2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐标及其运算课件新人教B版必修第二册
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
变式训练1已知O是坐标原点,点A在第一象限, |������������|=4 3,∠xOA=60°, (1)求向量������������的坐标; (2)若 B( 3,-1),求������������的坐标.
解:(1)设点 A(x,y),则 x=4 3cos 60°=2 3, y=4 3sin 60°=6,即 A(2 3,6),������������=(2 3,6). (2)������������=(2 3,6)-( 3,-1)=( 3,7).
22
=
2
2 − 32,2
2+3 3
2
.
所以点 B 的坐标为
2
2 − 32,2
2+3 3
2
.
反思感悟求点、向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该点相对应坐标原 点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.
(2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的始点、终点坐标,再 运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.
课前篇自主预习
一
二
2.点的坐标与向量的坐标有何区别?
提示:(1)向量坐标与点的坐标有区别,当且仅当向量的起点为坐标 原点时,向量坐标才与其终点的坐标相等.如:点 A 的位置向量������������的 坐标(x,y),也就是点 A 的坐标(x,y);反之,点 A 的坐标(x,y)也是点 A 相 对于坐标原点的位置向量������������的坐标;
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
-1-
课标阐释
思维脉络
1.了解平面向量的正 交分解,掌握向量的
坐标表示.
2.理解向量坐标的概 念,掌握两个向量和、 差及数乘向量的坐标
运算法则.
3.理解向量的坐标与
平面内点的坐标的区
别与联系.
一
二
课前篇自主预习
一、平面向量的坐标
1.填空. (1)垂直向量:平面上两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互 相垂直,我们就称向量a与b垂直,记作a⊥b.规定零向量与任意向量 都垂直. (2)正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底 为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解. (3)向量的坐标 一般地,给定平面内两个互相垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的 向量a,如果a=xe1+ye2,则称(x,y)为向量a的坐标,记作a=(x,y).
������������=a,���������=��� b.四边形
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析 当堂检测
解:(1)作 AM⊥x 轴于点 M,
则 OM=OA·cos 45°=4× 22=2 2, AM=OA·sin 45°=4× 22=2 2,
∴A(2 2,2 2),故 a=(2 2,2 2). ∵∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°, ∴∠COy=30°.又 OC=AB=3,
(3)平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面直角坐标系中的两点,则
①两点间的距离公式:|AB|=
(������2
-������1
2
)
+
(������2
-������1
2
)
;
②中点坐标公式:AB 的中点坐标为
������ 1 +������ 2 2
,
(2)符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定 的点,又可以表示一个向量,为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y), 或向量(x,y).
(3)给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可 以平移,以这对实数为坐标的向量有无穷多个.
(4)两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同.
答案:A
解析:a-2b= 8-2������, 1 ������-2 ,2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然 2a+b≠0,
故有
8-2������,
1 2
������-2
=λ(16+x,x+1),λ∈R,
8-2������ = ������(16 + ������),
课前篇自主预习
一
二
二、平面上向量的运算与坐标的关系
1.填空.
(1)向量加法与减法运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
①ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2);②ua-vb=(ux1-vx2,uy1-vy2).
(2)模长公式:设 a=(x,y),则|a|= ������2 + ������2
∴
1 2
������-2
=
������(������
+
1),
⇒x=4(x>0).
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思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
平面向量的坐标表示 例1如图,在平面直角坐标系xOy 中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°, OABC为平行四边形.求: (1)向量a,b的坐标; (2)向量 ������������ 的坐标; (3)点B的坐标.
课堂篇探究学习
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思维辨析 当堂检测
求向量的模
例2设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|2a-b|等于( )
A.4
B.5
C.3 5 D.4 5
分析:综合应用向量共线的坐标表示和向量模的坐标表示求解.
答案:D
解析:由y+4=0知
y=-4,b=(-2,-4),
∴2a-b=(4,8),∴|2a-b|=4 5.故选D.
∴C -3 , 3 3 ,
22
∴������������ = ������������= -3 , 3 3 ,
22
即 b= -3 , 3 3 .
22
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探究四
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
(2)������������=-������������=
3,-3 3
22
.
(3)������������ = ������������ + ������������=(2 2,2 2)+ -3 , 3 3
������1 +������2 2
.
(4)向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x2y1=x1y2.
Hale Waihona Puke 课前篇自主预习一二
2.做一做:已知向量a=
8,
1 2
������
,b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),
则x的值为( )
A.4 B.8
C.0 D.2
6.2.3平面向量的坐标及其运算-人教B版高中数学必修第二册(2019版)教案
6.2.3平面向量的坐标及其运算-人教B版高中数学必修第二册（2019版）教案教学目标1.理解平面向量的概念，掌握向量坐标表示方法和向量的基本运算法则；2.理解向量的加、减、数乘和数量积的几何意义，并能熟练运用；3.能够解决平面向量的线性方程组问题；4.能够灵活运用平面向量的计算方法，解决与平面向量有关的几何问题。
教学重难点重点：向量坐标表示方法，向量的基本运算法则。
难点：向量的线性方程组问题。
教学过程1. 引入教学向学生展示两个不同的向量，向学生询问是否能知道这两个向量的大小和方向，引发学生对向量的疑惑和兴趣。
2. 向量的概念向学生讲解向量的概念，引导学生感受向量的大小、方向和作用，并向学生展示向量在几何图形中的应用。
3. 向量的表示方法引导学生进行向量的初、末点表示法，并着重讲解向量的坐标表示方法及坐标表示的唯一性。
4. 向量的基本运算法则教师示范简单的向量加、减、数乘和数量积的计算方法，引导学生进行独立练习，并针对学生经常出错的运算法则进行重点讲解。
5. 向量的线性方程组问题引导学生掌握向量的线性方程组的数学意义和解的方法，让学生通过实际问题进行解题实践，达到掌握的目的。
6. 平面向量的应用针对实际问题让学生进行平面向量的运用，并引导学生感受平面向量在几何问题中的应用。
教学方法采用讲述法、演示法、示范法、独立练习法、引导式教学法等多种教学方法，以培养学生的学习兴趣和独立思考能力。
教学评价通过课堂练习和教学评测，进行学生认识形式的反馈。
同时，教师也需要认真备课，制定细致的教学计划和教学目的，做到全方位培养学生对向量概念和运算方法的掌握。
教学反思本节课中，教师采用多种教学方法，可以让学生在学习中感受到探究的乐趣，并能够熟练掌握向量的坐标表示方法和运算法则。
本节课教学评价要求学生进行独立思考和探究，同时也要注意反馈学生的实际认知情况，做到因材施教。
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
第6章 6.2 6.2.1 向量基本定理-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册课件
(2)证明：设线段 EL 的中点为 P1，则 O→P1＝12(O→E＋O→L)＝14(a＋b＋c)． 设 FM，GN 的中点分别为 P2，P3，同理可求得 O→P2＝14(a＋b＋c)，O→P3＝14(a＋b＋c)． ∴O→P1＝O→P2＝O→P3， 即 EL，FM，GN 交于一点，且互相平分．
1．任意一向量基底表示的唯一性的理解
1．共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在_唯一____的实数 λ，使得_b_＝__λ_a_. 在共线向量基本定理中： (1)b＝λa 时，通常称为 b 能用 a 表示． (2)其中的“唯一”指的是，如果还有 b＝μa，则有 λ＝μ.
