重点高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解
高中数学高考试卷考点之椭圆双曲线抛物线和圆锥曲线的综合应用知识汇总,带参考答案共五十六页
数学高考试卷椭圆双曲线抛物线和圆锥曲线的综合应用，带参考答案本文收集整理了高中数学高考试卷椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识，并配上详细参考答案，内容全共五十六页。
同学们认真完成这些练习，并对过答案，对学习高中椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识，一定有很大的帮助，希望大家喜欢这份文档。
一、椭圆知识1．（2018全国Ⅱ，12）已知F 1，F 2是椭圆C ： x 2a +y 2b =1 (a >b >0)的左，右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13 D ．141.答案：D 因为△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为√36得，tan∠PAF 2=√36,∴sin∠PAF 2=√13cos∠PAF 2=√12√13，由正弦定理得PF 2AF 2=sin∠PAF 2sin∠APF 2,所以2c a+c =1√13sin(π3−∠PAF 2)1√13√32⋅√12√13−12⋅1√1325∴a =4c,e =14，选D.2.（2017•新课标Ⅲ,10）已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1 ， A 2 ， 且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切，则C 的离心率为（ ）A. B. C. D.2. 答案：A 以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离=a ，化为：a 2=3b 2 ． ∴椭圆C 的离心率e= = = ．故选A ．3.（2017•浙江,）椭圆+=1的离心率是（ ）A. B. C. D.3. 答案：B 椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为： =．故选B ．4.(2016·浙江，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A.m ＞n 且e 1e 2＞1B.m ＞n 且e 1e 2＜1C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜14.答案： A [由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n . 又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1.] 5.(2016·全国Ⅲ，11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.345.A [设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.]6.(2014·大纲全国，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6.A [由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.]7．（2018浙江，17）已知点P (0，1)，椭圆x24+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．7.5 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得−x 1=2x 2,1−y 1=2(y 2−1),∴−y 1=2y 2−3, 因为A ,B 在椭圆上,所以x 124+y 12=m,x 224+y 22=m, ∴4x 224+(2y 2−3)2=m,∴x 224+(y 2−32)2=m4，与x 224+y 22=m 对应相减得y 2=3+m 4,x 22=−14(m 2−10m +9)≤4，当且仅当m =5时取最大值.8.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.8.63 [联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2,C ⎝⎛⎭⎫32a ，b2,又F (c ,0),则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b 24＝0①，又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca＝23＝63. 9.(2014·辽宁，15)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.9.12 [设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.] 10.(2014·安徽，14)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________. 10.x 2＋3y 22＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.] 11.(2014·江西，15)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 11.22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e ＝22.] 12．（2018全国Ⅲ，20）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB的中点为M(1 ， m)(m >0)． （1）证明：k <−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ +FA ⃑⃑⃑⃑⃑ +FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列，并求该数列的公差． 12.（1）设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减，并由y 1−y2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ，于是k =−34m .①由题设得0<m <32，故k <−12. （2）由题意得F(1,0)，设P(x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0).由（1）及题设得x 3=3−(x 1+x 2)=1,y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0. 又点P 在C 上，所以m =34，从而P(1,−32)，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32. 于是|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12. 同理|FB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2−x 22.所以|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=4−12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃑⃑⃑⃑⃑ |=|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d|=||FB⃑⃑⃑⃑⃑ |−|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||=12|x 1−x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2.② 将m =34代入①得k =−1.所以l 的方程为y =−x +74，代入C 的方程，并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=2,x 1x 2=128，代入②解得|d|=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或−3√2128. 13．（2018天津，19）设椭圆22221x x a b+= (a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的点A 的坐标为(),0b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ： (0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ=∠ (O 为原点) ，求k 的值. 13.（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得， FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）． 由已知有y 1>y 2>0，故12PQ sin AOQ y y ∠=-． 又因为2y AQ sin OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由4AQ sin AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22{ 194y kx x y =+=，，消去x，可得1y =． 易知直线AB 的方程为x +y –2=0， 由方程组{20y kx x y =+-=，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）= 两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为12或1128．14.（2017•江苏,17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 离心率为，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1 ， 过点F 2作直线PF 2的垂线l 2 ． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 1 ， l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．14.（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =， 228a c =，解得2,1a c ==，于是b ==因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=. （2）由（1）知， ()11,0F -， ()21,0F . 设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时， 2l 与1l 相交于1F ，与题设不符. 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -.因为11l PF ⊥， 22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程： ()0011x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程： ()0011x y x y -=--. ② 由①②，解得2001,x x x y y -=-=，所以20001,x Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即2201x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=. 由22002201{ 143x y x y-=+=，解得00x y ==； 220022001{ 143x y x y +=+=，无解.因此点P的坐标为⎝⎭15.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围.15.解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1,A (-2,0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).16.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值. 16.(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).(2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m3－x 1⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3⎝⎛⎭⎫－4m 3＋4m 2－123＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.17.(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .17.