2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 3．抛物线x ＝4y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝184．抛物线y 2＝－12x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点．规律方法1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系．(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，这样可以减少讨论情况的个数．(3)注意p 与p2的几何意义．跟踪训练 1．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8类型2 抛物线的定义的应用例2 (1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程；(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标；(3)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．规律方法抛物线定义的两种应用1.实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.2.解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 跟踪训练2．(1)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A ．172B ．3C ． 5D ．92(2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12．求点M 的轨迹方程．类型3 抛物线的实际应用 [探究问题]已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？例3 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？规律方法求抛物线实际应用的五个步骤 1.建立适当的坐标系. 2.设出合适的抛物线标准方程.3.通过计算求出抛物线的标准方程.4.求出需要求出的量.5.还原到实际问题中，从而解决实际问题. 跟踪训练3．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线型，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？课堂小结1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4． 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF |＝x 0＋p 2．3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．课堂检测1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22＝1的一个焦点重合，则m 的值为________．3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________．4．求顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线3x －5y －36＝0上的抛物线方程．参考答案新知初探1．抛物线 焦点 准线思考1：[提示] 点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线． 思考2：[提示] (1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px ，±2py 来确定焦点位置，“x ，y ”表示焦点在x 轴或y 轴上，系数“±2p ”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．初试身手1．【答案】B【解析】抛物线x 2＝－8y 的焦点在y 轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是(0，－2)．2．【答案】C【解析】由y 2＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4． 3．【答案】C【解析】由x ＝4y 2得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－116．4．【答案】(－6,62)或(－6，－62)【解析】由y 2＝－12x 知p ＝6，准线方程为x ＝3，设抛物线上点P (x ，y )，由抛物线定义可知－x ＋3＝9，x ＝－6，将x ＝－6代入y 2＝－12x ，得y ＝±62，所以满足条件的点为(－6,62)或(－6，－62)．合作探究类型1 求抛物线的标准方程例1 解：(1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y ．(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y ． (3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y ．(4)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x ．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x ．跟踪训练 1．【答案】D类型2 抛物线的定义的应用例2 解：(1)设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由p2＋3＝5得p ＝4，因此抛物线方程为x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2，由m 2＝24得m ＝±26． (2)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF | ＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AB | ＝4＋1＝5． 此时y P ＝2， 代入抛物线得x P ＝1， ∴P (1,2)．(3)设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y ． 跟踪训练2．(1)【答案】A【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，∴点P 到准线x ＝－12的距离d ＝|PF |，易知点A (0,2)在抛物线y 2＝2x 的外部， 连接AF ，交y 2＝2x 于点P ′，欲使所求距离之和最小，只需A ，P ′，F 共线，∴其最小值为 |AF |＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172． (2)解：由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． 类型3 抛物线的实际应用 [探究问题][提示] 以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．