函数的四大性质总结
高中数学-函数的定义
定义域问题
指对不等式
主要解决办法：化同底，利用单调性去壳，转化为前面4种不等式。
例7、解不等式：2x2 2x 3 （1）3(x 1) 2
解：不等式等价于：2x2-2x-3 23 3x 利用指数函数的性质得：x2 -2x-3<3-3x 解这个一元二次不等式得：-3<x<2 ∴x∈(-3,2)
解：-5＜2x-3＜5，解得：-1＜x＜4 ∴x∈(-1,4)
例6、解不等式：|2x-1|-|2-x|＜3 解：(i)当x＜12 时, -(2x-1)-(2-x)＜3
解得：x＞-4 ∴-4＜x＜1
2 (ii)当 1 ≤x≤2时, (2x-1)-(2-x)<3
2 解得:x<2 ∴ 1 ≤x<2
2 (iii)当x>2时, (2x-1)+(2-x)<3
2
2
解：先画y=2x,再左移2， 解：先画y=log2x,再右移1，解：先画y=2x,再关于 解：先画y=log2x,再关于
下移3，注意定点和
上移2，注意定点和
x轴对称
y轴对称
渐近线
y = 2x + 2 3
y
4
y = 2x
3
2
1 (0,1)
x
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3
–1
–2
(-2,-2)
–3
渐近线
4y
y
3
3
2 1
–1 O
–1
(2,2)
2
1
x
1(1,02) 3 4 –4 –3 –2 –1 O –1
x
12
–2
–2
高数红宝书——第一章_函数与极限
同理：在连续，在左连续。 在分界点： 所以为第一类跳跃间断点。
【】
解：
【】 解：
【】 解：
【例12】 求 的反函数。（提示：设） 解
故
【例13】 设 解：令
技巧：利用函数表示法的无关特性。 【例14】 设 （x≠0,1） 求。
解：令
………………① 再令 ………………② 由原式和①、②联立即可得到
1.4 复合函数，一般形式为：，指自变量为函数的函数。
1.4 反函数，存在一一映射的情况下，二者互为反函数，关于反函数 具有下列重要性质：
★ 若为的反函数，则在某些场合，常把的反函数记为或，此时已重新 把视为自变量，在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记
号。
★ 改变记号后，互为反函数的两个函数和的曲线关于直线对称；没有 改变记号，互为反函数的两个函数和的曲线重合。
考试要求
1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。 2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极
第一篇 高等数学
第一章 函数与极限
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数 和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及 其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有 界准则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
一元函数有界性的探讨
一元函数有界性的探讨作者：刘金魁张利巧来源：《文存阅刊》2019年第10期摘要：有界性是函数的四大性质之一，是初等数学和高等数学中研究函数性态的重要工具之一。
本文主要研究一元函数的局部有界性和整体有界性，总结相关的结论，加深学生对函数有界性的认识和学习。
关键词：函数;有界性1.引言函数是描述客观世界变化规律的重要工具之一，有界函数又是数学分析和高等数学中非常重要的一类函数。
在函数的若干性质中，有界性是函数的一种最基本的性质之一。
函数极限的存在性、连续性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的有界性有着一定联系的，特别是闭区间上连续函数的有界性定理又是最值定理和介值定理等重要定理的理论基础. 因此，函数的有界性具有非常重要的研究意义。
2.函数有界性的定义定义1 [1]：设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有f（x）≤M（f（x）≥L），则称f为D上的有上（下）界函数，M（L）称为f在D上的一个上（下）界。
定义2 [1]：设f为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个x∈D有|f（x）|≤M，则称f为D上的有界函数.注意：函数f在D上有界，则f在D既有上界又有下界，且值域f（D）是一个有界集。
3.函数有界性的若干结论定理1 [1]（局部有界性）若f（x）存在，则f在x0的某空心邻域U°（x0）内有界。
定理2[1]（有界性定理）若f在闭区间[a，b]上连续，则f在闭区间[a，b]上有界。
定理3; 若f在（a，b]上连续，且f（x）存在，则在区间（a，b]上有界。
证明：已知f（x），根据单侧极限的定义及定理1可知，存在一个正数δ<b-a，使得f在（a，a+δ）有界;又f在[a+δ，b]连续，根据定理2可知，f在[a+δ，b]有界。
综上所述，函数f 在区间（a，b]上有界，同理可得下面结论：推论1 若f在（a，b）上连续，且f（x）与f（x）存在，则在区间上有界。
四大数论定理
四大数论定理四大数论定理是指费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和欧几里得算法。
