高中数学必修二《轨迹方程》课件
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轨迹方程PPT教学课件
动，|AB|=3，点P是AB上一点，且|AP|=1，则点P的
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
返回
59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
轨迹方程是________x_4_2 ___y_2___1________
8. 过原点的动椭圆的一个焦点为F(1，0)，长轴长为
4，则动椭圆中心的轨迹方程为___x_-__1__2___y_2____9_
2
4
9.已知A+B+C=0，则直线Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被抛 物线y2=2x所截线段中点M的轨迹方程是 ( B ) (A)y2+y-x+1=0 (B)y2-y-x+1=0 (C)y2+y+x+1=0 (D)y2-y-x-1=0
2.已知两点，M(-1，0)，N(1，0)，且点P使M→P·M→N，P→M·P→N , N→M·N→P成公差小于零的等差数列，(1)求点P的转迹方程.(2)若 点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM→与PN→的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
练习： 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为 （-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线 交OM于点P，求点P的方程。
三、代入法题型： 例3 如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线 x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨 迹方程。
练习：已知曲线方程f(x,y)=0.分别求此曲线关于原 点，关于x轴，关于y轴，关于直线y=x，关于直线 y=-x，关于直线y=3对称的曲线方程。
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
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59《电解原理的 应用》
小结1
电离与电解的区别与联系
《轨迹方程的求法》课件
结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对 轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动 规律和模式。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
THANKS
感谢观看
05
总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的 重要工具，对于物理学、工程学 、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地 预测物体未来的位置和运动状态 ，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提 高我们对物体运动规律的认识和 理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关 系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹 方程。
05
06
3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标 。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹 方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心 和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定 理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆 心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹 方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等 天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙 中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞 后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并 求解，可以了解碰撞后的运动状态。
轨迹方程的求法PPT资料优秀版
A
x2+y2=5
练习2：已知P（4，0）是圆x2+y2=36内一点， A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°， 求AB中点R的轨迹方程；
Y
B R A
X
O
P
解：连OR、PR，AB是圆的弦，∴OR⊥AB。
△ABP是Rt△，R是AB中点,∴PR= 1 AB，
OR2+（ 1
2 AB)2=OA2，即OR2+PR2=OA2
代入抛物线方程得P点轨迹方程为：
(y1)2 2(x1) 33 3
练习1：设AB是圆x2+y2=1的一条直径,以AB为 直角边,B为直角顶点,逆时针方向作等腰直 角三角形ABC,当AB转动时,求点C的轨迹.
分析：连CO，可知
C
Y
CO2=BO2+CB2
BБайду номын сангаас
CB=AB
CO2=BO2+AB2
O
X
即C点的轨迹方程为：
A
的两条切线的切线长
相等。
B
O
X
OP平分∠APB，
∴∠APO=30°
AO=1 ，PO=2。
P到定点O的距离等于定长2。 ∴P点的轨迹方程是：
x2+y2=4 P点的轨迹是圆。
例2 动点P到直线x+y=6的距离的平方等于 两坐标轴与点P到两坐标轴的垂线所围成的 矩形的面积，求P点的轨迹。
Y
解：设P（x，y)，
又∵AO=OQ，∴AOQH为菱形。 设H（x，y），Q(xo，yo) xo=x，yo=y-2，Q(xo，yo)在圆O上。 即H的轨迹方程为x2+(y-2)2=4。（x≠0）
例4 已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），
人教版湖南省长郡中学2020-2021学年上学期高二数学《轨迹方程的求法》(共14张PPT)教育课件
一、温故知新
1、椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（大于| F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫 做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
|P 1 | F |P 2 | F 2 a ( 2 a |F 1 F 2 |)
2、椭圆的标准方程
y
P
y M F2
F1 O
F2 x
的 周1长 .求 6 等 顶 A 的 于 点 轨.迹 方 程
二、新知探究
3、利用定义法求动点的轨迹方程.