思考 1：在共线向量基本定理中，为什么要求 a≠0? [提示] 若 a＝0，则 0∥b，但是 λ0＝0，从而 b＝λa 中的实数 λ 具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.
(变结论)例 2 中，用A→E，A→F表示A→B. [解] A→B＝A→E＋E→B＝A→E＋F→E＝A→E＋(A→E－A→F)＝2A→E－A→F.
用基底表示向量的方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形 法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优 化与组合． (2)将向量 c 用 a，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是设 c＝xa＋yb，其中 x，y∈R，然后得到关于 x，y 的方程组求解．
2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐标及其运算课件新人教B版
类型二 向量的坐标运算(数学运算) 【典例】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 C M ＝ 3 C A ， C N ＝ 2 C B ， 求M,N及 M N 的坐标. 【思路导引】方法一:先求 C A , C B ,设出M,N的坐标,根据 C M ＝ 3 C A ， C N ＝ 2 C B 列方程求解. 方法二:设O为坐标原点,用向量线性运算的几何意义直接计算 O M , O N 的坐标.
2.平面上向量的运算与坐标的关系
(1)向量加法与减法运算
设a=(x1,y1), b=(x2,y2),则 ①a+b=_(_x_1+_x_2_,_y_1_+_y_2)_, ②a-b=_(_x_1-_x_2_,_y_1_-_y_2)_, ③λa=_(_λ__x_1,_λ__y_1_)_.
④向量相等的充要条件:a=b⇔_x_1=_x__2 且_y_1_=_y_2 . ⑤ua+vb=(u x1+v x2,u y1+v y2); ⑥ua-vb=(u x1-v x2,u y1-v y2). (2)模长公式:设a=(x,y),则|a|= x 2 y 2 .
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,O A =a, A B =b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标; (2)求向量 B A 的坐标; (3)求点B的坐标.
【解题策略】 求向量坐标的方法 (1)定义法:将向量用两个相互垂直的单位向量e1,e2表示出来. (2)平移法:把向量的始点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (3)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标 即得该向量的坐标.
2
2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步 共线向量基本定理练习(含解析)新人教B版必修第二册
课时30 共线向量基本定理知识点一 共线向量基本定理1.已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 答案 A解析 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；∵λa －μb ＝0，∴λa ＝μb ，故②可以；当x ＝y ＝0时，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．2．已知e 1，e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ，－4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，k ＝－8.3. 如图所示，已知OA ′ →＝3OA →，A ′B ′ →＝3AB →，则向量OB →与OB ′ →的关系为( )A ．共线B ．同向C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′ →的长度是O B →的3倍 答案 D解析 由题意，知OB →＝OA →＋AB →，OB ′→＝OA ′→＋A ′B ′→＝3OA →＋3AB →＝3OB →，故选D.知识点二 共线向量基本定理的应用4.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，且3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S 答案 C解析 如图，由于3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，则3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)， 3(PA →＋PB →)2＝－2(PB →＋PC →)2. 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，即3PM →＝－2PN →，则点P 在中位线MN 上，则△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半．5．设AB →＝22(a ＋5b )，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则共线的三点是________．答案 A ，B ，D解析 BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，AB →＝22BD →，即A ，B ，D 三点共线．6．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.答案 13或－2解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，∴k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m ，1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0，∴k ＝13或－2.7．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，且D ，E 分别是BC ，CA 的中点，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3∶1解析 如图，OB →＋OC →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，∴OA →＋2OB →＋3OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)＝0，即2OD →＋OE →＝0， ∴DO →与OE →共线，即D ，E ，O 共线， ∴2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.8．已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．用向量法证明：EF ∥AB ，EF ＝12(AB ＋DC )．证明 如图，延长EF 到点M ，使FM ＝EF ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得平行四边形ECMB ，由平行四边形法则得EF →＝12E M →＝12( EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →， DC →共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →， EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0，∴EF →＝12(E B →＋EC →)＝12(E A →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2D C →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB ，又|EF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12( AB →＋DC →)＝12(|AB →|＋|D C →|)，∴EF ＝12(AB ＋DC )，所以结论得证.易错点 对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线且方向相反，则k ＝________.易错分析 出错的根本原因是对共线向量基本定理b ＝λa 理解不透，误认为向量反向时，参数k 的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案 2正解 因为向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线， 所以k 2－4＝0，解得k ＝±2，当k ＝－2时，b ＝2a ，此时a 与b 方向相同，不符合题意，应舍去，因此k ＝2.一、选择题1．已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1＋2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 答案 B解析 a ＋b ＝3e 1＋e 2，∴c ＝6e 1＋2e 2＝2(a ＋b )． ∴c 与a ＋b 共线．2．下面向量a ，b 共线的有( ) ①a ＝2e 1，b ＝－2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)． A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④答案 A解析 对于①，e 1与e 2不一定共线，故a 与b 不一定共线；对于②，a ＝－12b ，∴a ，b 共线；对于③，a ＝4b ，∴a ，b 共线；对于④，若a ，b 共线，则存在一实数λ，使得b ＝λa ，即2e 1－2e 2＝λ(e 1＋e 2)，得(2－λ)e 1＝(λ＋2)e 2，当λ＝2时，得e 2＝0，e 1，e 2共线，矛盾，当λ≠2时，e 1＝λ＋22－λe 2，则e 1，e 2共线，矛盾．故a 与b 不共线．综上，选A. 3．若M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A ．AB →＋BC →＋AC →B ． AM →＋MB →＋BC → C ． AM →＋BM →＋CM →D ．3A M →＋AC →答案 C解析 设D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，根据点M 是△ABC 的重心， AM →＋BM →＋CM →＝23( AD →＋BE →＋CF →)＝23(AB →＋B D →＋BC →＋CE →＋CA →＋AF →)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB →共线．