八年级上册全等三角形单元培优测试卷

八年级上册全等三角形单元培优测试卷

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长

_________ .

【答案】3

【解析】

【分析】

过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明

CAI≅BAJ，求出°

7830

∠=∠=，然后求出

1

2

IF FJ AF

==，，通过设FJ x

=求出x，即可求出AF的长.

【详解】

解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J

在CAE和BAD中

AC AB

CAE BAD

AE AD

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴CAE≅BAD

∴ICA ABJ

∠=∠

∴BFE CAB

∠=∠（8字形）

∴°

120

CFD

∠=

在CAI和BAJ中

°90

ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩

∴CAI ≅BAJ

,AI AJ CI BJ ==

∴°60CFA AFJ ∠=∠=

∴°30FAI FAE ∠=∠=

在RtAIF 和RtAJF 中

°30FAI FAE ∠=∠=

∴12

IF FJ AF ==

设FJ x = 7,4CF BF ==

则47x x +=-

3

2x ∴=

2AF FJ =

AF ∴=

3

【点睛】

此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.

2．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，

92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．

【答案】128︒

【解析】

【分析】

连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，

ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则

∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．

【详解】

连接CE ，

∵线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，

∴CA=CB ，CE=CD ，

∵72ABC EDC ∠=∠=︒=∠DEC ，

∴∠ACB=∠ECD=36°，

∴∠ACE=∠BCD ，

在∆ACE 与∆BCD 中，

∵CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴∆ACE ≅

∆BCD （SAS ）， ∴∠AEC=∠BDC ，

设∠AEC=∠BDC=x ，则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，

∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x ）=x-20°，

∴在∆BDE 中，∠EBD=180°-（72°-x ）-（x-20°）=128°．

故答案是：128︒．

【点睛】

本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．

3．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，点D在边AB上，∠ACD=15°，则AD

BC

____．

【答案】

2

2

．

【解析】

【分析】

根据题意作CE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，在CF上截取一点H，使得CH＝DH，连接DH，并设AD＝2x，解直角三角形求出BC（用x表示）即可解决问题．

【详解】

解：作CE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，在CF上截取一点H，使得CH=DH，连接DH．

设AD=2x，

∵AB=AC，∠A=30°，

∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=x ， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，

∴∠HDC=∠HCD=15°， ∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，

∴DH=HC=2x ，FH 3=x ，

∴AB=AC=2x+23x ，

在Rt △ACE 中，EC 12

=AC=x 3+x ，AE 3=EC 3=x+3x ， ∴BE=AB ﹣AE 3=x ﹣x ，

在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =

+=22x ， ∴22

22AD BC x ==． 故答案为：

22． 【点睛】

本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

4．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=︒时，11n n n A A B --∠=__________．

【答案】

1

702n -︒ 【解析】

【分析】

先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．

【详解】

解：∵在1ABA ∆中，70A ∠=︒，1AB A B =

∴170BA A A ∠==︒∠

∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ∆的外角