加权余量法 ppt课件
有限元原理(加权余量法和变分法)
3. 加权余量法－－例1
该静态电场问题的真解（解析解：）
真解与近似解相同是由于尝试 函数选择的刚好，通常是有差 别的，如选用三角函数，但求 解过程会复杂，可见尝试函数 的选取是有技巧的。
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
一般化偏微分方程： 线性微分算子
( ) q ( ) s
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设 法使其最小的方法。 加权余量法误差（即余数）的定义：
2 2 场域 内 : R R （） （） 边界上：
问题的自 由度
i 1 * j i 1
n
n
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
* * {[ w ( ) d ] C } {[ w ( ) d ] C } w q d w j i j i i i j j s d i 1 i 1 n
5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
通过尝试函数，简化加权余数后：
F j ( R ) w j ( 2 q ) d w * j(
i 1 i 1
2.结合问题，写出余数表达式：
2 2 2 i 2 1 2 2 ( C x ) ( C x ) ( C x ) i 1 2 i 1 0 2C2 2 0
: R 2 2
2C2
其中： C i i
i 1 n
R ( ) ( ) ( ) q 则其余数为：
令加权余数为0，构建代数方程：
有限元的理论基础
有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。
对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。
已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。
若计算问题具有对称性，应充分利用它。
显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。
按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。
其中伽辽金法的精度最高。
2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。
03加权余量法
dx u0 u1 0
解： （1）取近似解
Lu
d 2u
2
u x 0
0 x 1
u x1 x 1 2 x
（2）求余量
R Lu p
x 2 x x 2 1 2 6 x x 2 x 3 2
2 1 0
0 1
2
积分整理得
202 101 1 55 707 1572 399 2
(4)解出
1 0.1875419 2 0.1694706
(5)近似解
u x1 x 0.1875419 0.1694706 x
4.矩量法 取权函数
i 1 Wi r
i 1,2,..., n
D
则
R, Wi
Rr i 1dD 0
例（同前）：
D
步骤（3）取
i 1,2 W1 1,W2 x
x 2 x x 2 6 x x
1 2 1
2
x 3 2 dx 0 x 3 2 xdx 0
解出R中所含的n个αj，可得近似解。 例（同前）： 步骤（3）取两个子区域
1 0 x 2 0 x 1
R, Wi
1 2
D
0 x 3 2 dx 0 x 3 2 dx 0
x 2 x x 2 6 x x
2 1
2
x 2 x x 2 6 x x
2 1 0
0 1
2
积分整理得
11 11 1 6 12 1 2 11 19 1 2 3 12 20
有限元第2讲：加权余量法
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
有限元分析理论基础
有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
釆用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
4.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
(Weighted residual method WRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为：在V域内厶(")-八0 (5.1.1)在S 边界上〃(“)-& = 0 (5.1.2)式中：L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g ——为与未知函数u无关的己知函数域值；u——为问题待求的未知函数当弄!J用力u权余•肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数H 一般兵升如下形式:仁土CN=NC(5.1.3)T M式中：c{----------- 彳寺定系数. 也可称为广义坐标；N：--- 取白完备函冬攵*S线.性无关的基函孕攵°由于〃一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂因u匕将式(5 1.3) 代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃•不誉斯兄，昔迅:| R] = L(flb— f在V域内\R B =B(^~g在S 边界上("14)城然 & 、尽反映了r式函竽攵与实解之问的偏差. 它丁门分另U称做内召卩牙口边界余覺。
若在域\'内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数W B 则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：L兀W B1R B dS = 0 (/ = L2.L ,〃) (51-5)• V • S不同的权函数幵；和jr R反映了不同的消除余•眩的准则。