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一 如图设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而 |PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义,|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|QF 1|＋|QF 2|＝2a , 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|,有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 法二 如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3. 18.(2015·福建，18)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.18.解 法一 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0.所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)， 故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22（m 2＋2）－3（1＋m 2）m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以|GH |＞|AB |2.故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 法二 (1)同法一.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎫my 2＋54＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3（m 2＋1）m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以cos 〈GA →，GB →〉＞0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角. 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 19.(2015·陕西，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E的方程.19.解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a,由d ＝12c ,得a ＝2b ＝2a 2－c 2,解得离心率c a ＝32.(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10，易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1,代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2，由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12，从而x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2），由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12， 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.20.(2015·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.20.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.设M (x M ，0).因为m ≠0，所以－1＜n ＜1.直线P A 的方程为y －1＝n －1m x .所以x M ＝m 1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n ). 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2). 21.(2015·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC ＝2AB ,求直线AB 的方程. 21.解 (1)由题意,得c a ＝22且c ＋a 2c＝3,解得a ＝2,c ＝1,则b ＝1,所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时,AB ＝2,又CP ＝3,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将AB 的方程代入椭圆方程,得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0, 则x 1,2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2,C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2,且 AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而k ≠0,故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2,则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）,从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ,所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2,解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.二、双曲线知识1．（2018浙江，2）双曲线x 23−y 2=1的焦点坐标是( ) A ．(−√2，0)，(√2，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，−√2)，(0，√2) D ．(0，−2)，(0，2)1.B 因为双曲线方程为x 23−y 2=1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2=a 2+b 2=3+1=4,c =2，所以焦点坐标为(±2,0)，选B. 2．（2018全国Ⅰ，11）已知双曲线C ：x 23−y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=( ) A ．32 B ．3 C ．2√3 D ．42.B 根据题意，可知其渐近线的斜率为±√33，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON =30°，所以直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN 的方程为y =√3(x −2)，分别与两条渐近线y =√33x 和y =−√33x 联立，求得M(3,√3),N(32,−√32)，所以|MN |=2)√2)=3，故选B.3．（2018全国Ⅱ，5）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0, b >0)的离心率为√3，则其渐近线方程为( )A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±√22x D ．y =±√32x 3.A ∵e =ca =√3,∴b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3−1=2,∴ba =√2,因为渐近线方程为y =±ba x ，所以渐近线方程为y =±√2x ，选A. 4．（2018全国Ⅲ，11）设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=√6|OP |，则C 的离心率为( ) A ．√5 B ．√3 C ．2 D ．√24.B 由题可知|PF 2|=b,|OF 2|=c ,∴|PO |=a ,在Rt △POF 2中，cos∠PF 2O =|PF 2||OF 2|=bc, ∵在△PF 1F 2中,cos∠PF 2O =|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2−(√6a)22b∙2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e =√3.故选C.5．（2018天津，7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -=5.C 设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设： 22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为： 0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得： 23a =，则双曲线的方程为22139x y -=. 本题选择C 选项.6.（2017•新课标Ⅱ,9）若双曲线C ： ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A.2B.C.D.6. A 双曲线C ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x ﹣2）2+y 2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为： = ，解得：，可得e 2=4，即e=2．故选A ．7.（2017•新课标Ⅲ,5）已知双曲线C ：﹣ =1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y= x ，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C 的方程为（ ）A.﹣ =1B.﹣ =1C.﹣=1 D.﹣=17. B 椭圆 +=1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C ：﹣ =1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为： ﹣ =1．故选B ．8.（2017·天津,5）已知双曲线 ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，离心率为 ．若经过F 和P （0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A.=1 B.=1 C.=1 D.=18. B 设双曲线的左焦点F （﹣c ，0），离心率e= =，c=a ，则双曲线为等轴双曲线，即a=b ， 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x ，则经过F 和P （0，4）两点的直线的斜率k= =，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B ．9.(2016·全国Ⅰ，5)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)9.A [∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.]10.(2016·全国Ⅱ，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32C.3D.210.A [离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.]11.(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.311.B [由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ,∵|PF 1|＝3,∴P 在左支上,∵a ＝3,∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.]12.(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 2－x 24＝112.C [由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.]13.(2015·广东，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1D.x 23－y 24＝1 13.B [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选B.] 14.(2015·四川，5)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B.2 3C.6D.4 314.D [焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D.]15.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 15.D [如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0),则|AB |＝2a ,由双曲线的对称性,可设点M (x 1，y 1)在第一象限内,过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.] 