这四个定理在数论领域中具有重要的地位和应用。
下面将分别介绍这四个定理的概念、原理和应用。
一、费马小定理：费马小定理是由法国数学家费马在17世纪提出的，是数论中的基本定理之一。
它的主要内容是：如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a的p次方减去a一定能够被p整除。
即a^p ≡ a (mod p)。
这个定理在密码学中有广泛的应用。
费马小定理的原理是基于模运算的性质。
对于给定的整数a和质数p，我们可以将a的p次方表示为a^p = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于模运算满足乘法的结合律和交换律，我们可以得到 a * a ≡ a^2 (mod p)，再依次类推，最终得到a^p ≡ a (mod p)。
费马小定理在密码学中的应用是基于离散对数问题。
通过费马小定理，我们可以快速计算模p下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
例如，RSA加密算法就是基于费马小定理和大素数的选择来实现的。
二、欧拉定理：欧拉定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，是费马小定理的推广。
它的主要内容是：如果a和n互质，那么a的欧拉函数值φ(n)次方减去1一定能够被n整除。
即a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在数论和密码学中都有重要的应用。
欧拉定理的原理是基于欧拉函数的性质。
欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
对于给定的整数a和正整数n，我们可以将a的φ(n)次方表示为a^φ(n) = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于a和n互质，根据欧拉定理，我们可以得到a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在密码学中的应用是基于模反演问题。
通过欧拉定理，我们可以快速计算模n下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
反比例函数及其图象和性质(4大考点9大题型)(解析版)
反比例函数及其图象和性质（4大考点9大题型）课程标准学习目标结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；会用描点法画出反比例函数的图象；知道当k>0和k<0时反比例函数ky x= (k ≠0)图象的整体特征．1、理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数。
2、能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实际问题中自变量的取值范围，求出函数值。
3、能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。
4、理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。
5、理解反比例函数)0(≠=k xky 中的比例系数k 的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。
知识点一：反比例函数的概念及表达式如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于零的常数.一般地，形如ky x= (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.知识点二：反比例函数图象的画法（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．知识点三：反比例函数的图象与性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.2.反比例函数的性质（1）当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；（3）反比例的图像关于原点的对称、关于直线y x =±对称；知识点四：反比例函数表达式中比例系数k 的几何意义通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为12k ，与两条坐标轴围成矩形面积为k ，注意加绝对值时，有正负两个答案．题型01 用反比例函数表示数量关系1．下列说法正确的是（ ）A ．一个人的体重与他的年龄成正比例关系；B ．车辆行驶的速度v 一定时，行驶的路程s 与时间t 成反比例关系；C ．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系；D ．圆的周长与直径成正比例关系．【答案】D【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案．【详解】解：A 、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误，不符合题意；B 、车辆行驶的速度v 一定时，行驶的路程s 与时间t 成正比例关系，不符合题意；；C 、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系,错误，不符合题意；D 、圆的周长l d p =故与直径成正比例关系,符合题意．