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上答案 B解析 ∵CB →＝λPA →＋PB →，∴CB →－PB →＝λPA →，即CP →＝λPA →.∴点P ，A ，C 共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上． 二、填空题5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________．答案 1解析 由于c 与d 同向，所以可设c ＝k d (k >0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k >0，所以λ>0，故λ＝1.6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝4DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为________． 答案 85解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＝4DB →，∴CD →＝45CB →，即CD →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.7．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋P C →＝A B →，则点P 在边AC 的________等分点处．答案 三解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，所以PC →＝2AP →，从而点P 在边AC 的三等分点处．三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，(1)如果AB →＝e 1＋e 2， BC →＝2e 1＋8e 2， CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，B D →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →与BD →共线，且AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，且此两向量均为非零向量， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线， 只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.9．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .证明 如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ，只要证E ，E ′重合即可．设OA →＝a ， OB →＝b ，则BD →＝13a ， OD →＝b ＋13a .∵BE ′ →＝OE ′ →－b ，E ′A →＝a －OE ′ →，3BE ′ →＝E ′A →， ∴3(OE ′ →－b )＝a －OE ′ →， ∴OE ′ →＝14(a ＋3b )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a ，即OE ′ →＝34O D →，∴O ，E ′，D 三点共线，∴E 与E ′重合．∴BE ＝14BA .10．已知OA →，OB →是不共线的两个向量，设OM →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .求证：M ，A ，B 三点共线． 证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ. ∴OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋OB →－λOB →. ∴OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BM →＝λBA →(λ∈R )，∴BM →，BA →共线． 又∵BM ，BA 有公共点B ， ∴M ，B ，A 三点共线．11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.证明 OP →＝λOA →＋μOB →＝λ(OP →＋PA →)＋μ(OP →＋PB →) ＝(λ＋μ)OP →＋λPA →＋μPB →， 又点P 在直线AB 上，不妨设PA →＝kPB →， 则(λ＋μ－1)OP →＋(λk ＋μ)PB →＝0又OP →与PB →不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ－1＝0，λk ＋μ＝0，得λ＋μ＝1.12．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，且AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解 (1)AD →＝AB →＋BD →＝a ＋12BC →＝a ＋12AC →－12AB →＝12b ＋12a ，AE →＝23AD →＝13b ＋13a ， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13b ＋13a －a＝13b －23a . (2)证明：BF →＝AF →－AB →＝12AC →－AB →＝12b －a ，BE →＝13b －23a ，∴23BF →＝BE →，故BF →∥BE →， 又BF 与BE 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。
高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.3.2 6.3.3 6.3.4(第1课时)平面向量的分解及加
6．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示考点学习目标核心素养平面向量的坐标表示理解向量正交分解以及坐标表示的意义数学抽象、直观想象平面向量加、减运算的坐标表示掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则数学运算平面向量数乘运算的坐标表示理解坐标表示的平面向量共线的条件，并会解决向量共线问题数学运算、逻辑推理第1课时平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示问题导学预习教材P27－P33的内容，思考以下问题：1．怎样分解一个向量才为正交分解？2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？4．若a＝(x，y)，则λa的坐标是什么？1．平面向量坐标的相关概念■名师点拨(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．(2)由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则 ①a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； ②a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)； ③λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． ■名师点拨(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点的坐标与向量的坐标相同．( ) (2)零向量的坐标是(0，0)．( )(3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (4)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√已知A (3，1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(1，2) D ．(－1，－2)答案：C如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且A (2，3)，B (4，2)，则AB →可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j 答案：C设i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，a ＝3i ＋4j ，b ＝－i ＋j ，则a ＋b 与a －b 的坐标分别为____________．答案：(2，5)，(4，3)平面向量的坐标表示已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．【解】 (1)设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)． (2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．1.在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，则a 的坐标为________，b 的坐标为________．解析：设点A (x ，y )，B (x 0，y 0)，因为|a |＝2，且∠AOx ＝45°，所以x ＝2cos 45°＝2，y ＝2sin 45°＝ 2.又|b |＝3，∠xOB ＝90°＋30°＝120°，所以x 0＝3cos 120°＝－32，y 0＝3sin 120°＝332，故a ＝OA →＝(2，2)，b ＝OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.答案：(2，2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3322．已知长方形ABCD 的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，试求AC →和BD →的坐标．解：由题图知，CB ⊥x 轴，CD ⊥y 轴， 因为AB ＝4，AD ＝3，所以AC →＝4i ＋3j ， 所以AC →＝(4，3)．因为BD →＝BA →＋AD →＝－AB →＋AD →，所以BD →＝－4i ＋3j ，所以BD →＝(－4，3)．平面向量的坐标运算(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23，12) C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3 CA →，CN →＝2 CB →，求点M ，N 的坐标．【解】 (1)选A.因为a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，且c 满足3a －2b ＋c ＝0，所以c ＝2b －3a ＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．