例3 解：如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y ．∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54．又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h ＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航． 跟踪训练3．解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A (10，－2)． 设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)， 则102＝－2p ×(－2)，所以p ＝25，所以抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2．若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时， y ＝－150×82＝－1．28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1．28)，此时B 点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)． 而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4．72＝0．28(米)，0．28÷0．04＝7， 150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔．课堂检测1．【答案】A【解析】∵14＋x 0＝54x 0，∴x 0＝1．2．【答案】12【解析】将抛物线y ＝mx 2(m >0)的方程化为标准方程是x 2＝1m y ，所以其焦点是⎝⎛⎭⎫0，14m ，因为抛物线y ＝mx 2(m >0)的焦点与椭圆4y 29＋x 22＝1的一个焦点重合，因此94－2＝⎝⎛⎭⎫14m 2，解得m ＝12． 3．【答案】4【解析】把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4．4．解：因为焦点在直线3x －5y －36＝0上，且抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴， 所以焦点A 的坐标为(12,0)或⎝⎛⎭⎫0，－365． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，求得p ＝24，所以此抛物线方程为y 2＝48x ； 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，求得p ＝725，所以此抛物线方程为x 2＝－1445y ． 综上所求抛物线方程为y 2＝48x 或x 2＝－1445y ．。
2023年最新的抛物线的定义及其标准方程教学设计案例5篇
2023年最新的抛物线的定义及其标准方程教学设计案例5篇抛物线的定义及其标准方程教学设计案例5篇抛物线的定义及其标准方程教学设计案例(1)[文件] sxgjieja0004.doc[科目] 数学[年级] 高中[章节][关键词] 抛物线/标准方程[标题] 抛物线的定义及其标准方程[内容]抛物线的定义及其标准方程教学目标1.使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题.2.通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明.3.培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题.教学重点与难点抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点.教学过程师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义.生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e ＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线.(计算机演示动画——图2-45)(1)不防设定点F到定直线l的距离为p.(2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的形状的变化规律.同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础.师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的大胆地猜一猜!(可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示.)师：同学的猜测对不对呢请同学看屏幕.(图2-46)我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1的点的轨迹.师：你见过这种曲线吗(抛物线)这就是我们这节课主要的研究对象.(师板书课题——抛物线的定义及其标准方程)师：能否给抛物线下个定义生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线.师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.师：它的方程是什么样子呢我们可以预先做一个估计.如图2-47(1)，椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：x2a2+y2b2=1.如图2-47(2)，双曲线的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：x2a2-y2b2=1.在方程中都仅有x、y的二次项.当e=1时，图形变成了开口的一支，从而丧失了关于y轴和原点的对称性，那么方程将会发生怎样的变化生；在方程中，一定会失去x2项，而且会出现x的一次项，(否则方程变成y2=b2，它表示直线.)所以方程应为Ay2+Bx+C=0的形式.师：同学的猜测对不对呢可否从理论上给予说明生：建立直角坐标系.师：如何建立学生甲：取经过定点F且垂直于定直线l的直线为x轴，设x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，设所求轨迹上一点坐标为M(x,y).师：点M满足什么条件生：到定点F的距离和到定直线l的距离的比是1.师：这些条件能否转化成点M的坐标所满足的条件生：由于｜KF｜=p，故点F的坐标为：(p/2,0)，直线l的方程为：x=-p/2，由条件可得： =｜x+p/2｜.请同学化简上试，并通过投影展示演算过程，得：y2=2px.(1)师：显然符合预想的形式.这个方程就叫作抛物线的标准方程.在你以往的学习过程中，是否见到过类似这种形式的方程生：二次函数的表达式.师：若将x与y换个位置，它就是缺少一次项和常数项的二次函数，而曲线的形状也与抛物线完全一致.师：由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况.(计算机演示——图2-49)师：请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由.观察图形，分辩这些图有何相同点和不同点.生：共同点有：①原点在抛物线上.②对称轴为坐标轴.③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一.