离散系统的变换域分析
《信号、系统与数字信号处理》第五章 Z变换与离散系统的频域分析
同理
sinh0nun
1 2
e0n
e0n
un
1 z
2
z
e0
z z e0
z2
z sinh0 2z cosh0
1
z max e0 , e0
2、双边z变换的移位 n0 0
若 xn X z
RX
z
R X
则 x n n0 z n0 X z
RX
z
R X
证明： Z x n n0
n
xT t nT estdt
n
xnT esnT
n
令 z esT 引入新的复变量， 将上式写为
X s s xnT zn
n
此式是复变量 z 的函数（T 是常数），记为
X z xnzn
n
x 2z2 x 1z x0 x1z1 x2z2
Z xn 2un z2 X z z1x1 x 2
3） 若 xn 为因果序列 xnun X z
则 xn mun zm X z
m0
xn
mun
zm
X
z
m1 k 0
xk
z
k
例5-9 求周期序列的单边z变换
解： 周期序列 xn xn rN
m0
令 n 0 ~ N 1 的主值区序列为 x1 n ，
( z 1)
4、指数序列加权
若 xn X z RX z RX
则 an xn X a1z
RX a 1z RX
证：Z an xn an xnzn
n
xn a1z n X z / a
n
RX a 1z RX
a
R X
z
a
R X
利用
离散系统Z变换分析法02
3.闭环 Z 传递函数的结构图1
闭环 Z 传递函数的结构图2
2.5.4 过渡过程特性
与连续系统用传递函数分析过渡过程类 似，可以用 Z传递函数来分析离散系统的过 渡过程特性。 • 分析离散系统的过渡过程特性的步骤： • • 1）Y（Z）=GC（Z）R（Z）
•
•
2）由Y(Z)求出y(kT)
例题12 例题12
2. 开环 Z 传递函数 • 线件离散系统的开环 Z传递函数 跟连续系统的开环传递函数具有类似 的特性。
串联环节的Z传递函数
例题9
z az , G2 ( z ) = , 设图2 − 10 a）中G1 ( z ) = （ − aT z −1 z −e 试求开环Z传递函数G ( z )。 z az 解：G ( z ) = G1 ( z )G2 ( z ) = z − 1 z − e − aT az 2 = ( z − 1)( z − e − aT )
（1）离散系统稳定的充要条件（时域） 设：系统差分方程
c(k ) + a1c(k − 1) + a2 c(k − 2) + L + an c(k − n) = b0 r (k ) + b1r (k − 1) + L + b0 r (k − m)
系统齐次方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c(k ) + a1c(k − 1) + a2 c(k − 2) + L + an c(k − n) = 0
−1 −1 −Ts
1 1 )( − )] s s+a
= 1(t ) − 1(t − T ) − e − at + e − a ( t −T ) 对y (t )采样，离散化后，得 y (kT ) = 1(kT ) − 1(kT − T ) − e −akT + e − a ( kT −T ) 则 HG ( z ) = Z [ y (kT )] z 1 z 1 1 − e − aT = − − − = − aT − aT z −1 z −1 z − e z−e z − e −aT
离散系统的z域分析
k
k
收敛域为整个z 平面。
(2) f2(k)的双边z 变换为 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2
f2(k)的单边z 变换为
F2 (z) f2 (k)zk 3 2z1 z2 k 0
收敛域为0<z< ∞ 收敛域为z > 0
对有限序列的z变换的收敛域一般为0<z<∞，有时它在0或/和∞也收敛。
|b|
|a|
o
Re[z]
序列的收敛域大致有一下几种情况：
（1）对有限长序列，其双边z变换的ROC为整个平 面； （2）对因果序列，其z变换的ROC为某个圆外区域， 包括无穷点； （3）对反因果序列，其z变换的ROC为某个圆内区 域，包含0点； （4）对双边序列，其z变换的ROC为环状区域；
注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不 唯一。
