八年级全等三角形单元培优测试卷

八年级全等三角形单元培优测试卷

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．

【答案】①③④

【解析】

【分析】

①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则

∠C=12

∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于

∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．

【详解】

∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，

∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，

∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，

故①正确；

若∠EBC=∠C ，则∠C=

12

∠ABC ， ∵∠BAC=90°，

那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，

故②错误；

∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，

∴∠ABF=∠EBD ，

∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，

又∵∠BAD=∠C ，

∴∠AFE=∠AEF ，

∴AF=AE ，

故③正确；

∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，

∴AN⊥BE，FN=EN，

在△ABN与△GBN中，

∵

90

ABN GBN

BN BN

ANB GNB

∠=∠

⎧

⎪

=

⎨

⎪∠=∠=︒

⎩

，

∴△ABN≌△GBN（ASA），

∴AN=GN，

又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，

∴△ANE≌△GNF（SAS），

∴∠NAE=∠NGF，

∴GF∥AE，即GF∥AC，

故④正确；

∵AE=AF，AE=FG，

而△AEF不一定是等边三角形，

∴EF不一定等于AE，

∴EF不一定等于FG，

故⑤错误．

故答案为：①③④．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．

2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形

（1）如图，在ABC

∆中，25,105

A ABC

∠=︒∠=︒，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC

∆分割成两个等腰三角形，则BDA

∠的度数是______．

（2）已知在ABC

∆中，AB AC

=，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC

∆分割成两个等腰三角形，则A

∠的最小度数为________．

【答案】130︒

180

7

︒

⎛⎫

⎪

⎝⎭

【解析】

【分析】

（1）由题意得：DA=DB ，结合25A ∠=︒，即可得到答案；

（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD ，CD=AD ，②当AD=BD ，AC=CD ，③AB=AC ，当AD=BD=BC ，④当AD=BD ，CD=BC ，分别求出A ∠的度数，即可得到答案．

【详解】

（1）由题意得：当DA=BA ，BD=BA 时，不符合题意，

当DA=DB 时，则∠ABD=∠A=25°，

∴∠BDA=180°-25°×2=130°．

故答案为：130°；

（2）①如图1，∵AB=AC ，当BD=AD ，CD=AD ，

∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴4∠B=180°，

∴∠BAC=90°．

②如图2，∵AB=AC ，当AD=BD ，AC=CD ，

∴∠B=∠C=∠BAD ，∠CAD=∠CDA ，

∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B ，

∴∠BAC=3∠B ，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

∴∠BAC=108°．

③如图3，∵AB=AC ，当AD=BD=BC ，

∴∠ABC=∠C ，∠BAC=∠ABD ，∠BDC=∠C ，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC ，

∴∠ABC=∠C=2∠BAC ，

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，

∴5∠BAC=180°，

∴∠BAC=36°．

④如图4，∵AB=AC ，当AD=BD ，CD=BC ，

∴∠ABC=∠C ，∠BAC=∠ABD ，∠CDB=∠CBD ，

∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC ，

∴∠ABC=∠C=3∠BAC ，

∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，

∴7∠BAC=180°，

∴∠BAC=180()7

︒ ．