2011年高考椭圆选题
【数学】2011年高考总复习数学(大纲版)提能拔高限时训练：椭圆(练习+详细答案)
提能拔高限时训练35一、选择题1.已知A(0,b),点B 为椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左准线与x 轴的交点.若线段AB 的中点C在椭圆上,则该椭圆的离心率为（ ） A.3 B.23 C.33 D.43解析:由已知,得B(0,2c a -),又A(0,b), ∴AB 的中点C 为)2,2(2b c a -. ∵点C 在椭圆上,∴,3.14142222=∴=+c a c a 即33=e . 答案:C2.椭圆1422=+y x 的左、右两个焦点分别为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,已知一个交点为P,则|PF 2|等于（ ） A.23B.3C.27D.4解析:方法一:设F 1(3-,0),F 2(3,0), 则点P 的横坐标为3-.由点P 在椭圆上,得,14)3(22=+-y ∴,21±=y 即|PF 1|=21. 又∵|PF 2|+|PF 1|=2a=4,∴|PF 2|=27. 方法二:由已知得a=2,c=3,e=23, 椭圆的右准线方程为3342==c a x .∵.27||,23)3(334||22=∴=+--PF e PF 答案:C3.设F 1、F 2分别是椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左、右两个焦点,若在其右准线上存在点P,使线段PF 1的中垂线过点F 2,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A.]22,0( B.]33,0( C.)1,22[ D.)1,33[解析:如图,设右准线与x 轴的交点为H,则|PF 2|≥|HF 2|.又∵|F 1F 2|=|PF 2|, ∴|F 1F 2|≥|HF 2|,即2c≥c ca -2. ∴3c 2≥a 2.∴e 2≥31,即e≥33. 又∵e<1,∴e ∈［1,33). 答案:D4.设点P(-3,1)在椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左准线上,过点P 且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（ ） A.33 B.31 C.22D.21解析:入射光线所在直线的方程为y-1=25-(x+3),它与直线y=-2的交点为)2,59(--.又反射光线过点(-c,0),∴1,255902==+---c c . 又3,3,322==-=-a a ca , ∴33=e . 答案:A5.设椭圆12222=+by a x (a>b>0)与x 轴正半轴的交点为A,和y 轴正半轴的交点为B,P 为第一象限内椭圆上的点,那么四边形OAPB 的面积最大值为（ ） A.2ab B.ab 22C.21abD.2ab解析:方法一:设P(acosθ,bsinθ),则S 四边形OAPB =S △OAP +S △OBP =)cos (sin 21cos 21sin 21θθθθ+=+ab ba ab . ∵sin θ+cos θ=2sin(θ+4π)≤2, ∴S 四边形OAPB ≤22ab. 方法二:设点P(x,y),则S 四边形OAPB =S △AOP +S △BOP =).(212121bx ay bx ay +=+ 由不等式性质:a>0,b>0时,.2222)(21,2222222222ab b a x b y a bx ay b a b a ==+≤++≤+得方法三:如图,直线AB 的方程为),(0a x a b y --=-S 四边形OAPB =S △AOB +S △APB =ab 21+S △APB . 设点P 到直线AB 的距离为d,则S △APB =d b a d AB ∙+=∙2221||21, 由题意,知过点P 的直线与椭圆相切且和直线AB 平行时d 有最大值,∴可设过点P 且与AB 平行的直线为m x aby +-=.联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,1,2222b y a x m x ab y 得2b 2x 2-2mabx+a 2(m 2-b 2)=0,Δ=(-2mab)2-8a 2b 2(m 2-b 2)=0, 解得b m 2=.由两平行线间的距离公式,得,)12(22b a ab d +-=S △APB 最大值=ab 212-, ∴S 四边形OAPB 最大值=ab 22. 答案:B6.设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′,若l′与椭圆1422=+y x 交于A 、B 两点,点P 为椭圆上的动点,则使△PAB 的面积为21的点P 的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析:可求出直线l′:2x+y -2=0.由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+,14,02222y x y x 解得x=0或x=1.∴A(0,2),B(1,0),|AB|=5. ∴点P 到AB 的距离为51. 由AB 所在的直线方程为y=-2x+2,设P(x 0,y 0),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+,515|22|,14002020y x y x 解之有两组解.故存在两个不同的P 点满足题意. 答案:B 7.椭圆⎩⎨⎧==ϕϕsin 3,cos 2Y x (φ为参数)的离心率为（ ）A.32 B.135 C.35D.132 解析:将椭圆的参数方程化为普通方程,得,1)3()2(22=+yx 即19422=+y x . ∴a 2=9,b 2=4,即a=3,b=2. ∴c 2=a 2-b 2=5,c=5. ∴35==a c e . 答案:C8.设e 为椭圆)2(1222->=-m m y x 的离心率,且e ∈(1,22),则实数m 的取值范围为（ ） A.(-1,0) B.(-2,-1) C.(-1,1) D.(-2,21-) 解析:∵椭圆方程为1222=-+my x , ∵m>-2且-m>0, ∴0<-m<2.∴a 2=2,b 2=-m,即.,2m b a -== ∴c 2=a 2-b 2=2+m,m c +=2,)1,22(22∈+==m a c e .解得m ∈(-1,0). 答案:A9.若AB 为过椭圆1162522=+y x 中心的弦,F 1为椭圆的右焦点,则△F 1AB 面积的最大值为（ ）A.6B.12C.24D.48解析:由已知得F 1为(3,0),则△F 1AB 可看成由△OBF 1和△OAF 1组成. 设A(x 0,y 0),则B(-x 0,-y 0). ∴111O AF O BF AB F S S S ∆∆∆+==||||21||||210101y OF y OF ∙+-∙ =||3||321200y y =⨯⨯⨯.由椭圆的定义,知|y 0|≤b=4, ∴.121≤∆AB F S 答案:B10.已知椭圆192522=+y x ,过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点,交y 轴于P 点,设=λ1,=λ2BF ,则λ1+λ2的值为（ ）A.259-B.950-C.950 D.259 解析:设直线AB 的方程为y=k(x-c),则02)()()0(1222222222222222=-+-+⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=>>=+b a c k a x ck a x b k a c x k y b a b y a x ,∴222222b k a ck a x x B A +=+, 22222222b k a b a c k a x x B A +-=,BBA A x c x x c x -+-=+21λλ=BA B A BA B A x x x x c c x x x x c ++--+)(2)(2=121)(2222222222-=-=--=-e ac c a a b a . ∵,54=e ∴λ1+λ2=950-. 答案:B 二、填空题11.已知椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ,则m 的值为___________. 解析:分两种情况.焦点在x 轴上时,0<m<5, ∴51055=-=m e ,解得m=3; 焦点在y 轴上时,m>5, ∴,5105=-=mm e 解得325=m . 答案: 3或32512.(理)在△ABC 中,AB=BC,cosB=187-.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=____________. 解析:∵以A 、B 为焦点的椭圆经过点C, ∴BCAC ABe +=.∵AB=BC,∴ABAC ABe +=.又1872cos 222-=∙-+=BC AB AC BC AB B , ∴18722222-=-AB AC AB ，解得AB AC 35=. ∴83=e . 答案:83(文)在△ABC 中,∠A=90°,tanB=43.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_________.解析:设|AC|=3x,|AB|=4x,又∵∠A=90°,∴|BC|=5x.由椭圆定义知|AC|+|BC|=2a=8x, 那么2c=|AB|=4x,∴2184===x x a c e . 答案:2113.已知A 、B 为椭圆C:1122=++my m x 的长轴的两个端点,P 是椭圆C 上的动点,且∠APB 的最大值是32π,则实数m 的值是______________. 解析:由椭圆知识,知当点P 位于短轴的端点时∠APB 取得最大值,根据题意则有.2113tan=⇒+=m mm π答案:2114.椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2,点P 为椭圆上的动点.当∠F 1PF 2为钝角时,点P 的横坐标的取值范围是__________.解析:若∠F 1PF 2=90°,设P(x,y),则由椭圆方程得a=3,b=2,52322=-=c . ∴F 1(5-,0),F 2(5,0). ∴15521-=-∙+=∙x yx y k k PF PF . ①又14922=+y x . ② 解①②得x=±553. 结合椭圆图形可得,当∠F 1PF 2为钝角时,553553<<-x . 答案：553553<<-x 三、解答题15.椭圆中心在原点O,它的短轴长为22,对应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l 与x 轴相交于点A,且｜OF ｜=2｜FA ｜,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. (1)求椭圆的方程及离心率;(2)设∙=0,求直线PQ 的方程.解:(1)由题意,设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x . 由已知,得⎪⎩⎪⎨⎧-==-),(2,2222c c a c c a 解得a=6,c=2.∴椭圆的方程为12622=+y x ,离心率36==a c e . (2)由(1)知A(3,0),设直线PQ 的方程为y=k(x-3),由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+).3(,12622x k y y x 得(3k 2+1)x 2-18k 2x+27k 2-6=0. 依题意Δ=12(2-3k 2)>0, ∴3636<<-k . 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),x 1+x 2=13627,1318222122+-=+k k x x k k ,由直线PQ 的方程,得y 1y 2=k(x 1-3)·k(x 2-3) =k 2［x 1x 2-3(x 1+x 2)+9］. ∵OQ OP ∙=0, ∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴0]91318313627[136272222222=++⨯-+-++-k k k k k k k . 整理得5k 2=1, ∴)36,36(55-∈±=k . ∴直线PQ 的方程为55±=y (x-3), 即035=--y x 或035=-+y x .16.(理)已知菱形ABCD 的顶点A,C 在椭圆x 2+3y 2=4上,对角线BD 所在直线的斜率为1.(1)当直线BD 过点(0,1)时,求直线AC 的方程; (2)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD 面积的最大值. 