故选：D【点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数关系，正确得出函数关系是解题关键．2．已知压力F 、受力面积S 、压强P 之间的关系是FP S=．则下列说法不正确的是（ ）A ．当压强P 为定值时，压力F 与受力面积S 成正比函数关系；B ．当压强P 为定值时，受力面积S 越大，压力F 也越大；C ．当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成正比例函数关系；D ．当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成反比例函数关系．【答案】C【分析】根据正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可．【详解】解：A ．在FP S=中，当压强P 为定值时，压力F 与受力面积S 成正比函数关系，故选项正确，不符合题意；B ．在FP S=中，当压强P 为定值时，受力面积S 越大，压力F 也越大，故选项正确，不符合题意；C ．在FP S=中，当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意；D ．在FP S=中，当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了正比例函数关系和反比例函数关系，熟练掌握正比例函数关系和反比例函数关系的定义是解题的关键．3．若某城市市区人口x 万人，市区绿地面积100万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为 ．【答案】100y x=【分析】根据题意平均每人拥有绿地面积=总面积总人口，列出函数关系式即可得出答案．【详解】解：由城市市区人口x 万人，市区绿地面积100万平方米，则平均每人拥有绿地面积为100y x=．故答案为：100y x=【点睛】本题主要考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式进行求解是解决本题的关键．4．计划修建铁路1200km ，那么铺轨天数(d)y 是每日铺轨量(km /d)x 的反比例函数吗？【答案】1200y x=，y 是x 的反比例函数【分析】铺轨天数=铁路长¸y 与x 之间的函数关系式，根据反比例函数的一般形式判断是否为反比例函数即可．【详解】解：Q 铺轨天数=铁路长¸每天铺轨量，1200y x\=，∴y 是x 的反比例函数．【点睛】本题考查反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式为(0)ky k x=≠，关键是得到y 与x 之间的函数关系式．题型02 根据反比例函数定义求参数5．若函数2n y nx -=是反比例函数，n 的值是（ ）A ．1±B ．1C ．1-D ．不能确定【答案】A【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义求出n 的值即可．【详解】∵2n y nx -=是反比例函数，∴21n -=-，解得1n =±．故选：A6．若函数1m y x -=为反比例函数，则m 的值是 ．【答案】0【分析】本题考查的是反比例函数的定义，根据题意列出关于m 的方程是解题的关键．根据反比例函数的定义列出关于m 的方程求解即可．【详解】解：∵函数1m y x -=为反比例函数，∴11m -=-，解得0m =．故答案为：0．7．若函数()232m y m x -=-是反比例函数，则m =．【答案】2-【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可解答．【详解】解：∵函数()232m y m x -=-是反比例函数，∴20m -≠，231m -=-，解得2m =-．故答案为：2-8．已知()322m y m m x -=+是关于x 的反比例函数，则()20232m -= ．【答案】0【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是ky x=（k 为常数，0k ≠），先根据反比例函数的定义求出m 的值，再代入计算即可得出答案．【详解】解：由题意得：220m m +≠，31m -=-，解得：2m =，∴()()202320232220m -=-=，故答案为：0．题型03 求反比例函数的自变量或函数值9．如果y 是x 的反比例函数，那么当x 增加它的12时，y 将（ ）A ．减少它的12B ．减少它的13C ．增加它的12D ．增加它的13【答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据y 是x 的反比例函数，得出xy k =，根据当x 增加它的12时，自变量变为32x ，设因变量y 变为1y ，得出132x y xy k ×==，求出123y y =，得出答案．【详解】解：∵y 是x 的反比例函数，∴xy k =，当x 增加它的12时，自变量变为32x ，设因变量y 变为1y ，则：132x y xy k ×==，∴123y y =，∴y 将减少它的13，故选：B ．10．在反比例函数5y x=中，当10x =时，y = ．【答案】12/0.5【分析】本题考查了反比例函数的定义，将10x =代入反比例函数5y x=中，解出y 即可．