(2)法一：因为A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA →＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)．因为CM →＝3 CA →，CN →＝2 CB →，所以CM →＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2(6，3)＝(12，6)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)，CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3＝12，y 2＋4＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝20，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝2.所以M (0，20)，N (9，2)．法二：设O 为坐标原点，则由CM →＝3 CA →，CN →＝2 CB →， 可得OM →－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)， 所以OM →＝3 OA →－2 OC →，ON →＝2 OB →－OC →. 所以OM →＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)．所以M (0，20)，N (9，2)．平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．1．已知A ，B ，C 的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则AB →＋2BC →＝____________，BC →－12AC →＝____________．解析：因为A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10)， 所以AB →＝(－2，10)，BC →＝(－8，4)，AC →＝(－10，14)， 所以AB →＋2BC →＝(－18，18)，BC →－12AC →＝(－3，－3)．答案：(－18，18) (－3，－3)2．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝－3. 答案：－3向量坐标运算的综合应用已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，及OP →＝OA →＋tAB →. (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 【解】 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.(2)OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能为平行四边形．[变问法]若保持本例条件不变，问t 为何值时，B 为线段AP 的中点？ 解：由OP →＝OA →＋tAB →，得AP →＝tAB →.所以当t ＝2时，AP →＝2AB →，B 为线段AP 的中点．向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．1．已知在平行四边形ABCD 中，A (0，0)，B (5，0)，D (2，4)，对角线AC ，BD 交于点M ，则DM →的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2 解析：选A.DM →＝12DB →＝12[(5，0)－(2，4)]＝12(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2.2．已知在非平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，且A ，B ，D 三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C 的横坐标的取值范围是________．解析：当ABCD 为平行四边形时，则AC →＝AB →＋AD →＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，故满足题意的顶点C 的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．答案：(1，3)∪(3，＋∞)1．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9) 答案：A2．已知A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________． 解析：因为AC →＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，BD →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，所以x ＋y ＝112.答案：1123．已知点B (1，0)是向量a 的终点，向量b ，c 均以原点O 为起点，且b ＝(－3，4)，c ＝(－1，1)与a 的关系为a ＝3b －2c ，求向量a 的起点坐标．解：a ＝3b －2c ＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－7，10)， 设a 的起点为A (x ，y )， 则a ＝AB →＝(1－x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－7，－y ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，所以A (8，－10)．即a 的起点坐标为(8，－10)．[A 基础达标]1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7，6)C ．(5，0)D ．(11，8)解析：选D.因为OA →＝(4，2)，OB →＝(3，4)， 所以2OA →＋OB →＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．2．设向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( )A ．－112B.112 C ．－292D.292解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14，所以λ＋x ＝－292，故选C.3．已知MA →＝(－2，4)，MB →＝(2，6)，则12AB →等于( )A ．(0，5)B ．(0，1)C ．(2，5)D ．(2，1)解析：选D.12AB →＝12(MB →－MA →)＝12(2，6)－12(－2，4)＝(2，1)．4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设点D (m ，n )，则由题意得(4，3)＝2(m ，n －2)＝(2m ，2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72，故选A.5．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.13C.25D.23解析： 选C.如图所示，因为∠AOC ＝45°， 所以设C (x ，－x )， 则OC →＝(x ，－x )．又因为A (－3，0)，B (0，2)， 所以λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ－x ＝2－2λ⇒λ＝25.6．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________． 解析：设O 为坐标原点，因为OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，c ＝(4，1)，若用a 和b 表示c ，则c ＝________． 解析：设c ＝x a ＋y b ，则(x ，2x )＋(－2y ，3y )＝(x －2y ，2x ＋3y )＝(4，1)．故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝4，2x ＋3y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 所以c ＝2a －b . 答案：2a －b8．已知A (－1，2)，B (2，8)．若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，则CD →的坐标为________．解析：AC →＝13AB →＝13(3，6)＝(1，2)，DA →＝－23AB →＝－23(3，6)＝(－2，－4)，DC →＝DA →＋AC →＝(－1，－2)， 所以CD →＝(1，2)． 答案：(1，2)9．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.10．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4，3)，A (－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1， 所以B (3，1)．同理可得D (－4，－3)，设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1. 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. (2)由PB →＝(3，1)－(2，y )＝(1，1－y )，BD →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，又PB →＝λBD →(λ∈R )，所以(1，1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.[B 能力提升]11．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义mn ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝a b ，那么向量b 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45B.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－45 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，－45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，45 解析：选A.