新疆维吾尔自治区2020年普通高考第一次适应性检测理科数学(问卷)(word版含答案)
新疆维吾尔自治区2020年普通高考第一次适应性检测
理科数学（问卷）
第I 卷选择题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知复数z = cos23° + isin23°(i 为虚数单位),则z z ⋅=( )
A. cos46°
B. sin46°
C. cos45°
D. tan45°
2.已知集合1{1,0,1},{|
0}1x A B x x +=-=≤-，则A∩B=( ) A. {0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1}
3.已知函数f(x)= xlnx ,则f(x )的导函数()' y f x = 的图像为( )
4.已知向量a , b 的夹角为120°,且|a |=1 ,|b |=2,则向量a +b 在向量a 方向上的投影为( )
A.0 .3B C.-3 .3D
5.已知12F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点,P 为双曲线上一点2,PF 与x 轴垂直,1230,PF F ︒
∠=且焦距为23,，则双曲线的渐近线方程为( ) .3A y x = .2B y x = C.y= ±2x D.y= ±3x
6.△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c,且tan 3cos 3cos ,c C a B b A =
若7,4,c a ==则b 的值为( )
A.6
B.2
C.5 .2D 7.已知甲、乙、丙、丁四人各自去过阿勒泰、伊宁、喀什、库尔勒中的某一城市，且每个城市只有一人去过,四人分别给出了以下说法:
甲说:我去过阿勒泰;
乙说:丙去过阿勒泰;
丙说:乙、丁均未去过阿勒泰;
丁说:我和甲中有一人去过阿勒泰.
若这四人中有且只有两人说的话是对的，则去过阿勒泰的是()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
8.我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》,秦九韶的《数书九章》,李冶的《测圆海镜》和《益古演段》,杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》,朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰.某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为( )
5.18A 1.2B 5.9C 7.9
D 9.在正方体1111ABCD A B C D -中,
E 为棱1CC 上一点且12,CE EC =则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为
( )
44A
22B
.44C
11
D 10.函数f(x)=cos(2x + φ)(0<φ<π)在区间[,]66ππ-单调递减,在区间(,0)6
π-)内有零点,则φ的取值范围是( ) .[,]62A ππ 25.(,)36B ππ 2.(,]23C ππ .[,)32
D ππ 11.已知函数f(x+2)(x ∈R )为奇函数，且函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当x ∈[0,1]时,
(),2020x f x =则f( 2020)=( )
A.2020 1.2020B 1.1010C D.0
12.已知F 是椭圆E:22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P,Q 两点, 若|PF|=3|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E 的离心率为
( )
A 1.2B
C
D 第II 卷非选择题
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡对应的横线上，答错位置,书写不清，模棱两可均不得分.)
13.函数y=x(2x-a)在点(1,1)处的切线方程为3x +by-c=0,则b +c=____
14.设x 、y 满足约束条件360,20,,00
x y x y x x --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则目标函数z=2x + y 的最大值为____ 15.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,已知△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，∠ABC=∠BCD= 90°,AB=a,BC=b, CD=c,且222
1,a b c ++=，则鳖臑A-BCD 的外接球的表面积为____
16.已知函数2()2
ln x
e f x k x kx x
=-+,若x=2是函数f(x)的唯一极值点,则实数k 的取值集合是_____ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤)
17. (本小题满分12分)
已知等比数列{}n a 的前n 项和,n S 且2124,S a a =是11a +与
312a 的等差中项. (1)求n a 和;n S
(II )若,n n n n n a b S S s =
⋅⋅求数列{}n b 的前n 项和.n T
18. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD 中,四边形ABCD 为梯形,且AB//DC,AB ⊥AD,平面PAD ⊥平面ABCD
(I)证明:平面PDC ⊥平面PAD;
(II)若1,2
PA PD AB DC PAD ==
=∠=60°,求一面角A-PB-C 的余弦值.
19. （本小题满分12分）
某商场春节期间推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满300元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置。
若指针停在区域I 返券60元；停在区域II 返券30元；停在区域III 不返券。
例如：消费600元，可抽奖2次，所获得的返券金额是两次金额之和.
（I ）若某位顾客消费300元，求返券金额不低于30元的概率；
（ II ）若某位顾客恰好消费600元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）。
求随机变量X 的分布列和数学期望。
20. (本小题满分12分)
已知函数()(ln )()f x x x ax a =-∈R .
( I )若a=1,求函数f(x)的图象在点(1 ,f(1))处的切线方程;
(II )若函数f(x)有两个极值点;12,x x 、且12,x x <求证:1()0f x <且
21().2
f x >-
21. (本小题满分12分) 椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>中,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB 的面积为1,|| 5.AB = ( I )求椭圆C 的方程;
(II)设P 是椭圆C 上一点，12F F 、是椭圆的左右两个焦点,直线12F F P P 、分别交x=4于M 、N,是否存在点P,使125PMN F F P S S ∆=V 若存在,求出P 点的横坐标若不存在,请说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22. (本小题满分10分)[选修4- 4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系:xOy 中曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数),M 是1C 上的动点,P 点满3,OP OM P =u u u r u u u u r 点的轨迹为曲线2.C
(I)求2C 的参数方程;
(II)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线y =与1C 的异于极点的交点为A,与2C 的异于极点的交点为B,将曲线12C C 、的方程转化为极坐标方程后,求|AB|.
23. (本小题满分10分)[选修4- 5:不等式选讲]
已知函数()|21|||,() 2.f x x x m g x x =-++=+
( I )当m=-1时,求不等式f(x)<3的解集;
(II)当1[,
)2
x m ∈-时f(x)<g(x),求m 的取值范围。
新疆维吾尔自治区2020届高三年级适应性检测理科数学(问卷)(word版含答案)
新疆维吾尔自治区高三年级适应性检测理科数学(问卷)(卷面分值:150分;考试时间:120分钟)第I 卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出得四个选项中只有一项就是符合题目要求得、1、已知全集U=R ,集合2{|340},{|A x x x B x =--<=x-1≤0},则集合U A B ⋂=ð A 、 {x|-4<x<1}B 、 {x|-1<x≤1}C 、 {x|-1<x<4}D 、 {x|1<x<4} 2、若复数312z i =+( i 表示虚数单位),则复数z 在复平面内对应得点位于 A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 3、若1sin(),(,0),232ππαα+=∈-则tanα(cos2α+1)= 8.9A - 42.B - 42.C 8.9D 4、设x,y 满足约束条件2330,2330,10,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则z=x+y 得最大值就是A 、 -4B 、1C 、2D 、4 5、已知lg ,0(),0x x x f x a b x ->⎧=⎨+≤⎩且f(0)=3,f(-1)=4,则f(f(-3))= A 、 -1B 、-lg3C 、0D 、1 6、一个几何体得三视图如图所示,若这个几何体得体积为205,则该几何体得外接球得表面积为A 、36πB 、64πC 、81πD 、100π7、下面四个条件中,就是a> b 成立得充分而不必要得条件为A 、 ac> bcB 、 a>b-1 33.C a b >D 、22log log a b >8、已知12,A A 分别就是双曲线C 2222:1x y a b -=得左,右顶点, F 为左焦点,以12A A 为直径得圆与双曲线C 得两条渐近线在x 轴上方,从左至右依次交于M,N 两点,若//FMON ,则该双曲线得离心率为 A 、 2 B 、223.3C 6.2D 9、正方形ABCD 中,M,N 分别就是BC,CD 得中点,若,AC AM BN λμ=+u u u r u u u u r u u u r 则λ+μ= 6.5A 8.5B C 、2 8.3D 10、函数f ()cos()(0,)22x A x ππωϕωϕ=+>-<<得部分图象如图中实线所示,图中圆C 与f(x)得图象交于M,N 两点,且M 在y 轴上,则下列说法中正确得就是A 、函数f(x)得最小正周期就是2πB 、函数f(x)得图象关于点5(,0)3π成中心对称 C 、函数f(x)在5(,)1212ππ-单调递增 D 、将函数f(x)得图象向左平移3π后得到得关于y 轴对称 11、蜂巢就是由工蜂分泌蜂蜡建成得从正面瞧,蜂巢口就是由许多正六边形得中空柱状体连接而成,中空柱状体得底部就是由三个全等得菱形面构成,菱形得一个角度就是109°28',这样得设计含有深刻得数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢得结构著有《谈谈与蜂房结构有关得数学问题》、用数学得眼光去瞧蜂巢得结构,如图,在六棱柱ABCDEF A B C D E '''''-得三个顶点A,C,E 处分别用平面BFM,平面BDO,平面DFN 截掉三个相等得三棱锥M-ABF, O- BCD, N-DEF,平面BFM,平面BDO,平面DFN 交于点P,就形成了蜂巢得结构、如图,设平面PBOD 与正六边形底面所成得二面角得大小为θ,则有:A 、3tan tan 5444'θ︒=B 、3sin tan 5444θ︒'=C 、3cos tan 54443θ︒'=D 、以上都不对12、已知()cos ()2x xe ef x x x -+=+∈R ,∀x ∈[1,4],f (mx- lnx-2)≤2f(2)-f(2+ lnx- mx),则实数m 得取值范围就是ln 21ln 2.[,]22A + 1ln 2.[,1]2B e + C 、ln 2ln 2,122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 11ln 2.[,]2D e + 第II 卷(非选择题共90分)本卷包括必考题与选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答、第22~23题为选考题,考生根据要求作答、二、填空题:本大题共4小题,每小题5分、13、二项式5()a x x+得展开式中x 得系数为10,则a=_____、 14、根据公共卫生传染病分析中心得研究,传染病爆发疫情期间,如果不采取任何措施,则会出现感染者基数猛增,重症挤兑,医疗资源负荷不堪承受得后果、如果采取公共卫生强制措施,则会导致峰值下降,峰期后移、如图,设不采取措施、采取措施情况下分别服从正态分布N(35,2),N(70,8),则峰期后移了____天, 峰值下降了____% (注:正态分布得峰值计算公式为2πσ)15、如图,椭圆C 2222:1(0)x y a b a b+=>>,与两条平行直线1l :y=x+b,2:l y=x-b 分别交于四点A,B,C,D,且四边形ABCD 得面积为23,b 则直线AD 得斜率为___16、在△ABC 中,已知AB=6,∠A= 60°,BC 边上得中线19,AD =则sin B=___、三、解答题:第17~21题每题12分,解答应在答卷得相应各题中写出文字说明,证明过程或演算步骤。
新疆普通高中高考数学第一次适应性检测试卷理(含解析)
理科数学注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若函数，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解不等式得集合M,N，再利用集合的补集和交集的定义求解即可.【详解】由，解得.所以.由，解得.所以.则所以.故选A.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.2.设复数：（是虚数单位），的共轭复数为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据共轭复数的概念和复数的除法运算得到结果即可.【详解】复数：（是虚数单位），的共轭复数为，则故答案为：B.【点睛】这个题目考查了复数的运算涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．3.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据原题得到，通过同角三角函数关系得到，进而得到结果.【详解】根据条件得到已知，根据同角三角函数关系得到或，因为，，0< ,故得到.代入原式得到.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了给值求值的问题的解法，用到了用已知角表示未知角，应用到了同角三角函数关系.这类题常常会涉及到缩角问题，一般通过三角函数值的正负或者和具体的三角函数值比较得到结果.4.已知点，为坐标原点，点是圆：上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设Q（m，n），则m2+n2＝1，由向量垂直的条件，以及向量的加法及模的公式，即可得到所求值．【详解】设Q（m，n），则m2+n2＝1，由，即（m，n）=0，则，即有m﹣n＝﹣1，故答案为：【点睛】本题考查向量加减和数量积，模的运算，考查运算能力，属于基础题．5.函数的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数表达式得到函数为奇函数，再由特殊点排除选项即可。
