第六节 双曲线
（2）已知直线 交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
例6．直线 与双曲线 的右支交于不同的两点 ，
（I）数 的取值围；（II）是否存在实数 ，使得以线段 为直径的圆经过双曲线 的右焦点 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
例7.无论m为任何实数，直线 与双曲线 恒有公共
A． B． C． D．
*2.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是准线上一点，且 ， ，则双曲线的离心率是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3.求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x－5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________.
*4．已知 ， 是曲线 上一点，当
（I）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程；
（II）在 轴上是否存在定点 ，使 · 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【小试锋芒】
#1.（2004年春季）双曲线 － =1的渐近线方程是（ ）
A.y=± xB.y=± xC.y=± xD.y=± x
#2.过点（2，－2）且与双曲线 －y2=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
取最小值时， 的坐标是____， 最小值是．
5．已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e= 的双曲线过点P(6，6).
(1)求双曲线方程.
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
A. － =1B. － =1C. － =1D. － =1
3. 若方程 表示双曲线，则实数k的取值围是（ ）
A、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB、 C、 D、
4．设 为双曲线 上的一点， 是该双曲线的两个焦点，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知圆C过双曲线 － =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.
6．如果 分别是双曲线 的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且 ，则 的周长是___________．
*7.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值围__________
【大显身手】
1．设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ，使 且 ，则双曲线的离心率为（ ）
（1）求直线AB的方程；
（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.
例4.(05卷)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为 。
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l： 与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且 (其中O为原点)，求k的取值围。
例5.已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是
第六节 双曲线
【知识要点】
一、你熟悉双曲线的定义吗？
二、你能写出双曲线的标准方程吗？
三、你了解双曲线的这些性质吗？如：围，对称性，顶点，实轴，虚轴，焦距，离心率，准线，渐近线
四、你熟悉双曲线的第二定义吗？
【典型例题】
#例1.已知双曲线的方程是16x2－9y2=144.
（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
点
（1）求双曲线C的离心率e的取值围。
（2）若直线 过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足 ，求双曲线C的方程。
[*]例8．（卷）已知两定点 ，满足条件 的点 的轨迹是曲线 ，直线 与曲线 交于 两点。如果 ，且曲线 上存在点 ，使 ，求 的值和 的面积 。
[*]例9.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交于 两点．
（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.
#例2. 根据下列条件，求双曲线方程：
（1）与双曲线 － =1有共同的渐近线，且过点（－3，2 ）；
（2）与双曲线 － =1有公共焦点，且过点（3 ，2）
例3.已知双曲线x2－ =1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.
第六节 双曲线
[答案] 16
[解题方略] 应用双曲线的定义，可判定平面内动点的轨迹是否为双曲 线，进而求出曲线方程；可在“焦点三角形”中，利用正弦定理、 余 弦 定 理 ， 并 结 合 ||PF1|－ |PF2||＝ 2a ， 运 用 配 方 法 ， 建 立 与 |PF1|·|PF2|的联系．应用双曲线的定义时，若去掉绝对值，则点 的轨迹是双曲线的一支．
＝13(|PF1|＝1舍去)．所以△F1PF2的周长等于7＋13＋10＝30.
故选C.
答案：C
2．设双曲线x2－
y2 3
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，
若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则
|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析：如图，由已知可得a＝1，b＝ 3 ，c＝2，从而|F1F2|＝ 4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a ＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足
所以所求双曲线的标准方程为1x62 －y92＝1.
答案：B
3．经过点P(3,2 7)，Q(－6 2＝1(mn＜0)， 因为所求双曲线经过点P(3,2 7)，Q(－6 2，7)，
所以97m2m＋＋284n9n＝＝1，1， 解得mn＝＝2－15.715， 故所求双曲线方程为2y52 －7x52＝1. 答案：2y52 －7x52＝1
间想象、运算求解能力和应用意识．
1．若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 ( )
A. 22，0
B. 25，0
C. 26，0
D．( 3，0)
解析：∵原方程可化为x12－y12＝1，
2
∴a2＝1，b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，
高三数学课件：第八章 第六节 双曲线
【解析】依题意知：2b=2，2c= 2 3 ，
所以b=1， c 3，a 2 ，因此，双曲线的渐近线方程为：
b 2 y x x. a 2 答案: y 2 x 2
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双曲线的定义、标准方程
【方法点睛】
1.双曲线定义的应用
利用双曲线的定义解题时，一方面要注意常数2a<|F1F2|这一条件；
第六节 双曲线
1.双曲线的定义 (1)满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 之差的绝对值 为 ①在平面内；②动点到两定点F1,F2的距离_____________ 小于 1F2|. 定值；③定值_____|F 两个定点F1,F2 (2)焦点：_____________. (3)焦距：两个焦点之间的距离.