不同点：①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2，右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是x2，右端是2py.②开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程右端取正号.开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的负半轴上，方程右端取负号.师：作为应用，请同学们看下面的例题.(展示投影)例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程.(1)解根据题意可得：2p=6,故p=3，所以焦点坐标为(32,0)，准线方程为x=-32(2)分析要求抛物线的标准方程，需①确定焦点在y轴的负半轴上，②求出p值.解因为焦点在y轴的负半轴上，并且p/2=2,p=4，所以它的标准方程是：x2=-8y.例2 经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1,y2.求y1·y2的值.(计算机演示图表——图2-49)师：首先弄清题意——条件有哪些求什么如何求生：已知y1, y2是交点的纵坐标，要求y1·y2，可将x=p/2代入方程求解. (师板书)解将x=p/2代入抛物线方程得交点的纵坐标分别为-p和p故y1·y2=-p2.师：还有其他办法吗可否根据抛物线的定义生：如图2-50，根据抛物线的定义，｜AF｜=｜BF｜=｜AM｜=p，故y1·y2=-p2.引申1：上例中若缺少“垂直于x轴”的条件，结果怎样(计算机演示动画——图2-51)师：由于缺少垂直的条件，上例中的方法均不适用了.怎样求交点坐标生：只需求直线方程与抛物线方程的公共解.师：如何建立直线方程生：利用点斜式.(请同学自行写出解题过程，并利用投影仪展示解题过程.)解设直线方程为：y=k(x-p/2).与抛物线方程联立，消去x可得：y2-2p/k-p2=0，故：y1·y2=-p2.引申2：以AB为直径的圆和准线具有怎样的位置关系(计算机演示动画——图2-52)学生乙：以AB为直径的圆和准线相切.师：能否给予证明这作为思考题，请同学们课下完成.师：请同学小结这节课的内容.(抛物线的定义：p的几何意义；标准方程的4种形式.)作业：课本第98页习题八：1，2.设计说明1.关于教学过程(1)由于抛物线的定义是本章的主要内容之一，因而将它作为教学目标之一.(2)MM教学方式在课堂教学中十分重视的一个方面就是合情推理方法的运用，逻辑思维能力的提高以及良好个性品质的培养.这对于提高学生的一般科学素养，形成和发展他们的数学品质，必将起着十分重要的作用，因而制定了目标2.(3)按照大纲的要求，在教学中培养学生运用数学思想方法解决有关问题，据此制定了目标3.2.关于教学重点为实现教学目标，把充分展现抛物线的定义及标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成的过程作为本节课的重点.3.关于教学方法按照MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，提高能力、增长才干，采用启发式.4.关于教学手段利用计算机辅助教学，演示图形的动态变化过程，弥补传统教学手段(如投影片、模型等)的不足之处.(1)在新课引入部分，通过动画演示，使学生充分理解并且掌握3种圆锥曲线的统一定义，以及曲线形状变化与常数e的大小之间的关系.(2)在抛物线定义的引入部分，利用电脑精确测算“两个距离”，以及动点M 的任意选取，充分展示了满足条件的点的轨迹，避免了传统教学中此处的生硬与牵强.(3)在例2及引申中也采用动画演示，弥补了投影片无法实现的动态效果.5.关于教学过程(1)复习内容的确定，旨在通过联想，为运用类比方法探索抛物线的定义奠定基础.(2)通过引导学生观察椭圆、双曲线图形的变化规律，类比、联想、进而猜想出e=1时轨迹形状是抛物线，然后进行推理证明.即通过既教猜想、又教证明这一MM可控变量的操作，旨在揭示科学实验的规律，从而暴露知识的形成过程，体现科学发现的本质，培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神等个性品质.(3)学以致用是教学的主要目标之一，在例题求解过程中，运用波利亚一般解题方法，培养学生合理的思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的工作习惯.(4)让学生小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力.(北京市陈经纶中学黎宁)抛物线的定义及其标准方程教学设计案例(2)高二数学《抛物线的定义及其标准方程》教学设计设计: 曾庆华上杭二中点评: 范慧芝龙岩二中一、概述· 高二年数学选修1-1· 选修1-1第2章《圆锥曲线与方程》· 第3节《抛物线的定义与标准方程》·本节对拋物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美。
3.3.1 抛物线及其标准方程 导学案正文
3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程【学习目标】1.会识别抛物线的定义和相关概念,知道二次函数的图象符合抛物线的定义,能初步应用抛物线定义解决一些简单问题.2.能根据抛物线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据抛物线定义的代数表达类比导出抛物线的标准方程.3.能识别焦点在不同坐标轴上的抛物线的四种标准方程,能说出标准方程中一次项系数的意义.4.能初步应用抛物线定义和标准方程解决一些关联问题.◆知识点一抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的,直线l叫作抛物线的.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线的焦点到准线的距离是p(p>0).( )(2)抛物线上一点到焦点的距离与到准线的距离的比值为1.( )(3)抛物线的焦点可以在准线上.( )(4)平面内与定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线.( )◆知识点二抛物线的标准方程标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标准线方程p的几何意义焦点到准线的距离【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线的方程都是二次函数.( )(2)抛物线的原点到准线的距离是p(p>0).( )(3)抛物线的开口方向由方程中的一次项确定.( )(4)方程y=ax2(a≠0)是抛物线的标准方程.( )◆探究点一抛物线的定义及应用例1 (1)一动圆过点A(1,0)且与直线:x=-1相切,则该动圆圆心的轨迹为( )A.抛物线B.椭圆C.直线D.圆(2)抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离是10,则点P的坐标为.变式 (1)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=5x0,则x0=( )4A.1B.2C.4D.8(2)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,直线l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则P到直线l1,l2的距离之和的最小值为( )A.2√2B.4+1C.