例3
（2） 一 动 圆C1与 :x2圆 y2 6x50外 切 ,同 时 与 圆 C2 :x2 y2 6x910内 切 ,求 动 圆 圆 心 的 轨 方程 ,并说明它是什 . 么曲线
二、新知探究
O
x
F1
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
y2 x2 a2 b2 1(ab0)
F 1( c,0 )F 2(c,0 )
F 1(0 , c)F 2(0 ,c)
c2 a2b2
【练习1】已知ABC的顶点B,C在椭圆x2 y2 1
3 上,顶点A是椭圆的一个焦 ,且点椭圆的另一个焦点 在边BC上,则ABC的周长是 ( )
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
1、椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（大于| F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫 做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
|P 1 | F |P 2 | F 2 a ( 2 a |F 1 F 2 |)
2、椭圆的标准方程
y
P
y M F2
F1 O
F2 x
的 周1长 .求 6 等 顶 A 的 于 点 轨.迹 方 程
二、新知探究
3、利用定义法求动点的轨迹方程.
例3
（2） 一 动 圆C1与 :x2圆 y2 6x50外 切 ,同 时 与 圆 C2 :x2 y2 6x910内 切 ,求 动 圆 圆 心 的 轨 方程 ,并说明它是什 . 么曲线
二、新知探究
O
x
F1
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
y2 x2 a2 b2 1(ab0)
F 1( c,0 )F 2(c,0 )
F 1(0 , c)F 2(0 ,c)
c2 a2b2
【练习1】已知ABC的顶点B,C在椭圆x2 y2 1
3 上,顶点A是椭圆的一个焦 ,且点椭圆的另一个焦点 在边BC上,则ABC的周长是 ( )
• • 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
轨迹方程PPT课件
【解题回顾】注意运用过封闭曲线内的点的直线必与此曲 线相交这一性质.
2020年10月2日
8
3. 若曲线y2=ax与直线y=(a+1)x-1恰有一个公共点，求实数a 的值.
【解题回顾】对于开放的曲线，Δ=0仅是有一个公共点的充分但 并不一定必要的条件，本题用代数方法解完后，应从几何上验证 一下：当a=0时，曲线y2=ax蜕化为直线y=0，此时与已知直线y=x -1，恰有一个交点(1，0)；当a=-1时，直线y=-1与抛物线y2=-x的 对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次
❖ 即 Δ=(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，
❖ 亦即 5k2≥1-m 对一切实数k成立．
❖ ∴1-m≤0，即m≥1．
❖ 故20m20年的10月取2日值范围为m∈[1，5)．
7
2.
已知椭圆 x y 16 9
1 ，l1、l2为过点(0，m)且相互垂直的
两条直线，问实数m在什么范围时，直线l1、l2都与椭圆有 公共点
轴交于点N(x0，0)求x0
【解题回顾】第二小题中用k表示为x0的函数，即求函数x0 的值域. 本小题是转化为给定区间上二次函数的值域求法
2020年10月2日
返回11
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5. 设A为双曲线x2/16-y2/9=1右支上一点，F为该双曲线的 右焦点，连结AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲 线的右准线，垂足为C，则直线AC必过定点( A )
高考数学轨迹方程2PPT教学课件
H1P，P1Q，H1Q能成等差
【解题回顾】本小题充分利用了三角形垂心这一已知
条件由AD⊥BC得A、D坐标相同. 由BH⊥AC建立等
量关系同时注意轨迹的横纯粹性与完备性。
2020/12/10
返回 10
PPT教学课件
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11
第7课时 轨迹方程(二)
要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展
2020/12/10
1
要点·疑点·考点
1. 掌握求轨迹方程的另两种方法——相关点法(又称代 入法)、
2. 学会选用适当的参数去表达动点的轨迹，并掌握常 见的消去参数的方法
2020/12/10
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2
课前热身
1. 函 数 y=x2+(2m+1)x+m2-1(m∈R) 的 图 象 的 顶 点 轨 迹 方程是____4_x_-_4_y_-_3_=_0_______.
2020/12/10
3
4 .O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线 的三个点，动点P满足OP=OA+
2020/12/10
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4
能力·思维·方法
1. 点Q为双曲线x2-4y2=16上任意一点，定点A(0，4)， 求内分AQ所成比为12的点P
【解题回顾】此题中动点
P(x,y)是随着动点Q(x1 ,y1) 的运动而运动的，而Q点
在已知曲线C上，因此只
要将x1，y1用x、y表示后
代入曲线C方程中，即可得P点的轨迹方程.这种求
轨迹的方法称为相关点法(又称代入法).