2020年新疆高考数学一模试卷(理科)(问卷) (含答案解析)
2020年新疆高考数学一模试卷(理科)(问卷)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=1−i(1+i)2(i为虚数单位)，则z−=()A. −12−12i B. 12−12i C. −12+12i D. 12+12i2.已知集合A={0,1，2，3，4，5}，B={x|x2−x−2≤0}，则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1，2}C. {−1,0，1}D. {0,1}3.若函数f(x)的导函数的图像关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()A. f(x)=3cosxB. f(x)=x3+x2C. f(x)=1+sin2xD. f(x)=e x+x4.已知向量m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为()A. √13B. 8C. 8√55D. 8√13135.已知双曲线C:x2a2−y24=1的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于()A. 1B. 13C. 4或10D. 1或136.7.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，若(a2+c2−b2)tanB=√3ac，则角B的值为()A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π37.某珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌被拘审，四人的口供如下：甲：作案的是丙；乙：丁是作案者；丙：如果我作案，那么丁是主犯；丁：作案的不是我．如果四人口供中只有一个是假的，那么以下判断正确的是()A. 说假话的是甲，作案的是乙B. 说假话的是丁，作案的是丙和丁C. 说假话的是乙，作案的是丙D. 说假话的是丙，作案的是丙8.书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，取出的恰好都是数学书的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 169.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AB1D=π6，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. √33B. √32C. √36D. √6610.函数f(x)=2sin(2x−π6)的一个单调递减区间是()A. (−π3,π6) B. (π6,2π3) C. (π3,5π6) D. (π2,π)11.若对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x+2013)=−f(x+2012)，且f(2013)=−2013，则f(0)=()A. 1B. −1C. 2013D. −201312.已知F1，F2是椭圆与x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，且满足|AF1|=2|BF1|，|AB|=|BF2|，则该椭圆的离心率是()A. 12B. √33C. √32D. √53二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=ex−e，则f′(1)=______ ．14.若x，y满足约束条件{y≥2xy≥−2xx+y≤2，则z=−x+y的最大值为_________．15.在四面体P−ABC中，PA=PB=PC=1，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°则该四面体P−ABC的外接球的表面积为______ ．16.已知函数f(x)=e xx+k(lnx−x)，若x=1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列的前n项和为S n，且S4=30，，的等差中项为10．(1)求数列的通项公式；(2)求．18.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PB=PD．(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若PA与底面ABCD所成的角为30∘，PA⊥PC，求二面角B−PC−D的正弦值．19.五一节期间，某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券．(假定指针等可能地停在任一位置，指针落在区域的边界时，重新转一次)指针所在的区域及对应的返劵金额见表．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．(1)已知顾客甲消费后获得n次转动转盘的机会，已知他每转一次转盘指针落在区域边界的概率为p，每次转动转盘的结果相互独立，设ξ为顾客甲转动转盘指针落在区域边界的次数，ξ的数学期望Eξ=125，方差Dξ=992500，求n、p的值；(2)顾客乙消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为η(元).求随机变量η的分布列和数学期望．20.已知函数f(x)=1x−alnx(a∈R).当a=−1时，(1)求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；(2)设g(x)=xf(x)−1，求函数g(x)的极值；21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，△AF1F2是斜边长为2√2的等腰直角三角形．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同两点P，Q．(ⅰ)当m=1时，求线段PQ的长度；(ⅰ)是否存在m，使得S△OPQ=43？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．22.已知直线l：x−√3y=0与曲线C：x2+(y−3)2=9，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；(2)将直线l绕极点O逆时针方向旋转30°，得到的直线lˈ，这两条直线与曲线C分别交于异于极点的P，Q，两点，求△OPQ的面积．23.已知函数f(x)=|x+1|+|x−2|−m．(1)当m=5时，求f(x)>0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵z =1−i(1+i)2， ∴z(1+i)2=1−i ， ∴2zi =1−i ，则−2z =i(1−i)=1+i ， ∴z =−12−12i ，则z −=−12+12i ． 故选：C ．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2.答案：B解析：解：B ={x|−1≤x ≤2}； ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：B ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 本题考查交集的运算，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查由部分图象确定其解析式，先对逐项求导数，根据导函数的图象来判断即可． 解：A 项中，f′(x)=−3sinx ，是奇函数，图像关于原点对称，不关于y 轴对称； B 项中，f′(x )=3x 2+2x =3(x +13)2−13，其图像关于直线x =−13对称；C 项中，f′(x)=2cos2x ，是偶函数，图像关于y 轴对称；D项中，f′(x)=e x+1，由指数函数的图像可知该函数的图像不关于y轴对称．故选C．4.答案：D解析：本题考查平面向量的数量积的坐标运算、向量的投影定义，考查运算能力，属于基础题．求出m⃗⃗⃗ ，n⃗的数量积和n⃗的模，再由m⃗⃗⃗ 在n⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗ ·n⃗⃗|n⃗⃗ |，代入数据计算即可得到．解：m⃗⃗⃗ =(1,2)，n⃗=(2,3)，，则m⃗⃗⃗ ·n⃗=1×2+2×3=8，|n⃗|=√22+32=√13，则向量m⃗⃗⃗ 在向量n⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗ ·n⃗⃗|n⃗⃗ |=√13=8√1313．故选D．5.答案：D解析：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|.解：由双曲线的渐近线方程可得2a =23，∴a=3，由双曲线的定义可得||PF2|−7|=2a=6，∴|PF2|=1或13，故选：D．6.答案：D解析：本题考查正余弦定理的应用，属于基础题目．化简所给条件得出(a2+c2−b2)2ac =√32cosBsinB，由余弦定理得cosB=√32cosBsinB，最后求出角B即可．解：由(a2+c2−b2)tanB=√3ac∴(a2+c2−b2)2ac =√32cosBsinB，即cosB=√32cosB sinB∴sinB=√32，又在△中所以B为π3或2π3故选D．7.答案：B解析：本题主要考查了推理与论证，属于基础题．先判断乙和丁的口供相反，得到甲和丙的口供是真话，即可得到结果．解：由于乙和丁的口供相反，故假口供只可能是乙或丁，则甲的口供正确，故丙是作案者，丙的口供正确，故丁是主犯，故丁说的是假话．此时符合逻辑，即说假话的是丁，作案的是丙和丁．故选：B．8.答案：C解析：书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，基本事件总数n=C62=15，取出的恰好都是数学书，包含的基本事件个数为m=C32=3，由此利用等可能事件概率计算公式能求出取出的恰好都是数学书的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．解：书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，基本事件总数n =C 62=15，取出的恰好都是数学书，包含的基本事件个数为m =C 32=3，∴取出的恰好都是数学书的概率p =m n=315=15．故选：C ．9.答案：D解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =a ，则A(1,0，0)，D(0,0，0)，B 1(1,a ，1)， B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−a,−1)，B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a,−1)，∵∠AB 1D =π6，∴cos π6=|B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a 2+1√a 2+2⋅√a 2+1，解得a =√2，B 1(1,√2,1)，B(1,√20)，C 1(0,√2,1)， AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 设直线AB 1与BC 1所成角为θ， 则cosθ=|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3⋅√2=√66． ∴直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为√66．故选：D ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 1与BC 1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.答案：C解析：本题考查复合三角函数的单调性，求得正弦函数的递减区间是关键，由正弦函数的单调性可求得正弦函数的递减区间，继而可得答案．解：由2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2(k∈Z)得：kπ+π3≤x≤kπ+5π6，k∈Z∴函数y=2sin(2x−π6)的单调递减区间为[kπ+π3,kπ+5π6]，k∈Z．当k=0时，函数y=2sin(2x−π6)的一个单调递减区间是[π3,5π6].故选C．11.答案：C解析：本题考查抽象函数，函数的周期性，属于基础题．由题可得f(2012)=−f(2013)=2013，f(t+2)=f(t)，进而得出f(0)的值．解：f(x+2013)=−f(x+2012)，取x=0可得f(2012)=−f(2013)=2013，令t=x+2012，可得f(t+1)=−f(t)，f(t+2)=f(t)，∴f(0)=f(2012)=2013．故选C．12.答案：B解析：本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，属于中档题利用已知条件，画出图形，通过三角形的边长关系，结合余弦定理，求解椭圆的离心率即可．解：作出图形，如下：由题意可得：|F1B|+|BF2|=2a，|AB|=|BF2|，可得|AF1|=a，|AF2|=a，|AB|=|BF2|=32a，|F1F2|=2c，在△ABF2中，由余弦定理得cos∠BAF2=94a2+a2−94a22×32a×a=13，在△AF1F2中，由余弦定理得cos∠BAF2=a2+a2−4c22×a×a =1−2(ca)2，所以13=1−2(ca)2，所以e=ca=√33．故选：B．13.答案：e解析：本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．根据切点处的导数为切线斜率可求出f′(1)的值，解：∵函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=ex−e，∴f′(1)=e，故答案为：e．14.答案：6解析：本题主要考查了线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z =−x +y 得y =x +z ，平移直线y =x +z ，由图象可知当直线y =x +z 经过点A 时，直线y =x +z 的截距最大，此时z 最大． 由{y =−2x x +y =2，得{x =−2y =4，即A (−2,4)，代入目标函数z =−x +y 得z =−(−2)+4=6． 