加权余量法 ppt课件
精品资料
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• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求 多元（ a~1 ....）..a~函n 数的极值问题。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
~
(u ) ~ 0
a ~
Ka F ~~ ~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
讨论： 1）此方法的优点是不增加最后的线性方程组阶数
2）
K ~
2为奇异阵
K ~
2
0
K ~
1
相对 K~可2 以忽略。
1 K~2~aP ~
0
而 ~a ，0 必K~须2 是奇异，才有非零解。
加权余量法
§1.3.2 修正泛函变分原理
从实例中可见， K~为2 奇异的。 实例计算中需证明 K~的2 奇异性。
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
Байду номын сангаас~~~
加权余量法简介
在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1
[用加权余量法分析圆形遂道]加权余量法ppt
![[用加权余量法分析圆形遂道]加权余量法ppt](https://img.taocdn.com/s3/m/5470597408a1284ac950435f.png)
[用加权余量法分析圆形遂道]加权余量法ppt摘要:采用在低级近似情况下可获得较高精度的加权余量法对圆形隧道可能承受的各种荷载情况进行分析,给出了相应的权残方程和内力的通式以及它们的实用算式、算例表明:计算简便易行,控制内力降低,在规律性上更好地体现了圆拱形结构的良好力学性能,较现行方法有明显的优越性、关键词：加权余量法圆形隧道权残方程内力计算中图分类号：U45文献标识码：A 文章编号：一、前言水力工程涵洞和铁路隧道等工程广泛采用着圆拱形结构其合理计算应遵循与周围地层共同工作原理、不计弹性抗力的自由变形方法 ,原则上可用于松软地层中的隧洞分析,然而,鉴于松软地层含义的相对性,如预先认定不免带有一定的盲目性、计入假设的弹性抗力方法 ,则由于该抗力不尽符合共同工原理,所得结果将具有一定的任意性、把周围地层的连续弹性抗力仅简化为若干法向弹性支承反力的链杆法,则需将结构分割较多的直梁单元才会有较好的精度,而这将使各项工作量加大;重要的是该法还没有也难以考虑切向弹性抗菌素力的作用、加权余量法在我国正日益广泛地被引入结构分析领域[4,5] 由于其原理统一,计算简便准确、,并容易在计算机上实施等优点,为同时考虑法向和切向弹性抗力时地层中圆形隧道的合理计算提供了便利条件、二、控制微分方程和边界条件图1示地层中单位厚度圆形隧道结构的计算简图,承受竖向荷载qV、水平侧向茶载qH 、自重G和水压力或灌浆压力ρ0等主动荷载的作用;结构、荷尔蒙载均为正对称,顶点O为坐标原点,RH 为计算半径,h为壁厚,H为顶点水头,rs为水的容量;上部两侧各为45°范围为不计弹性抗力的脱离区、脱离区的范围与结构在qV、qH以及G等作用下产生的变形状态有关,一般只能用迭代法逐次接近;根据大量试验和工程实践经验总结,该脱离区一般约为2×34°－2×45°, 我国水工隧洞设计规范推荐2×45°,故本文将此值作为已知条件引入计算简中、从图1中截取微分单元RHdθ,其中w为法向位移;V为切向位移;kw w、kV V分别为法向、切向弹性抗力,kw 、kV分别为法向、切向地层弹性抗力系数;各项荷载、抗力及结构的弯矩M 、剪力Q和轴力N均为以图示方向为正; rh为钢盘混凝土容重、可忽略轴力产生的切向应变: 由于结构对称,故只需对右半部分进行分析,在=0和θ=π处应满足如下位移和应力边界条件:三、伽辽金权残方程通式及内力通式设法向位移试函数= s°sinAmcos满足式所有边界条件，并使C=0由于qV在θ=π／2处和弹性抗力在θ=π／4处出现间断性，故将式代入式所得残函数有3种形式：在0－π／4子域：式中：s° =m5－2m3+m; s = s° + ƒ取权函数集Wj=cos,相应其任一项的全域伽辽金权残方程为WjRIdθ= Wj RI1dθ+ Wj RI2dθ+Wj RI3dθ=0将式代入后，注意到：qH= －θ,sin2θcosdθ=[sinθ+sinθ]／2,qHsin2cosdθ=sin2cosdθ－×dθ+sin3θcosdθ);p0=rs,=rsRHsinθ,cosdθ=rsRHsinθcosdθ、于是得到全域伽辽金权残方程的通式:sincosdθ+ssincosdθ)Am=ƒsinθcosdθ+ƒdθ,式中:sincosdθ= 将对应于各权函数Wj的权残方程依次组合并写成求解Am的矩阵形式为:Am=[Km,j ] Tj当选定试函数项数m后,权函数项数即一定,所以, Am的系数矩阵[Km,j ]和荷载项列阵 Tj 均可预先由式列出供实用;划去相应的行和列,它还可以用于项数小于m的情况、由式、、分别列出内力通式为：在求0－π／4域的轴力时，应令km=0；求π／2－π域的轴力时，应令qv=0。
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对上式分部积分，直至u 的导数消失，得：
~ L (u ~ )~ vd u ~ ~ L * (~ v )d b .t.(u ~ ,~ v )
称 ~L * 为 ~L 的伴随算子。
边界项
若 ~L * ~L 则称算子是自伴随算子。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2. 泛函的构造
x A(u)L(u)f 0
~D ~~D ~~L~u
近似解： ~ uu ~ ~i n1N ~i a~i N ~~ a[N ~1 N ~2....N .~.n]~ a
N ~1a~1N ~2a~2......N ~na~n
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
其中：
~a