16.(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 16.A [由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y ＝±33，所以－33<y 0<33.] 17.(2014·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 17.A [由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝b a x 与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba ＝2且左焦点为(-5,0),所以a 2＋b 2＝c 2＝25,解得a 2＝5,b 2＝20,故双曲线方程为x 25－y 220＝1.选A.]18.(2014·广东，4)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A.离心率相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.焦距相等18.D [由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，选D.]19.(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3 C.3m D.3m19.A [∵双曲线的方程为x 23m －y 23＝1，∴焦点F 到一条渐近线的距离为 3.]20.(2014·重庆，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D.3 20.B [由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||＝2a ,又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ,所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|-|PF 2|)2＝9b 2-4a 2,即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝⎛⎭⎫b a 2-9b a －4＝0,则⎝⎛⎭⎫3b a ＋1⎝⎛⎭⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝⎛⎭⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53.]21.(2014·山东，10)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝021.A [椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ,双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.]22.(2014·大纲全国，9)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上.若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( ) A.14 B.13 C.24 D.2322.A [由双曲线的定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，又|AF 1|＝2|AF 2|，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a . ∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，∴|F 1F 2|＝4a .∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22|AF 2|·|F 1F 2|＝（2a ）2＋（4a ）2－（4a ）22×2a ×4a＝14，故选A.]23．（2018江苏，8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c ，则其离心率的值是________．23.2 因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y =±ba x,即bx ±ay =0的距离为√a 2+b2=bc c=b,所以b =√32c ，因此a 2=c 2−b 2=c 2−34c 2=14c 2, a =12c,e =2.24.（2017•山东,14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py （p ＞0）交于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．24. y=± x 把x 2=2py （p ＞0）代入双曲线=1（a ＞0，b ＞0），可得：a 2y2﹣2pb 2y+a 2b 2=0，∴y A +y B =，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A +y B +2× =4× ，∴ =p ，∴ = ．∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x ．故答案为：y=± x ．25.（2017•北京,9）若双曲线x 2﹣=1的离心率为 ，则实数m=________．25.2 双曲线x 2﹣=1（m ＞0）的离心率为 ，可得： ，解得m=2．故答案为：2．26.（2017•江苏,8）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ， 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________． 26.2双曲线﹣y 2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y= x ，所以P （ ， ），Q （ ，﹣ ），F 1（﹣2，0）．F 2（2，0）．则四边形F 1PF 2Q 的面积是： =2．故答案为：2．27.(2016·山东，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.27.2 [由已知得|AB |＝2b 2a ,|BC |＝2c ,∴2×2b 2a ＝3×2c ,又∵b 2＝c 2-a 2,整理得：2c 2-3ac -2a 2=0，两边同除以a 2得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3c a－2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去).] 28.(2015·浙江，9)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是______.28.23 y ＝±22x [由双曲线方程得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y ＝±22x .]29.(2015·北京，10)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.29.33 [双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝3，又b ＝1，∴a ＝33.] 30.(2015·湖南，13)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.30.5 [不妨设F (c ，0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.]31.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________. 31.22[双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.] 32.(2014·浙江，16)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________. 32.52 [联立直线方程与双曲线渐近线方程y ＝±bax 可解得交点为 ⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，而k AB ＝13，由|P A |＝|PB |，可得AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm3b ＋a2－0am3b －a ＋－am 3b ＋a2－m＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝52.]33.(2014·江西，20)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). (1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值.33.(1)解 设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－c 2a c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)证明 由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0.因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0；直线l 与直线x ＝32的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32x 0－33y 0. 则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2， 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43， 所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.三、抛物线1．（2018全国Ⅰ，8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．81.D 根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为y =23(x +2)，与抛物线方程联立{y =23(x +2)y 2=4x ，消元整理得：y 2−6y +8=0，解得M(1,2),N(4,4)，又F(1,0)，所以FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2),FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,4)，从而可以求得FM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×3+2×4=8，故选D. 2.(2016·全国Ⅰ，10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.82.B [不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0),如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，② 点D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝⎛⎭⎫p22＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.]3.(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 3.D [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.] 4.(2015·浙江，5)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋14.A [由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |-1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A.]5．（2018全国Ⅲ，16）已知点M(−1 ， 1)和抛物线C ： y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB =90°，则k =________．5.2 设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1y 22=4x2,所以y 12−y 22=4x 1−4x 2,所以k =y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2.取AB 中点M′(x 0，y 0),分别过点A,B 作准线x =−1的垂线，垂足分别为A ′,B′,因为∠AMB =90°,∴|MM ′|=12|AB |=12(|AF |+|BF |)=12(|AA ′|+|BB′|),因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴,因为M(-1,1),所以y 0=1，则y 1+y 2=2即k =2.6.