贵州省铜仁地区2021届新高考数学第三次调研试卷含解析

贵州省铜仁地区2021届新高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得 9x =，故输入的实数值的个数为1．考点：程序框图．2．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2- 【答案】A【解析】【分析】设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，用a 表示出1x ，2x ，求出4||AB ，令2()2ln f a a a =+-，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB 的最小值．【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)y a a A x y B x y =>，则1ln 21a x =+，11(ln 1)2x a ∴=-， 而2x 满足2221a x =-，2212a x +∴= 那么()()22211144()4ln 122ln 22a AB x x a a a ⎡⎤+=-=--=+-⎢⎥⎣⎦22⎛⎫增，所以minmin 42()25ln 22AB f a f ⎛⎫===+ ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：A ．【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．3．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}- 【答案】B【解析】【分析】先化简集合A,再求U C A .【详解】由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U A =- ，故答案为B 【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.4．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πB C ．12π D ．24π【答案】C【解析】【分析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===， O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =， 22PB =211822AO PA x ∴==+ 122AG BC x ==，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=， 即222211822x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()()2221122422322x AO +=+==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C .【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.5．在复平面内，复数21(1)i i +-对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】 化简复数为a bi +的形式，然后判断复数的对应点所在象限，即可求得答案.【详解】211(1)(1)22i i i i i i i i+++==---⋅ 111222i i -+==-+ 11【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 6．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 7．若某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ）A ．36 cm 3B ．48 cm 3C ．60 cm 3D ．72 cm 3【答案】B【解析】 试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积. 考点：三视图和几何体的体积.8．在101()2x x -的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．15【答案】C写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】 101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C 【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．9．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π- 【答案】C 【解析】【分析】由图象可知213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可解得12m =-,利用三角恒等变换化简解析式可得()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()=0f x ,即可求得0x .【详解】依题意，213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即252cos sin 136m ππ⋅+=-, 解得12m =-；因为()13112cos sin 2cos cos 6222f x x x x x x π⎫⎛⎫=⋅+-=⋅+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21313sin cos cos 2cos 2sin 2226x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 所以02262x k πππ+=+，当1k =时，076x π=. 故选:C.【点睛】的应用,难度一般.10．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）A ．93B ．123C ．163D ．183【答案】B【解析】【分析】设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，利用22222OA OO O A =+，可得224163h x =-，进一步得到侧面积3S xh =，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，，底面边长与高分别为,x h ，则23O A x =，在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-， 3S xh =，()222222221291212124322x x S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭， 当且仅当6x =时取等号，此时123S =故选：B.【点睛】本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题. 11．函数24y x =-A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ） A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x << 【答案】A【分析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解.