a ~
1
M
a ~
n
a~1 .....a.~n 待定参数向量（未知）
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
对这类问题：
存在泛函 ，它是一个标量
(u )F (u ,u ,...)d E (u ,u ,...)d
~
~x~
~
~~~ x~
~u 是未知场函数， F~ , ~E 为特定算子。
包含 ~u 及 ~u 的1至m阶导数。
连续介质问题的解： ~u 使泛函取极值（或驻值）。 即： 0 (这种泛函我们称为单变量 ( ~u ) 泛函，当然可以有多变量)
加权余量法
§1.3 变分原理、
§1.3.1 自然变分原理 §1.3.2 修正泛函的变分原理
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
1. 线性、自伴随微分算子
如果微分方程具有线性、自伴随的性质，则：
• 不仅可以建立它的等效积分形式， 并可利用加权余量法求其近似解；
• 还可建立与之相等效的变分原理， 基于它的另一种近似求解方法——Ritz法。
变分： a ~ 1a ~ 1 a ~ 2a ~ 2.... .a ~ n .a ~ n0
a~1,a~2.....a.~n 相互独立，
所以，0,
a ~ 1
0, a ~ 2
...,... 0 a ~ n
或
~a
0
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
由： 0得到矩阵形式
~a
K~ ~a F~
~
(u ) ~ 0
a ~
K~
a ~
F~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
1）连续性要求
N ~
满i 足
C阶m 连1 续性
2）完备性要求
N ~
取i 自完备的函数序列
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
3.特点 1) 近似解对全域而言 2) 试探函数要求满足一定的边界条件，近似解的
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
例：最小位能原理
体系总位能
应变能
UdV
V
V
21~T
~dV
外力势能 ~uT fdV~uTT~ds
V
S
(~ u)V(2 1~ T(~ u) ~ (~ u)~ u Tf)d V S ~ u TT ~ds
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
其中： ~(~u) ~Lu~
精度与试探函数的选择有密切关系。 3) 待定系数 a~任i 意，不表示特定的物理意义。 4) 如果我们对问题了解比较清楚，能找到合适的
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
线性、自伴随微分方程的定义： 微分方程 ~L(~u)b 0 in ~L 为微分算子
若 ~L 具有性质：~ L (u 1 u 2 )~ L ( u 1 )~ L ( u 2 )
则称 ~L 为线性微分算子。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
考虑积分 ~L(u~)vd 任意函数
~~
1uTL(u)db.t.(u,u)
2~ ~~
~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
微分方程的等效积分形式：
u T (L ( u ) f)d u T B ( u )d 0
~~~
~
~~~
u T L ( u ) d u T fd u T B ( u ) d 0
~ ~ ~
其中
K ~ (~LN ~)TD~LN ~dV V
F ~VN ~T~ fd
V N ~TT ~d S
s
共有 3n 个方程，
若 N~1 ....为..N~完n 备的函数系列
则，n时， 收u ~ ~敛于精确解，
若 n 为有限项，则 u ~ 为~近似解。
上述方法为Ritz法
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
Ritz（里兹）法——基于变分原理的近似解法
1.求解步骤：
1）假设近似解：~u
u~~
n
i1 N~i
a~i
a ~
i
为待定参数， 满足强制边界条件。
2）将 u~~代入
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求 多元（ a~1 ....）.a.~函n 数的极值问题。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~
2~~~
[1u TL (u )1u TL (u )]d b .t.(u ,u )
2~~~ 2~~ ~
~~
[1u TL (u )1u T L (u )]d b .t.(u ,u )
2~~~ 2~ ~~
~
~ ~ ~~ ~
x B(u)0
~
~~
Galerkin（伽辽金）格式
u T (L ( u ) f)d u T B ( u )d 0
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
~~
~~ ~
1uTL(u)db.t.(u,u)
2~ ~ ~
~~
整理得到： 0
[1uTL (u)uTfd ]b .t.(u)
2~~~
~~
加权余量法
~
§1.3. 1 自然变分原理
3. 自然变分原理
某些问题的物理本质往往能够以变分原理的 形式直接叙述出来。 例如，弹性力学中的最小位能原理、粘性流体中 最小能量耗散原理，称为自然变分原理。
N~1 ......N~n
试探函数矩阵（事先选定）
对三维问题 ：
Ni 0 0
N~i
ห้องสมุดไป่ตู้
0 0
Ni
0
0 Ni
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
泛函：
2 1 ~ a T V (~ L N ~ )T D ~ L N ~ d~ a V ~ a T V N ~ Tfd V ~ a T S N ~ T T ~ d