2020/12/10
5
能力·思维·方法
1. 点Q为双曲线x2-4y2=16上任意一点，定点A(0，4)， 求内分AQ所成比为12的点P
高三数学最新课件-轨迹与轨迹方程[原创] 精品
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即圆心为（
轨迹方程为
1 2 2 1 （x- ） +y = 2 4
1 2
0） 半径为
1 2
（x≠0）
例1：设圆C：(x-1)2+y2=1时，做原点O做圆的任意弦， 求所做弦的中点的轨迹方程 解法三： 设Q（x 、y ），P（x、y）则 1 1 y
x1 x 2 y y1 2
求轨迹时常用以下方法
课前热身：
1.到两定点的距离的比等于常数K(k≠0)的轨迹是（ ） A.椭圆 B.抛物线 C.圆 . D 直线或圆
x2 2、设 P 为双曲线 4
D
－y =1 上一动点，O 为坐标原点，
2
M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是：__________
2 2 x －4y ＝1
x1 2 x y1 2 y
0
2
Q
P
C x
(2x-1) +(2y) =1
2 2
又
2 （x1-1） +y1 =1
1 (x2
) +y
2
2
1 = 4
（x≠0）
因 x1≠0
例1：设圆C：(x-1)2+y2=1时，做原点O做圆的任意弦， y 求所做弦的中点的轨迹方程
解法四：设动弦PQ的方程为y=kx， 代入(x-1)2+ y2=1， 得(x-1)2+k2x2=1
2
1 2 2 1 得： （x- ） +y = 2 4
由点Q不能与原点重合，所以 x≠0
1 MP ＝ OC 2
1 ＝ 2
0
C
x
例1：设圆C：(x-1)2+y2=1时，做原点O做圆的任意弦， 求所做弦的中点的轨迹方程 y 解法二： ∠OPC＝900 Q P 动点P在以OC为直径 的圆周上已知OC的中点， 0 C x
轨迹和轨迹方程 PPT
一个焦点F的轨迹方程是A( )
A.y2- x2 1(y-1) 48
B.y2- x2 1 48
C.y2- x2 -1
D.x2- y2 1
• 解：由题4意8|AC|=13,|BC|=15,|AB|=4184，
• 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，
• 所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.
• 解：(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10， • 即｜PA｜+|PB|=6>4=|AB|. • 故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4， • 即a=3，c=2，b=5. • 因此其方程为 x 2 y 2 (1y≠0). • (2)设圆P的半径为9r，则5 |PA|=r+1，|PB|=r， • 因此|PA|-|PB|=1. • 由双曲线的定义知， • P点的轨迹为双曲线的右支，
• 故点F的轨迹是以A、B为焦点，
• 实轴长为2的双曲线的下支. • 又c=7，a=1，所以b2=48， • 所以点F的轨迹方程为 y 2 - x 2 1(y≤-1).
48
题型1 直接法求轨迹方程
• 1.(2010•北京卷改编)在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称， P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等 于- 1 ，求动点P的轨迹方程．
• 3.为保证纯粹性和完备性，在求曲线方程时， 要注意分析其隐含条件，若是曲线的一部分，
则应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，
y的取值范围；若轨迹有不同的情况，应分别
_______________________.
• 2. 直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是基 本的轨迹图形，其中：
•
A.y2- x2 1(y-1) 48
B.y2- x2 1 48
C.y2- x2 -1
D.x2- y2 1
• 解：由题4意8|AC|=13,|BC|=15,|AB|=4184，
• 又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，
• 所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.
• 解：(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10， • 即｜PA｜+|PB|=6>4=|AB|. • 故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4， • 即a=3，c=2，b=5. • 因此其方程为 x 2 y 2 (1y≠0). • (2)设圆P的半径为9r，则5 |PA|=r+1，|PB|=r， • 因此|PA|-|PB|=1. • 由双曲线的定义知， • P点的轨迹为双曲线的右支，
• 故点F的轨迹是以A、B为焦点，
• 实轴长为2的双曲线的下支. • 又c=7，a=1，所以b2=48， • 所以点F的轨迹方程为 y 2 - x 2 1(y≤-1).