【详解】解：由函数y =得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>， 则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.12．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧【答案】A【解析】【分析】先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件，当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±.所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件. p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题． 当1a =时，2()1f x x =+没有零点，所以命题q 是假命题．所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题．故选：A ．【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数()x f x a =(a ＞0且a≠1)在定义域[m ，n]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n)，则a 的取值范围是_______．【答案】 (1，2e e )【解析】【分析】 ()x f x a =在定义域[m ，n]上的值域是[m 2，n 2]，等价转化为()x f x a =与2y x 的图像在(1，+∞)上恰有两个交点，考虑相切状态可求a 的取值范围.【详解】由题意知：()x f x a =与2y x 的图像在(1，+∞)上恰有两个交点 考查临界情形：0x y a =与2y x 切于0x ， 0022200000(1,)ln 2x e e x a x a e a e a a x ⎧=⎪⇒=⇒∈⎨=⎪⎩． 故答案为：2(1,)e e .【点睛】本题主要考查导数的几何意义，把已知条件进行等价转化是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.14．利用等面积法可以推导出在边长为a，类比上述结论，利用等体积法进行推导，在棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是______【解析】【分析】计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果.【详解】作PO ⊥平面ABC ，O 为ABC ∆的重心如图3sin sin 60AD AB ABD a =⋅∠=⋅=则233AO AD ==， 所以226PO AP AO =-= 设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为x则116333ABC ABC S x S PO x a ∆∆⋅⋅=⋅⋅⇒= 故答案为：63a 【点睛】 本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题.15．已知实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数21z x y =+-的最小值为__________．【答案】-1【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，，，对应的平面区域如图阴影所示；11z平移直线y 12=-x 122z ++，由图象可知当直线y 12=-x 122z ++经过点A 时， 直线y 12=-x 122z ++的纵截距最小，此时z 最小． 由430y x x y =⎧⎨--=⎩，得A （﹣1，﹣1）， 此时z 的最小值为z ＝﹣1﹣2﹣1＝﹣1，故答案为﹣1．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题16．正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切于正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅的取值范围是______.【答案】[0,1]【解析】【分析】根据向量关系表示()()PM PN PO OM PO OM ⋅=+⋅-2221PO OM PO =-=-，只需求出PO 的取值范围即可得解.【详解】 由题可得：0OM ON +=，1,2PO ⎡∈⎣()()()()PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM ⋅=+⋅+=+⋅- 222[0,11]PO OM PO =-=-∈故答案为：[0,1]【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.17．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ，2PA AD AB CD ====，4BC =，PA 丄底面ABCD.（1）证明：平面PAC ⊥平面PAB ；（2）过PA 的平面交BC 于点E ，若平面PAE 把四棱锥P ABCD -分成体积相等的两部分，求二面角A PEB --的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）47【解析】 【分析】（1）先证明等腰梯形ABCD 中AC AB ⊥，然后证明PA AC ⊥，即可得到AC 丄平面PAB ，从而可证明平面PAC 丄平面PAB ；（2）由P ABE P ABCD V V 三棱锥四棱锥--=，可得到ABE AECD S S ∆=梯形，列出式子可求出BE ，然后建立如图的空间坐标系，求出平面PAE 的法向量为1n ，平面PBE 的法向量为2n ，由121212cos ,n n n n n n ⋅=可得到答案．【详解】（1）证明：在等腰梯形ABCD ，2AD BC AD AB CD ===，， 易得60ABC ∠=︒在ABC ∆中，222 2cos 416812AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-=， 则有222AB AC BC +=，故AC AB ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PA AC ∴⊥，即AC AB AC AC PA ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面PAB ，故平面PAC 丄平面PAB . （2）在梯形ABCD 中，设BE a =，P ABE P ABCD V V 三棱锥四棱锥--∴=，ABE AECD S S 梯形∆∴=，()1sin 22CE AD h BA BE ABE +⨯∴⨯⨯∠=，而22213h -,即()423 132222aa-+⨯⨯⨯⨯=，3a∴=.