力学第三四章习题课

2 ••
4.4：如图，试求一个半径为 a的半圆形均匀平板的质心
如图，建立直角坐标系 由对称性知 xc=0 设平板的面密度为 σ 总质量 M = σ π a 2
2
y (0,a)
面元的质量：σdxdy 则
o
(a,0)
x
y
c
=
∫∫
y σ dxdy M
=
4a 3π
即平板的质心为（ 0,4a/3π）
4.11：如图，一子弹水平地穿过两个前后并排、静止放置在光滑水 平面上的木块，木块的质量分别为 m1、m2，设子弹穿过木块所用的 时间分别为 Δt1、Δt2。 求：子弹穿过两木块后两木块的运动速度。 （设木块对子弹的阻力为恒力 F）
3、此时，槽对质点的作用力 F与质点所受到 的科里奥利力是一对作用力与反作用力，即
F = 2mωv = 2mω
ω y +v
2
2
2
0
3.12：一圆柱形刚性杆 Ox上套有一质量为 m的小环，杆的一 端固定，整个杆绕着通过固定端 O的竖直轴以恒定的角速度 旋转，旋转时杆与竖直轴的夹角 α保持不变。设小环与杆之 间的摩擦系数为 µ，已知当小环相对于杆运动到图示位置 x 时，其相对于杆的速度为， 试列出此时小环沿杆的运动方程（不要求解此方程）
3.11：一圆盘绕其竖直的对称轴以恒定的角速度ω 旋转。在圆盘上沿径向开有一光滑小槽，槽内一质 量为m的质点以v0的初速从圆心开始沿半径向外运 动。 试求： 1、质点到达图示位置（即 y=y0）时的速度v； 2、质点到达该处所需要的时间 t 3、质点在该处所受到的槽壁对它的侧向作用力 F
z ω
o
m
••
m x = F sin α − mg cos α − f
综上4式可得小环沿杆的运动方程为：
m x = mω2 x sin2α − mg cosα − µ (F cosα + mg sinα )2 + (2mωx sinα )2
= mω2 x sin2α − mg cosα − µ (mω2 x sinα cosα + mgsinα ) + (2mωv sinα )2
解： 动量定理： F∆t = ∆mv 取Δt1时刻m1速度为v1，时刻m2速度为v2。 则有 F •∆ = + 由上两式得：
m1
m2
(m1 m2)v1 F • (∆t + ∆t ) = m v + m v
t1
1 2 1 1 2
1
2
v v
F ∆ = m 1+
=
2
t m F ∆ t m + m
1 1 1
则绳对钉子的压力为
4 wbc b − c ]= F = mg[1 − a a
N
2 2
2
出现的问题
1、绳重w，即w=Mg。w≠M 2、将绳子的质心加速度与 b、c段的加速度混淆： 设绳子一端下降距离为 x
dv 2 x w = wg dt a
质心加速度 不是合外力 w-F=dm/dt 3、对细钉的说明 :忽略半径的影响
C A θ d 2θ B
1、由于AC与AB的夹角极小,所以 2 θρ = d BC = θ d 得：
BC
=
ω
d 2 v
2、子弹在圆盘上的运动轨迹是一个圆弧 3、科里奥利力充当向心力：
F向 = F 科
mν = -2 m ϖ × ν = ρ
→ →
2
即可解得圆弧的曲率半径是
ρ=ν/2ω
出现的问题
1、混淆了惯性系与非惯性系。 将直线AC看成子弹的实际运动轨迹 ,以惯性系中规律 分析非惯性系中的运动 X 2、因v>>wd,所以t=d/v。以这种做法得到的弧长刚好是实际 弧长的一半；曲率半径是实际值的两倍。
时，
a
max
ρA v = 4M
2
r
4.23：一雨滴的初始质量为 m0，在重力作用下从静止开始下落。假设 此雨滴从云中得到质量，其质量的增长率正比于它的瞬间质量和瞬间 速率的乘积，即dm/dt=kmv，其中k为常数。若忽略空气阻力， 试证明雨滴的速率最终成为恒量，并给出最终速率的表达式。
解：方法一 d ( mv 由变质量动量定理知， dt 即 得 积分得
v = ag 2
b a
T - wb = wb ab g wc wc − T = ac g
由于|ab|=|ac|,消去ab，ac得
bc T = 2W a2
F = 2T = 4W bc a2
方法二 对绳取微元 dm 系统受到合外力的冲量 Fdt=dp
dp = vd
= v ( vdt =
m
2
1
− vd
m
y