由已知函数解析式和函数值求相应的自变量的值．【详解】解：当10x =时，51102y ==．故答案为：12．11．反比例函数6y x=中，2x =，则y = ．【答案】3【分析】本题考查反比例函数解析式，直接将2x =代入求出y 的值即可．【详解】解：反比例函数6y x=中，当2x =时，6632y x ===，故答案为：3．12．某蓄电池的电压为60V ，使用此蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）的函数表达式为60I R=，当12R =W 时，I 的值为 A ．【答案】5【分析】本题考查了求反比例函数值，掌握反比例函数图像的点必然满足函数解析式成为解题的关键．把12R =W 代入函数表达式即可求出I 的值．【详解】解：当12R =W 时，60512I I ==．故答案为：5．13．已知反比例函数12y x=-的图象经过点()1,4A a +，则a = ．【答案】4-【分析】直接将点()1,4A a +代入12y x=-求出a 即可．【详解】解：直接将点()1,4A a +代入12y x =-，则1241a =-+，解得：4a =-．故答案为：4-．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数知识和计算准确性是解决本题的关键，难度较小．14．已知反比例函数12y x=-．(1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围．(2)求当3x =-时函数的值．(3)求当y =时自变量x 的值．【答案】(1)12,0k x =-≠(2)4(3)【分析】（1）根据k 是反比例函数的比例系数，x 在分母上求出取值范围即可；（2）把3x =-，代入解析式，求出y 值，即可得解；（3）把y =x 值，即可得解．【详解】（1）解：∵12y x=-，∴12,0k x =-≠；（2）解：把3x =-，代入12y x =-得：1243y =-=-；∴当3x =-时函数的值为：4；（3）解：把y =12y x =-得：12x=-，解得：x =；∴当y =x的值为：【点睛】本题考查反比例函数的定义以及求自变量或函数值．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键．题型04 利用反比例函数求解析式15．已知12y y y =-，并且1y 与x 成正比例2y 与(2)x -成反比例，当2x =-时，7y =-；当3x =时，13y =．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)求当5x =时的函数值．【答案】(1)432y x x =+-(2)493【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数．（1）设12,2m y kx y x ==-，则2my kx x =--，然后利用待定系数法即可求得；（2）把5x =代入（1）求得函数解析式求解．【详解】（1）解：设12,2my kx y x ==-，则2my kx x =--，根据题意得：274313m k k m ì--=-ï-íï-=î，解得：34k m =ìí=-î，则函数解析式是：432y x x =+-；（2）解：当5x =时，44935523y =´+=-．16．已知12y y y =+，1y 与(1)x -成正比例，2y 与(1)x +成反比例，当0x =时，=3y -，当1x =时，1y =-．(1)求y 的表达式；(2)求当2x =-时y 的值．【答案】(1)211y x x =--+(2)1-【分析】（1）先根据题意得出11(1)y k x =-，221k y x =+，根据12y y y =+，当0x =时，=3y -，当1x =时，1y =-得出x 、y 的函数关系式即可；（2）把2x =-代入（1）中的函数关系式，求出y 的值即可．本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出y 与x 的函数关系式是解答此题的关键．【详解】（1）解：1y Q 与(1)x -成正比例，2y 与(1)x +成反比例，11(1)y k x \=-，221k y x =+，12y y y =+Q ，当0x =时，=3y -，当1x =时，1y =-．\1223112k k k -=-+ìïí-=ïî，22k \=-，11k =，211y x x \=--+；（2）解：当2x =-，221211121y x x =--=---=-+-+．17．已知函数12y y y =+，1y 与1x +成正比例函数，2y 与x 成反比例函数，当1x =时，7y =，当3x =时，9y =．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)求当=1x -时，y 的值．【答案】(1)322y x x=++(2)=3y -【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解正比例、反比例的含义．（1）根据正比例与反比例的定义设出y 与x 之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式，计算即可得解；（2）把=1x -代入（1）中所求函数解析式，计算求y 即可．