设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝a b ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y ，解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45. 12．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC＝π4，设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ＝______．解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23. 答案：2313．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：PQ →－PA →＝AQ →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ →＝QC →，所以PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)14．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .解：如图，以O 为原点，向量OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a |＝2，所以a ＝(2，0)．设b ＝(x 1，y 1)，所以x 1＝|b |·cos 150°＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－32， y 1＝|b |sin 150°＝1×12＝12，所以b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.同理可得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2，0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 ＝(2λ1－32λ2，12λ2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，解得⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－3 3. 所以c ＝－3a －33b .[C 拓展探究]15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求OP →的坐标；(2)若OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，试求m －n 的值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，因为PA →＋PB →＋PC →＝0，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )． 所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 所以点P 的坐标为(2，2)，故OP →＝(2，2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)．所以AB →＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，AC →＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，因为OP →＝mAB →＋nAC →，所以(x 0，y 0)＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ， 两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，所以y 0－x 0＝1，所以m －n ＝1.。
高中数学第6章6.2.3课时33平面向量的坐标及其运算两点间的距离公式与中点坐标公式人教B版必修第二册
课时33 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式知识点一 平面向量的坐标1.如下图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________、________、________.答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5) 解析 将各向量向基底所在直线分解．a ＝－4i ＋0j ，∴a ＝(－4,0)，b ＝0i ＋6j ，∴b ＝(0,6)，c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．2．在平面直角坐标系中，点A (2,3)，B (－3,4)，如图所示，x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量分别为i 和j ，则下列说法正确的是________(只填序号)．①OA →＝2i ＋3j ； ②OB →＝3i ＋4j ； ③AB →＝－5i ＋j ； ④BA →＝5i －j . 答案 ①③④解析 i ，j 互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA →＝2i ＋3j ，OB →＝－3i ＋4j ，AB →＝OB →－OA →＝－5i ＋j ，BA →＝OA →－OB →＝5i －j ，故①③④正确．知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系3.设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)答案 A解析 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．4．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线答案 C解析 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 相等，则m n＝________，|n a ＋m b |＝________.答案 －1241解析 m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝4，3m ＋2n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，∴m n ＝－12. n a ＋m b ＝－2a ＋b ＝(－5，－4)，∴|n a ＋m b |＝|－2a ＋b |＝(－5)2＋(－4)2＝25＋16＝41. 知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式6.在△ABC 中，已知点A (3,7)，B (－2,5)，若线段AC ，BC 的中点都在坐标轴上． (1)求点C 的坐标； (2)求△ABC 的三边长．解 (1)①若AC 的中点在y 轴上，则BC 的中点在x 轴上，设点C 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得3＋x 2＝0，y ＋52＝0，∴x ＝－3，y ＝－5，即C 点坐标为(－3，－5)．②若AC 的中点在x 轴上，则BC 的中点在y 轴上，则同理可得C 点坐标为(2，－7)． 综上C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)． (2)当C 点坐标为(－3，－5)时，AB ＝(－2－3)2＋(5－7)2＝29， AC ＝(－3－3)2＋(－5－7)2＝65， BC ＝(－3＋2)2＋(－5－5)2＝101.当C 点坐标为(2，－7)时，AB ＝29，AC ＝(2－3)2＋(－7－7)2＝197， BC ＝(2＋2)2＋(－7－5)2＝410.7．已知在△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N 是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.解 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)， 所以AB →＝(－4，－3)，AC →＝(－3，－5)． 又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点． 故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．知识点四 向量的坐标运算的应用8.已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 由已知得OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )．(1)若点P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，解得－23<t <－13.(2) PB →＝OB →－OP →＝(4,5)－(1＋3t,2＋3t )＝(3－3t ，3－3t )，若四边形OABP 是平行四边形，则有OA →＝P B →，即有3－3t ＝1，且3－3t ＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP 不可能是平行四边形．9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2B ．(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求点M ，N 的坐标及MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18). 易错点 转换向量关系失误10.平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 并延长至点E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________．易错分析 连接DC 并延长至E ，即E 在DC 的延长线上，注意向量的方向不要判断错误．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7 正解 设坐标原点为O ，∵AC →＝12BC →，∴OC →－OA →＝12(OC →－OB →)．∴OC →＝2OA →－OB →＝(3，－6)． ∴点C 的坐标为(3，－6)．又∵|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上，∴CE →＝－14ED →.设E (x ，y )，则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7.一、选择题1．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( ) A ．向量a 的终点坐标为(－2,3) B ．向量a 的起点坐标为(－2,3)C ．