0
2
2
2
2 0
2
x
0
v = v +v = v +2ω y
总
2
2
2
2
2
y
x
0
0
2、由式
dy dt
=
v = v +ω y
y
0
2
2
2
2
0
得 积分得
2 + 2 2 y ω v0
2 2⎞ ⎛ ⎟ y y0 1 1 ⎜ω y0 ω 0 t =∫ dy= ln⎜ + 1+ 2 ⎟ 0 2 2 2 ω ⎜ v0 v0 ⎟ + y ω v0 ⎝ ⎠
z x N m x v F离 F科 α f摩 mg z x
α o
解： 所受到的科里奥利力为：F 科 = 2 m ω × v = 2 mω v sin α 所受到的惯性离心力为： F = m ω 所受到的摩擦力为： 所受到的合力为：
2
• x sin α
2 f = (F cosα + mgsinα )2 + F科 µ
y
x
解：1、在转动惯性系中， 小球受到惯性离心力： 方向+y，所以在y方向上，
•
F = mω2 y
••
y = ω
2
y
令
v
y =
y
则
dv •• dvdy dv 2 =y= = v =ω y dt dydt dy
积分得在y方向上 垂直于y方向上 所以在y=y0时， 质点的速率为：
v = v +ω y v = (ω y )
dm dt
dm dt
由于最终速度为恒定值， 即 dv
dt
综上可直接得出
= 0
g k
v =
THANKS!!
m dv dt
)
=
F
合
+ v
dm dt
=
=
mg
dm dt
dt
=
kmv
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
dv g − k
v
2
v (t ) =
g • k
e e
2 2
gk t gk t
−1 +1
当t → +∞时，v(t) →
g k
解：方法二 d ( mv ) 由变质量动量定理知， dt = F 合 即
m dv dt
+ v ⎫ = mg ⎪ ⎬ ⎪ = kmv ⎭
力学第三四章习题课
3.6；3.11；3.12 4.4；4.11；4.15；4.22；4.23
3.6：如图所示，一个圆盘直径为 d，绕通过圆心的 垂直轴以角速度ω匀速旋转，今有一人站在圆盘上 的点A射出一颗子弹，已知子弹出膛速度为 v，v>> ωd。现在希望子弹击中 A点的对径点B（AB是圆盘 直径），则应瞄准点 C，问： 1、BC的弧长是多少 2、这颗子弹在圆盘上的轨迹是什么 3、求出相应的曲率半径
4.22：一质量为M的宇宙飞船，在星际空间飞行。它用面积为 A的洞捕集静 止的氢（每单位体积的质量为ρ），再将其排出，排气的方向与飞船的飞行 方向相反，排气的速率相对于飞船为 vr，问：飞船的速率 v等于多少时，它 的加速度最大？（用 M、ρ、A、vr表示）
解：捕到氢气的质量 dm=ρAvdt。 取飞船飞行的方向为正方向 整个过程动量守恒 dm(v-vr)+M(v+dv)=Mv ρAvdt(v-vr)=M(v-v1)=-Mdv Mdv/dt=- ρAv(v-vr) =- ρ A [ ( v − v r ) − v
2
m m ) − v ( − vdt ) a a
2m v dt a
得到合外力
dp 2m v F= = dt a
2
绳子的质心为
r
c
=
b
2
+ c 2a
2
系统机械能守恒
1 m 2
m
因合外力
v
2
2
= mg ( r c −
r
0
)
v
=
(b − c )
2a
2
mg
2
F = mg −
F
N
=
(b − c ) a
2
mg2Biblioteka 2r24
]
可见，当且仅当 v=vr/2时，飞船有最大加 速度 a = ρ A 4v M
2
r
max
方法二： 对排出的氢气有
F∆t = ρAv∆t (v − vr ) F = ρAv (v − vr )
F a = − M
当 v =
对飞船有
ρ Av ( v − = − M
r
v
r
)
v
2 飞船有最大加速度
,
2
+
2
F ∆
t
2
2
m
4.15：一个长为a，重为w的均匀细绳挂在一个光滑细钉上自由 下滑。当两边的绳长相等时，细绳处于平衡状态。在小扰动下， 从钉上滑落。求： 1、当绳刚脱离细钉时，细绳的速度 2、当绳长一边为b，另一边为 c时，它对钉子的压力。 c