【详解】（1）解：设()111y k x =+，()22120,0k y k k x=≠≠ 则()21211k y y y k x x=+=++把()1,7()3,9代入得122127493k k k k +=ìïí+=ïî，∴1223k k =ìí=î∴322y x x=++（2）当=1x -时 2323y =--+=-18．已知 121y y y y =+，与 x 成正比例，2y 与 23x -成反比例． 并且当 2x =时，5y =；当 12x =，74y =-求 y 与 x 之间的函数关系式．【答案】14223y x x =+-【分析】本题考查求函数表达式，设2112,23k y k x y x ==-，待定系数法求出12,k k ，即可．掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键．【详解】解：设2112,23k y k x y x ==-，则：212123k y y y k x x =+=+-，由题意，得：21212522317124232k k k k ì+=ï´-ïí+=-ï´-ïî，解得：12124k k ì=ïíï=î，∴14223y x x =+-．题型05 反比例函数图象与参数之间的关系19．若反比例函数21m y x -=的图像在第二、四象限，则m 的最大整数值是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】本题考查了是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键；根据图像所在的象限，可知210m <－，即可求解；【详解】解：210m <Q －，0.5m \<，m \的最大整数是1-，∴选：B.20．若反比例函数21m y x -=的图象经过第二、四象限，则m 的取值范围是（ ）A ．12m £B ．12m ³C ．12m <D ．12m >【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数()0k y k x =≠的性质：当0k >时，图象在一、三象限；当0k <时，图象在二、四象限，据此求解即可．【详解】解：∵反比例函数21m y x-=的图象经过第二、四象限，∴210m -<，∴12m <，故选：C ．21．如图是反比例函数(0)ky x x =>的图像，写出一个符合要求的整数k 的值是 ．【答案】1（或2或3）【分析】本题主要考查反比例函数图像的性质：（1）0k >时，图像是位于一、三象限；（2）0k <时，图像是位于二、四象限．反比例函数(ky k x =是常数，0)k ≠的图像在第一象限，则0k >，再根据反比例函数k y x=的图像经过点(2,2)A ，找出符合上述条件的k 的一个值即可．【详解】解：∵反比例函数的图像在一象限，0k \>，又∵反比例函数k y x=的图像经过点(2,2)A 时，224k =´=．04k \<<，∴k 的值可以是1．故答案为：1．22．如图是反比例函数2m y x -=的图象，那么实数m 的取值范围是 ．【答案】2m >【分析】根据反比例的函数图象经过第一、三象限，得m ―2>0，直接解答即可．本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．【详解】解：∵反比例的函数图象经过第一、三象限∴m ―2>0，故2m >．故答案为：2m >．题型06 反比例函数的增减性与参数之间的关系23．在函数()0k y k x=<的图象上有三点()11,x y ，()23,x y ，()33,x y ，已知1230x x x <<<，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．231y y y >>D ．132y y y >>【答案】A【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，判断出反比例函数在每个象限的增减性，进而可得到答案．【详解】解：∵0k <，∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，又∵1230x x x <<<，∴213y y y >>．故选：A ．24．若点()()()122331,,,,,A x y B x y C x y 都在反比例函数21k y x+=的图象上，若1230x x x <<<则123,,y y y 的大小关系是．（请用“<”号连接）【答案】213y y y <<【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．由210k +>，可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，进而得到123,,y y y 的大小关系．【详解】解：210k +>Q ，\反比例函数21k y x +=的图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，又1230x x x <<<Q ，1230,0,0<<>\y y y ，且32y y >，213y y y \<<，故答案为：213y y y <<．25．反比例函数3y x =的图象，当0x >时，y 随x 的增大而 ．【答案】减小【分析】根据反比例函数解析式及反比例函数的性质即可解答．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数()0k y k x=≠中，当0k >时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小是解答此题的关键．