解:(1)由题意得直线BD 的方程为y=x+1. ∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD. 设直线AC 的方程为y=-x+n.由⎩⎨⎧+-==+,.4322n x y y x 得4x 2-6nx+3n 2-4=0. ∵A,C 在椭圆上, ∴Δ=-12n 2+64>0,解得334334<<-n . 设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=23n ,,443221-=n x x y 1=-x 1+n,y 2=-x 2+n. ∴y 1+y 2=2n ,AC 的中点坐标为)4,43(nn . 由四边形ABCD 为菱形可知,点)4,43(nn 在直线y=x+1上.∴1434+=nn ,解得n=-2. ∴直线AC 的方程为y=-x-2,即x+y+2=0. (2)∵四边形ABCD 为菱形,且∠ABC=60°, ∴|AB|=|BC|=|CA|. ∴S 菱形ABCD =2||23AC . 由(1)知|AC|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=.21632+-n ∴S 菱形ABCD =).334334)(163(432<<-+-n n ∴当n=0时,S 菱形ABCD 取得最大值34.(文)已知△ABC 的顶点A,B 在椭圆x 2+3y 2=4上,C 在直线l:y=x+2上,且AB ∥l.(1)当AB 边通过坐标原点O 时,求AB 的长及△ABC 的面积; (2)当∠ABC=90°,且斜边AC 的长最大时,求AB 所在直线的方程. 解:(1)因为AB ∥l,且AB 边通过点(0,0), 所以AB 所在直线的方程为y=x. 设A,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).由⎩⎨⎧==+,,4322x y y x 得x=±1.所以|AB|=2|x 1-x 2|=22.又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离,所以h=2,S △ABC =2||21=∙h AB . (2)设AB 所在直线的方程为y=x+m.由⎩⎨⎧+==+,,4322m x y y x 得4x 2+6mx+3m 2-4=0.因为A,B 在椭圆上,所以Δ=-12m 2+64>0.设A,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则443,2322121-=-=+m x x m x x . 所以|AB|=2|x 1-x 2|=26322m -. 又因为BC 的长等于点(0,m)到直线l 的距离,即|BC|=2|2|m -, 所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m 2-2m+10=-(m+1)2+11.所以当m=-1时,AC 边最长.(这时Δ=-12+64>0)此时AB 所在直线的方程为y=x-1.【例1】已知椭圆M 的两焦点坐标分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),离心率21=e ,P 是椭圆M 上的动点. (1)求椭圆M 的方程;(2)设||||21PF -=m,求m 的取值范围. (3)求21PF ∙的取值范围. 解:(1)由已知得c=1,21=a c ,∴a=2,b=3, 即椭圆M 的方程为13422=+y x . (2)设P 点的坐标为(x 0,y 0),则x 0∈［-2,2］,又||1PF =e(x 0+c a 2)=a+ex 0, ||2PF 002)(ex a x ca e -=-=,∴m=||||21PF PF -=2ex 0=x 0∈［-2,2］. (3)∵||||21PF PF -=m,||||21PF PF +=4, ∴||1PF =24m +, ||2PF =24m -. ||||2121PF PF ∙=∙cos 〈||1PF ,||2PF 〉 =||21221222121PF PF ∙ =21)|||||(|2212221F F PF -+ =48]2)24()24[(212222+=--++m m m . 又m ∈［-2,2］,∴21PF ∙∈［2,3］.【例2】已知椭圆12222=+by a x (a>b>0),长轴两端点为A 、B,如果椭圆上存在一点Q,使∠AQB=120°,求这个椭圆的离心率的范围.解:如图,根据椭圆的对称性,不妨设Q 在x 轴上方,设Q 点坐标为(x 0,y 0),直线QA 、QB 的斜率分别为k 1、k 2.又A(-a,0)、B(a,0),由于直线QA 到直线QB 的角是120°, ∴311120tan 000000002112-=+∙-++--=+-=︒ax y a x y a x y a x y k k k k , 整理得32202200-=+-y a x ay . ① ∵点Q 在椭圆上,∴1220220=+by a x ,即)1(220220b y a x -=,代入①得22032c ab y =. ∵0<y 0≤b,∴0<b c ab ≤2232,即ab c 232≥.∴3c 4≥4a 2(a 2-c 2),即3c 4+4a 2c 2-4a 4≥0. 故3e 4+4e 2-4≥0,∴322≥e .又e<1,∴136<≤e .。
2011年高考数学 考点38 椭圆
考点38 椭圆一、选择题1.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ4）椭圆221168x y +=的离心率为（ ） A.13 B. 12C. 33D. 22【思路点拨】通过方程确定a c 、的值，离心率ce a=. 【精讲精析】选D 由题意1682.42c e a -=== 2.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为22.过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 . 【思路点拨】2ABF ∆的周长为4a ，求得a 的值，再由离心率求得c 的值，可得椭圆的方程.【精讲精析】221168x y += 由2ABF ∆4a =＝16,得4a =，又知离心率为22，即22c a =，进而22c =，所以216a =，2221688b a c =-=-=，∴C 的方程为221168x y +=. 3.（2011·浙江高考理科·Ｔ17）设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是 .【思路点拨】设出A 点坐标,利用题目条件建立方程即可, 注意把125F A F B =转化为坐标关系. 【精讲精析】解法一：设直线A F 1的反向延长线与椭圆交于点B '，又∵F F 215=，由椭圆的对称性可得115F B F '=，设()11,y x A ，()22,y x B '，又∵1163232F A =， 12632'32F B =+1212632632323225(2)x x x x +=++=--∴解之得01=x ，∴点A 的坐标为(0,1)或（0，-1）.解法二：椭圆的焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -,设A 点坐标为(,)m n ,B 点坐标为（p,t ）则25(2)m p +=-,即625m p +=，5n t =，故2213m n +=，且()2262125325m n ++=⨯,由上面两式解得0m =,即点A 的坐标是(0,1±).二、解答题4.（2011·天津高考理科·T18）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)ab 为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b 的左、右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2=-AM BM ，求点M 的轨迹方程．【思路点拨】由等腰三角形建立等式关系求出离心率；联立直线和椭圆的方程，表示出A 、B 的坐标，再由向量等式关系化简整理得到轨迹方程。
2011-2018年全国一卷解析几何文汇编 带答案
2011年4．（5分）（2011•新课标）椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，则c==2；则椭圆的离心率为e==，故选D．【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．9．（5分）（2011•新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18B．24C．36D．48【分析】首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选C．【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅰ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅰ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t ﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x ﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．2012年4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．10．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x 的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x 的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），。
2011年高考一轮数学复习 8-1椭圆 理 同步练习(名师解析)
第8 章 第1节知能训练·提升考点一：椭圆定义的应用1．设椭圆x 225＋y216＝1上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)，则|OM →|＝________.解析：设右焦点为F ′，则|PF |＝10×35＝6，∴|PF ′|＝10－6＝4，∴|OM |＝12|PF ′|＝2.答案：22．椭圆x 212＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍解析：∵a 2＝12，b 2＝3，∴c 2＝9，c ＝3，即F 1(－3,0)，F 2(3,0)．由PF 1的中点在y 轴上，知点P 的横坐标为3，将x ＝3代入椭圆方程求得y ＝±32.∴|PF 2|＝32.由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝43，∴|PF 1|＝732.∴|PF 1|＝7|PF 2|.答案：A3．已知点A (4,0)和B (2,2)，M 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，求|MB |＋54|MA |的最小值，并求此时点M 的坐标．解析：由椭圆方程知a 2＝25，b 2＝9，c 2＝16，e ＝45.如图，过M 点向椭圆的右准线作垂线，垂足为T ，则由椭圆第二定义知|MA ||MT |＝45，∴|MT |＝54|MA |，∴|MB |＋54|MA |＝|MB |＋|MT |，显然M 、B 、T 共线时，|MB |＋|MT |最小，最小值为|BT |＝a 2c －2＝254－2＝174，此时点M 的坐标为(553，2)．答案：(553，2)考点二：椭圆的方程4．(2010·东城目标检测)离心率为e ＝12的椭圆，它的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的焦点重合，则此椭圆的方程为________．解析：由x 23－y 2＝1得双曲线的焦点在x 轴上，且坐标分别为(2,0)，(－2,0)，∴椭圆的焦距2c ＝4，又∵椭圆的离心率e ＝12，∴椭圆的长轴长2a ＝8，短轴长2b ＝43，∴椭圆的方程是x 216＋y212＝1.答案：x 216＋y 212＝15．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________．解析：依题意，得c ＝23，2a ＝2·2b ，即a ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2，解之得a ＝4，b ＝2.∴椭圆标准方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝16．