即目标函数z =2x +y 的最大值为6． 故答案为6．15.答案：3π解析：本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P−ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P−ABC外接球的表面积．解：由题意，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P−ABC外接球．∵长方体的对角线长为√3，∴球直径为√3，半径R=√32，因此，三棱锥P−ABC外接球的表面积是4πR2=4π×(√32)2=3π，故答案为：3π．16.答案：(−∞,e]解析：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于较难题．由f(x)有唯一极值点x=1，得y=k与g(x)=e xx的图象除在x=1处外无其他贯穿而过的交点，求出g(x)即可得解．解：由函数f(x)=e xx +k(lnx−x)，可得f′(x)=e x x−e xx2+k(1x−1)=x−1x(e xx−k)，∵f(x)有唯一极值点x=1，∴f′(x)=0有唯一根x=1，∴y=k与g(x)=e xx的图象除在x=1处外无其他贯穿而过的交点，可得g′(x)=e x(x−1)x2，由g′(x)>0得，g(x)在(1,+∞)上递增，由g′(x)<0得，g(x)在(0,1)上递减，∴g(x)min=g(1)=e，∴k≤e，即实数k的取值范围是(−∞,e]．故答案为(−∞,e]．17.答案：解：(1)等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，且S4=30，a2，a4的等差中项为10，可得a1(1+q+q2+q3)=30，a2+a4=20，即a1q+a1q3=20，解得a1=q=2，则a n=2⋅2n−1=2n；(2)S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2，2n S n S n+1=2n(2n+1−2)(2n+2−2)=14(12n−1−12n+1−1)，可得求T n=2S1S2+22S2S3+⋯+2nS n S n+1=14(1−122−1+122−1−123−1+⋯+12n−1−12n+1−1)=14(1−12n+1−1)=2n−12(2n+1−1)．解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，主要考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．(1)等比数列{a n}的公比设为q，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；(2)运用等比数列的求和公式，可得S n，求得2nS n S n+1=14(12n−1−12n+1−1)，运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．18.答案：(1)证明：连接BD，与AC的交点为O，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵PB=PD，OB=OD，∴BD⊥OP，又∵OP∩AC=O，OP，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．(2)解：∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，过点P作PE⊥AC，垂足为E，PE⊂平面PAC，∴PE⊥平面ABCD，∵PA与底面ABCD所成的角为30°，∴∠PAC=30°，又PA⊥PC，设PC=2，则AP=2√3，PE=√3，AE=3，AC=4，AD=2√2，如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系A −xyz ， 则A(0,0，0)，B(2√2,0，0)，C(2√2,2√2,0),D(0,2√2,0),P(3√22,3√22,√3)， 设平面PBC 法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2√2,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−√22,√3)， ∴{2√2y =0√22x +√22y −√3z =0，令z =1，则y =0，x =√6，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(√6,0,1)，同理平面PCD 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,√6,1)， ∵cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7×√7=17，∴二面角B −PC −D 的正弦值为4√37.解析：本题考查面面垂直的判定及利用空间向量求二面角，属于中档题．(1)连接BD ，与AC 的交点为O ，可证AC ⊥BD 以及BD ⊥OP ，即可证明BD ⊥平面PAC ，根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A −xyz ，求出两个平面的法向量即可求出二面角的余弦值，得到正弦值．19.答案：解：(1)依题意知，ξ服从二项分布ξ～B(n,p)，∴Eξ=np =125，(1分) 又Dξ=np(1−p)=992500，(2分) 联立解得：n =4,p =1100.(4分)(2)设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则P(A)=16,P(B)=13,P(C)=12．由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量η的可能值为0，30，60，90，120.(5分)P(η=0)=12×12=14，P(η=30)=12×13×2=13，P(η=60)=12×16×2+13×13=518，P(η=120)=16×16=136，(10分)∴随机变量η的分布列为：其数学期望Eη=0×14+30×13+60×518+90×19+120×136=40.(12分)解析：(1)依题意知，ξ服从二项分布ξ～B(n,p)，由此利用二项分布的性质能求出n、p的值．(2)设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C.则P(A)=16,P(B)=13,P(C)=12.由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量η的可能值为0，30，60，90，120，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量η的分布列和数学期望．本题考查二项分布的性质的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20.答案：解：(1)由题意可得函数解析式为：f(x)=1x+lnx，求导可得f′(x)=−1x2+1x=x−1x2，∴k=f′(1)=0,f(1)=1，切线方程为：y=1．(2)g(x)=xlnx(x>0)，求导可得g′(x)=1+lnx，故而函数在(0,1e )上递减，在(1e,+∞)上递增，∴g(x)极小=g(1e)=−1e，无极大值．解析：本题考查了导数的几何意义以及由导数判断原函数的单调性来研究极值，属于较易得题目．(1)考察函数的切线方程，把握住函数在某点处的导数值为切线的斜率，通过求导求斜率即可得到方程;(2)将g(x)解析式求解后，通过求导判断单调性即可得到极值．21.答案：解：(Ⅰ)∵△AF1F2是斜边长为2√2的等腰直角三角形，∴a=2，b=c=√2，∴椭圆标准方程为x24+y22=1．(Ⅱ)分别设为P(x1,y1)，Q(x2,y2)将y=x+m代入椭圆x24+y22=1中，消y可得3x2+4mx+2m2−4=0，∵△=16m2−12(2m2−4)>0，解得m2<6，∴x1+x2=−4m3，x1x2=2m2−43，∴|PQ|=√1+1⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√2⋅√16m29+16−8m23=43⋅√6−m2，(i)当m=1时，|PQ|=4√53，(ii)原点到直线y=x+m的距离d=√2，∴S△POQ=12|PQ|⋅d=12×43⋅√6−m22=43，整理可得m4−6m2+8=0，解得m2=4，或m2=2，解得m=±2，或m=±√2故m的值存在，为±√2，±2解析：本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由△AF 1F 2是斜边长为2√2的等腰直角三角形，可得a =2，b =c =√2，即可求出椭圆方程； (Ⅱ)分别设为P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，将y =x +m 代入椭圆x 24+y 22=1中，消y 可得3x 2+4mx +2m 2−4=0，根据韦达定理和弦长公式可得|PQ|=43⋅√6−m 2， (i)代值计算即可；(ii)根据点到直线的距离公式求出d ，再根据三角形的面积公式和三角形的面积可得S △POQ =12|PQ|⋅d =12×43⋅√6−m 2√2=43，求出m 的值即可．22.答案：解：(1)直线l ：x −√3y =0转换为极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2曲线C ：x 2+(y −3)2=9，转化为极坐标方程为ρ=6sinθ．(2)将直线l 绕极点O 逆时针方向旋转30°，得到θ2=π3． 设OP =ρ1，OQ =ρ2，则ρ1=6sin π6=3，ρ2=6sin π3=3√3． 所以S △OPQ =12×ρ1×ρ2×sin π6=12×3×3√3×12=9√34．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用极径的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由题设知：|x +1|+|x −2|>5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：{x ≥2x +1+x −2>5或{−1≤x <2x +1−x +2>5或{x <−1−x −1+2−x >5， 即x >3或x ∈⌀或x <−2，解得f(x)>0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)； (2)不等式f(x)≥2即|x +1|+|x −2|≥m +2，∵x ∈R 时，恒有|x +1|+|x −2|≥|(x +1)−(x −2)|=3， 当且仅当(x +1)(x −2)⩽0时等号成立，∵不等式|x+1|+|x−2|≥m+2解集是R，∴m+2≤3，可得m的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．(1)当m=5时，原不等式可化为|x+1|+|x−2|>5，分三种情况去绝对值，对不等式加以讨论，最后综合即得到f(x)>0的解集；(2)关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，根据绝对值不等式的性质，可得|x+1|+|x−2|的最小值为3大于或等于m+2，由此可得实数m的取值范围．。
乌鲁木齐地区2020年高三年级第一次质量监测理科数学高三
乌鲁木齐地区2020年高三年级第一次质量监测理科数学问卷（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合}082|{2<--=x x x A ，}09|{2≤-=x x B ，则集合=B A .A ]3,2(- .B ]3,4(- .C )2,3[- .D )4,3[-2. 已知复数z 满足|43|)21(i i z +=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z = .A i 21+ .B i 21- .C i 21+- .D i 21--3. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线互相垂直，焦距为26，则该双曲线的实轴长为.A 3 .B 6 .C 9 .D 124. 已知m,n 为两条不同的直线，γβα，，为三个不同的平面，则下列命题正确的是.A 若αα//,//n m ，则n m //.B 若βγβα⊥⊥,且m =γα ，则β⊥m .C 若αα⊂⊂n m ,，ββ//,//n m ，则βα// .D 若βαβα⊥⊥,//,n m ，则n m ⊥5. 数列}{n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且1341,,a a a 成等比数列，则=4S.A 8 .B 12 .C 16 .D 246. 若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为m n r mod =，例如5mod 122=，如图程序框图的算法源于我国古代著名的中国剩余定理，执行该程序框图，则输出的i 等于 .A 2 .B 4 .C 8 .D 167. 为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），将该数据按照]5.4.4[),1,5.0[),5.0,0[ 分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图，政府要试行居民用水定额管理，制定了一个用水量标准a ，使85%的居民用水量不超过a ，按平价收水费，超出a 的部分按议价收费，则以下比较适合作为标准a 的是.A 2.5吨 .B 3吨 .C 3.5吨 .D 4吨8. 天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念。
2020届新疆维吾尔自治区高三适应性检测(问卷)数学(理)试题(解析版)
【解析】（Ⅰ）等差数列的公差设为d，且d不为0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得 ，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【详解】
解：（Ⅰ） 是公差d不为零的等差数列 的前n项和，
2．若 （ 表示虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】按照复数的运算法则，先将 化为 形式，再按照复数的几何意义，即可求解.
【详解】
复数 对应的点在第四象限.
故选：D
【点睛】
本题考查复数的运算及复数的几何意义，属于基础题.
3．若 ， ，则 （）
2020届新疆维吾尔自治区高三适应性检测（问卷）数学（理）试题
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ， ，则集合 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．
【详解】
解：
，
， ，
，
．
故选：D
【点睛】
本题考查了集合的交集与补集的运算，借助于数轴解决问题是常见的方法.
【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题，恒成立问题常见方法是通过分类讨论、分离变量等方法转化为函数最值的问题，解题时应注意转化过程中的等价性.