向量a 与b 互为相反向量D ．向量a 与b 关于原点对称 答案 C解析 a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，故a ＝－B ．故选C ． 2．已知a ＝(－2,3)，b ＝(1,5)，则3a ＋b 等于( ) A ．(－5,14) B ．(5,14) C ．(7,4) D ．(5,9)答案 A解析 3a ＋b ＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选A ．3．如图所示，{e 1，e 2}为正交基底，则向量2a ＋b 的坐标为( )A ．(3,4)B ．(2,4)C ．(3,4)或(4,3)D ．(4,2)或(2,4)答案 A解析 由图可知2a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1＋3e 2，所以2a ＋b ＝3e 1＋4e 2＝(3,4)．4．设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值是( )A ．－112B ．112C ．－292D ．292答案 C解析 a ＋b ＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc ＝(4λ，x λ)，又a ＋b ＝λc ，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＝4λ，7＝x λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14，则λ＋x ＝－292.5．已知M (2，－1)，N (0,5)，且点P 在MN 的延长线上，|MP |＝2|PN |，则P 点坐标为( ) A ．(－2,11)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3 D ．(－2,12)答案 A解析 因为P 在MN 的延长线上且|MP |＝2|PN |，所以MP →＝2NP →，则OP →－OM →＝2(OP →－ON →)， 所以OP →＝2ON →－OM →＝2(0,5)－(2，－1)， 即OP →＝(－2,11)． 二、填空题6．如图，正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(1,1)，试用基底向量i ，j 表示下列向量：OB →＝________，OC →＝________，AB →＝________，AC →＝________.答案 －i ＋j －i －j －2i －2i －2j 解析 如题图所示，OA →＝(1,1)＝i ＋j ， ∴OE →＝i ，EA →＝j .∴OF →＝－OE →＝－i ，FB →＝EA →＝j ，FC →＝－FB →＝－j .∴OB →＝OF →＋FB →＝－i ＋j ；OC →＝OF →＋FC →＝－i －j ；AB →＝OB →－OA →＝－i ＋j －(i ＋j )＝－2i . 同理，BC →＝OC →－OB →＝－i －j －(－i ＋j )＝－2j ，AC →＝AB →＋BC →＝－2i ＋(－2j )＝－2i －2j .7．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，则|a |＋|b |＝________. 答案 18解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝(2，－8)， ①a －b ＝(－8，16)， ②由①＋②得，a ＝(－3,4)， 由①－②得，b ＝(5，－12)．故|a |＋|b |＝(－3)2＋42＋52＋(－12)2＝5＋13＝18.8．已知点A (－1，－1)，B (1,3)，C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC →＝λOA →＋(1－λ) OB →，λ∈R ，则x ＝________.答案 2解析 取O (0,0)，由OC →＝λOA →＋(1－λ) OB →得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ＋(1－λ)，5＝－λ＋3(1－λ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2.9．已知边长为1的正方形ABCD ，若点A 与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．答案 (3,4)解析 根据题意建立坐标系如图，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．∴AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)．∴2AB →＋3BC →＋AC →＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)． 三、解答题10．(1)已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，AB →－AC →，2AB →＋12AC →的坐标； (2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，求向量a ＋b ，a －b,3a －4b 的坐标． 解 (1)∵A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)． ∴AB →＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； AC →＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；AB →＋AC →＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； AB →－AC →＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)； 2AB →＋12AC →＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1.(2)a ＋b ＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；a －b ＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；3a －4b ＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．11．已知点A (6,3)，O 为坐标原点，点P 在直线OA 上，且OP →＝12PA →，若P 是线段OB 的中点，求点B 的坐标及PB 的长．解 设点P (x 1，y 1)，B (x ，y )，∵OP →＝12PA →，∴(x 1，y 1)＝12(6－x 1,3－y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12(6－x 1)，y 1＝12(3－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝1，∴点P 的坐标为(2,1)． ∵点P 是OB 的中点，∴2＝0＋x 2，1＝0＋y2⇒x ＝4，y ＝2，∴点B 的坐标为(4,2)．∴PB 的长为(4－2)2＋(2－1)2＝ 5.12．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c ， (1)求p 的坐标；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．解 (1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．(2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，∴p ＝－212a －15b ．。
第六章平面向量单元教学计划
第六单元教学计划单元所在教材人教A版（2019）高中数学必修二第六章计划课时18教学时间 3.8—3.26单元教学目标1.平面向量的概念（1）通过对力、速度、位移等分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.（2）理解平面向量的几何表示和基本要素.2.平面向量的运算（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义.（2）通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.（3）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.（4）通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.（5）通过几何直观，了解平面向量投影的概念及投影向量的意义.（6）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.平面向量基本定理及坐标表示4.平面向量的应用及解三角形重点1.向量的概念，向量的几何表示，相等向量和共线向量的概念.2.向量的加、减运算的运算法则及其几何意义，向量数乘运算的定义及其几何意义，向量数量积的概念与运算律.3.平面向量基本定理、平面向量坐标表示及平面向量运算的坐标表示.4.用向量方法解决简单几何问题、实际问题的方法与步骤，用向量的方法证明余弦定理和正弦定理及其应用.难点1.向量的概念和共线向量的概念.2.对向量加法运算法则与减法定义的理解，对向量数量积的概念及运算律的理解，向量数量积的应用.3.平面向量基本定理唯一性的证明.4.如何把几何问题、实际问题转化为向量问题，余弦定理和正弦定理的证明.教学方法1.注重与实际的联系.2.注重运用向量的几何表示.3.注意与数及其运算的类比.4.让学生掌握向量运算并加以应用.5.让学生经历本章中各项内容的形成与发展过程.教学进度教学内容课时课型6.1平面向量的概念1新授课6.2平面向量的运算6新授课6.3平面向量的基本定理及坐标表示4新授课6.4平面向量的应用5新授课小结2复习课。
高中数学人教A版必修第二册教师用书19-20 第6章 6.2.3 向量的数乘运算
