2014届高三上学期期末考试数学文_Word版含答案

哈三中2012—2013学年度上学期 高三学年期末考试数学试卷（文科）
考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间为120分钟；
（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第I 卷 （选择题， 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．已知集合{}2,3,4A =，{}2,4,6,8B =，{
}(,),,log x C x y x A y B y N *
=∈∈∈且，则C
中元素个数是
A ． 2
B ． 3
C ． 4
D ． 5
2．若变量,x y 满足约束条件30
101x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则24z x y =+-的最大值为
A ． 5
B ． 1
C ．1-
D ． 4- 3．下列说法正确的个数是
①“在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题；
②“1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线320x my ++=垂直”的充要条件； ③“三个数,,a b c 成等比数列”是
“b =
④命题“3
2
,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“0x R ∃∈，3
2
0010x x -+>”． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 4．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A ． 1
B ．
1
3
C ． 12
D ． 32
5．首项为1，且公比为q (1≠q )的等比数列的 第11项等于这个数列的前n 项之积，则n 的值为
A ．4
B ． 5
C ． 6
D ． 7
6．下列函数中，既是偶函数，又在区间()21,内是增函数的为 A ．x cos y 2= B ． x log y 2= C ．3
2-
=x y D ．2
x
x e e y --=
7．方程x ln e
x
=-的两个根为21x ,x ，则
A ．021<x x
B ．121=x x
C ．121>x x
D ．1021<<x x 8．已知)x sin()x (f ϕ+ω= ⎪⎭⎫ ⎝
⎛π<
ϕ>ω20||,，满足)2()(π+-=x f x f ，2
1
)0(=f ，则)x cos()x (g ϕ+ω=2在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上的最大值与最小值之和为
A ．23-
B ．32-
C ．0
D ．1-
9．已知椭圆方程为22
182
+=x y ，过椭圆上一点(2,1)P 作切线交y 轴于N ，过点P 的另一条
直线交y 轴于M ，若∆PMN 是以MN 为底边的等腰三角形，则直线PM 的方程为 A ．223-=
x y B ．12y x = C ．52+-=x y D ．3
132-=x y 10．直线13=+by ax 与圆22
2
=+y x 相交于B ,A 两点（R b ,a ∈），且AOB ∆是直角三
角形（O 是坐标原点），则点)b ,a (P 与点()10,之间距离的最大值是 A ．
4
17
B ．4
C ．2
D ． 37
11．已知双曲线左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其右支上一点，1260∠=
F PF
，且
12∆=F PF S ，若1PF ，
2
1214
F F ，2PF 成等差数列，则该双曲线的离心率为 A ．3 B ． 32 C ． 2 D ．
2
12．数列{}n a 定义如下：11=a ，且当2≥n 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-为奇数为偶数n ,a n ,a a n n n 1
2
11 ，若1119=n a ，则正
整数=n
A ．112
B ．114
C ．116
D ．118
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)
13．已知向量1=a ,2=b ，且a 与b 的夹角为60
，若1λ+<a b ，则实数λ的取值
范围是 ．
14．抛物线2
8y x =的顶点为O ，()1,0A ，过焦点且倾斜角为
4
π
的直线l 与抛物线交于 N ,M 两点，则AMN ∆的面积是 ．
15．已知四棱锥ABCD P -的所有侧棱长都相等，底面ABCD 为正方形，若四棱锥的高
为3，体积为6，则这个四棱锥的外接球的体积为 ．
16．设G 是ABC ∆的重心，且=++GC C sin GB B sin GA A sin 73370，则角B 的大小
为 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本大题12分）
如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75
，距离为在A 处看灯塔C
在货轮的北偏西30
，距离为货轮由A 处向正北方向航行到D 处，再看灯塔B
在北偏东120
．
（I ）求,A D 之间距离； （II ）求,C D 之间距离．
18．（本大题12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n
⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
在直线10x y -+=上，其中*
n N ∈． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设2n n n b a a +=⋅，求证：16
311112121<+++≤n b b b ．
如图，四棱锥P ABCD -中，AD ∥BC ,,222,AD DC AD BC CD ⊥===侧面APD
为等腰直角三角形，90APD ∠=
，平面PAD ⊥底面ABCD ，若PC EC λ=，()10,∈λ．
（I ）求证： PA DE ⊥；
（II ）是否存在实数λ，使直线AP ∥平面EBD ，若存在，求出λ的值，若不存在，说明
理由；
（III ）求点B 到平面APC 的距离．
20．（本大题12分）
已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，直线4y x =+与以原点为圆心，短半轴长为半径的圆相切. （I ）求椭圆的方程；
（II ）过左焦点1F 作不与x 轴垂直的直线l ，与椭圆交于,A B 两点，点(,0)M m 满足
(
)()
=+⋅-MB MA MB MA 0，问1
MA MB
MF -
是否为定值，若是，求出此定值，
若不是，请说明理由．
21．（本大题12分）
已知函数()()()1ln )2(12
1
2--++-=
x a x x x x f . （Ⅰ）设3=x 是函数()x f 的一个极值点，求函数()x f 在1=x 处的切线方程； （Ⅱ）若对任意[)+∞∈,x 1，恒有()0>x f 成立，求a 的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．
如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是BC 上一点，以BD 为直径的圆交AB 于点F ，连CF 交半圆于点
E ，延长BE 交AC 于点G ，
（I ）求证：BC BD BG BE ⋅=⋅； （II ）求证：A G E F 、、、四点共圆．
23．（本大题10分）
倾斜角为α的直线l 过点(8,2)P ，直线l 和曲线C :2
2
(17sin )32ρθ+=交于不同的两点
12M M 、.
（I ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程,并写出直线l 的参数方程； （II ）求12PM PM 的取值范围．
24．（本大题10分）
已知函数()21,()1f x x g x x a =+=+-． （I ）当1a =时，解不等式()()f x g x ≥；
（II ）若存在x R ∈，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．
哈三中2012—2013学年度上学期 高三学年期末考试数学试卷答案（文科）
二、选择题
1．C 2．B 3．C 4．B 5．B 6．B 7．D 8．A 9．B 10．C 11．A 12．D 二、填空题
13．021<λ<-
14． 15．
3
32π
16．3π 三、解答题 17．（本大题12分）
（I ）24=AD ； （II ）38=CD ． 18．（本大题12分）
（I ）n a n 2=； （II ）略． 19．（本大题12分）
（I ）证明：略； （II ）存在， 3
1
=λ； （III ）66．
20．（本大题12分）
（I ）112
162
2=+y x ； （II ）4．
21．（本大题12分） （I ）x ln y ⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=332； （II ）3≤a ． 22．（本大题10分）
（I ）证明：略； （II ）证明：略．
23．（本大题10分）
（I ）143222=+y x ；8cos 2sin x t y t αα
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）
（II ）（
649
128
,） 24．（本大题10分） （I ）(]⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞-
⋃-∞-,,311； （II ）21≥a ．。