（2017•新课标Ⅱ,16）已知F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN|=________．6. 6 抛物线C ：y 2=8x 的焦点F （2，0），M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为： ，|FN|=2|FM|=2 =6．故答案为：6．7.(2016·浙江，9)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________. 7.9 [抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0).准线为x ＝-1,由M 到焦点的距离为10,可知M 到准线x ＝-1的距离也为10,故M 的横坐标满足x M ＋1＝10,解得x M ＝9,所以点M 到y 轴的距离为9.] 8.(2015·陕西，14)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.8.22 [由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.]9.(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ， b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.9.1＋2 [由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝⎛⎭⎫p 2，0，F ⎝⎛⎭⎫p2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p⎝⎛⎭⎫p 2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝⎛⎭⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a＝1－2(舍去)，所以ba ＝1＋ 2.]10.(2014·上海，3)若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______________. 10.x ＝-2[∵c 2＝9-5＝4,∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0),∴p2＝2,即p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝-2.]。
椭圆、双曲线、抛物线答案
椭圆、双曲线、抛物线1、答案 D 解析 由题意知：抛物线的焦点为(－2,0)．又顶点在原点，所以抛物线方程为y 2＝－8x .2、答案 B 解析双曲线中c ＝3，e ＝32，故a ＝2，b ＝c 2－a 2＝5， 故双曲线方程为x 24－y 25＝1. 3、答案 C 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>2－k ，2－k >0，∴1<k <2. 4、答案 B 解析 由题知|AF 1|＋|AF 2|＝2a (设a 为椭圆的长半轴)，|AF 1|－|AF 2|＝2，而|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，因此可得2×|F 1A |＝2a ＋2，∴8＝2a ＋2，∴a ＝3，又c ＝2，故C 2的离心率e ＝23. 5、答案 A 解析 由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32. 又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21＝a 2－b 2，∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a4＝1－⎝⎛⎭⎫b a 4， 即1－⎝⎛⎭⎫b a 4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22. 令x 2a 2－y 2b2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0.6、答案 B 解析 联立已知条件和双曲线的定义，建立关于a ，b ，c 的方程，求离心率． 不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2. 又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ， 解得b a ＝43(负值舍去)． 故e ＝c a ＝ a 2＋b 2a 2＝ ⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝ ⎝⎛⎭⎫432＋1＝53，故选B. 7、答案 9 解析 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 解得|PF 1||PF 2|＝18，∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×18＝9. 8、答案 3－1 解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°，又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a .即e ＝c a＝3－1.9、答案 433 解析 经过第一象限的双曲线的渐近线为y ＝33x .抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线的右焦点为F 2(2,0)．y ′＝1p x ，由题意知在M ⎝⎛⎭⎫x 0，x 202p 处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p ，点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，F 2(2,0)，M ⎝⎛⎭⎫33p ，p 6共线，所以p 2－00－2＝p 6－p 233p －0，即p ＝433. 10、答案 B 解析 设出直线AB 的方程，用分割法表示出△ABO 的面积，将S △ABO ＋S △AFO 表示为某一变量的函数，选择适当方法求其最值．设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵OA →·OB →＝2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0， ∴y 1y 2＝－m ＝－2，∴m ＝2，即点M (2,0)．又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2|＝y 1－y 2， S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1， ∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥2 98y 1·2y 1＝3， 当且仅当y 1＝43时，等号成立． 11、答案 5 解析 由已知可得，△PF 1F 2为直角三角形，且|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2，即2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2－4a 2＝4b 2，把|PF 1|＝2|PF 2|代入得，|PF 2|＝b ，|PF 1|＝2b ，代入|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2得5b 2＝5c 2－5a 2＝4c 2，∴c 2＝5a 2，e ＝c a ＝ 5.12、解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12. (2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ －c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.13、解 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12. 所以，椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1. 设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1.② 由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ， 代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ， 所以圆的半径r ＝x 1－2＋y 1－c 2＝53c . 由已知，有|TF 2|2＝|MF 2|2＋r 2，又|MF 2|＝22，故有⎝⎛⎭⎫c ＋23c 2＋⎝⎛⎭⎫0－23c 2＝8＋59c 2，解得c 2＝3.所以，所求椭圆的方程为x 26＋y 23＝1.14、解 (1)设点C 的坐标为(x ，y )，则x 2a＋y 2＝1， 连接CG ，由CA →＝CG →＋GA →，CB →＝CG →＋GB →＝CG →－GA →，又G (0,2)，可得CA →·CB →＝CG →2－GA →2＝x 2＋(y －2)2－94＝a (1－y 2)＋(y －2)2－94＝－(a －1)y 2－4y ＋a ＋74，其中y ∈[－1,1]．因为a >1，故当y ＝4－a≤－1，即1<a ≤3时， 取y ＝－1，得CA →·CB →有最大值－(a －1)＋4＋a ＋74＝274，与条件矛盾； 当y ＝4－a >－1，即a >3时，CA →·CB →的最大值是－a ⎝⎛⎭⎫a ＋74－16－a， 由条件得－a ⎝⎛⎭⎫a ＋74－16－a＝314，即a 2－7a ＋10＝0，解得a ＝5或a ＝2(舍去)． 综上所述，椭圆Ω的方程是x 25＋y 2＝1. (2)设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点坐标为(x 0，y 0)， 则满足x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，两式相减， 整理得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 1y 2＋y 1＝－x 05y 0， 从而直线PQ 的方程为y －y 0＝－x 05y 0(x －x 0)， 又右焦点F 2的坐标是(2,0)，将点F 2的坐标代入PQ 的方程得－y 0＝－x 05y 0(2－x 0)， 因为直线l 与x 轴不垂直，故2x 0－x 20＝5y 20>0，从而0<x 0<2.假设在线段OF 2上存在点M (m,0)(0<m <2)，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，则线段PQ 的垂直平分线必过点M ，而线段PQ 的垂直平分线方程是y －y 0＝5y 0x 0(x －x 0)，将点M (m,0)代入得－y 0＝5y 0x 0(m －x 0)， 得m ＝45x 0，从而m ∈⎝⎛⎭⎫0，85.。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高三复习数学52_椭圆、双曲线、抛物线 (2)(有答案)
5.2 椭圆、双曲线、抛物线一、解答题。
1. 已知F 1,F 2为双曲线C:x 2−y 2=2的左右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=（ ） A.14 B.35C.34D.452. （2016全国新课标）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB|=4√2，|DE|=2√5，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A.2 B.4 C.6 D.83. （2014新课标全国）已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →=4FQ →，则|QF|=（ ） A.72B.3C.52D.24. （2015 浙江）若双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆(x −2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A.2 B.√3 C.√2 D.2√335. 已知抛物线C:y 2=8x 与点M(−2, 2)，过C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →⋅MB →=0，则k =（ ） A.12 B.√22C.√2D.26. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB =23π，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为M ′，则|MM ′||AB|的最大值为（ ）A.4√33B.√33C.2√33D.√37. 设F 1,F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0）的左、右焦点，P 为直线x =3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30∘的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.12 B.23C.34D.458. （2014⋅福建）设P ，Q 分别为圆x 2+(y −6)2=2和椭圆x 210+y 2=1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A.5√2 B.