2a； 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|=___ 性 质 实虚轴 2b； 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=___ a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴 长.
【即时应用】
(1)思考:双曲线离心率的大小与双曲线“张口”大小有怎样的
关系?
2 2 c a b b 提示:因为离心率 e 1 ( ) 2， a a a b 就趋近于+∞，即两条渐近线所形成的角 所以，离心率越大， a
采用了“代点法”即“平方差法”建立方程，从而求得参数的
值.
【变式备选】过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于 P、Q两点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长 为_________. 【解析】因为x2-y2=8，所以2a= 4 2， 由题设及双曲线的定义得:|PF2|-|PF1|= 4 2， |QF2|-|QF1|= 4 2， 所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF1|= 8 2，
高考数学 第八章 第六节 双曲线课件 文
基础知识要打牢
[知识能否忆起]
1．差的绝对值 焦点 焦距 2.x≥a 或 x≤－a y≤－a 或
y≥a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－
a)
(0，a)
y＝±bax
y＝±abx
c a
(1，＋∞)
a2＋b2 A1A2
2a B1B2 2b a b
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高频考点要通关 [例 1] 解析：(1)∵xa22－by22＝1 的焦距为 10， ∴c＝5＝ a2＋b2.① 又双曲线渐近线方程为 y＝±bax，且 P(2,1)在渐近线上，∴2ab ＝1，即 a＝2b.② 由①②解得 a＝2 5，b＝ 5.
第五页，共16页。
(2)不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1⊥PF2， 所以(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2， 又 因 为 |PF1| － |PF2| ＝ 2 ， 所 以 (|PF1| － |PF2|)2 ＝ 4 ， 可 得 2|PF1|·|PF2|＝4， 则 (|PF1| ＋ |PF2|)2 ＝ |PF1|2 ＋ |PF2|2 ＋ 2|PF1|·|PF2| ＝ 12 ， 所 以 |PF1|＋|PF2|＝2 3. [答案] (1)A (2)2 3
[小题能否全取] 1．选 C ∵双曲线方程可化为 x2－y12＝1，
2
∴a2＝1，b2＝12.
∴c2＝a2＋b2＝32，c＝
6 2.
∴左焦点坐标为－ 26，0. 2．选 C 依题意得 a2＋1＝4，a2＝3，
故
e＝
2a2＝
2 ＝2 33
3.
第二页，共16页。
3．选 C 由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1| －|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
第八章 第六节 双曲线
第八章 平面解析几何第六节 双曲线课时规范练 A 组 基础对点练1．双曲线y 29－x 24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±94x B ．y ＝±49x C ．y ＝±32xD ．y ＝±23x解析：双曲线y 29－x 24＝1中a ＝3，b ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ．答案：C2．(2019·石家庄模拟)若双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，则双曲线M 的离心率为( )A ．3B ．2C ．53D ．54解析：P 为双曲线M 上一点，且|PF 1|＝15，|PF 2|＝7，|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8，|F 1F 2|＝2c ＝10，则双曲线的离心率为：e ＝ca ＝54． 答案：D3．(2019·彭州模拟)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为 ( )A ． 3B ．1＋ 3C ．2＋ 3D ．4＋2 3解析：∠PQF ＝60°，因为|PQ |＝2|QF |，所以∠PFQ ＝90°，设双曲线的左焦点为F 1，连接F 1P ，F 1Q ，由对称性可知，四边形F 1PFQ 为矩形，且|F 1F |＝2|QF |，|QF 1|＝3|QF |，故e ＝2c 2a ＝|F 1F ||QF 1|－|QF |＝23－1＝3＋1．答案：B4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A ．3B ．3C ．3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为3．故选A ．答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1 B ．x 24－y 25＝1 C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52 ①，又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3，0)和(－3，0)，所以a 2＋b 2＝9 ②，根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以选B ．答案：B6．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)解析：依题意得，双曲线的离心率e ＝ 1＋1a 2，因为a >1，所以e ∈(1，2)，故选C ．答案：C7．双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________． 解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝5．答案：58．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为________．