初中数学概念教学与APOS理论运用论文

初中数学概念教学与APOS理论运用
摘要：apos理论是近年来美国数学教育家杜宾斯基提出的一种建构主义学说。

他将数学概念的建立分为：活动，过程，对象，图式四个阶段，并用于指导教学实践。

本文主要对该理论的认识和在数学概念教学实践中的应用作了一点尝试。

关键词：apos；活动；过程；对象；图式阶段
中图分类号：g623.5 文献标识码：a 文章编号：
1006-3315(2011)2-025-002
一、传统教学观念与apos理论
世界著名教育家夸美纽斯在提出班级授课制的教学组织形式时，曾有这样一种教育理想：“找出一种教育方法，使教师因此可以少教，但是学生可以多学。

”为了让教学过程简明，学生可以比较直接地学习概念、节省时间，教师常常采用“属＋种差”的概念同化方式进行教学。

其步骤大致为：(1)揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；(2)对概念进行特殊分类，提示概念的外延；(3)巩固概念，利用概念的定义进行简单的识别活动；(4)概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其它概念间的联系。

这种教学模式往往是由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，并且仅仅从形式上做逻辑分析让学生理解概念。

然而，这在概念教学中，过快的抽象过程使得只有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念只靠死记硬背，即使能跟随教师进行有意义学习的学生其学习活动也是
不连贯的，建构的概念缺乏完整性。

近年来，美国的杜宾斯基等人在数学教育研究实践中发展起来一种apos理论，对数学概念的学习过程进行解释。

杜宾斯基认为，学生学习数学概念要经历操作(action)、过程(prooess)、对象(object)、图式(scheme)四个阶段，取这四个阶段英文单词的第一个字母，定名为apos理论模型。

apos理论集中于对特定的数学概念学习过程的研究，对数学概念所特有的思维形式“过程和对象的双重性”做出了切实分析，它揭示了数学概念学习的本质，它是解释数学学习心理活动的核心概念和概念框架。

apos理论的四个阶段是循序渐进的。

它反映了学生学习数学概念过程中真实的思维过程，体现了数学知识形成的规律性，而在教学方面体现了一种教学规律，为教师如何进行数学教学提供了一种具体而实用的教学策略。

它的最大优点是增加了“活动”阶段，让学生对概念的形成过程有一个充分体验，知其产生的现实背景和丰富寓意。

通过“活动”唤起学生的兴趣，启发他们通过亲身体验主动寻找和建立数学概念、法则和技巧，全面理解一个数学概念，准确把握一个数学概念的本质。

二、apos理论在数学概念教学中的运用
apos理论当中的活动阶段相当于观察、呈现数学概念的具体实体阶段，通过活动让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系。

过程阶段则是学生对具体实体进行思维概括并描述得出数学概念的阶段。

但要对概念有真正的理解，要使数学概念真正在学生头脑
中建立起来，还必须上升到对象、图式阶段。

对象阶段即是将概念作为一个已知对象应用到它生存的土壤或背景中，并将它作为一个工具，在以后的学习中以此为对象进行新的活动。

对象阶段过后，概念建立还要进人图式阶段，能够区分、评价此概念与彼概念，这时概念以一种完整的心理图式储存于学生的大脑当中，其中包括具体的实例、抽象的过程，完整的定义及与其他概念的区分与联系等等。

apos理论的四个阶段是循序渐进，逐级升华、抽象，不断地形式化，最后完成数学概念的建立。

下面是本人在教学《平面直角坐标系》的实践中运用apos理论进行教学的一点尝试。

考虑到八年级学生思维还处于由形象思维向抽象思维的过渡阶段，从一维的数轴转向二维的平面直角坐标系是学生认识上的一次跨越，因此设计教案时力图突破这种跨越。

1.创设情境，使学生在“活动”中思考问题
创设“找位置”的问题情景，开展活动过程。

师：同学们，你们走进教室后，是怎样找到自己的座位的?生1：我的座位在第3行第5列。

师：很好!其他同学还有什么想法?生2：我从教室前门先横走3排再竖走4排，能找到自己的坐位。

师：可行的!下面我发给每一位同学一张地图，请大家仔细观察地图并回答问题：(1)向你的同桌描述建筑物a(动物园)、b(青少年宫)、c(电影院)的位置；
(2)假设你在另一处d(学校)，你将怎样找到a、b、c?结合学生的生活经验，创造适合学生思考与想象的环境，给予学生充分表达自己看法的机会，让他们在自主思考、自由交流中，在与同学观点交
锋中，撞击出思维的火花!
2.通过活动，让学生经历思维概括“过程”
通过“找位置”的活动，让学生亲身经历在找位置的时候所经历的一切过程，体验“直角坐标系”这一概念形成的成因。