二、填空题
13．二项式 的展开式中x的系数为10，则 ________．
【答案】
【解析】利用二项式定理展开式的通项公式，求出x的指数为1时的系数，即可求出常数a的值．
【答案】
【解析】设D的坐标，四边形的面积等于2个三角形的面积之和可得D的横坐标，代入椭圆方程求出D的纵坐标，进而求出直线AD的斜率．
2020届高三适应性考试(一)数学(理)试题 Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（一）数学（理）一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 下列各式的运算结果为纯虚数的是 A. (1+i)2B. i 2(1-i)C. i(1+i)2D. i(1+i)【★答案★】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确； 对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确； 对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 2. 已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ）A .9B. 8C. 5D. 4【★答案★】A 【解析】 【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】223x y +≤23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-； 当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-； 所以共有9个， 故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.3. 正方体1111ABCD A B C D -中, E 为棱1AA 的中点(如图)用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )A. B.C. D.【★答案★】D 【解析】 【分析】利用平面的基本性质，得到几何体的直观图，然后判断左视图即可．【详解】由题意可知：过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D ，故选D.【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是得到直观图，是基本知识的考查． 4. (x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A. -80B. -40C. 40D. 80【★答案★】C 【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=， 则33x y 的系数为804040-=. 故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 5. 已知cos5a π=，则3sin5π=（ ） A. 21a a - B. 21a a --C. 221a a -D. 221a a --【★答案★】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】cos=5a π，2sin =15a π∴-，332sin=sin =sin =2sin cos 55555ππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 3sin5π∴=221a a - 故选：C .【点睛】本题主要考查了正弦的二倍角公式，诱导公式，同角三角函数间的关系，属于中档题.6. 函数ln |1|()1x f x x +=+的大致图像为（ ）A.B.C. D.【★答案★】A 【解析】 【分析】此题主要利用排除法，当x →+∞时，可得()0f x >，故可排除C ，D ，当x →-∞时，可排除选项B ，故可得★答案★.【详解】当x →+∞时，()ln 10x +>，10x +>，∴()0f x >，故可排除C ，D 选项； 当x →-∞时，()ln 10x +>，10x +<，∴()0f x <，故可排除B 选项， 故选A.【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-→+∞→-∞→→等.7. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线280x y +-=相切，则圆C 的面积的最小值为（ ）A. ()1245π- B.59π C.516π D.165π【★答案★】D 【解析】 【分析】如图，设AB 的中点为C ，坐标原点为O ，圆半径为r ，由已知得||||OC CE r ==，过点O 作直线280x y +-=的垂直线段OF ，交AB 于D ，交直线280x y +-=于F ，则当D 恰为AB 中点时，圆C 的半径最小，即面积最小．【详解】如图，设AB 的中点为C ，坐标原点为O ，圆半径为r ， 由已知得||||OC CE r ==，过点O 作直线280x y +-=的垂直线段OF ， 交AB 于D ，交直线280x y +-=于F ，则当D 恰为OF 中点时，圆C 的半径最小，即面积最小 此时圆的直径为(0,0)O 到直线280x y +-=的距离为： 22|8|8521d -==+， 此时5412r d ==∴圆C 的面积的最小值为：2416()55min S ππ=⨯=． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用,属于中档题．8. 某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK 赛，,A B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，比赛四局.除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为( ) A.1627B.5281C.2027D.79【★答案★】C 【解析】 【分析】先确定A 队的得分高于B 队的得分的情况，再分类讨论利用独立事件乘法公式求对应情况的概率，最后根据加法计数原理求结果.【详解】A 队的得分高于B 队的得分的情况有三种：A 队的得分为5分，A 队的得分为4分，A 队的得分为3分.当A 队的得分为5分时，概率为42()3当A 队的得分为4分时，概率为223212()()()333C当A 队的得分为3分时，概率为12333321221()()()()()33333C C + 因此所求概率为4221233333221221221162412820()()()()()()()()()+++3333333338181818127C C C +++==故选：C【点睛】本题考查独立事件乘法公式、分类加法计数原理，考查基本分析求解能力，属基础题. 9. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为( ) A. 3 B. 1 C.32D.12【★答案★】C 【解析】 【分析】根据正弦定理：由2sin 2sin a C A =得ac 的值，再由()226a c b +=+得222a c b +-的值，利用公式可得结论．【详解】∵2sin 2sin a C A =，∴22a c a =，2ac =，因为()226a c b +=+，所以22226a c ac b ++=+，22262642a c b ac +-=-=-=，从而ABC ∆的面积为221232422⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 故选C ．【点睛】本题主要考查给出新的公式，并用新的公式解题的能力，比较基础．10. 已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12F F ，为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ）A. 43y x =±B. 34yx C. 35y x =±D. 53y x =±【★答案★】A 【解析】 【分析】依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得43b a =，问题得解． 【详解】依据题意作出图象，如下：则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =-=由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PFc a =+，所以()()()()22222222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：43b a =， 所以C 的渐近线方程为43b y x x a =±=± 故选A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．11. 已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，60ABC ∠=，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥p 一ABC 的体积为1V ，三棱锥O 一ABC 的体积为2V ，若12V V 的最大值为3，则球O 的表面积为( ) A.169πB.649πC.32π D. 6π【★答案★】B 【解析】 【分析】设ABC ∆的外接圆圆心为'O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，且'OO d =，根据体积比求得2R d =，利用球的性质，得23R r =，再由三角形的性质，求得23r =，利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，设ABC∆外接圆圆心为'O ，其半径为r ，球O 的半径为R ，且'OO d =依题意可知12max3V R d V d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即2R d =，显然222R d r =+，故23R r =， 又由42sin 3AC r ABC ==∠，故23r =，∴球O 的表面积为221664439R r πππ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，合理利用求得性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题．12. 己知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A. 13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题意，首先求出函数()y f x =在区间(0,2]上的值域为[0,1]，再根据条件(2)2()f x f x +=，判断当6(4],x ∈时()[0,4]f x ∈，32[0,4]9∈，并求解6(4],x ∈时()f x 的解析式，和32()9f x =时对应的两根中较小根，即可得到m 的取值范围.【详解】当2(]0,x ∈时，2()(2)(1)1f x x x x =-=--+， 可求得()[0,1]f x ∈，且在(0,1]上单调增，在[1,2]上单调减， 根据(2)2()f x f x +=，可知当(2,4]x ∈，()[0,2]f x ∈，当6(4],x ∈，()[0,4]f x ∈，且()f x 在(4,5]上单调增，在[5,6]上单调减， 因为32[0,4]9∈，当6(4],x ∈时，()2(2)4(4)f x f x f x =-=-， (42],0x -∈，2()4(4)4[(5)1]f x f x x =-=--+，令2324[(5)1]9x --+=，解得143x =或163x =， 所以对任意(,]x m ∈-∞，都32()9f x ≤恒成立，m 的取值范围为14(,]3-∞，故选：B.【点睛】该题以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求解，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于较难题目，解决该题的关键是利用条件可分析函数的图象，利用数形结合比较好分析.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 设平面向量()1,2a =，()2,b y =-，若a b ⊥，则3a b +=__________. 【★答案★】52【解析】 【分析】根据向量垂直关系求得1y =，利用2239a b a b +=+即可求得模长. 【详解】由题：平面向量()1,2a =，()2,b y =-，若a b ⊥， 所以0,220a b y ⋅=-+=，解得：1y =，223954552a b a b +=+=+=.故★答案★为：52【点睛】此题考查根据向量垂直求参数，求向量的模长，关键在于熟练掌握向量的基本运算法则.14. 设函数32()(2)f x x ax a x =+++.若()f x 的图象关于原点(0,0)对称，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______.【★答案★】520x y --= 【解析】 【分析】根据()f x 的图象关于原点(0,0)对称，求得0a =，再求()f x 在1x =处的导数，即为切线斜率，再写出切线方程.【详解】由题知()f x 为奇函数，可得(1)(1)=--f f 即233a +=，则0a =，32()2,()32f x x x f x x '∴=+=+，(1)325,(1)3f f '∴=+==，∴切线方程为35(1)y x -=-即520x y --=.故★答案★为：520x y --=.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和导数几何意义的应用，属于基础题.15. 已知函数()cos 2sin f x x x =+，若12,x x 为()f x 的最大值点和最小值点的横坐标，则()12cos x x +=____.【★答案★】14【解析】 【分析】由题意可得2()2sin sin 1f x x x =-++，令sin x t =，则219()248f x t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，[1,1]t ∈-，利用二次函数的性质即可得11sin 4x =，2sin 1x =-，利用诱导公式即可得解.【详解】由题意2()cos2sin 2sin sin 1f x x x x x =+=-++， 令sin x t =，则[1,1]t ∈-，则2219()21248f x t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，[1,1]t ∈-，故14t =时，即11sin 4x =时，()f x 取得最大值； 1t =-时，即2sin 1x =-时，()f x 取得最小值，此时()2322k k Z x ππ=+∈，∴()12111cos co 3s sin 422x x x k x ππ+⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭.故★答案★为：14. 【点睛】本题考查了三角函数最值的求解及诱导公式的应用，考查了换元法的应用，属于中档题. 16. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ､CD ，若AB CD +的最小值为16，则抛物线的方程为__________. 【★答案★】24y x = 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则直线CD 的方程为12p y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，分别与抛物线的方程联立可得 1222px x p k +=+， 2342x x p pk +=+，1234||||2AB CD x x x x p +=++++，利用基本不等式可得最值，进而可得抛物线的方程.【详解】解：设直线AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则直线CD 的方程为12p y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化为()22222204k p k x pk p x -++=， 2122222pk p p x x p k k +∴+==+，同理可得2342x x p pk +=+， 2212342221||||22224k p AB CD x x x x p p p pk p p k p k ⎛⎫∴+=++++=++++=++ ⎪⎝⎭2212248p k p p k≥⋅⋅+=，当且仅当1k =±时取等号， ∴AB CD +的最小值为8p ，816p ∴=，则2p =，所以抛物线的方程为24y x =. 故★答案★为：24y x =.【点睛】本题考查了焦点弦长公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 三、解答题（共70分）17. 在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 【★答案★】(1)证明见解析. (2)n S =2(1)nn +.【解析】 【分析】（1）根据数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式的特征，我们对21(1)22n n na n a n n +-+=+，两边同时除以(1)n n +，得到121n n a a n n +-=+，利用等差数列的定义，就可以证明出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用裂项相消法，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【详解】（1）21(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同除以(1)n n +，得121n n a a n n +-=+，又141a=， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列． (2)由（1）得12(1)n a a n n =+-，即222,22n n an a n n n=+∴=+, 故2111112221n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以111111111122231212(1)n n s n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【点睛】本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前n 和． 已知1n n na b c =⋅，,n n b c 都是等差数列，那么数列{}n a 的前n 和就可以用裂项相消法来求解． 18. 已知长方形ABCD 中，1AB =，2AD =，现将长方形沿对角线BD 折起，使AC a =，得到一个四面体A BCD -，如图所示.（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB 与CD 能否垂直？若能垂直，求出相应的a 的值；若不垂直，请说明理由；（2）当四面体A BCD -体积最大时，求二面角A CD B --的余弦值. 【★答案★】（1）1；（2）277.【解析】【分析】（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD ，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a 2=1，成立;（2）四面体A ﹣BCD体积最大时面ABD⊥面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．【详解】(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.