f (k m)z k f (k m)z k f (k m)z (km) z m
k 0
k 0
k m
上式第二项令k – m=n
m1
m1
f (k m)z k f (n)z n z m f (k m)z k z m F (z)
z
z a
收敛域为|z|>|a|
|a|
o
Re[z]
3) 左边序列
bk ,
例3 求反因果序列
f
f
(k
)
0,
k 0 bk (k 1) 的z变换
k 0
解
Ff
(z)
1
(bz 1 )k
k
(b 1 z ) m
m1
b1z (b1z) N 1
Z变换及离散时间系统分析
Z变换及离散时间系统分析Z变换是一种用于描述离散时间系统的重要数学工具。
离散时间系统是指信号的取样点在时间上离散的系统。
而Z变换可以将离散时间信号从时域（时间域）转换到频域（复频域），并在频域进行分析和处理。
Z变换在数字信号处理、控制系统和通信系统等领域有着广泛的应用。
Z变换的定义为：\[ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x(n)z^{-n} \]其中，\(x(n)\)表示离散时间信号，\(X(z)\)表示该信号的Z变换，\(z\)表示复变量。
通过对离散时间系统的输入信号进行Z变换后，可以得到系统的传递函数。
系统的传递函数是指系统的输出与输入之间的关系。
在离散时间系统中，传递函数可以表示为：\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} \]其中，\(Y(z)\)表示系统的输出信号，\(X(z)\)表示系统的输入信号。
通过Z变换可以对离散时间系统进行频域分析。
频域分析可以用来研究离散时间系统的频率特性，比如系统的频率响应、幅频特性、相频特性等。
频域分析可以揭示系统在不同频率下对信号的处理情况，对于设计和优化离散时间系统非常有帮助。
Z变换具有一些重要的性质，可以方便地对离散时间系统进行分析和计算。
其中一些常用的性质包括：1. 线性性质：对于任意常数\(a\)和\(b\)，以及信号\(x(n)\)和\(y(n)\)，有\(Z(a \cdot x(n) + b \cdot y(n)) = a \cdot X(z) + b \cdot Y(z)\)。
这个性质说明Z变换对线性系统是可加性的。
2. 移位性质：如果将信号\(x(n)\)向左或向右移动\(k\)个单位，那么它的Z变换\(X(z)\)也将发生相应的移位，即\(Z(x(n-k)) = z^{-k} \cdot X(z)\)。
这个性质说明Z变换对系统的时移（时延）是敏感的。
3. 初值定理：如果离散时间信号\(x(n)\)在n=0处存在有限值，那么在Z变换中，它的初值可以通过计算\(X(z)\)在z=1处的值得到，即\(x(0) = \lim_{z \to 1}X(z)\)。
离散时间系统频域分析
离散时间系统频域分析离散时间系统的频域分析是研究离散时间信号在频域上的性质和行为的方法。
在离散时间系统频域分析中，使用离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），来将离散时间信号从时域转换到频域。
通过分析信号在频域上的频谱分布和频谱特性，可以得到离散时间系统的频率响应和频域特性，对信号的频域分布和频率区间进行评估和分析。
离散时间傅里叶变换是时域信号分析的重要工具，它可以将离散时间信号从时域转换到频域。
离散时间傅里叶变换的定义可以表示为：X(k) = Σ[x(n) * exp(-j*2πkn/N)]其中，X(k)是离散时间信号在频域的频谱，x(n)是离散时间信号，N是信号的长度，k是频谱的索引。
离散时间傅里叶变换将时域信号分解成多个频率成分，通过频谱的幅度和相位信息，可以得到信号在频域上的分布情况。
通过离散时间傅里叶变换可以得到离散时间信号的频谱，进而分析信号在频域上的频率响应和频域特性。
频谱可以反映信号在不同频率上的能量分布情况，通过观察频谱的幅度和相位，可以得到信号的频率成分、频带宽度和频率特性等信息。
在离散时间系统频域分析中，常用的分析工具有频谱图、功率谱密度、频率响应等。
频谱图可以将信号的频谱以图形形式展示出来，通过观察频谱图的形状和分布，可以得到信号在频域上的特点。
功率谱密度是指信号在不同频率上的功率分布情况，可以评估信号在不同频率上的能量分布情况。