√46+√2 C.7+√2 D.6√29. 已知椭圆C ：x 216+y 24=1外一点M (2,3)及椭圆C 内一点N (1,1)．若过点N 的直线l 与椭圆C 交于两点A 、B ，且N 为弦AB 的中点，求直线l 的方程；求椭圆上的点到过M 且与（1）中的直线l 平行的直线l ′的距离的最小值，及取得最小值时的点G ；设F 1,F 2分别是椭圆C 的左，右焦点，过点F 1的直线l ′与椭圆C 交于两点D 、E ，若△DEF 2的面积等于8，求△DEF 2内切圆的半径；设过点N 的直线l 与椭圆C 交于两点P 、Q ，椭圆C 在点P 、Q 处的切线交于点K ，求点K 的轨迹方程．10. （2019 北京）已知抛物线C:x 2=−2py 经过点(2,−1)． 求抛物线C 的方程及其准线方程；设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．11. F 是椭圆x 23+y 24=1的上焦点，定点A(1,1)，P 为椭圆上一动点，|PA|+2|PF|的最小值为________；|PA|+|PF|的最小值为________.12. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(b >a >0)的左焦点F (−c,0)作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为坐标原点，若OE →=12(OF →+OP →)，则双曲线的离心率为（ ） A.3+√32B.1+√32C.√52D.1+√5213. （2017全国新课标）在直角坐标系xOy中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．；求|OH||ON|除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．14. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________ __________________________________参考答案与试题解析5.2 椭圆、双曲线、抛物线一、解答题。
山东历年高考题汇总椭圆双曲线抛物线
山东卷历年高考圆锥曲线部分汇总【2007年】13、 设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA与x 轴正向的夹角为60︒，则OA 为________.【答案】:2p 【分析】：过 A 作AD x ⊥轴于D ，令FD m =，则2FA m =，2p m m +=，m p =。
.2OA p ∴==15、与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是_________. 【答案】:. 22(2)(2)2x y -+-=【分析】：曲线化为22(6)(6)18x y -+-=，其圆心到直线20x y +-=的距离为d ==所求的最小圆的圆心在直线y x =，圆心坐标为(2,2).标准方程为22(2)(2)2x y -+-=。
(21)、（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C 的标准方程;(II)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.解：(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b === 22 1.43x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +->.当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7【2008年】(10)设椭圆C1的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x (C)1432222=-y x (D)112132222=-y x【解析】本题考查椭圆、双曲线的标准方程。
椭圆、双曲线、抛物线十年高考填选试题汇编(含答案)
椭圆的定义及简单的几何性质1、从椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点1F，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且//AB OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是（C）A．24B．12C．22D．322、设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒，则C 的离心率为333、设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且π4CBA∠=.若4AB=，2BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为___463____.椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2.若直线l :3()y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于___31-_____已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝___12___． [解析] 设MN 的中点为G ，则点G 在椭圆C 上， 设点M 关于C 的焦点F 1的对称点为A ， 点M 关于C 的焦点F 2的对称点为B ， 则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D .若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于___3____． [解析] 由题意A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，F 1(－c ，0)， 则直线F 1B 的方程为y －0＝－b 2a2c (x ＋c )．令x ＝0，得y ＝－b 22a ，即D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，则向量DA ＝⎝⎛⎭⎫c ，3b 22a ，F 1B →＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b 2a . 因为AD ⊥F 1B ，所以 DA →·F 1B →＝2c 2－3b 42a 2＝0，即2ac ＝3b 2＝3(a 2－c 2)，整理得(3e －1)(e ＋3)＝0，所以e ＝33(e >0)． 故椭圆C 的离心率为33.7、[2019年东北三省四市教研体高考模拟试卷二10]（文科数学）椭圆22143x y+=的左右焦点F1、F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点M，F1关于F2的对称点为N，则△MF1N的周长为（ D ）A.6B.8C.10D.128、[哈师大附中2019年高三第四次模拟考试6]（文科数学）已知椭圆2221(3x yaa+=>0)的一个焦点(1,0)，则椭圆C的离心率为（ A ）A.12B.14C.33D.139、[齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试15]（文科数学）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若点F到直线AB的距离为51414b，则该椭圆C的离心率为2310、[2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试15]（文科数学），，线段PF2的垂已知点P为中心在坐标原点的椭圆C上的一点，且椭圆的右焦点F2(50)直平分线为y=2x，则椭圆C的方程为11、[齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟考试6]（文科数学）已知椭圆22221(x y a a b+=>b >0)的离心率为32，短轴长大于2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（ B ）A.(2)+∞，B.(4,)+∞C.(2,4)D.(4,8)12、[2018年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试16]（理科数学）椭圆221(x my m +=>1)的左右顶点分别为A 、B ，过点B 作x 轴的垂线l ，点P 是直线l 上的一点，连接P A 交椭圆于点C ，坐标原点为O ，且OP ⊥BC ，则m =13、[2017届齐齐哈尔市高三第二次模拟考试7]（文科数学）椭圆2221(4x yaa+=>2)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是椭圆上的一点，若1260F PF︒∠=，那么△PF1F2的面积为（）A.233B.332C.334D.43314、[2017年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试10]（文科数学）“关于x 的方程20x mx n -+=有两个正根”是“221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件15、[2017年高考模拟冲刺•押题卷10]（文科数学）已知椭圆22221(x y a a b +=>b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上位于y 轴右侧的点，直线AF 1与y 轴交于点B ，12F B AB =，12AF AF ⊥，则椭圆的离心率为（ B ） A.21- B.31- C.22 D.3216、[大庆实验中学2017届高三得分训练四11]（文科数学）在平面直角坐标系xoy中，P是椭圆22143y x+=上的一个动点，点A(1,1)、B(0,1)-，则PA PB+的最大值为（）A.5B.4C.6D.817、[2019年全国Ⅰ理10]、[2019年全国Ⅰ文12]已知椭圆C 的焦点为F 1(1,0)-、F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A 、B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ）A.2212x y +=B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y +=18、[2019年全国Ⅱ理21（1）]已知点A (2,0)-，B (2,0)，动点M (,)x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-. 记M 的轨迹为曲线C .求C 的方程；并说明C 是什么曲线？19、[2019年北京理4]已知椭圆22221(x y a a b +=>0，b >0)的离心率为12，则（ B ） A.222a b = B.2234a b = C.2a b = D.34a b =20、[2019年全国III 理15]、[2019全国III 文15]+=的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2设F1、F2为椭圆C：13620为等腰三角形，则M的坐标为（3，15）21、[2018年全国Ⅱ卷理]已知F1、F2是椭圆C：221(aa b+=>0，b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，12120F F P︒∠=，则C的离心率为（D ）A.23B.12C.13D.1422、[2018年上海理、文]设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ C ）A. B. C. D.23、[2017年浙江理、文] 椭圆22194x y +=的离心率为（ B ）A.3B.3C.23D.5924、[2017年新课标Ⅲ理、文]已知椭圆C ：22221(x y a a b+=>0，b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ A ）A. 63B.33C.23D.1325、[2016年全国Ⅲ理、文]已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(x yaa b+=>0，b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF x⊥轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ A ）A.13B.12C.23D.3426、[2016年浙江理]已知椭圆1C ：2221(x y m m +=>1)与双曲线2C ：2221(x y n n-=>0)的焦点重合，12e e 、分别为12C C 、的离心率，则（ ）A.m >n ，且12e e >1B.m >n ，且12e e <1C.m <n ，且12e e >1D.m <n ，且12e e <127、[2014年福建理、文]设P 、Q 分别为22(6)2x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P 、Q 两点间的最大距离是（ ）A.52B.462+C.72+D.6228、[2013年新课标Ⅰ理、文]已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为(3,0)F,过点F的直线交椭圆于,A B两点.