由于AB=1, AD=BC=2 ,AC=a,由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC, 所以12＋a2＝(2)2⇒a＝1,所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时a的值为1 (2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值22，所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，以O为原点建立空间直角坐标系o xyz(如图)，则易知,显然，面BCD的法向量为 ,设面ACD的法向量为n＝(x，y，z),因为所以，令y ＝2，得n ＝(1，2，2)，故二面角A －CD －B 的余弦值即为|cos n OA ，.【点睛】传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角. 19. 小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y （单位：元）与送货单数n 的函数关系式； (2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在1(,](1,2,3,4,5)55n nn -=时，日平均派送量为502n +单．若将频率视为概率，回答下列问题： ①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ； ②根据以上数据，设每名派送员的日薪为X （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.【★答案★】（1）100y n =+，140,05420940,54n y n n <≤⎧=⎨->⎩；（2）①0.44，②见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出解析式，即可（2）①分别计算出每个区间中点值的个数，然后乘以总数，求和，除以个数，即可得到平均值②分别计算出每个指标下薪资待遇，计算期望，比较大小，做出选择．【详解】（1）甲：100y n =+，乙：()140,054{1405420,54n y n n <≤=+-⨯>，故为100y n =+，140,05420940,54n y n n <≤⎧=⎨->⎩； （2）①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，故平均数 200.1300.3200.5200.7100.90.44100x ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==②甲: P(概率) 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 X （日薪） 152154156158160EX=0.21520.31540.21560.21580.1160155.4⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 乙： P （概率） 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 X （日薪） 140140180220260EX=0.21400.31400.21800.22200.1260176⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 乙的期望更高，故选择乙方案．【点睛】本道题是一个统计题，掌握好平均数和数学期望的计算方法，即可得出★答案★． 20. 已知O 为坐标原点，圆M ：222150x y x +--=，定点(1,0)F -，点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点Q ，点Q 的轨迹为C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，若直线FA 、FB 的斜率之和为0，则动直线l 是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【★答案★】（1）22143x y +=（2）(4,0)-【解析】 【分析】（Ⅰ）由垂直平分线性质与椭圆的定义可知点Q 的轨迹为椭圆，长轴长等于半径,点F 、点N 分别为左右焦点，由椭圆参数的性质可求得椭圆方程；（Ⅱ）由题意假设直线l 的方程与交点坐标，与椭圆联立，由斜率公式，表示出两直线斜率，由斜率之和为0列式可求得参数的等量关系，代入直线，即可求得恒过某点.【详解】（Ⅰ）由题意可知4MQ FQ +=，又24MF =<，由椭圆的定义知动点Q 的轨迹是,M F为焦点的椭圆，故24,22a c ==，即所求椭圆的方程为22143x y +=（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立曲线C 与直线l 的方程得()2223484120k xkmx m +++-=，21212228412,3434km m x x x x k k --+==++ 由已知，直线FA 、FB 的斜率之和为()()121212121212121222011111kx x k m x x m y y kx m kx m x x x x x x x x +++++++=+==+++++++， ()()1212220kx x k m x x m ++++=，即有：()22241282203434m km k k m m k k--+++=++，化简得：4m k = 直线l 的方程为()4y k x =+，所以直线过l 过定点()4,0-．【点睛】本题综合考察直线与圆锥曲线的知识，若求轨迹方程时与圆有关，则一般会根据圆的半径列等式，证明恒过某点需要将直线表示出来，说明参数对某个点的取值无影响即可. 21. 已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e=的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线. （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围. 【★答案★】（1）()ln f x x =；（2）21,0e e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】 【分析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式；（2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e= 可知()a f x x '=，1y x e'=， 两图象在点(),P s t 处有相同的切线， 所以两个函数切线的斜率相等，即1as e s⨯=，化简得s ae =， 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =，综合上述两式可解得1a =， 所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+，()()22221m x x mx x g x x-+=-='+， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根， 由根与系数的关系知121x x =+，122mx x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=，将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-，令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得1t e=， 当11,2t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h t '<，()h t 在11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减； 当1,1t e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h t '>，()h t 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增； 所以()min 12211e e e h t h e ⎛⎫==-=-⎪⎝⎭， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即()21g x x 的取值范围是21,0e e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.选作题，共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为131121x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（λ为参数，且1λ≠-）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos 320ρρθ++=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为22,4π⎛⎫⎪⎝⎭，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到曲线1C 的距离的最大值.【★答案★】（1）()34103x y x +-=≠，2212320x y x +++=.（2）85【解析】 【分析】（1）化简得到341x y +=，再考虑4331x λ=-≠+，利用极坐标方程公式得到★答案★. （2）P 的直角坐标为()2,2，设点()00,M x y ，故()0022,22Q x y --，代入圆方程得到M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上，计算得到最大距离.【详解】（1）因为13,112,1x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，所以3×①+4×②，得341x y +=.又133(1)4433111x λλλλλ-++-===-≠+++，所以1C 的普通方程为()34103x y x +-=≠，将cos x ρθ=，222x y ρ=+代入曲线2C 的极坐标方程，得曲线2C 的直角坐标方程为2212320x y x +++=.（2）由点P 的极坐标22,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得点P 的直角坐标为()2,2.设点()00,M x y ，因为M 为PQ 的中点，所以()0022,22Q x y -- 将Q 代入2C 的直角坐标方程得()()2200211x y ++-=， 即M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上. 所以点M 到曲线1C 距离的最大值为|23141|8155d -⨯+⨯-=+=，由（1）知1C 不过点()3,2N -，且312391423420MN k +⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-=≠- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 即直线MN 与1C 不垂直.综上知，M 到曲线1C 的距离的最大值为85. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.23. 已知a ，b ，c 为正数，且满足1a b c ++=.证明：（1）13ab bc ac ++≤； （2）11110a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥ 【★答案★】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据分析法，结合不等式关系中222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，即可证明不等式成立；（2）根据题中条件，直接构造基本不等式进行证明即可.【详解】（1）1a b c ++=，2222()2221a b c a b c ab bc ac ∴++=+++++=，又由均值不等式， 得222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， 则222222222222a b b c a c a b c ab bc ac +++++=++≥++， 3()1ab bc ac ∴++≤， 即13ab bc ac ++≤得证； （2）a ，b ，0c >，1a b c ++=，1a ∴，1b ，10c>， 则1111a b c a b c a b c a b c a b c a b c++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4b a c a b c a b a c c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又由均值不等式得22b a b a a b a b+≥⨯=， 同理可得2c a a c+≥，2b c c b +≥， 则1114610a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当13a b c ===时等号成立，得证. 【点睛】本题考查了不等式的证明，基本不等式的应用，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
【解析】新疆乌鲁木齐地区2020届高三年级第一次质量监测理科数学试题
乌鲁木齐地区2020年高三年级第一次质量监测理科数学（问卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}2|280A x x x =--<，{}2|90B x x =-≤，则集合A B =（ ）A. (]2,3-B. (]4,3-C. [)3,2-D. [)3,4-【答案】D 【分析】求解一元二次不等式，解得集合,A B ，再求并集即可. 【详解】对集合A ：2280x x --<，解得()2,4x ∈-； 对集合B ：290x -≤，解得[]3,3x ∈-， 故可得[)3,4A B ⋃=-. 故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，以及集合并运算，属基础题.2.已知复数z 满足(12)|34|z i i +=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A. 12i + B. 12i -C. 12i -+D. 12i --【答案】A 【分析】先求34i +的模长，再利用复数除法运算求得复数z ，写出其共轭复数即可.【详解】因为345i +==， 故()()()512512121212i z i i i i -===-++-， 故其共轭复数z =12i +.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的求解，复数的除法运算，以及共轭复数的求解，属综合基础题.3.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，焦距为线的实轴长为（ ） A. 3 B. 6C. 9D. 12【答案】B 【分析】根据渐近线垂直，可得,a b 的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果.【详解】因两条渐近线互相垂直，故可得21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为焦距为2c = 结合222a b c +=，解得3,3,a b c ===， 故实轴长26a =. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.4.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，则m β⊥C. 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD. 若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】B 【分析】根据线线平行，线线垂直，线面垂直，面面垂直的判定，对选项进行逐一分析即可.【详解】对A ：若//m α，//n α，则//m n ，或m 与n 是异面直线，或m 与n 相交，故A 错误；对B ：若αβ⊥，γβ⊥且m αγ⋂=，不妨取交线m 上一点P ，作平面γ的垂线为l ， 因为,l γαγ⊥⊥，且点P α∈，故l α⊂； 同理可得l β⊂，故l 与m 是同一条直线， 因为l γ⊥，故m γ⊥. 故B 选项正确.对C ：只有当m 与n 是相交直线时，若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，才会有//αβ.故C 错误；对D ：若m α⊥，//n β，αβ⊥，则m 与n 的关系不确定，故D 错误. 故选：B .【点睛】本题考查线线平行，面面平行，面面垂直的判定，属综合基础题.5.数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且1a ，4a ，13a 成等比数列，则4S =（ ）A. 8B. 12C. 16D. 24【答案】D 【分析】根据等比中项的定义，结合数列的公差为2，列方程即可求得数列的首项，进而利用公式求得4S .【详解】因为1a ，4a ，13a 成等比数列，故可得21134a a a ⋅=，即可得()()2111246a a a +=+，解得13a =. 故4S 14324242a ⨯⨯=+=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列前n 项和与通项公式基本量的计算，涉及等比中项，属综合基础题. 6.若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为r nMODm =，例如212 5MOD =.如图程序框图的算法源于我国古化著名的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的i等于（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】D【分析】模拟执行程序，根据循环结构，逐步执行，即可得到结果.【详解】模拟执行程序如下：7,1n i ==开始，2,9i n ==，不满足13nMOD =，故4,13i n ==，满足13nMOD =，但不满足25nMOD =， 故8,21i n ==，不满足13nMOD =，故16,37i n ==，满足13nMOD =，满足25nMOD =， 输出16i =. 故选：D.【点睛】本题考查循环结构语句的执行，只需按照程序框图模拟执行即可，属基础题. 7.为了解某市居民用水情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨).将数据按照[)0,0.5，…，[]4,4.5分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图.政府要试行居民用水定额管理，制定一个用水量标准a .使85 %的居民用水量不超过a ，按平价收水费，超出a 的部分按议价收费，则以下比较适合做为标准a 的是（ ）A. 2.5吨B. 3吨C. 3.5吨D. 4吨【答案】B 【分析】根据频率分布直方图中，长方形面积表示频率，找出将面积分割为0.85和0.15的数值，即为标准a .【详解】根据频率分布直方图，结合题意可得：()0.080.50.160.50.300.50.440.50.500.5 2.50.50.85a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=解得 2.72a =.故要满足85 %的居民用水量不超过a ， 则a 比较合适的取值为3吨. 故选：B.【点睛】本题考查频率分布直方图中，频率的计算，属基础题.8.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++) A. 1.24 B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C 【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26. 故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.9.