6.2.3向量的数乘运算学习目标核心素养1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．( 重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律,会进行向量的数乘运算．( 重点)3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法,并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．( 难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别．( 易混点) 1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知,再过渡到数乘运算及数乘运算律,养成数学抽象和数学运算的核心素养.2.通过判断向量共线的学习,培养逻辑推理和数据分析的核心素养.1．向量的数乘运算( 1)定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作:λa,它的长度与方向规定如下:①|λa|＝|λ||a|;②当λ＞0时,λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时,λa的方向与a的方向相反．( 2)运算律:设λ,μ为任意实数,则有:①λ( μ a)＝( λμ)a;②( λ＋μ)a＝λa＋μ a;③λ( a＋b)＝λa＋λb;特别地,有( －λ)a＝λ( －a)＝－( λa);λ( a－b)＝λa－λb.( 3)线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ( μ1a＋μ2b)＝λμ1a ±λμ2b .2．共线向量定理向量a ( a ≠0)与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b ＝λa . 思考:定理中把“a ≠0”去掉可以吗?[提示] 定理中a ≠0不能漏掉．若a ＝b ＝0,则实数λ可以是任意实数;若a ＝0,b ≠0,则不存在实数λ,使得b ＝λa .1．若|a |＝1,|b |＝2,且a 与b 方向相同,则下列关系式正确的是( ) A ．b ＝2a B ．b ＝－2a C ．a ＝2bD ．a ＝－2bA [因a ,b 方向相同,故b ＝2a .]2．点C 是线段AB 靠近点B 的三等分点,下列正确的是( ) A.AB →＝3BC → B.AC →＝2BC →C.AC →＝12BC →D.AC →＝2CB → D [由题意可知:AB →＝－3BC →;AC →＝－2BC →＝2CB →.故只有D 正确．] 3．化简:2( 3a ＋4b )－8a ＝________. －2a ＋8b [原式＝6a ＋8b －8a ＝－2a ＋8b .]4．如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB →＋AD →＝λAO →,则λ＝________.2 [由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →. 又∵O 是AC 的中点,∴AC ＝2AO ,∴AC →＝2AO →,∴AB →＋AD →＝2AO →, ∴λ＝2.]向量的线性运算【例1】 ( 1)若3( x ＋a )＋2( x －2a )－4( x －a ＋b )＝0,则x ＝________. ( 2)化简下列各式: ①3( 6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋13b ;②12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ;③2( 5a －4b ＋c )－3( a －3b ＋c )－7a .( 1)4b －3a [由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0,所以x ＋3a －4b ＝0,所以x ＝4b －3a .]( 2)[详解] ①原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . ②原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0.③原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .向量数乘运算的方法( 1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数．( 2)向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算．1．( 1)化简23⎣⎢⎡⎦⎥⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b );( 2)已知向量为a ,b ,未知向量为x ,y ,向量a ,b ,x ,y 满足关系式3x －2y ＝a ,－4x ＋3y ＝b ,求向量x ,y .[详解] ( 1)原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4－32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋13＋74b ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b .( 2)⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ①，－4x ＋3y ＝b ②，由①×3＋②×2得,x ＝3a ＋2b ,代入①得3×( 3a＋2b )－2y ＝a ,所以y ＝4a ＋3b .所以x ＝3a ＋2b ,y ＝4a ＋3b .向量共线定理[探究问题]1．如何证明向量a 与b 共线?[提示] 要证明向量a 与b 共线,只需证明存在实数λ,使得b ＝λa ( a ≠0)即可,一般地,把a 和b 用相同的两个向量m ,n 表示出来,观察a 与b 具有倍数关系即可．2．如何证明A ,B ,C 三点在同一直线上?[提示] 要证三点A ,B ,C 共线,只需证明AB →与BC →或AB →与AC →共线即可． 【例2】 ( 1)已知e 1,e 2是两个不共线的向量,若AB →＝2e 1－8e 2,CB →＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2,求证:A ,B ,D 三点共线;( 2)已知A ,B ,P 三点共线,O 为直线外任意一点,若OP →＝xOA →＋yOB →,求x ＋y 的值．[思路探究] ( 1)表示出AB →与AD →→证明AB →＝λAD →→ A ，B ，D 三点共线( 2)A ，B ，P 三点线→AP →＝λAB →→用OA →，OB →表示OP →→观察x ＋y 的值 [详解] ( 1)证明:∵CB →＝e 1＋3e 2,CD →＝2e 1－e 2, ∴BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2. 又AB →＝2e 1－8e 2＝2( e 1－4e 2), ∴AB →＝2BD →,∴AB →∥BD →. ∵AB 与BD 有交点B , ∴A ,B ,D 三点共线．( 2)由于A ,B ,P 三点共线,所以向量AB →,AP →在同一直线上,由向量共线定理可知,必定存在实数λ使AP →＝λAB →,即OP →－OA →＝λ( OB →－OA →), 所以OP →＝( 1－λ)OA →＋λOB →, 故x ＝1－λ,y ＝λ,即x ＋y ＝1.1．本例( 1)中把条件改为“AB →＝e 1＋2e 2,BC →＝－5e 1＋6e 2,CD →＝7e 1－2e 2”,则A ,B ,C ,D 中哪三点共线?[详解] ∵AB →＝e 1＋2e 2,BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2( e 1＋2e 2)＝2AB →.∴AB →,BD →共线,且有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线．2．本例( 1)中条件“AB →＝2e 1－8e 2”改为“AB →＝2e 1＋k e 2”且A ,B ,D 三点共线,如何求k 的值?[详解] 因为A ,B ,D 三点共线,则AB →与BD →共线．设AB →＝λBD →( λ∈R ), ∵BD →＝CD →－CB →＝2e 1－e 2－( e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2, ∴2e 1＋k e 2＝λe 1－4λe 2.由e 1与e 2不共线可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2e 1＝λe 1，k e 2＝－4λe 2，∴λ＝2,k ＝－8. 3．试利用本例( 2)中的结论判断下列三点是否共线. ①OP →＝13OA →＋23OB →; ②OP →＝－2OA →＋3OB →; ③OP →＝45OA →－15OB →.[详解] ①中∵13＋23＝1,∴P ,A ,B 三点共线; ②中∵－2＋3＝1,∴P ,A ,B 三点共线; ③中∵45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝35≠1,∴P ,A ,B 三点不共线．1．证明或判断三点共线的方法( 1)一般来说,要判定A ,B ,C 三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得AB →＝λAC →( 或BC →＝λAB →等)即可．( 2)利用结论:若A ,B ,C 三点共线,O 为直线外一点⇔存在实数x ,y ,使OA →＝xOB →＋yOC →且x ＋y ＝1.2．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a ＝λb ( b ≠0)．而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,解方程从而求得λ的值．用已知向量表示未知向量【例3】 ( 1)如图,▱ABCD 中,E 是BC 的中点,若AB →＝a ,AD →＝b ,则DE →＝( )A.12a －b B.12a ＋b C ．a ＋12bD ．a －12b( 2)如图所示,D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 的中点,M ,N 分别是DE ,BC 的中点,已知BC →＝a ,BD →＝b ,试用a ,b 分别表示DE →,CE →,MN →.[思路探究] 先用向量加减法的几何意义设计好总体思路,然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示．( 1)D [DE →＝DC →＋CE →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AD →＝AB →－12AD →＝a －12b .]( 2)由三角形中位线定理,知DE 綊12BC ,故DE →＝12BC →,即DE →＝12a . CE →＝CB →＋BD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝－12a ＋b .MN →＝MD →＋DB →＋BN →＝12ED →＋DB →＋12BC →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b .1．本例( 1)中,设AC 与BD 相交于点O ,F 是线段OD 的中点,AF 的延长线交DC 于点G ,试用a ,b 表示AG →.[详解] 因为DG ∥AB , 所以△DFG ∽△BF A ,又因为DF ＝12OD ＝12×12BD ＝14BD , 所以DG AB ＝DF BF ＝13,所以AG →＝AD →＋DG →＝AD →＋13AB →＝13a ＋b .2．本例( 1)中,若点F 为边AB 的中点,设a ＝DE →,b ＝DF →,用a ,b 表示DB →.