根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)两准线间的距离为1855，焦距为25；(2)和椭圆x 224＋y 220＝1共准线，且离心率为12；(3)椭圆经过点M (－2，3)和N (1,23)．解：(1)设椭圆长轴长为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a 2c ＝1855，2c ＝25，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2.所以所求椭圆方程为x 29＋y 24＝1或y 29＋x 24＝1.(2)设椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则其准线为x ＝±12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2c＝12.c a ＝12.a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝3 3.所以所求椭圆方程为x 236＋y 227＝1.(3)由题设，可知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，因而可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，又∵M (－2，3)，N (1,23)在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋3n ＝1， ①m ＋12n ＝1， ② 由①②解之得m ＝15，n ＝115，∴所求椭圆方程为x 25＋y 215＝1.考点三：椭圆的性质7．(2010·某某联考)如图，已知A 、B 两点分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点和上顶点，F 为椭圆的右焦点，若AB →·BF →＞0，则椭圆的离心率e 的取值X 围是________．解析：∵A (－a,0)，B (0，b )，F (c,0)，∴AB →＝(a ，b )，BF →＝(c ，－b )， 由AB →·BF →＞0得ac －b 2＞0，而b 2＝a 2－c 2， ∴a 2－c 2＜ac ，∴1－e 2＜e ，即e 2＋e －1＞0，解得e ＜－1－52或e ＞5－12，又0＜e ＜1，∴5－12＜e ＜1.答案：(5－12，1)8．(2010·某某某某一中模拟)已知椭圆M 的两焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，离心率e ＝12，P 是椭圆M 上的动点．(1)求椭圆M 的方程；(2)设|PF 1→|－|PF 2→|＝m ，求m 的取值X 围．(3)求PF 1→·PF 2→的取值X 围．解：(1)由已知得c ＝1，c a ＝12，∴a ＝2，b ＝3，即椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则x 0∈[－2,2]，又|PF 1→|＝e (x 0＋a 2c)＝a ＋ex 0，|PF 2→|＝e (a 2c －x 0)＝a －ex 0，∴m ＝|PF 1→|－|PF 2→|＝2ex 0＝x 0∈[－2,2]．(3)∵|PF 1→|－|PF 2→|＝m ， |PF 1→|＋|PF 2→|＝4，∴|PF 1→|＝4＋m 2，|PF 2→|＝4－m 2.PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|cos PF 1→，PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·|PF 1→|2＋|PF 2→|2－|F 1F 2→|22|PF 1→||PF 2→|＝12(|PF 1|2＋|PF 2→|2－|F 1F 2→|2) ＝12[(4＋m 2)2＋(4－m 2)2－22]＝m 2＋84. 又m ∈[－2,2]，∴PF 1→ ·PF 2→∈[2,3].1.(2009·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，右准线为l ，点A ∈l ，线段AF交椭圆C 于点B .若F A →＝3FB →，则AF →＝( )A.2B ．2 C.3D ．3解析：作BB 1⊥l 于B 1，依题意得|BF ||BB 1|＝12.又F A →＝3FB →，因此|AB |＝2|BF |，|BB 1||AB |＝12，即cos ∠ABB 1＝12，∠ABB 1＝45°，所以直线FB 的倾斜角是45°.又点F (1,0)，因此直线FB的方程是y ＝x －1，右准线l 的方程是x ＝2，因此点A 的坐标是(2,1)，|AF →|＝2，选A.答案：A2．(2009·某某)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ，b >0)过M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程．(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值X 围；若不存在，说明理由．解：(1)将M 、N 的坐标代入椭圆E 的方程得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，6a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝R 2，其中0<R <2. 设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 当直线AB 的斜率存在时，令直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，① 将其代入椭圆E 的方程并整理得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.由韦达定理得x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1.②因为OA →⊥OB →，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.③将①代入③并整理得(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，联立②得m 2＝83(1＋k 2)．④因为直线AB 和圆相切，因此R ＝|m |1＋k 2.由④得R ＝263，所以存在圆x 2＋y 2＝83满足题意．当切线AB 的斜率不存在时，易得x 21＝x 22＝83， 由椭圆E 的方程得y 21＝y 22＝83， 显然OA →⊥OB →.综上所述，存在圆x 2＋y 2＝83满足题意．解法一：当切线AB 的斜率存在时，由①②④得 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2(－4km 2k 2＋1)2－4×2m 2－82k 2＋1＝4 2k 2＋12k 2＋11－23×k 2＋12k 2＋1.令t ＝k 2＋12k 2＋1，则12<t ≤1，因此|AB |2＝32t (1－23t )＝－643(t －34)2＋12.所以323≤|AB |2≤12，即463≤|AB |≤2 3.当切线AB 的斜率不存在时，易得|AB |＝463，所以463≤|AB |≤2 3.综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝83满足题意，且463≤|AB |≤2 3.解法二：过原点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，则D 为切点， 设∠OAB ＝θ，则θ为锐角，且|AD |＝263tan θ，|BD |＝263tan θ， 所以|AB |＝263(tan θ＋1tan θ)．因为2≤|OA |≤22，所以22≤tan θ≤ 2.令x ＝tan θ，易证：当x ∈[22，1]时，|AB |＝263(x ＋1x )单调递减．当x ∈[1，2]时，|AB |＝263(x ＋1x)单调递增．所以463≤|AB |≤2 3.3．(2009·某某)点P (x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，x 0＝a cos β，y 0＝b sin β，0<β<π2.直线l 2与直线l 1：x 0a 2x ＋y 0b2y ＝1垂直，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为α，直线l 2的倾斜角为γ.(1)证明点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1与直线l 1的唯一交点；(2)证明tan α，tan β，tan γ构成等比数列．证明：(1)证法一：由x 0a 2x ＋y 0b 2y ＝1得y ＝b 2a 2y 0(a 2－x 0x )，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得(1a 2＋b 2x 20a 4y 20)x 2－2b 2x 0a 2y 20x ＋(b 2y 20－1)＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a cos β，y 0＝b sin β代入上式，得x 2－2a cos β·x ＋a 2cos 2β＝0， 从而x ＝a cos β.因此，方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 0a 2x ＋y0b 2y ＝1有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，即l 1与椭圆有唯一交点P .证法二：显然P 是椭圆与l 1的交点，若Q (a cos β1，b sin β1),0≤β1<2π是椭圆与l 1的交点，代入l 的方程cos βa x ＋sin βby ＝1，得cos βcos β1＋sin βsin β1＝1，即cos(β－β1)＝1，β＝β1，故P 与Q 重合．证法三：在第一象限内，由x 2a 2＋y 2b2＝1可得y ＝b a a 2－x 2，y 0＝baa 2－x 20， 椭圆在点P 处切线的斜率k ＝y ′(x 0)＝－bx 0a a 2－x 20＝－b 2x 0a 2y 0，切线方程为y ＝－b 2x 0a 2y 0(x －x 0)＋y 0，即xx 0a 2＋yy 0b2＝1.因此，l 1就是椭圆在点P 处的切线．根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线l 1的唯一交点．(2)tan α＝y 0x 0＝b a tan β，l 1的斜率为－x 0b 2y 0a 2，l 2的斜率为tan γ＝y 0a 2x 0b 2＝abtan β，由此得tan αtan γ＝tan 2β≠0，tan α，tan β，tan γ构成等比数列.1.以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心O 并交椭圆于点M 、N ，若过椭圆左焦点F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的右准线与圆F 2( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．位置关系随离心率改变解析：由已知得|MF 2|＝c ，|MF 1|＝2a －c ， 又MF 1⊥MF 2，∴(2a －c )2＋c 2＝4c 2.解得4a 2－4ac －2c 2＝0，a ＝1＋22c . |F 2B |＝a 2c －c ＝a 2－c 2c ＝(1＋2)2－44c ·c 2＝22－14c ＜c ，∴与准线相交．∴选A.答案：A2．已知椭圆x 225＋y 29＝1，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于P 点，设P A →＝λ1AF →，PB →＝λ2BF →，则λ1＋λ2的值为( )A ．－925B ．－509C.509D.925解析：设直线AB 的方程为y ＝k (x －c )，则⎭⎪⎬⎪⎫x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)y ＝k (x －c )⇒(a 2k 2＋b 2)x 2－2a 2ck 2x ＋a 2k 2c 2－a 2b 2＝0， ∴x A ＋x B ＝2a 2k 2ca 2k 2＋b 2， x A x B ＝a 2k 2c 2－a 2b 2a 2k 2＋b 2，λ1＋λ2＝x A c －x A ＋x Bc －x B＝c (x A ＋x B )－2x A x Bc 2－c (x A ＋x B )＋x A x B＝－2a 2b 2＝－2a 2a 2－c 2＝2(c a)2－1＝2e 2－1.∵e ＝45，∴λ1＋λ2＝－509.答案：B。