若AB的中点坐标为(1,1)-,则E的方程为（）A.2214536x y+= B.2213627x y+= C.2212718x y+= D.221189x y+=29、[2012年新课标理、文]设F1、F2是椭圆E：22221(x yaa b+=>b>0)的左、右焦点，P为直线32x a=上一点，△F2PF1是底角为30︒的等腰三角形，则E的离心率为（ C ）A.12B.23C.34D.4530、[2018年浙江理、文]已知点P(0,1)，椭圆22(>1)4xy m m+=上两点A、B满足2AP PB=，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大.31、[2018年北京理]已知椭圆M：22221(x yaa b+=>b>0)，双曲线N：22221x ym n-=.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为.32、[2016年江苏理]如图，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(x y a a b +=>b >0)的右焦点，直线2by =与椭圆交于B 、C 两点，且90BFC ︒∠=，则该椭圆的离心率为6333、[2015年新课标Ⅰ理]一个圆经过椭圆221164x y+=的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴，则该圆的方程为过点M(1,1)作斜率为12-的直线与椭圆C：22221(x yaa b+=>b>0)相交于A、B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于设F 1、F 2分别是椭圆E ：2221(0<<1)y x b b+=的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A 、B 两点，若113AF BF =，AF 2x ⊥轴，则椭圆E 的方程为 22312x y +=椭圆22221(x y a a b+=>b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别为F 1、F 2，若1121AF F F F B 、、成等比数列，则此椭圆的离心率为设F1、F2分别为椭圆2213xy+=的左、右焦点，点A、B在椭圆上，若125FA F B=，则点A的坐标是38、[2019年全国Ⅱ文9]若抛物线22(>0)y px p =的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =（ D ） A.2 B.3 C.4 D.839、[2019年浙江文15]已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率为40、[2018年全国I 文]已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为（ C ）A.13 B.12 C.241、[2018年全国Ⅱ文]已知F 1、F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1⊥PF 2，且2160PF F ︒∠=，则C的离心率为（ D ）A.1B.2 142、[2017年新课标I 文]设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A.(][)0,19,+∞B.([)9,+∞C.(][)0,14,+∞ D.([)4,+∞43、[2016年全国I 文]直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ B ） A.13 B.12 C.23 D.3444、[2015年新课标I 文]已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（ B ）A.3B.6C.9D.1245、[2015年广东文]已知椭圆222125x y m +=（m >0）的左焦点为F 1（4,0-），则m =（ B ） A.2 B.3 C.4 D.946、[2015年福建文]已知椭圆E ：22221(x y a a b+=>b >0)的右焦点为F .短轴的一个端点为M ，直线l ：340x y -=交椭圆E 于A 、B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A.0,2⎛ ⎝⎦ B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.2⎫⎪⎪⎣⎭D. 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭47、[2013年广东文]已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是（ D ） A.22134x y += B.2214x = C.22142x y += D.22+143x y =48、[2015年浙江文]椭圆22221(x y a a b +=>b >0)的右焦点(,0)F c 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 2双曲线的定义及简单的几何性质1、双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ C ） A.25B ．45CD2、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(3,0)F ，离心率等于32，在双曲线C 的方程是（ B ）A.2214x -=B ．22145x y -=C ．22125x y -= D．2212x =3、已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ D ）A.实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等4、若双曲线22221x y a b-=B ）A .y =±2xB ．y=C ．12y x =±D．y x =5、双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为____34y x =±______.6、设12,F F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C7、双曲线22116x y m -=的离心率为54，则m 等于____9____.8、已知π04θ<<，则双曲线1C :22221sin cos x y θθ-=与2C :22221cos sin y x θθ-=的（ D ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等9、已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>则C 的渐近线方程为（ C ）A ．14y x =± B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =±10、双曲线122=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于（ B ）A.21B ．22 C ．1 D ．211、双曲线221y x m-=的充分必要条件是（ ） A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >12、设F 1、F 2是双曲线C ：221a b-= (a >0，b >0)的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为1_____.13、双曲线221169x y -=的离心率为___54____.14、已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点()5,0A 在线段PQ 上，则PQF ∆的周长为_____44_____.15、设12F F 、分别为双曲线22221(x y a a b-=>0，b >0)的左、右焦点，若双曲线上存在一点P使得123PF PF b +=，1294PFPF ab =，则该双曲线的离心率为（ B ） A.34 B.35 C.49D.3【解析】.,35,5,4,3,34∴,2-,49,3,,,22221B a c c b a b a b a c a n m ab mn b n m n m PF n PF m 选令解得则且设====∴=+====+>==16、已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ A ）A. B .3 CD .3m【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+=设)F，一条渐近线y x =，即0x -=，则点F 到C 的一条渐近线的距离d =，选A.17、已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ A ）A.221520x yB.221205x y C.2233125100x y D.2233110025x y【解析】依题意得22225ba cc a b ，所以25a，220b，双曲线的方程为221520x y .18、若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ D ） A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.19、已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ A ） A.20x y ±= B.20x y ±= C.20x y ±= D.20x y ±=20、设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________渐近线方程为________.21、设F 1、F 2分别为双曲线22221x y a b 0,0a b 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( D )A. 2B.15 C ．4 D.17 [解析] ∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∴4a 2＝b 2－3ab ，两边同除以a 2，得⎝⎛⎭⎫b a 2－3·b a －4＝0，解得b a ＝4，∴e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋16＝17.22、设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为221x y -=． [解析] 由题意设双曲线的方程为x 2－y 2b2＝1(b >0)，又∵1＋b 2＝(2)2，∴b 2＝1，即双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.23、若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( D )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等 [解析] ∵0<k <5，∴5－k >0，16－k >0.对于双曲线：x 216－y 25－k ＝1，其焦距是25－k ＋16＝221－k ；对于双曲线：x 216－k －y 25＝1，其焦距是216－k ＋5＝221－k .故焦距相等．24、设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [解析] 由方程t 2cos θ＋t sin θ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－tan θ，不妨设点A (0，0)，B (－tan θ，tan 2θ)，则过这两点的直线方程为y ＝－x tan θ，该直线恰是双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A25、双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( C )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 [解析] 易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程是y ＝±b a x ，不妨设焦点(c ，0)到其中一条渐近线bax －y ＝0的距离为3，则bca⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝3，整理得b ＝ 3.又双曲线C 的离心率e ＝ca＝2，c 2＝a 2＋b 2，所以c ＝2，即2c ＝4，即双曲线C 的焦距等于4.26、已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( D )A ．2 B.62 C.52D ．1 [解析] 因为c 2＝a 2＋3，所以e ＝c a＝a 2＋3a2＝2，得a 2＝1，a ＝1.27、双曲线x 24－y 2＝1的离心率等于．