以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图的空间坐标系，则()0,0,0A，()()1330,0,22,0,0,,02P B E⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，，设平面PAE的法向量为()()1133,,,,00,0,222n x y z AE AP⎛⎫===⎪⎪⎝⎭，，，由11n AEn AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得1332220x yz⎧+=⎪⎨⎪=⎩，取1x=，得3y z=-=，，131,,0n⎛⎫∴=-⎪⎪⎝⎭，同理可求得平面PBE的法向量为231,,13n⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，设二面角A PE B--的平面角为θ，则12121233101934cos cos,7111011273n nn nn nθ-⨯+⨯⋅====++⋅++，所以二面角A PE B--的余弦值为47.【点睛】本题考查了两平面垂直的判定，考查了利用空间向量的方法求二面角，考查了棱锥的体积的计算，考查了空间想象能力及计算能力，属于中档题．18．下表是某公司2018年5~12月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据：月份 5 6 7 8 9 10 11 12研发费用（百万元） 2 3 6 10 21 13 15 18（Ⅰ）根据数据可知y 与x 之间存在线性相关关系，求出y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）； （Ⅱ）该公司制定了如下奖励制度：以Z （单位：万台）表示日销售，当[)0,0.13Z ∈时，不设奖；当[)0.13,0.15Z ∈时，每位员工每日奖励200元；当[)0.15,0.16Z ∈时，每位员工每日奖励300元；当[)0.16,Z ∈+∞时，每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售Z （万台）服从正态分布(),0.0001N μ（其中μ是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按30天计算）获得奖励金额总数大约多少元. 参考数据：1347ni ii x y==∑，211308n i i x ==∑，2193ni i y ==∑84.50≈，参考公式：相关系数ni ix y nx yr -=∑y bx a =+中的1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，若随机变量x 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P x μσμσ-<≤+=，()220.9544P x μσμσ-<≤+=.【答案】（Ⅰ）0.240.32y x =+（Ⅱ）7839.3元 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意计算x 、y 的平均值,进而由公式求出回归系数b 和a,即可写出回归直线方程;（Ⅱ）由题意计算平均数μ，得出z~N (μ,2σ)，求出日销量z ∈[0.13,0.15) 、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率，计算奖金总数是多少. 【详解】 （Ⅰ）因为2361021131518881188x +++++++===，112 2.56 3.5 3.5 3.5 4.524388y ++++++++===，因为12213478113830.24413088121340ni ii ni i x y nx yb x nx==-⨯⨯==≈-=-⨯-∑∑，所以30.244110.32a y bx ⨯-===-， 所以0.240.32y x =+；（Ⅱ）因为30.152020y μ===， 所以()0.15,0.0001zN ，故20.0001σ=即0.01σ=，日销量[)0.13,0.15z ∈的概率为0.95440.47722=， 日销量[)0.15,0.16z ∈的概率为0.68260.34132=， 日销量[)0.16,z ∈+∞的概率为10.68260.15872-=， 所以奖金总数大约为：()0.47722000.34133000.1587400307839.3⨯+⨯+⨯⨯=（元）. 【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，还考查了利用正态分布计算概率，进而估计总体情况，属于中档题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线,AC BD 交于点,O M 为棱PD 的中点，MA MC =．求证：（1）//PB 平面AMC ； （2）平面PBD ⊥平面AMC ． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】(1) 连结,OM 根据中位线的性质证明//PB OM 即可. (2) 证明AC BD ⊥,AC PD ⊥再证明AC ⊥平面PBD 即可. 【详解】解：()1证明：连结,OMO 是菱形ABCD 对角线AC BD 、的交点,O ∴为BD 的中点,M 是棱PD 的中点,//,OM PB ∴OM ⊂平面,AMC PB ⊄平面,AMC//PB ∴平面,AMC()2解：在菱形ABCD 中,,AC BD ⊥且O 为AC 的中点,,MA MC ＝AC OM ∴⊥, OM BD O ⋂＝, AC ∴⊥平面,PBD AC ⊂平面AMC ,∴平面PBD ⊥平面AMC ．【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.20．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：()2sin 2cos 0a a ρθθ=>.过点()2,4P --的直线l ：22242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 相交于M ，N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若MN PNPM MN=，求实数a 的值. 【答案】（1）()220y ax a =>，20x y --=；（2）1a =.【解析】【分析】（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入2sin 2cos a ρθθ=求解，由2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）消去t 即可. （2）将2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与22y ax联立得)()24840t a t a -+++=，设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t，则)124t t a +=+，()1284t t a =+，再根据MN PNPM MN=，即2MN PM PN =，利用韦达定理求解.【详解】（1）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2sin 2cos a ρθθ=，得()220y ax a =>，由2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 消去t 得20x y --=，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是()220y ax a =>，20x y --=.