2011年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)§9.5--椭圆--答案
§9.5 椭圆1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段.（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆.（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上. 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔.1.答案 232.答案 23或383.答案 434.答案 (－∞,－1)∪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 5.答案 121622y x +＝1 例1解 两定圆的圆心和半径分别为O 1（－3，0），r 1＝1；O 2（3，0），r 2＝9.设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R. ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10.由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3. ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为162522y x +＝1.例2解 （1）若焦点在x 轴上，设方程为2222b y a x +＝1 (a ＞b ＞0).∵椭圆过P （3，0），∴222203b a +＝1. 又2a ＝3×2b,∴a ＝3,b ＝1,方程为1922=+y x . 若焦点在y 轴上，设方程为2222b x a y +＝1(a ＞b ＞0).∵椭圆过点P （3，0），∴222230b a +＝1 又2a ＝3×2b,∴a ＝9,b ＝3.∴方程为98122x y +＝1. ∴所求椭圆的方程为1922=+y x 或98122x y +＝1. （2）设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0,n ＞0且m ≠n).∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程，则 ⎩⎨⎧=+=+,123,16n m n m①、②两式联立，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ∴所求椭圆方程为13922=+y x . 例3（1）解 设椭圆方程为2222b y a x +＝1 （a ＞b ＞0）, |PF 1|＝m,|PF 2|＝n.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知，4c 2＝m 2＋n 2－2mncos60°.∵m ＋n ＝2a ， ∴m 2＋n 2＝（m ＋n ）2－2mn ＝4a 2－2mn ， ∴4c 2＝4a 2－3mn.即3mn ＝4a 2－4c 2.又mn ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m ＝a 2（当且仅当m ＝n 时取等号）, ∴4a 2－4c 2≤3a 2，∴22a c ≥41，即e ≥21. ∴e 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21.（2）证明 由（1）知mn ＝34b 2, ∴21F PF S ∆＝21mnsin60°＝33b 2, 即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关. 例4解 （1）∵|BC|＝2|AC|，且BC 经过O （0，0）,∴|OC|＝|AC|.又A （23，0），∠ACB ＝90°, ∴C （3，3）, 3分∵a ＝23，将a ＝23及C 点坐标代入椭圆方程得23123b+＝1,∴b 2＝4, ∴椭圆E 的方程为:41222y x +＝1.7分（2）对于椭圆上两点P 、Q ，∵∠PCQ 的平分线总垂直于x 轴，∴PC 与CQ 所在直线关于直线x ＝3对称，设直线PC 的斜率为k ，则直线CQ 的斜率为－k ，∴直线PC ：y －3＝k(x －3), 即y ＝k(x －3)＋3.① 直线CQ ：y ＝－k(x －3)＋3,②10分将①代入41222y x +＝1,得(1＋3k 2)x 2＋63k(1－k)x ＋9k 2－18k －3＝0,③∵C(3,3)在椭圆上，∴x ＝3是方程③的一个根. ∴x P ·3＝22313189k k k +--，∴x P ＝)31(3318922k k k +--，① ②同理可得,x Q ＝)31(3318922k k k +-+, ∴k PQ ＝PQ P Q PQ P Q x x kx x k x x y y -++-=--32)(＝31. 14分∵C （3，3），∴B （－3，－3）， 又A （23，0），∴k AB ＝333＝31， 15分∴k AB ＝k PQ ，∴向量PQ 与向量AB 共线. 16分1.答案 6 3.答案222.解（1）设椭圆的标准方程是2222by ax +＝1或2222bx ay +＝1，则由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝5.在方程2222b y a x +＝1中令x ＝±c 得|y|＝a b 2 在方程2222bx a y +＝1中令y ＝±c 得|x|＝a b 2依题意并结合图形知ab 2＝532.∴b 2＝310. 即椭圆的标准方程为103522y x +＝1或103522x y +＝1. （2）设经过两点A （0，2），B ⎪⎭⎫⎝⎛3,21的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1，代入A 、B 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=134114n m n ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==411n m ， ∴所求椭圆方程为1422=+y x . 4.解（1）由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2,代入椭圆方程得22x ＋(kx ＋2)2＝1.整理得2221x k ⎪⎭⎫⎝⎛+＋22kx ＋1＝0①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎪⎭⎫⎝⎛+221k ＝4k 2－2＞0,解得k ＜－22或k ＞22.即k 的取值范围为(－∞,－ 22)∪(22,＋∞). （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则OP ＋OQ ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2）， 由方程①得x 1＋x 2＝－22124kk + ②又y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋22 ③而A （2，0），B （0，1），AB ＝（－2，1）.所以OP ＋OQ 与AB 共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入上式，解得k ＝22.由（1）知k ＜－22或k ＞22,故没有符合题意的常数k. 1.答案71622y x +＝1或16722y x +＝1 2.答案191222=+y x 或191222=+x y 3.答案1752522=+y x4.答案 75.答案 4416.答案 277.答案 －318.答案 83 9.解（1）由于椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为2222b y a x +＝1(a ＞b ＞0).∴2a ＝22)45()45(-++＝10,∴a ＝5.又c ＝4,∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的方程为92522y x+＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为2222b x a y +＝1 (a ＞b ＞0).由于椭圆经过点（0，2）和（1，0），∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,110,1042222b a b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧==.1,422b a 故所求椭圆的方程为42y ＋x 2＝1.(3)设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1 (m ＞0,n ＞0,m ≠n),点P （－23,1）,Q(3,－2)在椭圆上，代入上述方程得⎩⎨⎧=+=+143112n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,51,151n m ∴51522y x +＝1.10.解在椭圆4522x y +＝1中，a ＝5,b ＝2.∴c ＝22b a -＝1.又∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25.① 由余弦定理知：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos30°＝|F 1F 2|2＝(2c)2＝4. ②①式两边平方得：|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20， ③ ③－②得（2＋3）|PF 1|·|PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝16（2－3）， ∴21F PF S ∆＝21|PF 1|·|PF 2|sin30°＝8－43. 11.解 （1）设所求椭圆方程是2222b y a x +＝1（a ＞b ＞0）.由已知，得c ＝m ，a c ＝21，∴a ＝2m ，b ＝3m. 故所求的椭圆方程是：222234my mx +＝1.（2）设Q （x Q ，y Q ），直线l ：y ＝k （x ＋m ），则点M （0，km ）， 当MQ ＝2QF 时，由于F （－m ，0），M （0，km ）， ∴（x Q －0，y Q －km ）＝2（－m －x Q ，0－y Q ）∴x Q ＝2120+-m ＝－32m，y Q ＝210++km ＝3km . 又点Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,32km m 在椭圆上，所以2222239494m m k m m +＝1. 解得k ＝±26. 当MQ ＝－2QF 时，x Q ＝21)()2(0--⨯-+m ＝－2m ，y Q ＝21-km＝－km.于是2244m m ＋2223m m k ＝1,解得k ＝0.故直线l 的斜率是0，±26. 12.解 由e ＝23得a 2＝4b 2,椭圆可化为:x 2＋4y 2＝4b 2. 将y ＝21x ＋1代入上式，消去y 并整理得：x 2＋2x ＋2－2b 2＝0.①∵直线y ＝21x ＋1与椭圆交于A 、B 两点，∴Δ＝4－4（2－2b 2）＞0,∴b ＞22.设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),M(x,y),则由OM ＝21OA ＋23OB ,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)3(21)3(212121y y y x x x . ∵M 在椭圆上，∴41（x 1＋3x 2)2＋(y 1＋3y 2)2＝4b 2,∴x 1x 2＋4y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+1211x ⎪⎭⎫⎝⎛+1212x ·4＝0，即x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋2＝0 ②又由①知x 1＋x 2＝－2,x 1·x 2＝2－2b 2,代入②中得b 2＝1,满足b ＞22. ∴椭圆方程为42x ＋y 2＝1.。
高考椭圆试题及答案
高考椭圆试题及答案一、选择题1. 已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，若椭圆的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则下列说法正确的是（）A. \(a > b\)B. \(a < b\)C. \(a = b\)D. \(a = 2b\)答案：A2. 椭圆\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)的长轴长度为（）A. 3B. 5C. 6D. 9答案：C二、填空题3. 若椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的焦点坐标为\((\sqrt{5}, 0)\)和\((-\sqrt{5}, 0)\)，则a的值为（）。