已知函数2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ）A. ()f x 的图象关于6x π=对称 B. ()f x 为奇函数 C. ()f x 的值域为[]3,1- D. ()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】A 【分析】利用降幂扩角公式以及辅助角公式，将三角函数化简为标准正弦型三角函数，再对选项进行逐一分析即可.【详解】2()2sin 2163f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22133x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 236x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为2sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭是该函数的最大值，故6x π=是函数的对称轴，故A 正确； 因为()()2sin 26f x x f x π⎛⎫-=--≠- ⎪⎝⎭，故该函数不是奇函数，故B 错误；因为[]2sin 22,26x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]2,2-，故C 错误； 由x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，在此区间内，正弦函数不单调，故D 错误； 综上所述，正确的是A . 故选：A.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简三角函数，以及正弦型函数性质的求解，属综合性基础题.10.已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin a αα=，()cos sin b αα=，()sin cos c αα=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. b a c << B. b c a <<C. a b c <<D. c b a <<【答案】A 【分析】 因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得cos sin αα>，由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故可得10cos sin αα>>>， 根据指数函数()(),0,1xy sin sin αα=∈是单调减函数， 可得sin αcos sin sin ααα<，即可得b a <； 根据幂函数(),0,1sin y xsin αα=∈是单调增函数，可得sin sin cos sin αααα>，即可得c a > 综上所述：c a b >>. 故选：A.【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数在区间上的大小关系，以及指数函数和幂函数的单调性，属综合中档题.11.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥于点N ，直线NF 交y 轴于点D ，则||MD =（ ）A. 4B.C. 2D.【答案】B 【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点M 的坐标，即可得N 点坐标，进而可求得MF 的方程，容易得点D 的坐标，用两点之间的距离公式即可求得MD 的长度.【详解】根据题意，作图如下：由题可知，点()1,0F ，故直线FM 的方程为)31y x =-， 联立抛物线方程24y x = 可得231030x x -+=，解得13x =或3x = 因为点M 在第一象限，故可得(3,23M .又因为准线方程为1x =-，故可得(23N -. 则直线FN 的方程为)31y x =--， 令0x =，解得3y =(3D .故9323MD =+=故选：B.【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可.12.已知函数ln 1,1()1(2),13x x f x x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若αβ<且()()f f αβ=，则βα-的取值范围是（ ） A. []83ln3,6-B. )283ln3,1e ⎡--⎣C. []94ln3,6-D.)294ln 3,1e ⎡--⎣【答案】B【分析】根据()f x 的函数图像，结合()()f f αβ=，求得β的取值范围以及,αβ之间的等量关系，将βα-表示为β的函数，求该函数在区间上的值域即可.【详解】因为ln 1,1()1(2),13x x f x x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，故其函数图像如下所示：令11lnx -=，解得2x e =；令11lnx -=-，解得1x =. 数形结合可知，若要满足()()f f αβ=，且αβ<， 则()21,eβ∈，且()1213ln αβ+=-，解得35ln αβ=-. 故βα-35ln ββ=-+，()21,e β∈.令()()235,1,g x x lnx x e =-+∈，则()31g x x'=-，令()0g x '=，解得3x =， 故()g x 在区间()1,3单调递减，在区间()23,e 单调递增，则()()()2216,3833,1g g ln g e e==-=-，故())2833,1g x ln e ⎡∈--⎣.即可得βα-)2833,1ln e ⎡∈--⎣. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，以及构造函数的能力，数形结合的能力，属综合性中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知单位向量a ，b 满足()22a a b ⋅+=，则向量a 与向量b 的夹角的大小为__________． 【答案】3π【分析】根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1，代值计算即可. 【详解】因为a ，b 均是单位向量，故可得1,1a b ==，故可得()222,?2a a b a a b cos a b ⋅+=+=， 即2?,?1cos a b =，解得1,?2cos a b =， 又因为向量夹角的范围为[]0,π， 故,a b 的夹角为3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.14.已知点N 在圆224470x y x y +-++=上，点M 在直线3460x y -+=上，则MN 的最小值为______. 【答案】3 【分析】根据直线和圆相离，即可得圆心到直线的距离减去半径，即为所求. 【详解】因圆方程为224470x y x y +-++=，故圆心坐标为()2,2,1r -=，则圆心到直线的距离41d ==>，则直线与圆相离.故MN 的最小值为413d r -=-=. 故答案为：3.【点睛】本题考查圆心到直线上一点距离的最值问题，属基础题.15.造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以A0、A1、…、A10；B0、B1、…、B10等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中A 系列的幅面规格为：①A0规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y表示）的比例关系为:x y =；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格.现有A0、A1、A2、…、A8纸各一张.若A4纸的面积为2624cm ，则这9张纸的面积之和等于______2cm . 【答案】19929 【分析】根据题意，求出4A 纸张的长度和宽度，构造纸张面积的等比数列，利用等比数列前n 项和的计算公式，即可求得.【详解】由题可设，0A 纸的面积为S ， 根据题意，纸张面积是首项为S ，公比为12的等比数列， 则容易知4A 纸张的面积为416242S ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故可得9984S =， 故纸张面积是一个首项为9984，公比为12的等比数列， 故9张纸的面积之和为911219929112S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-. 故答案为：19929.【点睛】本题考查实际问题中等比数列的应用，问题的关键是要构造等比数列，属中档题. 16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，有下列四个命题： ①1BC 与平面11BCD A 所成角为30；②三棱锥1A A BD -与三棱锥11C A BD -的体积比为1:2；③过点A 作平面α，使得棱AB ，AD ，1AA 在平面α上的正投影的长度相等，则这样的平面α有且仅有一个；④过1BD 作正方体的截面，设截面面积为S ，则S 的最小值为62. 上述四个命题中，正确命題的序号为______.【答案】①②④ 【分析】根据线面角的求解方法，棱锥体积的求解，正方体截面的相关性质，对选项进行逐一分析即可求得.【详解】对①：连接1C D 交1D C 与H ，连接BH ，作图如下：因为1111ABCD A B C D -是正方体，故可得BC ⊥平面11CC D D ， 又因为CH ⊂平面11CC D D ，故可得CH BC ⊥，又1CH D C ⊥， 故可得CH ⊥平面1//MN A C ，则1C BH ∠即为所求线面角. 在1Rt C BH 中，1112,222CH C D C B ===故可得1112CH sin C BH C B ∠==，又线面角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故130C BH ∠=︒，则1BC 与平面11BCD A 所成角为30， 故①正确；对②：因为正方体棱长为1， 故可得11111111113326A A BD A ABD ABD V V S A A --==⨯=⨯⨯⨯⨯=； 而棱锥11 C A BD -的体积可以理解为正方体的体积减去4个体积都和1A A BD V -相等的三棱锥的体积， 故1111463A A BD V -=-⨯=. 故棱锥1 A A BD -与三棱锥11 C A BD -的体积比为1:2， 故②正确；对③：若棱1,,AD AA AB 在平面α的同侧，则α为过点A 且与平面1A BD 平行的平面； 若棱1,,AD AA AB 中有一条棱与另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面有3个； 故满足题意的平面α有4个. 故③错误；对④：根据题意，取11,AA C C 中点为,M N ,则过1BD 作正方体的截面如下：则过1BD 的所有截面中，当截面1D MBN 为菱形时，面积最小，其面积为111623222S MN D B =⨯=⨯⨯=. 故④正确.总上所述，正确的有①②④.【点睛】本题考查线面角的求解，正方体截面面积的求解，涉及棱锥体积的计算，属中档题.三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形，E 是CD 中点，点F 在BC 上，且3BF FC =.（1）证明EF ⊥平面PAE ； （2）若54PA AB =，求平面PAB 与平面PEF 所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解；(2)5 【分析】（1）根据PA ⊥平面ABCD ，可得EF PN ⊥，再证EF AE ⊥，即可由线线垂直推证线面垂直；（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，再求出夹角的余弦，转化为正弦值即可.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故可得EF PA ⊥； 设底面正方形的边长为4，故可得2216425AE AD DE =++=22145EF FC CE =+=+=221695AF AB BF =++=，故在AFE 中，满足222AE EF AF +=，故可得AE EF ⊥；又,PA AE ⊂平面PAE ，且PA AE A =，则EF ⊥平面PAE ，即证.（2）因为PA ⊥平面ABCD ,,AB AD ⊂平面ABCD ，故可得,PA AB PA AD ⊥⊥， 又底面ABCD 为正方形，故可得AB AD ⊥，故以A 为坐标原点，以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如下图所示：设4AB =，故可得()()()()()0,0,0,0,0,5,4,0,0,2,4,0,4,3,0A P B E F 设平面PEF 的法向量为(),,m x y z =，则00m EF m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则202450x y x y z -=⎧⎨+-=⎩取2y =，则()1,2,2m =.不妨取平面PAB 的法向量()0,1,0n =.则22,?391m n cos m n m n ⋅===⨯. 设平面PAB 与平面PEF 所成二面角的平面为θ， 则251cos ,3sin m n θ=-=. 即平面PAB 与平面PEF 所成二面角的正弦值为53. 【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.18.已知ABC ∆的面积为3，BC 边上的高是2，tan 3A =. （1）求ABC ∆外接圆的半径； （2）求AB 和AC 的长. 【答案】(1) 2；(2) AB AC ==AB AC == 【分析】（1）利用三角形的面积公式求得BC ，再利用同角三角函数关系，求得sinA ，最后利用正弦定理，即可求得外接圆半径；（2）利用面积公式以及余弦定理，求得AB 和AC 的方程组，解方程组即可. 【详解】设三角形的边长,,BC a AC b AB c ===. （1）由面积公式1232S a =⨯=，解得3a =. 因为3tanA =，()0,A π∈，故由同角三角函数关系，容易得,1010cosA sinA ==.由正弦定理可得22aR sinA===. 故ABC外接圆的半径为2. （2）由面积公式可得132S bcsinA ==，结合（1）中所求，可得bc =由余弦定理可得2292b c cosA bc +-==，解得2213b c +=， 即()213213b c bc +=+=+=解得b c +=bc =可得b c ==b c ==故AB AC ==AB AC ==.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形外接圆半径的求解，属综合基础题.19.在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问，特别是对一些敏感性问题.例如学生在考试中有无作弊现象，社会上的偷税漏税等.更要精心设计问卷.设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则被调查者往往会拒绝冋答，或不提供真实情况，为了调查中学生中的早恋现象，随机抽出300名学生，调查中使用了两个问題.①你的学籍号的最后一位数是奇数（学籍号的后四位是序号）；②你是否有早恋现象，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球.摸到两球同色的学生如实回答第一个问题，摸到两球异色的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不放，后来在盒子中收到了78个小石子. （1）你能否估算出中学生早恋人数的百分比？（2）若从该地区中学生中随机抽取一个班（40人），设其中恰有X 个人存在早恋的现象，求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)5%；(2)分布列见详解，数学期望为21400. 【分析】（1）先计算出摸两个球，出现同色和异色的概率，据此计算出回答第一个问题和第二个问题的人数，再根据学籍号最后一位是奇数的概率为12，计算出回答第一个问题选择“是”的同学个数，从而算出回答早恋选择“是”的同学个数，据此估算百分比即可；（2）根据题意可知，X 服从二项分布，结合（1）中所求，写出分布列，计算出数学期望即可.【详解】（1）从10个球中随机摸取两个球，摸到两球同色的的概率2246210715C C P C +==. 故回答第一个问题的人数为730014015⨯=人，则回答第二个问题的人数为160人； 又学籍号最后一位是奇数还是偶数，是等可能的，故回答第一个问题，选择“是”是的同学个数为1140702⨯=人， 则回答第二个问题，选择“是”的同学个数为8人， 则中学生早恋人数的百分比为85%160=. （2）根据（1）中所求，可知1~2,?20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，且X 可取值为0,1,2， 故可得()020211902020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111211912020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22211922020P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故X 的分布列如下所示：故()36119121012400400400400E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查简单随机抽样的特点，以及二项分布分布列的求解和数学期望的计算，属综合性中档题.20.已知函数2()ln f x ax x x x =--（a R ∈）. （1）当1a e=时，求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程； （2）若()f x 在定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)y x =-；(2) ,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 分析】（1）对函数求导，解得函数在点()(),e f e 处切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程；（2）构造函数()22lnx g x x+=，利用导数求解其值域，再根据()f x '与()g x 之间的关系，求解恒成立问题即可得参数的范围.【详解】（1）当1a e =时，()2x f x xlnx x e=--，故()22f x x lnx e '=--；故可得()()1,f e f e e -'==-，故切线方程为：()y e x e +=--，整理得y x =-. 故曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为y x =-.（2）因为()2ln f x ax x x x =--，故可得()22f x ax lnx '=--.若()f x 在定义域内为单调函数，则()0f x '≥恒成立，或()0f x '≤恒成立. 构造函数()22lnx g x x +=，故可得()()‘212lnx g x x-+=， 令()’0g x =，解得1x e=， 故()g x 在区间10,?e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.故()12max eg x g e ⎛⎫==⎪⎝⎭，且当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞. 故(),2e g x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 若要保证()0f x '≥在定义域内恒成立，即220ax lnx --≥恒成立， 即22lnx a x +≥在定义域内恒成立，则只需()2max ea g x ≥=； 若要保证()0f x '≤在定义域内恒成立，则220ax lnx --≤恒成立， 则22lnx a x+≤在定义域内恒成立，但()g x 没有最小值，故舍去. 综上所述，要保证()f x 在定义域内为单调函数，则,2e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及根据函数单调性，利用导数求参数的范围，属综合中档题.21.