解析：因为e ＝c a ＝54，F 2(5，0)，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以双曲线C 的标准方程为x 216－y 29＝1．答案：x 216－y 29＝19．已知双曲线经过点(22，1)，其一条渐近线方程为y ＝12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线方程为：mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，由题意可知：⎩⎨⎧8m ＋n ＝1，－m n ＝12，解得：⎩⎨⎧m ＝14，n ＝－1. 则双曲线的标准方程为：x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝110．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0，5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5bc ＝b ＝3，所以a ＝4，2a ＝8．答案：8B 组 能力提升练11．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4．答案：C12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得ba >2，∴e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝5．答案：C13．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的 ( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D14．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A ．52B ．102C ．152D ． 5解析：因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2＝4c 2，即c 2a 2＝52，故e＝c a ＝102(负值舍去)．答案：B15．(2019·开封模拟)F 1(－4，0)，F 2(4，0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且∠F 1MF 2＝60°，则△F 1MF 2的面积为________．解析：因为F 1(－4，0)，F 2(4，0)是双曲线C ：x 2m －y 24＝1(m ＞0)的两个焦点，所以m ＋4＝16，所以m ＝12，设|MF 1|＝m ′，|MF 2|＝n ，因为点M 是双曲线上一点，且∠F 1MF 2＝60°，所以|m ′－n |＝43①，m ′2＋n 2－2m ′n cos 60°＝64②，由②－①2得m ′n ＝16， 所以△F 1MF 2的面积S ＝12 m ′n sin 60°＝43．答案：4 316．(2019·唐山模拟)已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标是________．解析：如图所示，内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|，|MB|，|MC|，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，所以|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，所以|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a．因为M 的横坐标和A的横坐标相同，所以M的横坐标为a．答案：a。
第六节双曲线
A. x2 -y2=1
4
C. 3x2 - 3y2 =1
20 5
B.x2- y2 =1
4
D. 3x2 - 3y2 =1
5 20
答案
A
由题意可得
b aa2
1 2 b
,
2
5,
a 0,b 0,
解得a=2,b=1,
所以双曲线的方程为 x2 -y2=1,故选A.
4
考点突破
栏目索引
考点三 双曲线的几何性质
∴b2=c2-a2=25.
∴双曲线的标准方程为 y2 - x2 =1.
144 25
(3)设双曲线的标准方程为mx2-ny2=1(mn>0).
考点突破
栏目索引
∵双曲线经过两点P(-3,2 7 )和Q(-6 2 ,-7),
∴
9m 28n 1, 72m 49n 1,
解得mn 271155., ∴双曲线的标准方程为 y2 - x2 =1.
考点突破
栏目索引
1-1 △ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC内切圆的圆心在直线x=2上,则
顶点C的轨迹方程是
.
答案 x2 - y2 =1(x>2)
4 21
解析 如图,△ABC与内切圆的切点分别为G,E,F.
|AG|=|AE|=7,|BF|=|BG|=3,|CE|=|CF|,所以|CA|-|CB|=7-3=4.
B.
5 2
,
0
C.
6 2
,0
D.( 3,0)
答案
C
∵原方程可化为
x2 1
-
y2 1
=1,
2
∴a2=1,b2=
1 2
,∴c2=a2+b2=
第六节 双曲线
25
∴双曲线的标准方程为 y2 - x2 =1.
25 75
考点突破 栏目索引
方法技巧
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法:设出双曲线的标准方程,根据已知条件,列出关于参数a,b,c的
方程并求出a,b,c的值.当所求双曲线与双曲线
x a
2 2
-
y2 b2
=1有相同的渐近线时,可
设所求双曲线方程为
x2 b2
-
y a
2 2
=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则
1 e12
+ 1 =1. ( √ )
e22
教材研读
2.若方程 x2 - y2 =1表示双曲线,则m的取值范围是 ( D )
2 m m1
A.m>-1 B.m<-1 C.-2<m<-1 D.m>-1或m<-2
栏目索引
教材研读 栏目索引
=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,
考点突破 栏目索引
又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c, |OA|=|AF1|-|OF1|=a,因为点M的横坐标和点A的横坐标相同,所以△PF1F2的内 切圆圆心的横坐标为a.