答案：34. 椭圆\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)的短轴长度为（）。
答案：6三、解答题5. 已知椭圆\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)，求椭圆上一点P(x, y)到焦点F(1, 0)的距离的最小值。
答案：最小值为\(\sqrt{3} - 1\)。
6. 椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的长轴和短轴分别为2a和2b，且a > b > 0，若椭圆上存在一点P(x, y)，使得\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，且\(\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2}\)，求椭圆的离心率。
答案：离心率为\(\frac{1}{2}\)。
四、计算题7. 已知椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)，求椭圆的离心率和焦距。
答案：离心率\(e = \frac{3}{5}\)，焦距\(2c = 6\)。
2011届高考数学复习好题精选 椭圆
椭圆题组一椭圆的定义和标准方程1.(2009·陕西高考)“22y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：把椭圆方程化成x 21m ＋y 21n ＝1.若m ＞n ＞0，则1n ＞1m ＞0.所以椭圆的焦点在y 轴上．反之， 若椭圆的焦点在y 轴上，则1n ＞1m ＞0即有m ＞n ＞0.故为充要条件．答案：C2．(2009·广东高考)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________． 解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝13．(2009·北京高考)椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________． 解析：依题知a ＝3，b ＝2，c ＝7. 由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝6， ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2.又|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，|F 1F 2|＝27.在△F 1PF 2中由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°题组二椭圆的几何性质4.(2010·郑州模拟)如图，A 、B 、C 分别为椭圆x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ( )A.－1＋52B ．1－22 C.2－1 D.22解析：∵∠ABC ＝90°，∴|BC |2＋|AB |2＝|AC |2， ∴c 2＋b 2＋a 2＋b 2＝(a ＋c )2，又b 2＝a 2－c 2， ∴e 2＋e －1＝0，e ＝5－12. 答案：A5．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴 的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶 点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不．正确的是 ( ) A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2 B ．a 1－c 1＝a 2－c 2 C ．a 1c 2<a 2c 1 D ．a 1c 2>a 2c 1 解析：由题意知，a 1＝2a 2，c 1>2c 2，∴a 1c 2<a 2c 1. ∴不正确的为D. 答案：D6．(2009·浙江高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22 C.13 D.12解析：由题意知：F (－c,0)，A (a,0)，B (－c ，±b 2a )．∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝ac.又∵AP ＝2PB ，∴a c ＝2即e ＝c a ＝12.答案：D7．(2009·重庆高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)．若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．解析：在△PF 1F 2中，由正弦定理知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，∵a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，∴|PF 2||PF 1|＝a c ＝1e，即|PF 1|＝e |PF 2|. ① 又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 将①代入得|PF 2|＝2ae ＋1∈(a －c ，a ＋c )， 同除以a 得，1－e ＜2e ＋1＜1＋e ，得2－1＜e ＜1.答案：(2－1,1)8.过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝0解析：设过点P 的弦与椭圆交于A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)两点，则22112222165165x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2， ∴23(x 1－x 2)－25(y 1－y 2)＝0， ∴kA 1A 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝53.∴弦所在直线方程为y ＋1＝53(x －2)，即5x －3y －13＝0. 答案：A9．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 ( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12解析：设直线m 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程， 得(1＋221k )x 2＋821k x ＋821k －2＝0， 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2121812k k +， ∴y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝22x ，∴P (－2121412k k +，121212k k +)，∴k 2＝－12k 1，∴k 1k 2＝－12. 答案：D10.(2010·广州调研)设椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，点A 是椭圆上的一点，且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上一动点P (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为P 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解：(1)依题意知，2a ＝4，∴a ＝2. ∵e ＝c a ＝22，∴c ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点P (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为P 1(x 1，y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x 12.解得：x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x 05.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点P (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，∴－2≤x 0≤2，则－10≤－5x 0≤10. ∴3x 1－4y 1的取值范围为．11．已知中心在原点的椭圆C 的一个焦点F (4,0)，长轴端点到较近焦点的距离为1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)为椭圆上不同的两点． (1)求椭圆的方程；(2)若x 1＋x 2＝8，在x 轴上是否存在一点D ，使|DA |＝|DB |？若存在，求出D 点的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题设知c ＝4，a －c ＝1，∴a ＝5，b ＝3. ∴所求方程为x 225＋y 29＝1.(2)假设存在点D (x 0,0)，由|DA |＝|DB |， 则点D 在线段AB 的中垂线上，又线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，y 1＋y 22，∴线段AB 的中垂线方程为：y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －4)． ①又2125x ＋219y ＝1，2225x ＋229y ＝1， ∴22221212259x x y y --+＝0. ∴x 1－x 2y 1－y 2＝－259·y 1＋y 28.在①中令y ＝0，∴－y 1＋y 22＝25(y 1＋y 2)72(x 0－4)．∴x 0＝6425，∴存在点D 为⎝⎛⎭⎫6425，0. 12．(理)(2009·山东高考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ，b ＞0)过M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标原点． (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA ⊥OB ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)将M 、N 的坐标代入椭圆E 的方程得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，6a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为 x 2＋y 2＝R 2，其中0＜R ＜2.设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 当直线AB 的斜率存在时， 令直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，①将其代入椭圆E 的方程并整理得 (2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1.②因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.③把①代入③并整理得(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 联立②得m 2＝83(1＋k 2)．④因为直线AB 和圆相切，因此R ＝|m |1＋k 2，由④得R ＝263，所以存在圆x 2＋y 2＝83满足题意．当切线AB 的斜率不存在时，易得21x ＝22x ＝83，由椭圆E 的方程得21y ＝22y ＝83，显然OA ⊥OB .综上所述，存在圆x 2＋y 2＝83满足题意．法一：当切线AB 的斜率存在时，由①②④得 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2(－4km 2k 2＋1)2－4×2m 2－82k 2＋1 ＝4 2k 2＋12k 2＋11－23×k 2＋12k 2＋1. 令t ＝k 2＋12k 2＋1，则12＜t ≤1，因此|AB |2＝32t (1－23t )＝－643(t －34)2＋12.所以323≤|AB |2≤12，即463≤|AB |≤2 3. 当切线AB 的斜率不存在时，易得|AB |＝463，所以463≤|AB |≤2 3.综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝83满足题意，且463≤|AB |≤2 3.法二：过原点O 作OD ⊥AB ，垂足为D ，则D 为切点， 设∠OAB ＝θ，则θ为锐角， 且|AD |＝263tan θ，|BD |＝263tan θ.所以|AB |＝263(tan θ＋1tan θ)． 因为2≤|OA |≤22，所以22≤tan θ≤ 2. 令x ＝tan θ，易证：当x ∈[22，1]时， |AB |＝263(x ＋1x)单调递减． 当x ∈时，|AB |＝263(x ＋1x)单调递增． 所以463≤|AB |≤2 3.。
