2008级研究生数值分析试题

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2008年数四考研数学真题及解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则()10lim nnnn ab--→+（）()A a .()B 1a -. ()C b .()D 1b -.（2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()x f t dt g x x=⎰的（）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷.()D 振荡.（3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（）()A ()()0Df yg x dxdy =⎰⎰.()B ()()0D f x g y d x d y =⎰⎰.()C [()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰.()D [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.（4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'0()axf x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ ()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()0,1X N ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程为 . （11）2113ln y dx x xdy =⎰⎰ .（12）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=通解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则A 的秩为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限201sin limln x x x x→. (16) （本题满分10分）设()()1f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值、单调区间和凹凸区间.(17)（本题满分10分）求函数222u x y z =++在在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(18)（本题满分10分）设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时，求(1)dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂.(19)（本题满分10分）()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰（2）证明()()()202x t t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．（20）（本题满分11分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解（3）a 为何值，方程组有无穷多解 (21)（本题满分11分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，证明（1）123,,ααα线性无关；（2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.（22）（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度（23）（本题满分9分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.。

北京理工大学2008级数值分析试题及答案

课程编号：12000044 北京理工大学2009-2010学年第二学期2008级计算机学院《数值分析》期末试卷A 卷班级学号姓名成绩注意：① 答题方式为闭卷。

② 可以使用计算器。

请将填空题和选择题的答案直接填在试卷上，计算题答在答题纸上。

一、填空题（每空2分，共30分）1. 设函数f (x )区间[a ，b]内有二阶连续导数，且f (a )f (b )<0, 当时，用双点弦截法产生的解序列收敛到方程f (x )=0的根。

2. n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为______次，n 个求积节点的高斯求积公式的代数精度为。

3. 已知a =3.201，b =0.57是经过四舍五入后得到的近似值，则a ⨯b 有位有效数字，a +b 有位有效数字。

4. 当x =1，-1，2时，对应的函数值分别为f (-1)=0，f (0)=2，f (4)=10，则f (x )的拉格朗日插值多项式是。

5. 设有矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4032A ，则‖A ‖1＝_______。

6. 要使...472135.420=的近似值的相对误差小于0.2%，至少要取位有效数字。

7. 对任意初始向量0()X 和常数项N ，有迭代公式1()()k k x Mx N +=+产生的向量序列{}()k X 收敛的充分必要条件是。

8. 已知n=3时的牛顿-科特斯系数,83,81)3(1)3(0==C C 则=)4(2C ，=)3(3C 。

9. 三次样条函数是在各个子区间上的次多项式。

10. 用松弛法 (9.0=ω)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++--=++3103220241225322321321x x x x x x x x x 的迭代公式是。

11. 用牛顿下山法求解方程033=-x x 根的迭代公式是，下山条件是。

二、选择填空（每题2分，共10分）1. 已知数x 1=721 x 2=0.721 x 3=0.700 x 4=7*10-2是由四舍五入得到的，则它们的有效数字的位数应分别为( )。

文档：数值分析试题A08.1

中国石油大学（北京）2007--2008学年第一学期研究生期末考试题库A (闭卷考试)课程名称：数值分析注：计算题取小数点后四位一、填空题(每空3分，共24分)(1) 设1222A ⎡⎤-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则A 的奇异值为。

(2) 设0.00013753x =为真值0.00013759T x =的近似值，则x 有位有效数字。

(3) 设数据123,,x x x 的绝对误差为0.002，那么123x x x -+的绝对误差约为 ____ _。

(4) )x (l ,),x (l ),x (l n 10是以01,,,,(2)n x x x n ≥为节点的拉格朗日插值基函数，则20(2)()nkk k xl x =+=∑ 。