√2D.3√22[素养小结]利用抛物线的定义可以解决以下两类问题:(1)点的轨迹问题:利用抛物线的定义求解点的轨迹方程,关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件.(2)抛物线的焦半径问题:利用抛物线的定义,对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化,解决与抛物线有关的最大(小)值问题,解题时要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短、三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线垂线段最短等.拓展 (1)已知点P是抛物线y2=-4x上的一个动点,则点P到点M(0,2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )A.3B.√172C.√5D.92(2)已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为,取得最小值时点P的坐标为.◆探究点二求抛物线的标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)焦点到准线的距离是4;(2)焦点在y轴上,且经过点(-1,-3);(3)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.变式 (1)焦点在直线2x+5y-10=0上的抛物线的标准方程为( )A.y2=10x或x2=4yB.y2=-10x或x2=-4yC.y2=20x或x2=8yD.y2=-20x或x2=-8y(2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上一点M(x0,x0)(x0≠0)满足|MF|=5,则抛物线C的方程为.[素养小结](1)求抛物线的标准方程要注意确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数.(2)求抛物线的标准方程的方法:①直接法,建立恰当的坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程;②直接根据定义求p,然后写出标准方程;③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程(组)求系数.◆探究点三抛物线的实际应用问题例3如图,某河道上有一抛物线形拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面9 m,拱圈内水面宽30 m,一条船在水面以上部分高7 m,船顶部宽6 m.(1)试建立适当的平面直角坐标系,求拱桥所在的抛物线的标准方程.(2)近日水位暴涨了2.46 m,为此,必须加重船载,降低船身,才能安全通过桥洞,则船身至少应降低多少(精确到0.1 m)?变式青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体,具有“温润”“淡远”“清新”的特征.如图,已知碗体和碗盖内部的轴截面均近似为抛物线的一部分,碗盖深为3 cm,碗盖口直径为8 cm,碗体口直径为10 cm,碗体深6.25 cm,则盖上碗盖后,碗盖内部的最高点到碗底的垂直距离为(碗和碗盖的厚度忽略不计)( )A.5 cmB.6 cmC.7 cmD.8.25 cm[素养小结]求解抛物线实际应用题的五个步骤(1)建系:建立适当的坐标系.(2)假设:设出合适的抛物线的标准方程.(3)计算:通过计算求出抛物线的标准方程.(4)求解:求出所要求出的量.(5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.。
高中数学《抛物线及其标准方程》导学案
2．4.1抛物线及其标准方程1．抛物线的定义□01平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.□02点F叫做抛物线的焦点，□03直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．()(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．()答案(1)√(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为________________；准线方程为__________________．(2)若抛物线的方程为x＝2ay2(a>0)，则焦点到准线的距离p＝________.(3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为___________________________．(4)(教材改编P67T3(2))抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是________．答案(1)(1,0)x＝－1(2)14a(3)x2＝8y(4)(4，±4)解析(4)设P点的坐标为(x0，y0)，由题意得x0＋1＝5，x0＝4，∴y20＝16，y0＝±4，∴P点坐标为(4，±4)．探究1抛物线的标准方程例1求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．[解] (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)，则将点(－3,2)代入方程得2p＝43或2p＝92，∴所求的抛物线方程为y2＝－43x或x2＝92y.(2)当焦点在y轴上时，令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2，∴抛物线的焦点为F(0，－2)，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则由p2＝2得2p＝8，∴所求抛物线方程为x2＝－8y；当焦点在x轴上时，同理得y2＝16x.[条件探究] 如果把例1(1)中的“点(－3,2)”改为“点(1,2)”如何解答？解解法一：点(1,2)在第一象限，要分两种情形：当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则22＝2p·1，解得p＝2，抛物线方程为y2＝4x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，则12＝2p·2，解得p＝14，抛物线方程为x2＝12y.解法二：设所求抛物线的标准方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点(1,2)代入，得m＝4，n＝12.故所求的方程为y2＝4x或x2＝12y.拓展提升求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，利用已知条件求出m，n的值，进而写出抛物线的标准方程．【跟踪训练1】根据下列条件，求抛物线的标准方程：(1)焦点到准线的距离是4；(2)准线方程为y＝2 3.解(1)p＝4，抛物线的标准方程有四种形式：y2＝8x，y2＝－8x，x2＝8y，x2＝－8y.(2)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且p2＝23，则p＝43，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－83y.