高考椭圆题选
高考椭圆题选1.课标理数14.H5[2011·江西卷] 若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．课标理数14.H5[2011·江西卷] 【答案】 x 25＋y 24＝1【解析】 由题可知过点⎝⎛⎭⎫1，12与圆x 2＋y 2＝1的圆心的直线方程为y ＝12x ，由垂径定理可得k AB ＝－2. 显然过点⎝⎛⎭⎫1，12的一条切线为直线x ＝1，此时切点记为A (1,0)，即为椭圆的右焦点，故c ＝1. 由点斜式可得，直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)， 即AB ：2x ＋y －2＝0.令x ＝0得上顶点为(0,2)，∴b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.2.课标理数14.H5[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．课标理数14.H5[2011·课标全国卷] x 216＋y 28＝1 【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为离心率为22，所以22＝1－b 2a2，解得b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.图1－7又△ABF 2的周长为||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||BF 2＋||AF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝2a ＋2a ＝4a ，，所以4a ＝16，a ＝4，所以b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.3.课标文数17.H5[2011·陕西卷] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．课标文数17.H5[2011·陕西卷] 【解答】 (1)将(0,4)代入椭圆C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32，y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65.即中点为⎝⎛⎭⎫32，－65. 4.课标理数21.H5，H7，H8[2011·湖南卷] 如图1－9，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长．(1)求C 1，C 2的方程；(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .①证明：MD ⊥ME ；②记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2.问：是否存在直线l ，使得S 1S 2＝1732？请说明理由．图1－10课标理数21.H5，H7，H8[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由题意知，e ＝c a ＝32，从而a ＝2b .又2b ＝a ，解得a ＝2，b ＝1.故C 1，C 2的方程分别为x 24＋y 2＝1，y ＝x 2－1.(2)①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1得x 2－kx －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1.又点M 的坐标为(0，－1)，所以k MA ·k MB ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)x 1x 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1x 1x 2＝－k 2＋k 2＋1－1＝－1.故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME .②设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为y ＝k 1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y ＝x 2－1解得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1，y ＝k 21－1.则点A 的坐标为(k 1，k 21－1)．又直线MB 的斜率为－1k 1，同理可得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1k 1，1k 21－1.于是S 1＝12|MA |·|MB |＝121＋k 21·|k 1|·1＋1k 21·⎪⎪⎪⎪－1k 1＝1＋k 212|k 1|.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，x 2＋4y 2－4＝0得(1＋4k 21)x 2－8k 1x ＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 11＋4k 21，y ＝4k 21－11＋4k 21.则点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 11＋4k 21，4k 21－11＋4k 21.又直线ME 的斜率为－1k 1，同理可得点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 14＋k 21，4－k 214＋k 21. 于是S 2＝12|MD |·|ME |＝32(1＋k 21)·|k 1|(1＋4k 21)(k 21＋4). 因此S 1S 2＝164⎝⎛⎭⎫4k 21＋4k 21＋17. 由题意知，164⎝⎛⎭⎫4k 21＋4k 21＋17＝1732， 解得k 21＝4，或k 21＝14. 又由点A ，B 的坐标可知，k ＝k 21－1k 21k 1＋1k 1＝k 1－1k 1，所以k ＝±32.故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为y ＝32x 和y ＝－32x .5.课标文数19.H8[2011·北京卷] 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．课标文数19.H8[2011·北京卷] 【解答】 (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63.解得a ＝2 3.又b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4.y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△P AB 的底边， 所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.6.大纲文数22.H8，H10[2011·全国卷] 已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：x 2＋y 22＝1在y 轴正半轴上的焦点，过F 且图1－4斜率为－2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足OA →＋OB →＋OP →＝0. (1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 大纲文数22.H8，H10[2011·全国卷]【解答】 (1)证明：F (0,1)，l 的方程为y ＝－2x ＋1，代入x 2＋y 22＝1并化简得 4x 2－22x －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，则x 1＝2－64，x 2＝2＋64，x 1＋x 2＝22，y 1＋y 2＝－2(x 1＋x 2)＋2＝1，由题意得x 3＝－(x 1＋x 2)＝－22，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－1.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－22，－1.经验证，点P 的坐标⎝⎛⎭⎫－22，－1满足方程x 2＋y 22＝1，故点P 在椭圆C 上．(2)证明：由P ⎝⎛⎭⎫－22，－1和题设知Q ⎝⎛⎭⎫22，1，PQ 的垂直平分线l 1的方程为y ＝－22x .①设AB 的中点为M ，则M ⎝⎛⎭⎫24，12，AB 的垂直平分线l 2的方程为y ＝22x ＋14.②由①、②得l 1、l 2的交点为N ⎝⎛⎭⎫－28，18.|NP |＝⎝⎛⎭⎫－22＋282＋⎝⎛⎭⎫－1－182＝3118， |AB |＝1＋(－2)2·|x 2－x 1|＝322，|AM |＝324，|MN |＝⎝⎛⎭⎫24＋282＋⎝⎛⎭⎫12－182＝338，|NA |＝|AM |2＋|MN |2＝3118，故|NP |＝|NA |.又|NP |＝|NQ |，|NA |＝|NB |， 所以|NA |＝|NP |＝|NB |＝|NQ |，由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上． 7.课标文数21.H8[2011·辽宁卷]图1－9如图1－9，已知椭圆C 1的中点在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 课标文数21.H8[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝⎛⎭⎫t ，a b a 2－t 2，B ⎝⎛⎭⎫t ，ba a 2－t 2. 当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即 b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a， 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e2e 2＜1，解得22＜e ＜1.所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN . 8.课标数学18.H8，H10[2011·江苏卷]图1－5如图1－5，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线P A 的斜率为k .(1)若直线P A 平分线段MN ，求k 的值； (2)当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3)对任意的k >0，求证：P A ⊥PB . 课标数学18.H8，H10[2011·江苏卷] 本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．图1－6【解答】 (1)由题设知，a ＝2，b ＝2，故M (－2,0)，N (0，－2)，所以线段MN 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22.由于直线P A 平分线段MN ，故直线P A 过线段MN 的中点，又直线P A 过坐标原点，所以k ＝－22－1＝22.(2)直线P A 的方程为y ＝2x ，代入椭圆方程得 x 24＋4x 22＝1，解得x ＝±23， 因此P ⎝⎛⎭⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎫－23，－43. 于是C ⎝⎛⎭⎫23，0，直线AC 的斜率为0＋4323＋23＝1， 故直线AB 的方程为x －y －23＝0.