（2）将24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入22y ax得)()24840t a t a -+++=，设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t，则)124t t a +=+，()1284t t a =+，由MN PN PM MN=得2MN PM PN =， 所以()21212t t t t -=，即()212125t t t t +=， 所以()()284584a a +=⨯+，而0a >， 解得1a =. 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种. 方案一：每满100元减20元；方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）（1）该商场某顾客购物金额超过100元，若该顾客选择方案二，求该顾客获得7折或8折优惠的概率； （2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？ 【答案】（1）12（2）选择方案二更为划算 【解析】 【分析】（1）计算顾客获得7折优惠的概率118P =，获得8折优惠的概率238P =，相加得到答案.（2）选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180.，计算概率得到数学期望，比较大小得到答案. 【详解】（1）该顾客获得7折优惠的概率312148P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，该顾客获得8折优惠的概率2223223448P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，故该顾客获得7折或8折优惠的概率12131882P P P =+=+=. （2）若选择方案一，则付款金额为18020160-=.若选择方案二，记付款金额为X 元，则X 可取的值为126，144，162，180.323113(126),(144)828P X P X C ⎛⎫===== ⎪⎝⎭， 3310331311(162),(180)2828P X C P X C ⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则13311261441621801538888EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 因为160153>，所以选择方案二更为划算. 【点睛】本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.22．在ABC 中， 角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ， 其中a c <，222cos()sin cos b c a B C bc C C+--+=. （1）求角C 的值；（2）若45c =，a =，D 为AC 边上的任意一点，求2AD BD +的最小值. 【答案】（1）4π；（2）9+. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和二倍角的正弦公式，化简即可得出结果；（2）在ABC ∆中， 由余弦定理得63b AC ==，在BCD ∆中结合正弦定理求出27sin BD θ=，从而得出CD ，即可得出2y AD BD =+的解析式，最后结合斜率的几何意义，即可求出2AD BD +的最小值.【详解】 （1）222cos()sin cos b c a B C bc C C+--+=， cos 2cos sin cos AA C C∴=，由题知，a c <，则A C ∠<∠，则cos 0A ≠ 2sin cos 1C C ∴=， sin 21C ∴=，4C π∴=；（2）在ABC ∆中， 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，63b AC ∴==，设3,4BDC A πθθ∠=<<， 其中3sin 5A =.在BCD 中，sin sin4BD BCπθ=， sin sin4BD πθ∴=，27sin BD θ∴=， ()27(sin cos )45sin sin CD θθθθθ︒+=+=， 所以27(sin cos )2272cos 263362727sin sin sin y AD BD θθθθθθ+⨯-=+=-+=-+⨯，2cos 2cos sin 0sin t θθθθ--==--，所以t 的几何意义为(0,2),(sin ,cos )θθ两点连线斜率的相反数， 数形结合可得2cos 30sin t θθ-=--，故2AD BD +的最小值为9+【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的实际应用，还涉及二倍角正弦公式和诱导公式，考查计算能力. 23．设数列{}n a 满足211233333n n na a a a -++++=，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设,1,n nn n b n a ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）13n n a =；（2）()()21221931,48931,48n n n n n n S n n -⎧+++-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数. 【解析】 【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥时，由211233333n n na a a a -++++=可得出22123113333n n n a a a a ---++++=，两式相减可得n a 的表达式，然后对1a 是否满足n a 在2n ≥时的表达式进行检验，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，对n 分奇数和偶数两种情况讨论，利用奇偶分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求得结果. 【详解】 （1）211233333n n n a a a a -++++=， 当1n =时，113a =； 当2n ≥时，由211233333n n n a a a a -++++=得22123113333n n n a a a a ---++++=， 两式相减得1133n n a -⋅=，13n n a ∴=. 113a =满足13n n a =.因此，数列{}n a 的通项公式为13n n a =； （2）,3,n n n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数.①当n 为奇数时，1224111919112213333122219n n n n n n S n --⎛⎫++⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=++++++=⨯+⨯+-()212193148n n n -++=+-；②当n 为偶数时，()()()222491911921333133121948nn n n n n n S n ⎛⎫- ⎪⋅+-⎡⎤⎣⎦⎝⎭=+++++-+=⋅+=+--. 综上所述，()()21221931,48931,48n n n n n n S n n -⎧+++-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数. 【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题.。