频率响应是指系统对不同频率信号的响应情况，可以评估系统对不同频率信号的滤波和增益特性。
离散时间系统频域分析的应用包括信号处理、通信系统、控制系统等领域。
在信号处理中，通过频域分析可以对信号进行滤波、去噪、频域变换等操作，提高信号的质量和分析能力。
在通信系统中，通过频域分析可以评估信号传输和接收的性能，并对系统进行优化和改进。
在控制系统中，通过频域分析可以评估系统的稳定性和控制特性，提高系统的响应速度和稳定性。
第八章-离散时间系统的变换域分析
第八章 离散时间系统的变换域分析一、选择题1、一个因果稳定的离散系统，其H （z ）的全部极点须分布在z 平面的 BA 、单位圆外B 、单位圆内C 、单位圆上D 、单位圆内或单位圆上2、为使线性时不变因果离散系统是稳定的，其系统函数)(z H 的极点必须在z 平面的 AA 、单位圆内B 、单位圆外C 、左半平面D 、右半平面3、如果某离散时间系统的系统函数H(z)只有一个在单位圆上实数为1的单极点，则它的h(n)= A 。
A )(n uB )(n u -C )()1(n u n -D 14、已知Z 变换Z 1311)]([--=zn x ，收敛域3z >，则逆变换x(n)为 A 。
A 、)(3n u n B 、3(1)n u n - C 、)(3n u n -- D 、)1(3----n u n5、已知Z 变换Z 1311)]([--=z n x ，收敛域3<z ，则逆变换x(n)为（ D ） A )(3n u n B )(3n u n -- C )(3n u n -- D )1(3---n u n6、已知)(n x 的Ｚ变换)2)((1)(21++=z z z X ，)(z X 的收敛域为 C 时，)(n x 为因果信号。
A 、5.0||>z B 、5.0||<z C 、2||>z D 、2||5.0<<z7、已知)(n x 的Z 变换)2)(1(1)(++=z z z X ，)(z X 的收敛域为 C 时，)(n x 为因果信号。
A 、1||>zB 、1||<zC 、2||>zD 、2||1<<z8、)1()1()(---n u n n nu 的z 变换为（A ） A 11-z B )1(1-z z C 1-z z D 12-z z 9、如果序列)()(n u n x 的z 变换为11-+z z ，则)0(x 的值为（B ）A 0B 1C 2D 310、)1()1()(---n u n n nu 的z 变换为 A 。
第2章 离散系统的变换域分析
第2章
离散系统的变换域分析——z变换 z 离散系统的变换域分析
z变换和逆 变换和逆z 2.1 z变换和逆z变换 2.2 离散系统的的系统函数与系统特性的描述 2.3 系统的频率响应与系统滤波特性 z变换和拉氏变换的关系 2.4 z变换和拉氏变换的关系
第 2 章离散系统的变换域分析—z变换
Rx − < z < ∞
第 2 章离散系统的变换域分析—z变换
j Im[ z ]
x(n)
Re[ z]
. .
... n1 0 1 n
收敛域
Rx −
(a) 右边序列
(b)收敛域 (b)收敛域
因果序列：在右边序列中，有一种特殊的右边序列， 因果序列：在右边序列中，有一种特殊的右边序列，即 的序列，这样的序列称为因果序列， n1 = 0 的序列，这样的序列称为因果序列，即：
X ( z) =
n =−∞
∑ x( n) z
∞
−n
=z +z +z
0
−1
−2
z +1 = 1+ 2 z
所以，序列的z变换收敛域为z 所以，序列的z变换收敛域为z平面上除原点以外的全部区 域，即 0 < z ≤ ∞ 。 求此序列的z变换和收敛域。 例2-2 已知序列 x(n) = a nu (n) ，求此序列的z变换和收敛域。 此序列是一个因果序列，所以z 解：此序列是一个因果序列，所以z变换为
求逆z变换的方法主要有三种：围线积分法、 求逆z变换的方法主要有三种：围线积分法、部分分式 展开法和长处法。 展开法和长处法。 1.围线积分法留数法 1.围线积分法留数法 设双边序列x(n)的z变换为 X ( z ) = Z [ x(n)] Rx − < z < Rx + 设双边序列x(n)的 x(n) 由复变函数理论可知，在此区域内X(z)可展开洛朗级数， X(z)可展开洛朗级数 由复变函数理论可知，在此区域内X(z)可展开洛朗级数， ∞ 即： X ( z ) = ∑ Cn z − n R < z < R