【详解】解：∵反比例函数的解析式为3y x =，∴30k =>，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，∴当0x >时，y 随x 的增大而减小，故答案为：减小．26．如果反比例函数34a y x -=的图像在每一个象限内y 随x 的增大而减小，那么a 满足的条件是 ．【答案】3a <【分析】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的图像与性质是解题关键．对于反比例函数()0k y k x=≠，当0k >时，该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当0k <时，该反比例函数的图像在第二、四象限，且在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大．根据反比例函数的性质可得340a ->，再解不等式即可．【详解】解：∵反比例函数34a y x -=的图像在每一个象限内y 随x 的增大而减小，∴340a ->，解得34a <．故答案为：34a <．27．反比例函数||3(1)k y k x -=-+，在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则k =【答案】2-【分析】此题主要考查了反比例函数的性质和定义，反比例函数的图象是双曲线；当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．直接利用反比例函数的性质和定义得出10k -+>且31k -=-，进而得出k 的值．【详解】解：在反比例函数||3(1)k y k x -=-+的图象的每一支上，y 都随x 的增大而减少，10k \-+>且31k -=-，2k \=-，故答案为：2-．28．已知点()()121,,2,A y B y 都在反比例函数1m y x +=的图象上，且12y y <，则m 的取值范围为 ．【答案】1m <-【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上得到坐标特征解答即可．【详解】解：12<Q ，12y y <，\反比例函数在各个象限内，y 随x 的增大而增大，点A 、B 在同在第四象限，10+<m ，即1m <-．故答案为：1m <-．题型07 利用图形面积求比例系数k29．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数()0k y x =>的图象上，过点A 作AC y ^轴于点C ，过点B 作BD x ^轴于点D ，AC BD =，若3OC =，AOB V 的面积为4，则k 的值为（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，图象点的坐标特征．延长CA DB ，交于点E ，得到,33k A æöç÷èø，3,3k B æöç÷èø，再根据题意得到2113323342323k k æö´-´´´--=ç÷èø，计算即可求解．【详解】解：如图，延长CA DB ，交于点E ，∵点A ，B 在反比例函数()0k y x x=>的图象上，AC BD =，3OC =，∴,33k A æöç÷èø，∴3,3k B æöç÷èø，∴33k AE =-，33k BE =-，∵AOB V 的面积为4，∴2113323342323k k æö´-´´´--=ç÷èø，解得13k =，23k =-（舍去）．故选：B ．30．如图，过反比例函数k y x=()0x <图象上的一点A 作AB x ^轴于点B ，连接AO ，若4AOB S D =，则k 的值是（ ）A ．4B ．4-C ．8D ．8-【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数值k 的几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．根据反比例函数 k 值的几何意义可知28AOB S k ==V |，再根据图象所在象限确定 k 的符号即可．【详解】解：2248AOB k S ==´=V Q ，8k \=±，Q 函数图象在第二象限，8k \=-．故选：D ．31．如图，点A 是函数3y x =-（0x <）图象上一点，点B 是k y x=（0k >，0x >）图象上一点，点C 在x 轴上，连结AB ，CA ，CB ．若x 轴，4ACB S =△，则k =（ ）．A ．4B ．2C ．2.5D ．5【答案】D 【分析】本题考查反比例函数k 的几何意义，读懂题意，数形结合是解决问题的关键．连接OA OB 、，如图所示，得到ABC ABO S S =V V ，再结合反比例函数k 的几何意义即可得到3422k +=，解方程即可得到答案．【详解】解：连接OA OB 、，如图所示：Q AB x ∥轴，322ABC ABO k S S \==+△△，Q 4ACB S =△，3422k \+=，解得5k =，故选：D ．32．如图，在平面直角坐标系中，若将点()0,2A 向右平移后，其对应点A ¢恰好落在反比例函数k y x =的图象上，已知点()4,0B ，连接AB 、A B ¢，则图中阴影部分的面积为4则该函数的解析式k y x=中的k 值是（ ）A ．4B ．8C ．4-D ．8-【答案】B 【分析】本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质.