考点突破 栏目索引
考点二 双曲线的标准方程
典例2 (1)若双曲线的渐近线方程为y=±1 x,且经过点(4, 3 ),则双曲线的标准
6.(教材习题改编)若双曲线
x a
2 2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于
实轴长,则该双曲线的离心率为
.
答案 5
解析 由题意知 |bc| =2a,
第六节 双曲线
第六节双曲线1．双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．注意：(1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(2)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y ＝±x ，离心率为e ＝2.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn>0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．(2016·课标全国Ⅰ卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：根据双曲线的焦距，建立关于n 的不等式组求解．若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：由e ＝52，得c a ＝52， ∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a.又x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x.答案：C4．(2017·广州一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于( )A ．1B ．13C ．4或10D ．1或13解析：本题主要考查圆锥曲线．因为双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1的渐近线方程为2x ＋3y ＝0，所以y ＝－23x .所以4a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝49.所以a 2＝9.根据双曲线的性质有||PF 1|－|PF 2||＝|7－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝1或13.答案：D5．(2015·浙江卷)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．解析：由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x 轴上，且a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝3，即c ＝3，∴焦距2c ＝23， 渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±22x.答案：23 y ＝±22x两条规律1．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝±abx.两种方法求双曲线标准方程的方法1．定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，写出方程．2．待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)若过两个已知点，则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn<0)．两点注意1．区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e ∈(0，1)．一、选择题1．“m<8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)·(m －10)>0，解得m<8或m>10.故“m<8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件．答案：A2．(2015·安徽卷)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝1解析：A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x.答案：A3．(2015·湖南卷)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169. 又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.答案：D4．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F 1、F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4，3)．则此双曲线的方程为( )A.y 29－x 216＝1B.y 24－x 23＝1 C.y 216－x 29＝1 D.y 23－x 24＝1 解析：由题意，c ＝32＋42＝5，∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①又双曲线的渐近线为y ＝±a b x ，∴a b ＝34.②则由①②解得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.答案：A5．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．22C ．4D ．4 2 解析：∵e ＝2，∴ca＝2.设焦点F 2(c ，0)到渐近线y ＝ba x 的距离为3，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|bc －a ×0|b 2＋a 2＝ 3.∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝ 3.由ca＝2，得c c 2－b2＝2，∴c 2c 2－3＝4，解得c ＝2.∴焦距2c ＝4. 答案：C6．(2015·课标全国Ⅰ卷)已知M(x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M(x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 答案：A二、填空题7．(2015·北京卷)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条渐近线为3x＋y ＝0，则a ＝________．解析：直接求解双曲线的渐近线并比较系数．双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±x a ，已知一条渐近线为3x ＋y＝0，即y ＝－3x ，因为a>0，所以1a ＝3，所以a ＝33.答案：338．设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析：双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x.设与双曲线y 24－x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24－x 2＝λ，又(2，2)在双曲线上，故224－22＝λ，解得λ＝－3.故所求双曲线方程为y 24－x 2＝－3即x 23－y 212＝1，所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x. 答案：x 23－y 212＝1 y ＝±2x9．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a.因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.答案：7 三、解答题10．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a|b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．(1)解：∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵MF1→＝(－3－23，－m)， MF2→＝(23－3，－m)． ∴MF1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF1→·MF 2→＝0. (3)解：△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝±3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m|＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.。
A054=第八章 第六节 双曲线
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2012· 江南十校联考)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2
＝1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则
|PF1|· 2|＝ |PF A．2 C．6 B．4 D．8 ( )
解析：不妨设点 P 在双曲线 C 的右半支上，由双曲线的定义得： |PF1|－|PF2|＝2 两边平方得|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4① 在△PF1F2 中， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 cos60° ＝ 2|PF1|· 2| |PF 即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|· 2|＝8 |PF 由①②可解得|PF1|· 2|＝4. |PF ②
得 4x2－10cx＋35b2＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 5c x1＋x2＝ 2 ， 则 35b2 x1x2＝ . 4
①
x3＝λx1＋x2， 设 OC ＝(x3，y3)， OC ＝λ OA ＋ OB ，即 y3＝λy1＋y2.
y2 x2 (2)(2011· 江西高考)若双曲线16－m＝1的离心率e＝2，则m＝________.