离散信号与系统的变换域分析
() arctg a sin
1 a cos
1. 幅频曲线为偶对称，相频曲线为奇 对称，一般均为连续函数；
2. 不同于连续系统，曲线是周期
函数，周期为 2 ；
3. 离散系统也有高通、低通之分。
1 1 a
1 1 a
2 0
H (e j )
（） arctan1 a 1 a2
2
0
0 a 1 低通 1 a 0 高通
（零状态条件下）
二阶后向差分方程的离散 系统函数求法与此类似
总结如下：
第六章 离散信号与系统的变换域分析
离散信号与系统的变换域分析概述 6.1 Z 变换 6.2 Z 变换的性质 6.3 Z 反变换 6.4 离散系统的 Z 域分析 6.5 离散系统函数与系统特性 6.6 离散系统的模拟 6.7 离散时间傅里叶变换与离散系统的频率
条件：f (k) 的终值存在意味着
F (z) 除了在 z＝1 处允许有一个 一阶极点外，其余极点必须在单 位圆内部。
S 平面与 Z 平面的映射关系
例5 2 9 某序列的 Z变换为F (z) z ，试求f (k ) za
的终值f ()。
Z 变换性质综合应用的例题：
例 求图示有限长序列的Z变换。
响应特性
6.5 离散系统函数与系统特性
zr 称为系统函数的零点，pi 称为系统函数的极点，
• 可以画出H(z)的零、极点图，画法和连续系统类似。
例：系统函数为
H(z)
z2(z
(z 1)( z 1) 2 j)( z 2
j)
则其零、极点图如右图所示。
j Imz 1 Rez
• 一阶极点的位 置与自然响应 模式的关系：
离散信号与系统的变换域分析概述 6.1 Z 变换 6.2 Z 变换的性质 6.3 Z 反变换 6.4 离散系统的 Z 域分析 6.5 离散系统函数与系统特性 6.6 离散系统的模拟 6.7 离散时间傅里叶变换与离散系统的频率
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实验2 离散系统的变换域分析
一、实验目的
1、熟悉对离散系统的频率响应分析方法；
2、加深对零、极点分布的概念理解。
二、实验原理
离散系统的时域方程为
其变换域分析方法如下：
频域:
系统的频率响应为:
Z域:
系统的转移函数为:
分解因式:
，
其中
和
称为零、极点。
三、预习要求
1. 在MATLAB中，熟悉函数tf2zp、zplane、freqz、residuez、
zp2sos的使用，其中：[z，p，K]=tf2zp（num，den）求得有
理分式形式的系统转移函数的零、极点；zplane（z，p）绘
制零、极点分布图；h=freqz(num,den,w)求系统的单位频率
响应；[r，p，k]=residuez（num，den）完成部分分式展开
计算；sos=zp2sos（z，p，K）完成将高阶系统分解为2阶系
统的串联。
2. 阅读文中的范例，学习频率分析法在MATLAB中的实现；
3. 编程实现系统参数输入，绘出幅度频率响应和相位响应曲线
和零、极点分布图。
四、实验内容
求系统
的零、极点和幅度频率响应和相位响应。
五、范例
求下列直接型系统函数的零、极点，并将它转换成二阶节形式
解:用MATLAB计算程序如下：
num=[1 -0.1 -0.3 -0.3 -0.2];
den=[1 0.1 0.2 0.2 0.5];
[z,p,k]=tf2zp(num,den);
m=abs(p);
disp('零点');disp(z);
disp('极点');disp(p);
disp('增益系数');disp(k);
sos=zp2sos(z,p,k);
disp('二阶节');disp(real(sos));
zplane(num,den)
输入到“num”和“den”的分别为分子和分母多项式的系数。
计算求得零、极点增益系数和二阶节的系数：
零点:
0.9615
-0.5730
-0.1443 + 0.5850i
-0.1443 - 0.5850i
极点:
0.5276+0.6997i
0.5276-0.6997i
-0.5776+0.5635i
-0.5776-0.5635i
增益系数:
1
二阶节:
1.0000 -0.3885 -0.5509 1.0000 1.15520 0.6511
1.0000 0.28850 0.36300 1.0000 -1.0552 0.7679
系统函数的二阶节形式为：
极点图见图2.1:
图2.1 系统函数的零、极点图。