48
题型1 直接法求轨迹方程
• 1.(2010•北京卷改编)在平面直角坐标系 xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称， P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等 于- 1 ，求动点P的轨迹方程．
• 3.为保证纯粹性和完备性，在求曲线方程时， 要注意分析其隐含条件，若是曲线的一部分，
则应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，
y的取值范围；若轨迹有不同的情况，应分别
_______________________.
• 2. 直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是基 本的轨迹图形，其中：
•
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求“轨迹方程”是求什么？ 求点M的横坐标、纵坐标的关 系等式 归纳步骤：
方法一：直接法
如果已知动点满足的等量关系，那么直 接把动点的坐标代入等式，即得动点的 轨迹方程。
注意规范步骤
练习1：设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点，动 点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值 a(a>0)，求P点的轨迹。Zxx``k
先求方程，再说轨迹。
结论：到两定点的距离之比为定 值的点的轨迹为直线或圆。
问题2：如图，圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2=4， 过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N， 且使得|PM|=|PN|，问点P的运动轨迹是什么曲线
？
yP
无系先建系
(x-6)2+y2=33
M
O1 o
P的轨迹是圆
步骤：1、找到动点G与A的坐标关系； 2、把A的坐标用G的坐标表示； 3、把A的坐标代入A的方程； 4、化简后去多补少下结论 。
练习4：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，
r>0.P,B是圆上两点，作矩形PABQ，求点Q的
轨迹。
y
Q
P
GB
oA
x
问题5：已知动点P(x,y)的坐标满足下列关系， 求动点P(x,y)的轨迹方程和轨迹。
高中数学课件
灿若寒星整理制作
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
动点的横坐标 与纵坐标的关 系等式（曲线 方程）
动点的运动 路线（曲线 ）
专题二
《求点的轨迹与轨迹方程 》
F(x,y)=0
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
A
B(-1,0),C(1,0). 设A(x,y).
o
x
BC
∵tanBtanC=t
化简得，tx2+y2=t ∵tanB,tanC有意义，∴x±1 所求的轨迹方程为tx2+y2=t(x±1)
下结论前要“去多补少”，一点也不能 少，一点也不能多！
问题3：线段AB的两端点分别在两互相垂直的直
线上滑动，且|AB|=2a，求AB中点P的轨迹方程
N
归纳步骤
O2 x ：
方法一：直接法
步骤：1、建系设点；
zx```xk
2、找出等式； 3、代入坐标； 4、化简变形；
5、确定结论。
练习2：已知ΔABC底边BC的长为2,又知
tanBtanC=t(t≠0)(t为常数),求顶点A的轨迹方程.
y
解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直
平分线为y轴，建立如图直角系。则
、B两点，求弦AB的中点轨迹方程。
y 解：易知已知动直线过定点
A(0,1 (0,1)，该点也在已知圆上，故A
)
、B中有一点为(0,1)，不妨设
C x A(0,1)
O
B
∵OC⊥AC
∴C在以OA为直径的圆 :x2+(y-0.5)2=0.25上
又依题意知直线AB的斜率必存在，故x≠0 ∴x2+(y-0.5)2=0.25(x≠0)即为所求
《课堂小结 》 二方法、一注意：
方法一：直接法——五步骤
方法二：几何法——用性质
注意范围！去多补少
问题4：△ABC中，B(-3，8)、C(-1，-6)，另一 个顶点A在抛物线y=x2上运动，求此三角形重心 G的轨迹方程。
可以找到G与A的关系
方法三：坐标转移法（相关点法） 如果G（所求）、A（已知）是相关动点
练习5：下列参数方程分别表示什么曲线？ 过点(-1,3)的直线。 以原点为圆心，半径 为2的圆。