探究2抛物线的定义及其应用例2(1)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B．1 C.54 D.74(2)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8(3)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标．[解析] (1)∵y 2＝x 的准线方程为l ：x ＝－14，由题意得|AF |，|BF |分别为A ，B 到准线l 的距离d 1，d 2(如图所示)．则线段AB 的中点到准线的距离d ＝d 1＋d 22＝32， ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为d ＝32－14＝54.故选C.(2)由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.(3)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号．∴(|P A |＋|PF |)min ＝|AB | ＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线方程得x P ＝2， ∴P 点坐标为(2,2)．[答案] (1)C (2)A (3)见解析[结论探究] 如果例2(3)的问题改为“求点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值”，如何解答？解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离．由图可知，当点P ，A (0,2)，和抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0三点共线时所求距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋(2－0)2＝172. 拓展提升抛物线的定义及应用抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线的定义解决最值问题及其他问题的实质．【跟踪训练2】 已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2 D.322＋1 答案 A解析 将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为P 到焦点F (1,0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A.探究3 与抛物线有关的轨迹问题例3 已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 与圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．[解] 解法一：设点P 的坐标为(x ，y )，动圆P 的半径为r ，由条件知|AP |＝r ＋1，即(x ＋2)2＋y 2＝|x －1|＋1，化简，整理得y 2＝－8x .解法二：如图，设动圆P 的半径为r ，作PK 垂直直线x ＝1，垂足为K ，PQ 垂直直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，所以|PQ |＝r ＋1，又|AP |＝r ＋1，所以|AP |＝|PQ |，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等，所以点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线．∴p2＝2，∴p ＝4，∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .拓展提升利用定义求轨迹的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．【跟踪训练3】 平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．解 解法一：设P 点的坐标为(x ，y )，则有(x －1)2＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简得y 2＝2x ＋2|x |.所以y 2＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，0，x <0，即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．解法二：由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x <0时，直线y ＝0上的点适合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x <0)． 探究4 抛物线方程的实际应用例4 “中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD 8D 1和其上方的抛物线D 1OD 8(部分)组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知AB ＝44 m ，∠A ＝45°，AC 1＝4 m ，C 1C 2＝5 m ，立柱C 2D 2＝5.55 m.(1)求立柱C 1D 1及横梁D 1D 8的长；(2)求抛物线D 1OD 8的方程和桥梁的拱高OH . [解] (1)由题意知，∠A ＝45°，AC 1＝4 m ， 则C 1D 1＝4 m.因为ABD 8D 1是等腰梯形，由对称性知， AH ＝HB ＝12AB ＝12×44＝22 m ， AC 1＝C 8B ＝4 m ，C 1H ＝12C 1C 8＝12(AB －AC 1－C 8B )＝12×(44－4－4)＝12×36＝18 m. 所以D 1D 8＝C 1C 8＝36 m.(2)由(1)知点D 1的横坐标为－18， 则D 2的横坐标为－(18－5)＝－13， 设D 1，D 2点的纵坐标分别为y 1，y 2， 由图形知|y 1－y 2|＝|5.55－4|＝1.55.设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，将点D 1，D 2代入，得⎩⎪⎨⎪⎧(－18)2＝－2py 1，(－13)2＝－2py 2，两式相减得2p (y 2－y 1)＝182－132＝155， 解得2p ＝100，故抛物线方程为x 2＝－100y .因此，当x ＝－18时，y ＝－1100x 2＝－1100×324＝－3.24 m ，故|y 1|＝3.24 m ， 所以桥梁的拱高OH ＝3.24＋4＝7.24 m.拓展提升求解抛物线实际应用题的五个步骤(1)建系：建立适当的坐标系．(2)假设：设出合适的抛物线的标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出所要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．【跟踪训练4】 喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5 m ，且与OA 所在的直线相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？