老师在听取学生的看法后，因势利导，总结、概括大家的意见，引导学生得出确定平面某一位置(即要找到某一地点)的方法，以及这些方法的共同之处。

接下来，老师与学生共同回顾之前学过的数轴的内容——数轴上的每一个点都对应着一个实数值，也即找到那一点，以此诱发学生思考平面上一个点的位置确定。

结合先前活动的经验(有关横走、竖走的经验)，抽象得出平面上确定位置的过程，也是寻找、设置两条数轴(两个方向)的过程。

将平面直角坐标系这一概念的形成过程归结于两条数轴的出现过程，这应该是一种全新的视角。

3.集中讨论，让学生赋予“对象”定义
通过学生的集体讨论、集思广益，对“直角坐标系”这一“对象”进行表述：“平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系”，这是对象阶段的目标。

因此，这一阶段老师要继续引导学生探讨平面直角坐标系的特点、存在意义(平面上的一个点与一对有序实数对之间的一一对应关系)等，并进行课堂练习，加深对此概念的认识：练习(1)请你在先前的地图中，建立平面直角坐标系；(2)写出各点的坐标；(3)写出与b点关于坐标轴相对称的点的坐标；(4)现有点(4，5)和点(-1，7)，请你在自己建立的直角坐
标系中描写这些点。

第(1)小题用于加固平面直角坐标系的概念；第(2)、(3)小题皆在联系通过点写坐标；第(4)小题解决坐标描点。

而这一切都将学生的动手尝试放在教师讲解之前，也是考虑到知识内容本身的难易程序和学生已有的知识背景的。

4.抽象概括，使学生建立起心理“图式”
通过以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该比较深刻地建立起平面直角坐标系的心理表征：具体的实例(直观的)，概念形成过程，定义形式(抽象的)，三者之间的联系与区别。

例如进电影院找座位、到公园找景点等、直角坐标系的作用(刻画平面上点的位置)、在直角坐标系中确定点的过程及其与数轴的区别和联系等等。

老师带领学生订正课堂练习，并在其中尝试区分平面直角坐标系与数轴的不同，认识它的优越性。

然后进行反映概念特例的练习：(1)请大家在自己的平面直角坐标系中找出
点(3，0)和点(0，-5)；(2)大家观察一下这两个点有什么关系呢?……，这样看来，这两个点既表示平面上的点，也可表示平面当中直线上的点!老师引导学生思考平面直角坐标系与数轴的关系，明确它们的区别、联系和知识间的应用，帮助学生建立起“平面直角坐标系”这一概念完整的心理图式。

三、运用apos理论实施教学时，需要注意的问题
数学以抽象作为一个重要特点，形式化的表述方式使数学更加抽象，教师和学生都在经受“抽象”的考验，如果不能过“抽象”这一关，是不能说理解数学的。

但是，如果我们以“抽象”为由，抹
去数学生动、鲜活的现实背景，那也是认识上的误区。

一方面，我们要为学生营造体验数学发生、发展过程的平台；另一方面，我们也不可为了创造学习的情境，只停留在活动层面，而放弃对数学“抽象”之美的追求。

1.教师要把“教”建立在学生“学”的活动中
教师在设计学生活动时，常需要创设问题情境，设计的问题情境要注意能提示数学知识的现实背景和形成过程，要适合学生的学习水平和心理建构能力，学生要有充足的活动体验，能引起全体学生的学习兴趣。

2.要体现数学知识形成中的数学思维方法
数学思维方法是知识产生的灵魂，是学生展开思维和构建概念的主线，教师在学生学习中要给予提示、建议，并在总结中归纳，巧妙设计能引起学生反思的提问，使学生能顺利完成由“活动”、“过程”到“对象”的过渡。

3.数学对象的建立需经多次反复，不能一蹴而就
一个数学概念由“过程”到“对象”的建立，有时需要经过多次反复，循序渐进，“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示，使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。

apos理论的四个阶段并非一定体现在一堂数学课当中，也不是每一课都必须遍历四个阶段，它适用于数学概念在学生头脑中建立的一段时期，并不局限于某一堂课。

apos理论是一种数学概念教学论，通过学习和实践。

让我深切地
体会到教师的角色从“独奏者”过渡到“伴奏者”，教师的任务不再是传授知识，而是帮助学生去发现、组织和管理知识，师生关系成为探究真理的伙伴关系，学生能在轻松愉快的气氛下表现自己，表达自己的思想和情感，从而有效地培养了他们的创新能力。

参考文献：
[1]张奠宙，李士，李俊，数学教育学导论北京：高等教育出版社，2003，4
[2]王学沛，李尚莹数学教育实践中实施素质教育的问题及其解决，数学教育学报2003，1
[3]刘兼，黄翔，张丹，数学课程设计北京：高等教育出版社，2003，8。