[自主解答]
x2 y2 (1)双曲线a2－ 9 ＝1的渐近线方程为3x± ay＝0，与已知方
程比较系数得a＝2. (2)由题知a2＝16，即a＝4又e＝2 ∴c＝2a＝8，则m＝c2－a2＝48.
又|F1F2|＝10，∴△PF1F2直角三角形． 1 ∴S＝2×6×8＝24.
答案： C
x2 y2 3．若双曲线a2－b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该 双曲线的离心率为 A. 5 C. 2 B．5 D．2 ( )
b bc 解析：焦点(c,0)到渐近线y＝ax的距离 2 ＝2a，则b＝2a， a ＋b2 c 又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴离心率e＝a＝ 5.
第六节双曲线第一课时双曲线的定义、方程与性质讲
第一课时双曲线的定义、方程与性质一.课标要求，准确定位1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.二.考情汇总，名师解读1．考查双曲线定义的应用，求双曲线的标准方程，求双曲线的离心率（或取值范围）及与双曲线的渐近线有关的问题．2．考查题型有选择题、填空题、解答题．如2023新课标1卷第16题，2021新高考2卷第13题，考查双曲线的性质.＝.②e=到两焦点距离的等比中项－＝1（a>0，b>0）－＝1（a>0，b>0）y＝±x y＝±xe＝，且e∈（1，＋∞））与双曲线－＝）有共同渐近线的双曲线系方程为－＝＝＝，离心率越大，双曲线）双曲线的焦点到其渐近线的距离为，通径长为.2·＝考向一利用定义求轨迹方程）已知渐近线方程为±＝的双曲线，可设为－＝考向一双曲线的渐近线22x y（2023·四川绵阳南山中学模拟）29．已知双曲线2213y x -=的右焦点为F ，(4,35)M ，直线MF 为双曲线上一动点，且点P 在以MN 为直径的圆内，直线MP 点,M Q ，则PM PQ ⋅的最大值为（ ）或，的值或范围得结论．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路:【微点解读】如果试题的条件给出角分线、三角性的内心、点的对称、中垂线等几何特A．2.14C．1.73【江西省九江市2023届高三上学期第一次模拟】36．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为A．42cm3B．924（多选题）（教材改编题）38．已双曲线C ：()2202x y λλ-=<，则（ ）A ．双曲线C 的实轴长为定值参考答案：16．BP【分析】根据焦距和点(2,1)的方程.【详解】因为焦距为25，故半焦距为P在一条渐近线上，故因为(2,1)故答案为：33y x =±4在曲线C 中，易知：FA b =，则DB 又4FB b =，1422F B b a c =-=，即又222c a b =+，得43b a =，渐近线方程为故答案为：43y x=±428．12e <<【分析】在PF F △中，由正弦定理可得连接,,NQ NP PF ，因为Q 在以MN 为直径的圆上，所以MQ NQ ⊥，(cos πPQ PN MPN =-∠()cos πPM PQ PM PN MPN PM ⋅=⋅-∠=- 2PF PF FN PF FM FM FN =--⋅-⋅-⋅ ，【点睛】本题考查双曲线的定义及其基本性质范围,利用双曲线定义可使数据简化.32．B【解析】连接ON ,可得点N 为1MF 的中点，相交于点P ，可得1PF PM =，可得2PF PF -为双曲线，可得其方程.【详解】，如图，因为点B 在以1AF 为直径的圆上，则1AB F B ⊥，又AB 为所以1AF AD =，则B 为连接OB ，在DF F △中，又因为36．D【分析】画出塔筒的轴截面；以垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系把点,A B的坐标代入双曲线方程即可求出答案【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以与OC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设22x y【详解】1,,F A D 共线，1,,F B C 共线，1AF m =，则22AF m =-12ABC ∠=-，所以tan ABF ∠这里28a =，4a =，5c =，则b =故点P 的轨迹方程为221169x y -=(4)x >∵OQ∥PF，∠=∠，∴AOQ OFP又∵双曲线的渐近线关于∠=∠，∴FOP AOQ。