解 如图所示，建立直角坐标系，设B 点坐标为(0,0)，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，因为点A(－4，y0)在抛物线上，，所以16＝－5y0，即y0＝－165所以OA的长为5－16＝1.8 m.5所以管柱OA的长为1.8 m.探究5与抛物线有关的最值问题例5已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|P A|的值最小．[解] ∵(－2)2＜8×4，∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B.由抛物线的定义可知，|PF|＋|P A|＝|PQ|＋|P A|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|.∵A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|P A|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12.故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.拓展提升解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如：两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等．【跟踪训练5】 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)答案 A解析 点Q (2，－1)在抛物线内部，如图所示．由抛物线的定义知，抛物线上的点P 到点F 的距离等于点P 到准线x ＝－1的距离，过Q 点作x ＝－1的垂线，与抛物线交于点K ，则K 为所求，当y ＝－1时，x ＝14，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.1.根椐抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p 的几何意义，求出焦点坐标和准线方程.2.抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p ，最后写出标准方程.(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值.1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(4,0)D ．(－4,0) 答案 A解析 由抛物线的方程为x 2＝8y 知，抛物线的焦点在y 轴正半轴上，所以2p ＝8，p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)．故选A.2．若动点P 到定点F (1,1)的距离与它到定直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线 答案 D解析 解法一：设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意得，(x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|10， 整理得x －3y ＋2＝0，∴动点P 的轨迹为直线．故选D.解法二：∵点F (1,1)在直线3x ＋y －4＝0上，∴动点P 的轨迹为过点F 且垂直于直线l ：3x ＋y －4＝0的直线．3．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.116 B.1516 C ．1 D.1716 答案 B解析 抛物线y ＝4x 2的标准方程为x 2＝y 4，其准线方程为y ＝－116，由抛物线的定义知y M －⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝1，所以y M ＝1516.4．若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________． 答案 －18解析 把抛物线方程y ＝ax 2化为标准方程为x 2＝1a y ，所以－14a ＝2，a ＝－18. 5．设抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1的距离为3，求抛物线的方程． 解 当m >0时，准线方程为x ＝－m4， 由已知条件知1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝3，所以m ＝8.此时抛物线的方程为y 2＝8x ； 当m <0时，准线方程为x ＝－m4， 由已知条件知－m4－1＝3，所以m ＝－16，此时抛物线的方程为y 2＝－16x . 所以所求抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－16x .A 级：基础巩固练一、选择题1．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( ) A ．(8,8) B ．(8，－8) C ．(8，±8) D ．(－8，±8)答案 C解析 设P (x P ，y P )，因为点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，所以x P ＝8，y P ＝±8.故选C.2．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12 答案 C解析 因为点A 在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点为F (2,0)，所以k AF ＝3－0－2－2＝－34.3．抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M到该抛物线准线的距离为()A．1 B.32C．2 D.52答案D解析∵点P(2,22)在抛物线上，∴(22)2＝2m，∴m＝4.又P到抛物线准线的距离为2－(－1)＝3，F到准线距离为2，∴M到抛物线准线的距离为d＝3＋22＝52.4．已知F是抛物线y＝116x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF的中点E的轨迹方程是()A．x2＝8y－16 B．x2＝2y－1 16C．x2＝y－12D．x2＝2y－2答案A解析抛物线方程可化为x2＝16y，焦点F(0,4)，设线段PF的中点E的坐标为(x，y)，P(x0，y0)，则x0＝2x，y0＝2y－4，代入抛物线方程，得(2x)2＝16(2y－4)，即x2＝8y－16.故选A.5. 下图，南北方向的公路L，A地在公路正东2 km 处，B地在A北偏东60°方向2 3 km 处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等，现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B 修建公路的费用都为a万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是()A．(2＋3)a万元B．(23＋1)a万元C．5a万元D．6a万元答案C解析依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线L的距离即可．∵B地在A地北偏东60°方向2 3 km 处，∴B到点A的水平距离为3 km，∴B到直线L的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a万元．