(5) 插值型求积公式22=≈∑⎰()()nk k k x f x dx A f x 的求积系数之和0nk k A ==∑ 。

其中2x 为权函数，1≥n 。

（6）已知(3,4),(0,1)TTx y ==，求Householder 阵H 使Hx ky =，其中k R ∈。

H= 。

(7) 数值求积公式112()((0)(322f x dx f f f -⎡⎤≈++⎢⎥⎣⎦⎰的代数精度为___。

(8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是。

（输入向量x , 输出S ） x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:nif x (i)<S ，S=x (i);else,continue;end end S二、(12分) （1）证明对任何初值 0x R ∈，由迭代公式124cos ,0,1,2, (3)k k x x k +=+= 所产生的序列{}0k k x ∞=都收敛于方程1232cos 0x x -+=的根。

（2）证明它具有线性收敛性。

三、（12分）（1）用辛浦生公式计算积分4x e dx ⎰的近似值；（2）若用复化辛浦生公式计算积分4x e dx ⎰，问至少应将区间[0，4]多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？四、（12分）已知数据表 2102230.510.5i iix y w --（1）构造关于点集和权的正交函数组01{(),()}x x ϕϕ；（2）利用01{(),()}x x ϕϕ拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差2δ。

2008年南开大学数学分析考研试题及解答

南开大学2008年数学分析考研试题.一．计算题1．求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞-+。

2．求和()()∑∞=-+-1121n n n n 。

3．已知()()()1f x x f x ''-=-，求()x f ？ 4．设2ln 261txdt e π=-⎰，则x =？5．设区域()[][]{}1,1,2,0,-∈∈=y x y x D ，求Dx y dxdy -⎰⎰。

二．设61-≥x 61+=+n n x x ，(1,2,)n = ，证明数列{}n x 收敛，并求其极限。

三．设()[]b a C x f ,∈，并且[]b a x ,∈∀，[]b a y ,∈∃，使()()x f y f 21≤，证明[]b a ,∈∃ξ，使得()0=ξf .四．设()x f 在[)+∞,a 一致连续，且广义积分()af x dx +∞⎰收敛，求证()0lim =+∞→x f x 。

五．设()x f 在(,)-∞+∞上可微，对任意(,)x ∈-∞+∞，()0f x >， ()()f x mf x '≤，其中10<<m ，任取实数0a ，1ln ()n n a f a -=，(1,2,)n = ，证明级数11||n n n a a ∞-=-∑收敛。

六．证明函数项级数()1nxn f x ne∞-==∑，（1）在()+∞,0上收敛，但不一致收敛；（2）和函数()x f 在()+∞,0上任意次可导。

七．作变换xy u =，x v =，w xz y =-，将方程2222z z yyyx∂∂+=∂∂变换为w 关于自变量(),u v 方程。

八．求由曲面2224x y az a ++=将球体2224x y z az ++≤分成两部分的体积之比。

九、设()f x 是(0,)+∞上具有二阶连续导数的正函数，且()0f x '≤，(0,)x ∈+∞，()f x ''在(0,)+∞上有界，则lim ()0x f x →+∞'=。

东北大学数值分析 08数值分析(研)答案

0 1
y n1 y n
f 1 h 2 f n hfn ( n fn ) 3 3 x y ( 2
2 2 fn 2 fn 2 fn 2 f f n2 ) O(h 4 ) n xy x 2 y 2
问应取 n 为多少？并求此近似值。 2 2 1．由 A0 A1 A2 , A0 A1 x1 A2 0, A0 A1 x12 A2 , 3 5 1 4 3 A0 A1 x1 A2 0, 可得： A0 A2 , A1 , x1 0 ，具有 3 次代数精度。 5 15 2． n 4
五、（12 分）已知求解常微分方程初值问题：
y f ( x, y) , x [a, b] y ( a)
的差分公式：
h y n 1 y n 3 (k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n h, y n hk1 ) y0
( A)
5 33 ， Cond( A)1 21。 2
6．求区间[0，1]上权函数为 ( x) 1 的二次正交多项式 P2 ( x) 。
P0 ( x) 1， P1 ( x) x
9 x 3 3． x 为何值时，矩阵 A x 8 4 可分解为 GG T ，并求 x 6 时的分解式，其中 3 4 3
由 A 正定可得， 0 x 8 ， x 6 时有：
9 6 3 3 3 2 1 A 6 8 4 ＝ 2 2 2 1 3 4 3 1 1 1 1
试求形如 y a bx2 的拟合曲线。由于 0 ( x) 1,1 ( x) x 2 ，所以 0 (1,1,1,1)T ,1 (1,0,1,4)T , f (2,1,3,2)T

