北师大版数学高二-选修1教案 4.1.1函数的单调性

第三章 导数的应用 第一课时 4.1.1函数的单调性
学习目的：
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 学习重点：利用导数判断函数单调性 学习难点：利用导数判断函数单调性
内容分析：
以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数.
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单
学习过程： 一、复习引入：
1. 常见函数的导数公式：
0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=
x x 1)'(ln =
； e x
x a a log 1)'(log =； x x e e =)'( ； a a a x
x ln )'(= 2.法则1 '
'
'
[()()]()()f x g x f x g x ±=±．
法则2 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+, [()]'()cf x cf x '=
法则3 '
2()'()()()'()
(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=
≠ ⎪⎝⎭
二、学习新课：
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数3
42
+-=x x y
的图像
可以看到：
在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/
y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，
函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/
y <0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减
函数.
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/
y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/
y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
2.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ).
②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.
三、范例：
例1确定函数f (x )=x 2－2x +4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
例2确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
例3证明函数f (x )=x
1
在(0，+∞)上是减函数.
例4已知函数y =x +
x
1
，试讨论出此函数的单调区间.
四、课堂练习：
1．确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =x －x 3
2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间.
3.求下列函数的单调区间(1)y =x x 2+ (2)y =9
2-x x
(3)y =x +x
五、小结 ：
f (x )在某区间内可导，可以根据/
()f x ＞0或/
()f x ＜0求函数的单调区间，或判断函数
的单调性，或证明不等式.以及当/
()f x =0在某个区间上，那么f(x )在这个区间上是常数函数
第一课时 3.1.1函数的单调性答案
三、讲解范例：
例1解：f ′(x )=(x 2－2x +4)′=2x －2. 令2x －2＞0，解得x ＞1.
∴当x ∈(1，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令2x －2＜0，解得x ＜1.
∴当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数. 例2解：f ′(x )=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0
∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数. 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.
∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数.
例3证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2. f (x 1)－f (x 2)=
2
11
22111x x x x x x -=
-∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴
2
11
2x x x x -＞0∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴f (x )=
x
1
在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证) ∵/
()f x =(
x 1)′=(－1)·x －2=－21x ，x ＞0，∴x 2＞0，∴－21x
＜0. ∴/
()0f x <， ∴f (x )=
21
x
在(0，+∞)上是减函数.
点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.
例4解：y ′=(x +
x
1)′ =1－1·x －2
=2
22)
1)(1(1x
x x x x -+=- 令
2
)
1)(1(x
x x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +
x
1
的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2
)1)(1(x x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x 1的单调减区间是(－1，0)和
(0，1)
四、课堂练习：
1.(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜
2.
∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4) (2)解：y ′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－
3
1
)=－3(x +33)(x －33)
令－3(x +
33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33.∴y =x －x 3的单调增区间是(－3
3，3
3
). 令－3(x +
33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－3
3. ∴y =x －x 3的单调减区间是(－∞，－
33)和(3
3
，+∞) 2．解：y ′=(ax 2+bx +c )′=2ax +b, 令2ax +b ＞0，解得x ＞－
a
b
2 ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调增区间是(－
a
b
2，+∞) 令2ax +b ＜0，解得x ＜－
a b 2.∴y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调减区间是(－∞，－a
b 2) 3．(1)解：y ′=(
x x 2+)′=2
22
2x x x x -=--∵当x ≠0时，－22x ＜0，∴y ′＜0.
∴y =
x
x 2
+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 2
2
2222)
9(9
)9(9-+-=---=x x x x 当x ≠±3时，－2
22)
9(9
-+x x ＜0，∴y ′＜0. ∴y =
9
2
-x x
的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞). (3)解：y ′=(x +x )′121
12121+=+=-x
x .
当x ＞0时x
21+1＞0，∴y ′＞0. ∴y =
x +x 的单调增区间是(0，+∞)。