因此，d ＝⎪⎪⎪⎪23－43－2312＋12＝223.(3)解法一：将直线P A 的方程y ＝kx 代入x 24＋y 22＝1，解得x ＝±21＋2k 2 .记μ＝21＋2k 2，则P (μ，μk )，A (－μ，－μk )，于是C (μ，0)，故直线AB 的斜率为0＋μk μ＋μ＝k2，其方程为y ＝k2(x －μ)，代入椭圆方程得(2＋k 2)x 2－2μk 2x －μ2(3k 2＋2)＝0，解得x ＝μ(3k 2＋2)2＋k 2或x ＝－μ，因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫μ(3k 2＋2)2＋k 2，μk 32＋k 2.于是直线PB 的斜率k 1＝μk 32＋k 2－μk μ(3k 2＋2)2＋k2－μ＝k 3－k (2＋k 2)3k 2＋2－(2＋k 2)＝－1k .因此k 1k ＝－1，所以P A ⊥PB . 解法二：设P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＞0，x 2＞0，x 1≠x 2，A (－x 1，－y 1)，C (x 1,0)，设直线PB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，因为C 在直线AB 上，所以k 2＝0－(－y 1)x 1－(－x 1)＝y 12x 1＝k 2，从而k 1k ＋1＝2k 1k 2＋1＝2·y 2－y 1x 2－x 1·y 2－(－y 1)x 2－(－x 1)＋1＝2y 22－2y 21x 22－x 21＋1＝(x 22＋2y 22)－(x 21＋2y 21)x 22－x 21＝4－4x 22－x 21＝0. 因此k 1k ＝－1，所以P A ⊥PB .9.课标理数18.H8[2011·天津卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a2＋y2b2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．课标理数18.H8[2011·天津卷] 【解答】 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋ca －1＝0. 得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c .可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝()x ，y ＋3c .由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y .于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )．由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．10.课标文数18.H8[2011·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．课标文数18.H8[2011·天津卷] 【解答】 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12，所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c )，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫85c 2＋⎝⎛⎭⎫335c ＋3c 2＝165c .于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝⎛⎭⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16，整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2. 所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.11.课标理数19.H10[2011·北京卷] 已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． 课标理数19.H10[2011·北京卷] 【解答】 (1)由已知得a ＝2，b ＝1. 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)．离心率为e ＝c a ＝32.(2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫1，32，⎝⎛⎭⎫1，－32，此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可知|AB |＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2m1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2，又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1，所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ (1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝ 3.所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1 ]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时，|AB |＝2.所以|AB |的最大值为2.12.[2011·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图1－10所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(1)求m 2＋k 2的最小值； (2)若|OG |2＝|OD |·|OE |. ①求证：直线l 过定点；②试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时△ABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由． 课标文数22.H10[2011·山东卷] 【解答】 (1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)， 由题意，t ＞0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得 (3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0， 所以3k 2＋1＞t 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1.所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点．因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k.所以OE 所在直线方程为y ＝－13kx .又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立． 此时由Δ＞0得0＜t ＜2.因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2.(2)①由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13kx ，将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1.又E ⎝⎛⎭⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝⎛⎭⎫－3，1k ， 由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1. |OD |＝(－3)2＋⎝⎛⎭⎫1k 2＝9k 2＋1k， |OE |＝⎝⎛⎭⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1.由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k .因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)． 所以直线l 恒过定点(－1,0)．②由①得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1， 若B ，G 关于x 轴对称，则B ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，－13k 2＋1. 代入y ＝k (x ＋1)整理得3k 2－1＝k 3k 2＋1，即6k 4－7k 2＋1＝0，解得k 2＝16(舍去)或k 2＝1，所以k ＝1.此时B ⎝⎛⎭⎫－32，－12，G ⎝⎛⎭⎫－32，12关于x 轴对称． 又由(1)得x 1＝0，y 1＝1，所以A (0,1)．由于△ABG 的外接圆的圆心在x 轴上，可设△ABG 的外接圆的圆心为(d,0)．因此d 2＋1＝⎝⎛⎭⎫d ＋322＋14，解得d ＝－12， 故△ABG 的外接圆的半径为r ＝d 2＋1＝52.所以△ABG 的外接圆方程为⎝⎛⎭⎫x ＋122＋y 2＝54. 13.大纲文数21.H10[2011·四川卷] 如图1－8，过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，椭圆与x 轴交于两点A (a,0)，B (－a,0)．过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；(2)当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．图1－8大纲文数21.H10[2011·四川卷] 【解答】 (1)由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.椭圆的右焦点为(3，0)，此时直线l 的方程为y ＝－33x ＋1，代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝837， 代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17， 所以D 点坐标为⎝⎛⎭⎫837，－17. 故|CD |＝⎝⎛⎭⎫837－02＋⎝⎛⎭⎫－17－12＝167. (2)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1⎝⎛⎭⎫k ≠0且k ≠12. 代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－8k 4k 2＋1，代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝1－4k 24k 2＋1， 所以D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1. 又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k(x ＋2)， 联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1. 因此Q 点坐标为(－4k,2k ＋1)．又P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1k ，0， 所以OP →·OQ →＝⎝⎛⎭⎫－1k ，0·(－4k,2k ＋1)＝4.故OP →·OQ →为定值．。