2008年华南理工数学分析考研试题及解答

例 1.设:n n f R R →，且()1nf C R ∈，满足()()f x f yx y -≥-，对于任意,nx y R∈，都成立.试证明f 可逆，且其逆映射也是连续可导的. 证明显然，对于任意,n x y R ∈，x y ≠，有()()f x f y ≠，f 是单射，所以1f -存在，由()()11f x f y x y ---≤-，知1f -连续，由()()f x f y x y -≥-，得对任意实数0,t ≠向量,n x h R ∈,有()()f x th f x t h +-≥，在()()f x th f x ht+-≥中令0t →，取极限，则有得()Jf x h h ≥，任何,n x h R ∈,从而必有|()|0Jf x ≠，Jf 可逆，由隐函数组存在定理，所以1f-存在，且是连续可微的。

例2. 讨论序列()sin n ntf t n t=在()0,+∞上一致收敛性. 解方法一显然()11n f t n t≤⋅，对任意()0,t ∈+∞，有()lim 0n n f t →∞=，()sin n nt ntf t t n t n t=≤=， ()0lim 0n t f t +→=，关于n 是一致的；对任意0δ>，当[),t δ∈+∞时，()11n f t n δ≤⋅，于是(){}n f t 在[),δ+∞上是一致收敛于0的，综合以上结果，故(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的.方法二由()sin sin 1n nt nt nt f t n tn tn t n=≤≤≤，即得(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的例3、判断1nn nx ∞=∑在1x >上是否一致收敛. 例4. 设()f x 在(),-∞+∞上一致连续，且()f x dx +∞-∞⎰收敛，证明()lim 0x f x →∞=.例5.求有曲面2221x y za b c⎛⎫++= ⎪⎝⎭所围成的立体的体积其中常数,,0a b c >.例6、设D 为平面有界区域，(),f x y 在D 内可微，在D 上连续，在D 的边界上(),0f x y =，在D 内f 满足方程f f f x y∂∂+=∂∂. 试证：在D 上(),0f x y ≡.证明因为(),f x y 在D 上连续，设()(),max ,x y DM f x y ∈=，则0M =，假若0M >，则存在()00x y D ∈，使得()00f x y M =，于是有()000f x y x ∂=∂，()000fx y y∂=∂，这与()()00000f f x y f x y x y ⎛⎫∂∂+=> ⎪∂∂⎝⎭矛盾，假若0M <，亦可得矛盾.同理，对()(),min ,x y Dm f x y ∈=，亦有0m =，故(),0f x y =，(),x y D ∈.华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题 1、设0a ≠，数列{}n x 满足lim 0n n n x ax a→∞-=+，证明lim n n x a →∞=。

2008考研数一真题答案及详细解析

nx
2
=1-- 六3 -.I,-
41记10=70 1
(—1y+1 n2
cos
nx,
0� 正女．
令x = O,有
2
穴
,=(-l)n+l
f(O) = l--3 +4n�= l n 2
,
又f(O)=l, 所以 (20)证 (I) r(A)=r(a矿+PJJT)
I:=(-l)n -1
ne=l
n"
2
=— 1穴2"
a2 2a l
矿 2a,,,
以下用数学归纳法证明D n =Cn+Da气
当n = l时， D 1 = 2a, 结论成立．
2a 当n = 2时，几=
a
1 = 3a2 ，结论成立．
2a
假设结论对小于n的情况成立．将D n 按第1行展开，得矿1
0 2a 1
D ,, = 2aD n_l -
矿 2a 1
尸 2-2z 2= 0,
2x+3z = 5,
解得
(� — x= — 5,
1
x= l,
5, 或{y�],
之 = 5,
之 = 1.
根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为( — 5' — 5,5)
和(1,1,1).
08) CI) 证
对任意的x, 由于J是连续函数，所以
所以所求微分方程为
y/f/ -y"+4y'-4y=O.
(4) B
解若{xn }单调，则由f(x)在(— =, 十=)内单调有界知，订(xn )}单调有界，因此