点(,)P x y 与定点(1,0)F -的距离和它到直线:3l x =-P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C ，D 两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且CO OM λ=（0λ>），求四边形ACBD 面积的取值范围.【答案】(1)22132x y +=；(2) 4,⎡⎣. 【分析】（1）设出点P 的坐标，根据题意，列出方程，整理化简即可求得动点的轨迹方程； （2）设出直线AB 的方程，利用弦长公式求得AB ，再利用OC OM λ=，建立直线CD 与AB 之间的联系，再利用点到直线的距离，以及面积公式，将四边形面积表示为函数形式，求该函数的值域即可.【详解】（1）设动点(),P x y ，则P 到直线:3l x =-的距离3d x =+，由题可知：PFd ==，两边平方整理可得：22132x y +=故曲线E 的方程为：22132x y +=.（2）因(0)OC OM λλ=>，故,O M 两点不可能重合，则直线AB 的斜率不可能为0， 故可设直线AB 方程为1x my =-，联立椭圆方程22132x y +=，可得()2223440m y my +--=，设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则可得12122244,2323m y y y y m m -+==++， 则()121226223x x m y y m +=+-=-+ 故可得2232,2323m M m m ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 因为(0)OC OM λλ=>，故可得,,0,C M D 四点共线，故可得2222233323CDm m m k m +==--+. 不妨设直线CD 方程为y kx =，23m k =-， 联立直线y kx =与椭圆方程22132x y +=可得()22236kx+=，设()()3344,,,C x y D x y ，则33x y ==-C ⎛- ⎝则44x y ==D 则点,C D 到直线AB 的距离为：1d =2d =将23mk =-代入上式即可得：1d ==，2d =故212223m d d ++=又根据弦长公式可得：22123m AB m +==+ 故四边形面积()221222231112223m m S AB d d m ++=+=⨯+== 因为23322m +≥，则21120,?332m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，21221,1332m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭+3⎫⎪⎪⎣⎭故4,⎡⎣.故四边形ACBD 面积的取值范围为4,⎡⎣.【点睛】本题考查椭圆轨迹方程的求解，以及椭圆中四边形面积的范围问题，计算量相对较大，属综合性困难题.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为2ρ=，四边形ABCD 的四个顶点都在曲线E 上. （1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）若AC ，BD 相交于点()1,1P ，求||||||||PA PB PC PD ⋅⋅⋅的值.【答案】(1)224x y +=；(2)4【分析】（1）将2ρ=两边平方，利用公式，即可转化为直角坐标方程；（2）写出直线,AC BD 的参数方程，根据直线参数的几何意义，即可求得. 【详解】（1）将2ρ=两边平方，即可得24ρ=， 即可得224x y +=.（2）因为直线,AC BD 都经过点()1,1P ，故直线AC 的参数方程为：1(1x tcos y tsin ααα=+⎧⎨=+⎩为参数)； 直线BD 的参数方程为：1(1x tcos y tsin θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)； 联立直线AC 的方程与224x y +=可得：()22220t cos sin t αα++-=，设,A C 两点对应的参数为12,t t ，故可得122t t =-； 同理联立直线BD 的方程与224x y +=可得：()22220t cos sin t θθ++-=，设,B D 两点对应的参数为34,t t ，故可得342t t =-； 根据直线参数方程中t 的几何意义可知：||||||||PA PB PC PD ⋅⋅⋅12344t t t t ==.即为所求.【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，以及利用直线参数方程中参数几何意义，求解线段长度的乘积，属基础题. 23.已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[] 3,2-；(2)[]1,1-.【分析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得. 【详解】（1）当2x ≤-时，()5f x ≤等价于215x --≤， 解得[]3,2x ∈--；当21x -<<时，()5f x ≤等价于35≤，恒成立， 解得()2,1x ∈-；当1x ≥时，()5f x ≤等价于215x +≤， 解得[]1,2x ∈；综上所述，不等式的解集为[]3,2-.（2）不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，等价于()21f x x ax ≥-+在区间[]1,1-上恒成立，也等价于220x ax --≤在区间[]1,1-恒成立. 则只需()22g x x ax =--满足：()10g -≤且()10g ≤即可.即120,120a a +-≤--≤， 解得[]1,1a ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.。
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷(理科)
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B =I ) A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z = )A ．2B ．3CD ．43．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥4．（5分）设0.62a =，0.3log 0.6b =，3log 0.6c =，则有( ) A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<5．（5分）已知向量,a b r r 满足||2,||3a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则(2)(2)(a b a b +-=r r r r) A ．3-B ．1-C ．1D ．36．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，则双曲线的离心率为( )A ．2B C ．32D 7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n = )A ．3B ．4C ．5D ．68．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是( ) A ．15B ．25 C ．35D ．459．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 依次等差数列，若11a =，则5(S = ) A ．16B ．31C ．32D ．6310．（5分）将奇函数()3)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 的一个单调递减区间是( ) A ．5(,)1212ππ-B ．5(,)1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,)1212ππ 11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00(,66)()2pM x x >是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为( ) A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =12．（5分）已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩…，若对任意[,3]22m mx ∈+，都有()3()f x m f x +…，则实数m 的取值范围是( ) A ．[4，)+∞B ．[23,)+∞C ．[3，)+∞D ．[22,)+∞二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13．（5分）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩„…„，则32z x y =+的最大值为 ．14．（5分）已知4cos()35πα+=-，α为锐角，则sin α= ．15．（5分）已知数列{}n a 满足：1112,(12,n n n n n a a a a n a a a +⎧==⎨+<⎩…，2，)⋯，若33a =，则1a = ． 16．（5分）如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值274；③当E 点不与C ，1C 重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得//CG 平面1BED ； ④存在唯一一点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =． 其中正确的命题是 （填写所有正确的序号）三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3sin sin sin c C b AA B a b++=+．（Ⅰ）求C ∠的值；（Ⅱ）若2c =ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2AD BC =，M 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面PAB ；（Ⅱ）若PBD ∆是等边三角形，求二面角A PB M --的余弦值．19．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是20132017-年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(%)y 的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，⋯，2017年记成年的序号:1t ，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点2)，左焦点(2,0)F -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()2f x x =有两个不相等的实数根，求证：2()2af a e <+． 选考题：共10分，二选一22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:40C x y x +-=，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），其中(0,)6πα∈，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(4,0)M ，2C 的极坐标方程ρθ=，A ，B 分别为直线l 与曲线1C ，2C 异于原点的公共点，当30AMB ∠=︒时，求直线l 的斜率． 23．函数()|22||3|f x x x =-++． （Ⅰ）求不等式()25f x x +…的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++…．2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B =I ) A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)【解答】解：Q 集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<， {|14}B x x =<<，{|13}(1,3)A B x x ∴=<<=I ．故选：D ．2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z = )A ．2B ．3CD ．4【解答】解：21(1)233321(1)(1)2i i iz i i i i i i i ++=-=-=-=---+，则|||2|2z =-=． 故选：A ．3．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知： 在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 在B 中，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m n ⊥，故D 正确．。
2020届新疆乌鲁木齐一模数学(理科)试卷及答案
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B = )A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z =)A ．2B ．3CD ．43．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n⊥4．（5分）设0.62a =，0.3log 0.6b =，3log 0.6c =，则有()A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c a b<<5．（5分）已知向量,a b 满足||2,||3a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则(2)(2)(a b a b +-= )A ．3-B ．1-C ．1D ．36．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，则双曲线的离心率为()A ．2B C ．32D 7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n =)A ．3B ．4C ．5D ．68．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是()A ．15B ．25C ．35D ．459．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 依次等差数列，若11a =，则5(S =)A ．16B ．31C ．32D ．6310．（5分）将奇函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 的一个单调递减区间是()A ．5(,)1212ππ-B ．5(,1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,1212ππ11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00()2pM x x >是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为()A ．24y x=B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x=12．（5分）已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩ ，若对任意[,3]22m mx ∈+，都有()3()f x m f x + ，则实数m 的取值范围是()A ．[4，)+∞B．)+∞C ．[3，)+∞D．)+∞二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13．（5分）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值为．14．（5分）已知4cos()35πα+=-，α为锐角，则sin α=．15．（5分）已知数列{}n a 满足：1112,(12,n n n nn a a a a n a a a +⎧==⎨+<⎩ ，2，)⋯，若33a =，则1a =．16．（5分）如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F的周长取得最小值③当E 点不与C ，1C 重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得//CG 平面1BED ；④存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =．其中正确的命题是（填写所有正确的序号）三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3sin sin sin c C b AA B a b++=+．（Ⅰ）求C ∠的值；（Ⅱ）若c =ABC ∆面积的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2AD BC =，M 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面PAB ；（Ⅱ）若PBD ∆是等边三角形，求二面角A PB M --的余弦值．19．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是20132017-年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(%)y 的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，⋯，2017年记成年的序号:1t ，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点2)，左焦点(2,0)F -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()2f x x =有两个不相等的实数根，求证：2()2af a e <+．选考题：共10分，二选一22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:40C x y x +-=，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），其中(0,)6πα∈，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(4,0)M ，2C 的极坐标方程ρθ=，A ，B 分别为直线l 与曲线1C ，2C 异于原点的公共点，当30AMB ∠=︒时，求直线l 的斜率．23．函数()|22||3|f x x x =-++．（Ⅰ）求不等式()25f x x + 的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++ ．2020年新疆乌鲁木齐市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的第Ⅰ卷（选择题共60分）1．（5分）设集合2{|30}A x x x =-<，{|14}B x x =<<，则(A B = )A ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)【解答】解： 集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|14}B x x =<<，{|13}(1,3)A B x x ∴=<<= ．故选：D ．2．（5分）若复数z 满足131iz i i+=--（其中i 为虚数单位），则||(z =)A ．2B ．3CD ．4【解答】解：21(1)233321(1)(1)2i i iz i i i i i i i ++=-=-=-=---+，则|||2|2z =-=．故选：A ．3．