单位圆的右半圆。
练习6：设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m47m2+9=0，若该方程表示一个圆，求m的取值 范围及圆心的轨迹方程。
注意范围！
。
A
解：以这两条互相垂直的直
P 线为坐标轴建立坐标系，
O B 你能找出点P满圆
。
方程为x2+y2=a2
方法二：几何法
利用平面几何性质，判断动点轨迹的 方法，叫几何法。
Z```xxk
关键在会用性质！
练习3：动直线kx-y+1=0与圆x2+y2=1相交于A
方法一：直接法
如果已知动点满足的等量关系，那么直 接把动点的坐标代入等式，即得动点的 轨迹方程。
注意规范步骤
练习1：设A(-c,0)、B(c,0)(c>0)为两定点，动 点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值 a(a>0)，求P点的轨迹。Zxx``k
先求方程，再说轨迹。
结论：到两定点的距离之比为定 值的点的轨迹为直线或圆。
问题2：如图，圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2=4， 过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N， 且使得|PM|=|PN|，问点P的运动轨迹是什么曲线
？
yP
无系先建系
(x-6)2+y2=33
M
O1 o
P的轨迹是圆
步骤：1、找到动点G与A的坐标关系； 2、把A的坐标用G的坐标表示； 3、把A的坐标代入A的方程； 4、化简后去多补少下结论 。
练习4：已知圆：x2+y2=r2,定点A(a,0),其中a，
r>0.P,B是圆上两点，作矩形PABQ，求点Q的
轨迹。
y
Q
P
GB
oA
x
问题5：已知动点P(x,y)的坐标满足下列关系， 求动点P(x,y)的轨迹方程和轨迹。
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问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
动点的横坐标 与纵坐标的关 系等式（曲线 方程）
动点的运动 路线（曲线 ）
专题二
《求点的轨迹与轨迹方程 》
F(x,y)=0
问题1：已知动点M与两定点O(0,0)、A(3,0) 的距离之比为，求点M的轨迹方程和轨迹。
A
B(-1,0),C(1,0). 设A(x,y).
o
x
BC
∵tanBtanC=t
化简得，tx2+y2=t ∵tanB,tanC有意义，∴x±1 所求的轨迹方程为tx2+y2=t(x±1)
下结论前要“去多补少”，一点也不能 少，一点也不能多！
问题3：线段AB的两端点分别在两互相垂直的直
线上滑动，且|AB|=2a，求AB中点P的轨迹方程
N
归纳步骤
O2 x ：
方法一：直接法
步骤：1、建系设点；
zx```xk
2、找出等式； 3、代入坐标； 4、化简变形；
5、确定结论。
练习2：已知ΔABC底边BC的长为2,又知
tanBtanC=t(t≠0)(t为常数),求顶点A的轨迹方程.
y
解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直
平分线为y轴，建立如图直角系。则
、B两点，求弦AB的中点轨迹方程。
y 解：易知已知动直线过定点
A(0,1 (0,1)，该点也在已知圆上，故A
)
、B中有一点为(0,1)，不妨设
C x A(0,1)
O
B
∵OC⊥AC
∴C在以OA为直径的圆 :x2+(y-0.5)2=0.25上
又依题意知直线AB的斜率必存在，故x≠0 ∴x2+(y-0.5)2=0.25(x≠0)即为所求
《课堂小结 》 二方法、一注意：
方法一：直接法——五步骤
方法二：几何法——用性质
注意范围！去多补少
问题4：△ABC中，B(-3，8)、C(-1，-6)，另一 个顶点A在抛物线y=x2上运动，求此三角形重心 G的轨迹方程。
可以找到G与A的关系
方法三：坐标转移法（相关点法） 如果G（所求）、A（已知）是相关动点
练习5：下列参数方程分别表示什么曲线？ 过点(-1,3)的直线。 以原点为圆心，半径 为2的圆。
单位圆的右半圆。
练习6：设方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m47m2+9=0，若该方程表示一个圆，求m的取值 范围及圆心的轨迹方程。
注意范围！
。
A
解：以这两条互相垂直的直
P 线为坐标轴建立坐标系，
O B 你能找出点P满圆
。
方程为x2+y2=a2
方法二：几何法
利用平面几何性质，判断动点轨迹的 方法，叫几何法。
Z```xxk
关键在会用性质！
练习3：动直线kx-y+1=0与圆x2+y2=1相交于A