[详解] 由题意⎩⎨⎧a ＝AB →－12AD →，b ＝12AB →－AD →，解得⎩⎨⎧AB →＝43a －23b ，AD →＝23a －43b ，所以DB →＝AB →－AD →＝23a ＋23b .用已知向量表示其他向量的两种方法 ( 1)直接法．( 2)方程法．当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程．提醒:用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．2.如图所示,四边形ABCD 中,M ,N 分别是DC ,AB 的中点,已知AB →＝a ,AD →＝b ,DC →＝c ,试用a ,b ,c 表示BC →,MN →.[详解] BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋c ; MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12c －b ＋12a ＝12a －b －12c .1．实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,例如λ＋a ,λ－a 是没有意义的．2．λa 几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍,向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．判断两个向量是否共线,关键是能否找到一个实数λ,使b ＝λa .若λ存在,则共线;λ不存在,则不共线．4．共线向量定理的应用①证明向量共线:对于向量a 与b ,若存在实数λ,使a ＝λb ,则a 与b 共线( 平行)．②证明三点共线:若存在实数λ,使AB →＝λAC →,则A 、B 、C 三点共线． ③求参数的值:利用共线向量定理及向量相等的条件列方程( 组)求参数的值．特别注意:①证明三点共线问题,应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线．②若a 与b 不共线且λa ＝μb ,则λ＝μ＝0. 5．注意记住以下结论并能运用( 1)若A ,B ,P 三点共线,则OP →＝xOA →＋yOB →且x ＋y ＝1. ( 2)在△ABC 中,若D 为BC 的中点,则AD →＝12( AB →＋AC →)． ( 3)在△ABC 中,若G 为△ABC 的重心,则GA →＋GB →＋GC →＝0.1．判断正误( 1)若b ＝λa ,则a 与b 共线．( )( 2)若λa ＝0,则a ＝0.( )( 3)( －7)·6a ＝－42a .( )( 4)若AB →＝λCD →( λ≠0),则A ,B ,C ,D 四点共线．( )[答案] ( 1)× ( 2)× ( 3)√ ( 4)×2．对于向量a ,b 有下列表示:①a ＝2e ,b ＝－2e ;②a ＝e 1－e 2,b ＝－2e 1＋2e 2;③a ＝4e 1－25e 2,b ＝e 1－110e 2;④a ＝e 1＋e 2,b ＝2e 1－2e 2.其中,向量a ,b 一定共线的有( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④ A [对于①,b ＝－a ,有a ∥b ;对于②,b ＝－2a ,有a ∥b ;对于③,a ＝4b ,有a ∥b ;对于④,a 与b 不共线．]3．设a ,b 是两个不共线的向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反,则k ＝________.－4 [因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反,所以k a ＋2b ＝λ( 8a ＋k b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧2＝λk ，k ＝8λ⇒k ＝－4( 因为方向相反,所以λ＜0⇒k ＜0)．] 4．如图所示,已知AP →＝43AB →,用OA →,OB →表示OP →.[详解] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43( OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.。
2019-2020学年人教B版必修第二册 6.2.3 第1课时 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式
6.2.3 第1课时 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则12a －32b ＝( ) A ．(－1,2) B ．(1，－2) C ．(－1，－2) D ．(1,2)答案 A解析 12a －32b ＝12(1,1)－32(1，－1)＝( 12－32，12＋32 )＝(－1,2)．2．已知点M 的坐标为(4，－1)，且AB →＝(4，－1)，下列各项中正确的是( ) A ．点M 与点A 重合 B ．点M 与点B 重合 C ．点M 在AB→上 D ．OM →＝AB →(O 为坐标原点) 答案 D解析 由于M (4，－1)，所以OM→＝(4，－1)＝AB →.3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b 答案 B解析 由已知可设c ＝x a ＋y b ⇒⎩⎨⎧ 4＝x －y ，2＝x ＋y ⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.所以c ＝3a －b .4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6) 答案 D解析 由题意得4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，则d ＝－4a －4b ＋2c －2(a －c )＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)＝(－2，－6)．故选D ．5．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(1,2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．∅答案 C解析 设a ∈M ∩N ，则存在λ和μ使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．∴⎩⎨⎧ 4μ－3λ＝3，5μ－4λ＝4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝0.所以a ＝(－2，－2)． 6．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则|b |＝( ) A ． 5 B ．2 5 C ． 3 D ．2 3 答案 A解析 b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)，故|b |＝1＋4＝ 5. 二、填空题7．若A (0,1)，B (1,2)，C (3,4)，则AB ＋2BC ＝________. 答案 5 2解析 AB ＝(1－0)2＋(2－1)2＝2，BC ＝(3－1)2＋(4－2)2＝22，故AB ＋2BC ＝2＋42＝5 2.8．已知O (0,0)和A (6,3)两点，若点P 在直线OA 上，且OP P A ＝12，又点P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是________．答案 (4,2)或(－12，－6)解析 ①若点P 在线段OA 上，则P A →＝2OP →，∴OA→－OP →＝2OP →，∴OP →＝13OA →＝(2,1)， ∴点P 的坐标为(2,1)．∵P 是OB 的中点，∴点B 的坐标为(4,2)． ②若点P 在线段AO 的延长线上． 则P A →＝－2OP →，∴OA →－OP →＝－2OP →. ∴OP→＝－OA →＝(－6，－3)， ∴点P 的坐标是(－6，－3)．∵P 是OB 的中点，∴点B 的坐标为(－12，－6)． 综上，点B 的坐标为(4,2)或(－12，－6)．9．如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC→＝__________；OD →＝________.答案 (1，－1) (1,1) (－1,1)解析 根据题意，知点A 与点B 关于y 轴对称，与点C 关于原点对称，与点D 关于x 轴对称，又因OA→＝(－1，－1)，O 为坐标原点，∴A (－1，－1)，∴B (1，－1)，C (1,1)，D (－1,1)， ∴OB →＝(1，－1)，OC →＝(1,1)，OD →＝(－1,1)． 三、解答题10．已知a ＝(3x ＋4y ，－2x －y )，b ＝( 2x －3y ＋1，－3x ＋169y ＋3 )，若2a ＝3b ，试求x 与y 的值．解 ∵a ＝(3x ＋4y ，－2x －y )， b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3y ＋1，－3x ＋169y ＋3， ∴由2a ＝3b 可得(6x ＋8y ，－4x －2y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －9y ＋3，－9x ＋163y ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋8y ＝6x －9y ＋3，－4x －2y ＝－9x ＋163y ＋9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3517，y ＝317.B 级：“四能”提升训练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|O C →|＝2，若O C →＝λOA→＋μOB →，则λ＋μ＝________.答案 2 2解析 因为|O C →|＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又O C →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.2．已知A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)，D (x ，y )． (1)求3AB→－2AC →＋BC →的坐标； (2)若A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形ABCD ，求点D 的坐标． 解 (1)∵AB→＝(1,3)，AC →＝(2,4)，BC →＝(1,1)，∴3AB→－2AC →＋BC →＝3(1,3)－2(2,4)＋(1,1)＝(0,2)． (2)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD→＝BC →，又AD →＝(x －1，y ＋2)，∴⎩⎨⎧ x －1＝1，y ＋2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.故点D 的坐标为(2，－1)．。