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n⊥【解答】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A 中，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；在B 中，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m n ⊥，故D 正确．故选：D ．4．（5分）设0.62a =，0.3log 0.6b =，3log 0.6c =，则有()A ．c b a<<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c a b<<【解答】解：0.621a => ，0.3log 0.6(0,1)b =∈，3log 0.60c =<，则有c b a <<．故选：A ．5．（5分）已知向量,a b 满足||2,||3a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则(2)(2)(a b a b +-= )A ．3-B ．1-C ．1D ．3【解答】解： ||2,||3,,3a b a b π==<>=，∴221(2)(2)223242932312a b a b a b a b +-=-+=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-．故选：B ．6．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，则双曲线的离心率为()A ．2B C ．32D 【解答】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为虚轴的一个端点，且12120F BF ∠=︒，可得c b =，22233c a c -=，2ce a===．故选：D ．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的(n =)A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：模拟程序的运行，可得0S =，1n =2S =，2n =满足条件30S <，执行循环体，246S =+=，3n =满足条件30S <，执行循环体，6814S =+=，4n =满足条件30S <，执行循环体，141630S =+=，5n =此时，不满足条件30S <，退出循环，输出n 的值为5．故选：C ．8．（5分）从数字1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是()A ．15B ．25C ．35D ．45【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，从五个数中随机抽取2个不同的数有25C 种不同的结果，而这2个数的和为偶数包括2、4，1、3，1、5，3、5，四种取法，由古典概型公式得到25442105P C ===，故选：B ．9．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 依次等差数列，若11a =，则5(S =)A ．16B ．31C ．32D ．63【解答】解：14a ，22a ，3a 依次等差数列，可得21344a a a =+，显然公比q 不为1，则211144a q a a q =+，即为2440q q -+=，解得2q =，则551(1)12531112a q S q --===--．故选：B ．10．（5分）将奇函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移ϕ个单位长度后得到函数()y g x =的图象，则下列关于()g x 的一个单调递减区间是()A ．5(,)1212ππ-B ．5(,1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,1212ππ【解答】解： 奇函数())cos(2)2sin[(2)]6f x x x x πϕϕϕ=+-+=+-，06πϕ∴-=，6πϕ∴=，()2sin 2f x x =．把()f x 的图象向右平移6πϕ=个单位长度后得到函数()2sin(23y g x x π==-的图象，令3222232k x k πππππ+-+ ，求得5111212k x k ππππ++，故函数()g x 的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，k Z ∈，故选：D ．11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00()2pM x x >是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为()A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x=【解答】解：如图所示，过M 点作CM ⊥直线22p px ==，垂足为C ，交准线于D ，∴5sin 7MCMFA MF∠==，由抛物线定义可得：MF MD =，∴005272px MC p MF x -==+00575722x p x p +=-03x p∴=点00()2pM x x >是抛物线上一点，∴202px =23666p ⨯=6p ∴=212y x∴=故选：C．12．（5分）已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩ ，若对任意[,3]22m mx ∈+，都有()3()f x m f x + ，则实数m 的取值范围是()A ．[4，)+∞B．)+∞C ．[3，)+∞D．)+∞【解答】解：22,0()(),0x x f x f x x x ⎧--==-⎨<⎩ ，∴函数22,0(),0x x f x x x ⎧=⎨<-⎩，为R 上的奇函数，又0x 时，2()f x x =为增函数，()f x ∴为定义域R 上的增函数．又3f =，()3())f x m f x f ∴+= ， 对任意[,3]22m mx ∈+，()3())f x m f x f += ，()f x 为定义域R上的增函数，1)]1)(3)2max mm x ∴-=+ ，即13(11)22m ---=，解得：m ．即实数m的取值范围是，)+∞，故选：B ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13．（5分）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由32z x y =+得3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为326z =⨯=，故答案为：614．（5分）已知4cos()35πα+=-，α为锐角，则sin α=310+．【解答】解：因为4cos()35πα+=-，α为锐角，所以13sin()35απ+=，故11111sin sin()))33233ααππαπαπ=+-=+-+=故答案为：310+15．（5分）已知数列{}n a 满足：1112,(12,n n n n n a a a a n a a a +⎧==⎨+<⎩ ，2，)⋯，若33a =，则1a =34．【解答】解：由1112,2,n n n nn a a a a a a a +⎧=⎨+<⎩ ，①若31a a ，则3232a a ==，232a =，又21a a <与212a a =+相矛盾，21a a ∴ ，21322a a ==，得134a =；②若31a a <，则322a a =+，21a ∴=，由2112a a ==，112a =，与31a a <不符．∴134a =．故答案为：34．16．（5分）如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积为20；②存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值③当E 点不与C ，1C 重合时，在棱AD 上均存在点G ，使得//CG 平面1BED ；④存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且165CE =．其中正确的命题是①②③④（填写所有正确的序号）【解答】解：①由题意可得1//D F BE，1111111111111111111[](543543)2032232B BED F B BED B BFD D BEB D BFB V V V V V BB BC AB BBD A AB -----=+=+=+=⨯⨯+⨯⨯= ，所以①正确；②将长方体展开，如图所示，恰好过B 点时，截面的周长为12BD ，而在1BDD ∆中，1BD ==，所以最小值为1BED F 为平行四边形，且E 为展开图中唯一的点所以②正确；③E 嗲不与C ，1C 重合，则F 不会为A ，即CG 不在面1EBD 内，可作出CG 的平面与1EBD 平行，所以在棱AD 上均有相应的G ，使得//CG 面1EBD ，故③正确；④因为1BB BD =，可得对角面11BB D D 为正方形，可得11B D BD ⊥，若1BE B C ⊥时，由三垂线定理可得1B D BE ⊥，即有1B D ⊥面1EBD ，在矩形11BB C C 中，1BE B C ⊥，所以1CE BC BC CC =，所以1165BC BC CE CC ==，故④正确综上可得：正确为①②③④．故答案为：①②③④．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 3sin sin sin c C b AA B a b++=+．（Ⅰ）求C ∠的值；（Ⅱ）若c =ABC ∆面积的最大值．【解答】解：()I 由题意结合正弦定理可得，22()3a b ab c +=+，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，(0,)C π∈ ，故13C π=，()II 由余弦定理可得，222a b ab =+-，所以，2222a b ab ab +=+ ，故2ab ，则1sin 22ABC S ab C ∆=，当且仅当a b ==时，面积取得最大值2．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90BAD ∠=︒，2AD BC =，M 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//CM 平面PAB ；（Ⅱ）若PBD ∆是等边三角形，求二面角A PB M --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图，取AD 中点N ，连结MN ，CN ，M 为PD 的中点，//MN AP ∴，2AD BC = ，AN BC ∴=，//BC AD ，∴四边形ABCN 是平行四边形，//AB CN ∴，CN NM N = ，BA AP A = ，∴平面//CMN 平面PAB ，CM ⊂ 平面MNC ，//CM ∴平面PAB ．（Ⅱ）解：以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，PBD ∆ 为等边三角形，AB AD AP ∴==，设2AB =，则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(0D ，2，0)，∴(2BD =- ，2，0)，(2BP =-，0，2)，设平面BDP 的法向理(n x =，y ，)z ，则220220n BD x y n BP x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1z =，得(1n = ，1，1)，AD ⊥ 平面PAB ，∴平面PAB 的法向量(0n =，1，0)，||3cos ||||3n m n m θ∴== ．∴二面角A PB M --的余弦值为3．19．（12分）“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，如表是20132017-年全国快递业务量(x 亿件：精确到0.1)及其增长速度(%)y 的数据．（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；（Ⅱ）分别将2013年，2014年，⋯，2017年记成年的序号:1t ，2，3，4，5；现已知y 与t 具有线性相关关系，试建立y 关于t 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+；（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量．附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-【解答】解：（Ⅰ）设2012年的快递业务量为a ，则9261%aa-=，解得57.1a ≈；即2012年的快递业务量为57.1亿件；（Ⅱ）由题意列表得，t12345y6152485128计算1(12345)35t =⨯++++=，1(6152485128)485y =⨯++++=，512222222515(161252348451528)5348ˆ 6.712345535ii i i it ytybtt==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===-++++-⨯-∑∑，ˆˆ48(6.7)368.1ay bt =-=--⨯=，所以y 关于t 的线性回归方程是ˆ 6.768.1yt =-+；（Ⅲ）令6t =，计算2018年比上半年增长率是ˆ 6.7668.127.9(%)y=-⨯+=；所以2018年快递业务增长量为399.9(127.9%)511.5⨯+≈（亿件）；令7t =，计算2018年比上半年增长率是ˆ 6.7768.121.2(%)y=-⨯+=；所以2019年快递业务增长量为511.5(121.2%)619.9⨯+≈（亿件）．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，左焦点(2,0)F -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作于x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标0x 是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点，左焦点(2,0)F -，可得2c =，2a =a =，2b =，可得椭圆的方程为22184x y +=；（Ⅱ）D 点的横坐标为定值3-．理由如下：直线l 的斜率不为0，设:2AB x my =-，联立椭圆方程2228x y +=，可得22(2)440m y my +--=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1y ，20y ≠，12242m y y m +=+，12242y y m=-+，两式相除可得1212y y m y y +=-，由1(4,)N y -，可设BN 的方程为2112(4)4y y y y x x --=++，令0y =，可得121122122021212144(2)44y x y y x y y my y x y y y y y y -------=-==---12121212122121212424333my y y y y y y y y y y y y y y y -+-++--===----．则D 点的横坐标为定值3-．21．（12分）已知函数221()()x f x alnx a R x-=-∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若方程()2f x x =有两个不相等的实数根，求证：2()2af a e <+．【解答】解：2221()()x ax I f x x -+'=，0x >，对于221y x ax =-+，△28a =-，对称轴为4a x =，当△0时，即[a ∈-时，()0f x ' ，()f x 在(0,)+∞递增；当△0>时，即(a ∈-∞，-⋃，)+∞，方程有两个不同的根84a a m =，n =m n <，由于(0)1y =，当a <-，m ，0n <，函数在(0,)+∞递增；当a >，m ，0n >，函数()f x 在(0,)m ，(,)n +∞递增，(,)m n 递减；综上，a - 时，()f x 在(0,)+∞递增；a >时，()f x 在8(0,4a a --，8(4a a +-，)+∞上递增；在递减；()II 令1()()2g x f x x alnx x=-=--，0x >，方程()2f x x =有两个不相等的实数根，相当于函数()g x 由两个零点，222111()a ax axg x x x x x--'=-=-=，当0a 时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞递增，则()g x 至多只有一个零点，不成立；当0a >时，1(0,)x a ∈时，()g x 递增；1(x a ∈，)+∞递减，所以1()()min g x g a alna a==-+，由0a alna -+>，又0a >，所以a e >，因为1a是()g x 的极大值点，由11a>，g （1）10=-<，由a e >，a e a >，1a e a -<，21()a a a a g e alne e a e---=--=-+，对于2x y e x =-，易知y 在(,)e +∞递增，因为指数函数比幂函数增长的快，所以20a e a ->，()0a g e -<，所以函数()g x 在1(,)a e a -与1(a，1)各有一个零点，所以a e >，要证明2()2a f a e <+，即证明a e >时，211(22a alna e a---<成立，设h （a ）211(2()a alna a e e a =--->，h'（a ）22111lna a e =+--，由于h '（a ）在(,)e +∞递减，所以h '（a ）h '<（e ）0=，所以h （a ）在(,)e +∞递减；所以h （a ）h <（e ）22e e=-<，故原命题成立．选考题：共10分，二选一22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:40C x y x +-=，直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），其中(0,)6πα∈，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）设(4,0)M ，2C的极坐标方程ρθ=，A ，B 分别为直线l 与曲线1C ，2C 异于原点的公共点，当30AMB ∠=︒时，求直线l 的斜率．【解答】解：（Ⅰ）曲线221:40C x y x +-=，转换为极坐标方程为4cos ρθ=．直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为tan y x α=，(0,6πα∈．（Ⅱ）由已知可得：θα=，则||4cos AB αα=-，1||tan 4sin AM ραα==，由于|||AM AB =，所以4sin )ααα=-，解得tan k α==所以直线的斜率为23．函数()|22||3|f x x x =-++．（Ⅰ）求不等式()25f x x + 的解集；（Ⅱ）若()f x 的最小值为k ，且实数a ，b ，c 满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++ ．【解答】解：（Ⅰ）31,1()|22||3|5,3131,3x x f x x x x x x x +>⎧⎪=-++=-+-⎨⎪--<-⎩．()25f x x + ，∴31251x x x ++⎧⎨>⎩ 或52531x x x -++⎧⎨-⎩ 或31253x x x --+⎧⎨<-⎩，4x ∴ 或30x - 或3x <-，0x ∴ 或4x ，∴不等式的解集为{|0x x 或4}x ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()4min f x k ==．()4a b c k ∴+==，4ab ac ∴+=，22222222()()228a b c a b a c ab ac ∴++=++++= ，当且仅当a b c ===22228a b c ∴++ ．。
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答案D(2017·山东德州期中，28)研究发现某野生型二倍体植株3号染色体上有一个基因发生突变，且突变性状一旦在子代中出现即可稳定遗传。
(1)据此判断该突变为(显性/隐性)突变。
(2)若正常基因与突变基因编码的蛋白质分别表示为Ⅰ、Ⅱ，其氨基酸序列如下图所示:据图推测，产生Ⅱ的原因是基因中发生了，进一步研究发现，Ⅱ的相对分子质量明显大于Ⅰ，出现此现象的原因可能是_______________________。