答案：5228、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ A ）A.53B.43C.54D.3229、方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ A ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率30、曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的（ A ） A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同31、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 14-32、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是_____221916x y -=______抛物线的定义及简单的几何性质1、设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A 、B 两点.若|AF |=3|BF |，则直线l 的方程为1)y x =-或1)y x =-2、[2013年新课标Ⅰ文]O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积（ C ）A ．2B ．C ．D ．43、抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是（ D ）A ．B ．2CD ．14、[2013年江西文]已知点A (2，0)，抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |：|MN |=5、[2013年北京文]若抛物线22y px =的焦点坐标为(1，0)则p = 2 ，准线方程为 1x =- .6、已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程 2213y x -=7、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ A ） A.43 B ．75 C ．85D ．38、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ D ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．49、已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M （32,3-），求它的标准方程.2x y =80、抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ B ） A.12 B．2C ．1 D11、抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则P = 612、抛物线28y x =的准线方程是2x =-13、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p =（ C ） A ．1 B ．32C ．2D ．314、[2014年新课标Ⅰ文]已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ C ）A .72 B .52C .3D .215、[2014年新课标Ⅱ文]设F 为抛物线C ：23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ D ）A.334B.938 C. 6332 D. 9416、[2014年湖南文9]。
椭圆、双曲线内、抛物线真题与解析
椭圆、双曲线内、抛物线真题与解析A 级 基础一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b2．(2019·天一联考)设双曲线C ：x 28－y 2m ＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，点N 在右支上，若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 23．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.674．(2019·长郡中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b＞0)的左、右焦点，若点F 2关于双曲线渐近线的对称点A 满足∠F 1AO ＝∠AOF 1(O 为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x5．(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A. 2B. 3 C．2 D. 5二、填空题6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2 b2＝1(b＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．7．(2019·珠海调研)已知直线l是抛物线y2＝2px(p＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F，且与直线l相切，则抛物线的方程为________．8．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M 的坐标为________．三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．10．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0. 证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．B 级 能力提升11．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 12．(2019·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解析：A级基础一、选择题1．解析：由e＝ca＝12，则a＝2c.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.答案：B2．解析：由∠F2MN＝∠F2NM，知|F2M|＝|F2N|，又|MF2|－|MF1|＝42，|NF1|－|NF2|＝4 2.两式相加，得|NF1|－|MF1|＝82，故|MN|＝|NF1|－|MF1|＝8 2.答案：C3．解析：如图所示，在△AFB中，|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF＝4 5，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos ∠ABF＝100＋64－2×10×8×45＝36，所以|AF|＝6，∠BFA＝90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′.根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．所以|BF′|＝6，|FF′|＝10，所以2a＝8＋6，2c＝10，解得a＝7，c＝5，所以e＝ca＝57.答案：B4．解析：设F2A与渐近线y＝ba x交于点M，且O，M分别为F1F2、F2A的中点，故OM∥F1A，则F1A⊥F2A，OA＝OF1＝c.又∠F1AO＝∠AOF1，所以△F1OA为正三角形，所以∠MOF2＝π3，故双曲线的渐近线为y＝±3x. 答案：A5．解析：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设PQ 与OF 交于点M ，连接OP ，如图所示． 则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2， 故ca ＝2，离心率e ＝ 2. 答案：A 二、填空题6．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3，4)，则9－16b2＝1(b ＞0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x7．解析：由已知圆心在OF 的中垂线上，故圆心到准线的距离为34p ，所以34p ＝3，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x8．解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎨⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)． 答案：(3，15) 三、解答题9．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m .①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)解：由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1， y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P (1，－32)，|FP →|＝32，于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3（1－x 214）＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列． 设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 .② 将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x＋14＝0. 故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.B 级 能力提升11．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a 2， 故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2. 由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1， 得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1. 答案：B12．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意2b ＝4，得b ＝2.又e ＝c a ＝55，且a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2， 解之得a ＝5，c ＝1.所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. (2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 可得x P ＝－20k 4＋5k 2， 代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2， 进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k. 在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k. 由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k 2. 由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245， 从而k ＝±2305. 所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.。
2024全国高考真题数学汇编：椭圆(1)精选全文完整版