故选C.6．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为()A.522 B.522＋1C.522－2 D.522－1答案D解析设抛物线的焦点为F，过P作P A与准线垂直，垂足为A，作PB与l 垂直，垂足为B，则d1＋d2＝|P A|＋|PB|－1＝|PF|＋|PB|－1，显然当P，F，B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上)时，d1＋d2取得最小值，最小值为522－1.二、填空题7．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．答案2解析∵y2＝2px的准线方程为x＝－p2，由题意得，p2＋3＝4，∴p＝2.8．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,0)关于原点O对称．点P(x0，y0)在抛物线y2＝4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则x0＝________.答案1＋2解析∵点B与点A(－1,0)关于原点O对称，∴B(1,0)，根据题意，得y20x20－1＝2，又y20＝4x0，∴2x0＝x20－1，即x20－2x0－1＝0，解得x0＝2±82＝1±2，舍去负值，得x0＝1＋ 2.9．抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A ′，B ′，若四边形AA ′B ′B 的面积为48，则抛物线的方程为________．答案 y 2＝23x解析 因为抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入y 2＝2px (p >0)，整理得，x 2－7px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数之间的关系得，x 1＋x 2＝7p ，x 1x 2＝p 24，y 1－y 2＝33(x 1－x 2)，又四边形AA ′B ′B 是梯形，其面积为48，所以12(x 1＋x 2＋p )|y 1－y 2|＝48，即12(x 1＋x 2＋p )·⎪⎪⎪⎪⎪⎪33(x 1－x 2)＝36(x 1＋x 2＋p )·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48，解得p 2＝3，p ＝3或p ＝－3(舍去)，故抛物线的方程为y 2＝23x .三、解答题10．已知抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线的标准方程和准线方程．解 设所求的抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2. ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎨⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴m ＝±26，抛物线的方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.B 级：能力提升练1．已知圆C 的方程x 2＋y 2－10x ＝0，求与y 轴相切且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．解 设P 点坐标为(x ，y )，动圆的半径为R ， ∵动圆P 与y 轴相切，∴R ＝|x |.∵动圆与定圆C ：(x －5)2＋y 2＝25外切， ∴|PC |＝R ＋5. ∴|PC |＝|x |＋5.当点P在y轴右侧，即x>0时，|PC|＝x＋5，故点P的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；当点P在y轴左侧，即x<0时，|PC|＝－x＋5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程y＝0(x<0)．故点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．2．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程．解设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则其准线为x＝－p2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵|AF|＋|BF|＝8，∴x1＋p2＋x2＋p2＝8，即x1＋x2＝8－p.∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，即(6－x1)2＋(－y1)2＝(6－x2)2＋(－y2)2.又y21＝2px1，y22＝2px2，∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线的方程为y2＝8x.。
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抛物线及其标准方程学
案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2.4.1抛物线及其标准方程
【学习目标】
掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程． 【自主学习】
1. 抛物线定义： ． 2．推导抛物线的标准方程：
如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p （p >0）,那么焦点F 的坐标为
)0,2(p ，准线l 的方程为2p
x -=，（自己完成推导过程）
（1）它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴
上，焦
点坐标是F （
2p ,0），准线方程是2
p
x -= （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情
况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式．
3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=p
（p >0），则抛物线的标准方程如下：
按要求填写下表：
比较四种标准方程的异同： 相同点： 不同点： 【自主检测】
1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是 （ ） (A) （0，
41） (B) （0，81） (C) （21，0） (D) （4
1
，0） 2．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是 ． 【典型例题】
例1求下列抛物线方程的焦点坐标和准线方程．
（1）y 2＝12x ， （2）y ＝12x 2，
例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F （－5，0）,
（2）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上．
【课堂检测】
1．抛物线24x y 上一点M 的纵坐标为4,则点M 与抛物线焦点的距离为 .
2.已知抛物线方程是2
y ，求它的焦点坐标和准线方程．
6x。