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2011年高考椭圆试题选1.（浙江理17）设21,F F 分别为椭圆1322=+y x 的左、右焦点，点B A ,在椭圆上，若F F 215=;则点A 的坐标是 ．)1,0(±2.（江西理14）若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)21,1(作圆122=+y x 的切线，切点分别为B A ,，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 【答案】14522=+y x3.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，N M ,分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于A P ,两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--==N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为)22,1(--，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以.22122=--=k （2）直线PA 的方程2221,42x y y x =+=代入椭圆方程得解得).34,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是),0,32(C 直线AC 的斜率为.032,13232340=--=++y x AB 的方程为故直线.32211|323432|,21=+--=d 因此（3）解法一：将直线PA 的方程kx y =代入221,42x y x μ+==解得记则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是--故直线AB 的斜率为,20kk =++μμμ 其方程为,0)23(2)2(),(222222=+--+-=k x k x k x ky μμμ代入椭圆方程得解得223222(32)(32)(,)222k k k x x B k k k μμμμ++==-+++或因此.于是直线PB 的斜率.1)2(23)2(2)23(2222322231k k k k k k k k kkk k -=+-++-=++-+=μμμ因此.,11PB PA k k ⊥-=所以解法二：设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以.22)()(0111112kx y x x y k ==---=从而1)()(212112*********+----⋅--⋅=+=+x x y y x x y y k k k k.044)2(12221222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y因此.,11PB PA k k ⊥-=所以4.（北京理19） 已知椭圆14:22=+y x G .过点)0.(m 作圆122=+y x 的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值. 解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=b a c所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-离心率为.23==a c e（Ⅱ）由题意知，1||≥m .当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23,1(),23,1(-此时3||=AB当m=－1时，同理可得3||=AB当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418k m k x x k mk x x +-=+=+又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2.3||342+=m m由于当3±=m 时，,3||=AB所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+=m m m AB .因为,2||3||343||34||2≤+=+=m m m m AB且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.5.（辽宁理20） 如图，已知椭圆1C 的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆2C 的短轴为MN ，且1C ，2C 的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与1C 交于两点，与2C 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （I ）设21=e ，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 解：（I ）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a +=+=>>设直线:(||)l x t t a =<，分别与C1，C2的方程联立，求得((A t B t ………………4分当1,,,2A Be b y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === ………………6分（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率kBO 与AN 的斜率kAN 相等，即,a b t t a =-解得222221.ab e t a a b e -=-=---因为221||,01,1, 1.2e t a e e e -<<<<<<又所以所以当0e <≤时，不存在直线l ，使得BO//AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分6.（全国大纲理21） 已知O 为坐标原点，F 为椭圆12:22=+y x C 在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P满足=++（Ⅰ）证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上．解：（I ）F （0，1），l的方程为1y =+，代入2212y x +=并化简得2410.x --=…………2分 设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y则12x x ==121212)21,2x x y y x x +=+=++=由题意得312312()() 1.x x x y y y =-+==-+=-所以点P的坐标为(1).- 经验证，点P的坐标为(,1)2--满足方程221,2y x +=故点P 在椭圆C 上。
…………6分（II）由(,1)2P --和题设知，(,1)2QPQ 的垂直平分线1l 的方程为.2y x =-①设AB 的中点为M，则1,)42M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为1.24y x =+②由①、②得12,l l的交点为1()8N 。
…………9分21||8||||||4||8||NPAB x xAMMNNA===-======故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上…………12分7.（山东理22）已知动直线l与椭圆123:22=+yxC交于),(),,(2211yxQyxP两不同点，且△OPQ的面积26=∆OPQS,其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明2221xx+和2221yy+均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求||||PQOM⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得ODE ODG OEGS S S∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.（I）解：（1）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以2121,.x x y y==-因为11(,)P x y在椭圆上，因此2211132x y+=①又因为OPQS∆=所以11||||x y⋅=②由①、②得11||| 1.2x y==此时222212123,2,x x y y+=+=（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠，将其代入22132x y +=，得222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+-> 即2232k m +>…………（*）又212122263(2),,2323km m x x x x k k -+=-=++所以||PQ ==因为点O 到直线l的距离为d =所以1||2OPQ S PQ d ∆=⋅223k =+=又OPQ S ∆= 整理得22322,k m +=且符合（*）式， 此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++222222121212222(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+= 综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立。
（II ）解法一：（1）当直线l 的斜率存在时， 由（I）知11|||||2||2,OM x PQ y ====因此||||2OM PQ ⋅==（2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知123,22x x km += 22212122222212122222222222222332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m mx x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m ++-+1=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++ 所以2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m ⋅=⨯-⨯⨯+2222211(3)(2)113225().24m m m m =-+-++≤= 所以5||||2OM PQ ⋅≤，当且仅当221132,m m m -=+=即.综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5.2解法二： 因为222222121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-222212122[()()]10.x x y y =+++=所以224||||102|||| 5.25OM PQ OM PQ +⋅≤==即5||||,2OM PQ ⋅≤当且仅当2||||OM PQ == 因此 |OM|·|PQ|的最大值为5.2 （III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===证明：假设存在1122(,),(,),(,)ODE ODG OEG D u v E x y G x y S S S ∆∆∆===满足，由（I ）得22222222222212121212222222121212123,3,3;2,2,2,3; 1.2,,,,,1,2u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从只能从中选取因此D ，E ，G只能在(1)±这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===矛盾，所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.8.（陕西理17） 如图，设P 是圆2522=+y x 上的动点，点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且||54||PD MD =（Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为54的直线被C 所截线段的长度 解：（Ⅰ）设M 的坐标为（x,y ）P 的坐标为（xp,yp ）由已知得,5,4xp x yp y =⎧⎪⎨=⎪⎩∵P 在圆上， ∴225254x y ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即C 的方程为2212516x y += （Ⅱ）过点（3，0）且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()()1122,,,A x y B x y将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+= 即2380x x --=∴123322x x +== ∴ 线段AB 的长度为415AB ====注：求AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。