[考研类试卷]2008年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B.doc

[考研类试卷]2008年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

1 为了使计算y=11+的乘除法运算次数尽量地少，应将该表达式改为_____．2 求方程x-f(x)=0根的牛顿迭代格式是_____3 设A=则‖A‖∞=_______4 解方程组的Jacobi迭代格式为______5 设f(x)=8x4+3x3-98x+1,则差商f[2，4，8，16，32]=______6 记h=(b-a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n，则计算I(f)=的复化Simpson公式为______，代数精度为______7 用简单迭代法求非线性方程x-lnx=2在(2，+∞)内的根，要求精确至6位有效数字，并说明所用迭代格式为什么是收敛的．8 给定线性方程组 1)写出Gauss-Seidel迭代格式； 2)分析此迭代格式的收敛性．9 1)给定如下数据表：求f(x)的2次插值多项式L(x)；2)利用如下数据表：求f(x)的3次插值多项式H(x)．10 求a，b，使得达到最小，并求出此最小值．11 求系数A1，A2，A3，使得求积公式≈A1f(-1)+A2f(-1/3)+A3f(2/3)的代数精度尽可能高，并指出所达到的代数精度的次数．12 给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=(b-a)／n，x i=a十ih，0≤i≤n．1)分析如下求解公式的局部截断误差y i+1=y i+[f(x i+1,y i+1)+f(x i,y i)](A)2)分析如下求解公式的局部截断误差y i+1=y i+[3f(x i，y i)-f(x i-1，y i-1)]；(B)3)指出以上两个求解公式各是儿阶公式，并从局部截断误差的大小、显隐格式及单多步公式几方面作一个简单的比较．。

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太原科技大学
2008级硕士研究生08/09学年第一学期
《数值分析》考试试卷
说明：1、Legendre 正交多项式)(x L n 有三项递推关系式：
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧=+-++===-+
,2,1)(1)(112)()(,1)(1110n x L n n x xL n n x L x x L x L n n n 2、Chebyshev 多项式)(x T n 有三项递推关系式：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-===-+ ,2,1)()(2)()(,1)(1110n x T x xT x T x x T x T n n n
一、填空题：（每题4分，共20分）
1、设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1511A ，则=∞)(A Cond 2、为提高数值计算精度，当x 充分小时，应将
x
x
sin cos 1-改写为
3、设)5()(2
-+=x a x x ϕ，要使)(1k k x x ϕ=+局部收敛到5*
=
x ，则a 的取值范围为
4、近似数235.0*
=x 关于真值229.0=x 有位有效数字。

5、设,1)(3
-+=x x x f 则差商=]3,2,1,0[f
二、（本题满分10分）用数值积分的方法建立求解初值问题b x a y a y y x f y a ≤≤==',)(),,(的Simpson 公式：
)4(3
1111-+-++++=n n n n n f f f h
y y
其中1,,1),,(+-==n n n i y x f f i i i ，11-+-=-=n n n n x x x x h . 三、（本题满分15分）设要用Gauss-Seidel 迭代法求解下列线性方程组
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1541221121321x x x b a 1、试写出解的迭代形式（分量形式）；
2、当且仅当a,b 满足什么条件时迭代收敛？
四、（本题满分10分）求不超过三次的多项式)(x H ，使它满足插值条件
1)1(,1)1(,15)1(,9)1(-='==-'-=-H H H H
五、（本题满分15分）确定参数2121,,,A A x x ，使下面公式为Gauss 求积公式：
)()()(2
2
1
1
1
x f A x f A dx x f +≈⎰
六、（本题满分15分）求函数4
)(x x f =在[-1，1]上带权函数1)(=x ρ的二次最佳平方逼近多项式.
七、（本题满分15分）给定数据{}m i i i y x 1),(=，求它的形如x
x be ae x -+=)(ϕ的最小二乘拟合中的参数b a ,.。