2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意 的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重点高中数学椭圆、双曲线、抛物线历年真题及详解————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：【考点8】椭圆、双曲线、抛物线2009年考题1、（2009湖北高考）已知双曲线1412222222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( )A.3B.5C.3D.2选C.可得双曲线的准线为21a x c=±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程221mxny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【解析】选C.将方程221mxny +=转化为22111x y m n+=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足110,0,m n>>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线28y x =-的焦点坐标是( )A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0） 【解析】选B.由28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p-=-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =,则||AF =( )(A)2 (B) 2 (C)3 (D) 3【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得222||233BF=⋅=||2AF ∴=. 5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ．32 B ．2 C ．52D ．3【解析】选B.由3tan623c b π==有2222344()c b c a ==-,则2c e a==,故选B. 6、（2009江西高考）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．33C ．12 D ．132 【解析】选B.因为2(,)b P c a-±，再由1260F PF ∠=有232,b a a=从而可得33c e a ==，故选B.7、（2009浙江高考）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) 21世纪教 A ．2 B ．3 C ．5 D ．10【解析】选C.对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，则有22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭， 因222,4,5ABBC a b e =∴=∴=．8、(2009山东高考)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.5【解析】选D.双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b xx a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a+===+=,故选D.9、(2009山东高考)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ). A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =【解析】选B.抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4ay x =-,它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a⋅=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±,故选B.10、（2009安徽高考）下列曲线中离心率为62的是( )（A ）22124x y -= （B ）22142x y -= （C ）22146x y -= （D ）221410x y -=【解析】选B.由62e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B. 11、（2009天津高考）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ax y 2±= B x y 2±= C x y 22±= D x y 21±= 【解析】选C.由已知得到2,3,122=-===b c a c b，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为x x a b y 22±=±=. 12、（2009宁夏、海南高考）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为( )（A ）23 （B ）2 （C ）3 （D ）1【解析】选A.双曲线24x -212y =1的焦点(4,0)到渐近线3y x =的距离为340232d ⨯-==,选A.13、（2009宁夏、海南高考）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。
若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________. 【解析】抛物线的方程为24y x =，()()()2111122122222212121212124,,,,4441y x A x y B x y x x y x y y y y x x x x y y ⎧=⎪≠⎨=⎪⎩--=-∴==-+∴则有，两式相减得，，直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x答案：y=x14、 (2009湖南高考)已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角 为60o，则双曲线C 的离心率为_____________.【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是,(b c b 是虚半轴长，c 是焦半距)，且一个内角是30︒，即得tan 30b c ︒=，所以3c b =，所以2a b =，离心率3622c e a ===答案：6215、（2009上海高考）已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.【解析】依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=•=+2222121214||||18||||2||||cPF PF PF PF aPF PF ，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3。
答案：316、（2009重庆高考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P使1221sin sin a cPF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．【解析】方法1，因为在12PF F ∆中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =则由已知，得21a c PF PF =，即12aPF cPF =设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF a ex =+=-则00()()a a ex c a ex +=-记得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --==++由椭圆的几何性质知0(1)(1)a e x a a e e ->->-+则，整理得 2210,e e +->解得2121(0,1)e e e <--<-∈或，又>2121(0,1)e e e <--<-∈或，又，故椭圆的离心率(21,1)e ∈-方法2 由解析1知12cPF PF a=由椭圆的定义知 212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a +=+==+则即，由椭圆的几何性质知22222,,20,a PF a c a c c c a c a<+<++->+则既2ac-a 2>0,所以2210,e e +->以下同解析1.答案：()21,1-17、（ 2009四川高考）抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 .【解析】焦点F （1，0），准线方程1-=x ，∴焦点到准线的距离是2答案：218、（2009北京高考）椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 . 【解析】∵229,3ab ==2，∴22927c a b =-=-=，∴1227F F =，又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =， （第19题解答图）又由余弦定理，得()2221224271cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯， ∴12120F PF ︒∠=，故应填2,120︒.答案：2,120︒19、(2009广东高考)已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .(1)求椭圆G 的方程(2)求21F F A k ∆的面积(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G?请说明理由.【解析】（1）设椭圆G 的方程为：22221x y a b+= （0a b >>）半焦距为c;则21232a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩ , 解得633a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ , 22236279b a c ∴=-=-= 所求椭圆G 的方程为：221369x y +=. 21世纪教育网 (2 )点K A 的坐标为(-k,2)12121126326322K A F F S F F =⨯⨯=⨯⨯=12F F 12121126326322K A F F S F F =⨯⨯=⨯⨯= （3）若0k ≥，由2260120215120k k ++--=+>0可知点（6，0）在圆k C 外， 若0k<，由22(6)0120215120k k -+---=->0可知点（-6，0）在圆k C 外； ∴不论K 为何值圆k C 都不能包围椭圆G .20、（2009重庆高考）已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为433y =，离心率32e =，M 是椭圆上的动点． （Ⅰ）若,C D 的坐标分别是(0,3),(0,3)-，求MC MD 的最大值；（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(1,0)，B 是圆221x y +=上的点，N是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ OM ON =+，0QA BA =．求线段QB 的中点P 的轨迹方程；21世纪教育网【解析】（Ⅰ）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22221y x a b+=（a ＞b ＞ 0 ）.设22c a b =-，由准线方程433y =得.由32e =得32c a =，解得 a = 2 ,c = 3，从而 b = 1，椭圆方程为2214y x += . 又易知C ，D 两点是椭圆2214y x +=的焦点，所以,24MC MD a +== 从而22()242MC MD MC MD +⋅≤==，当且仅当MC MD =，即点M 的坐标为(1,0)± 时上式取等号，MC MD ⋅的最大值为4. 21世纪教育网（II ）如图（20）图，设M(,),(,)m m B B x y B x y (,)Q Q Q x y .因为(,0),N N x OM ON OQ +=， 故2,,QN Q M x x y y ==2222(2)4Q Q N Q x y x y +=+= ①因为0,QA BA ⋅=B B 11(1)(1)0,Q Q B B Q Q x y x y x x y y ----=--+=（）（）B B B +=+ 1.Q Q Q x x y y x x -所以 ②记P 点的坐标为(,)P P x y ，因为P 是BQ 的中点 所以P B P B 2=+,2=y +.Q Q x x x y y 又因为22B N +=1,x y ，结合①，②得2222222211(()())(2())44p p Q B Q BQ B Q B Q N Q N x y x x y y x x y y x x y y +=+++=+++++ 13(52(1)44Q B P x x x =++-=+） 故动点P 的轨迹方程为221()12x y -+=21、（2009重庆高考）已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为55x =，离心率5e =．（Ⅰ）求该双曲线的方程； （Ⅱ）如题（20）图，点A 的坐标为(5,0)-，B 是圆22(5)1x y +-=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标； 21世纪教育网【解析】（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，设22c a b =+，由准线方程为55x =得255a c =，由5e = 得5c a= 解得1,5a c == 从而2b =，∴该双曲线的方程为2214y x -=； （Ⅱ）设点D的坐标为(5,0)，则点A 、D 为双曲线的焦点，||||22MA MD a -==所以||||2||||2||MA MB MB MD BD +=+++≥ ，B是圆22(5)1x y +-=上的点，其圆心为(0,5)C ，半径为1，故||||1101BD CD -=+≥ -1 ,从而||||2||101MA MB BD +++≥≥当,M B 在线段CD 上时取等号，此时||||MA MB +的最小值为101+直线CD 的方程为5y x =-+，因点M 在双曲线右支上，故0x >由方程组22445x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩ 解得5424542,33x y -+-==所以M 点的坐标为5424542(,)33-+-；22、(2009山东高考)设椭圆E:22221x y a b +=（a,b>0）过M （2，2） ，N(6,1)两点，O 为坐标原点， （I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。