如图，过A ¢作A H OB ¢⊥于H ，由将点()0,2A 向右平移后，其对应点A ¢恰好落在反比例函数()>0k y x x =的图象上，可得142S k =´=阴影，从而可得答案．【详解】解：如图，过A ¢作A H OB ¢⊥于H ，∵将点()0,2A 向右平移后，其对应点A ¢恰好落在反比例函数()>0k y x x=的图象上，∴142S k =´=阴影∴8k =，故选：B.33．如图，平行四边形的顶点B 在x 轴上，点A 在()0k y k x=<上，且AB x ^轴，对角线DB 的延长线交y 轴于点E ，若3BCE S =V ，则k =（ ）A ．3-B ．6-C ．―8D ．9-【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数k 值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积、平行四边形的性质，熟练掌握k 值几何意义是关键．设DC 与x 轴交于点F ，连接A F 、O A ，根据12OAF S OF AB =×V ，12CDE S OF CD =×V ， 且CD AB =，可得 OAF CDE S S =V V ，再利用ABF DCB S S =V V ，3ABO BCE S S ==V V ，继而求出k 值．【详解】解：设DC 与x 轴交于点F ，连接A F 、OA ，∵ 12OAF S OF AB =×V ，12CDE S OF CD =×V ， 且CD AB =，OAF CDE S S \=V V ，又∵ABF DCB S S =V V ，3ABO BCE S S \==V V ，26ABO k S \==V ，Q 反比例函数在第二象限，6k \=-.故选：B.题型08 利用比例系数k 求图形面积34．如图，两个反比例函数5y x=和3y x =在第一象限内的图象分别是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PA x ^轴于点A ，交2C 于点B ，则POB V 的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．无法计算【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数k 值的几何意义．根据反比例函数k 值的几何意义进行解答即可．【详解】解：Q 点P 在反比例函数5y x=的图象上，\52POA S D =，Q 点B 在反比例函数3y x =的图象上，32BOA S D \=，53122POB POA BOA S S S D D D \=-=-=．故选：A ．35．如图，反比例函数6y x-=，点A 位于反比例函数图像上，AB 垂直于x 轴，点C 在y 轴从上往下运动的过程中，三角形ABC 的面积变化情况是（ ）A ．不变B ．一直变大C ．先变大后变小D ．先变小后变大【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，反比例函数比例系数的几何意义，ABC AOB S S =△△，根据平行线的性质和反比例函数比例系数的几何意义可得632ABC AOB S S -===V V ，据此可得答案．【详解】解：如图所示，连接OA ，∵AB OB ^，∴AB OC ∥，∴ABC AOB S S =△△，∵点A 位于反比例函数图像上，∴632ABC AOB S S -===V V ，故选：A ．36．如图，在平面直角坐标系中，点A ，D 分别在y 轴、x 轴上，BD x ^轴，与双曲线()160y x x =-<交于点B ，与双曲线()220y x x=-<交于点C ，若四边形OABC 为平行四边形，则平行四边形OABC 的面积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象与平行四边形综合，利用反比例函数的几何意义或利用设元法解决是关键．设6,B m m æö-ç÷èø，可表示出点C 坐标，便得BC 和OD 的长，即可得平行四边形OABC 的面积．【详解】解：设6,(0)B m m m æö-<ç÷èø，∵BD x ^轴，点B 在双曲线()160y x x =-<上，点C 在双曲线()220y x x=-<上，∴2,C m m æö-ç÷èø，∴6BD m =-，2CD m=-，∴624BC BD CD m m m=-=-+=-，∵四边形OABC 为平行四边形，∴平行四边形OABC 的面积()44BC OD m m =´=-´-=，故选：D ．37．如图，反比例函数()0k y k x=≠经过A 、B 两点，分别过A 、B 作x 轴的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AO ，连接BO 交AC 于点E ，若AEO △的面积为3，则四边形BDCE 的面积是（ ）A ．2B ．32C ．3D ．1【答案】C【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，由k 的几何意义得ACO BDO S S k ==V V ，即AEO OCE OCE BDCE S S S S +=+V V V 四边形，即可求解；理解k 的几何意义“过反比例函数上任意一点作x 轴（y 轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为12k ．”是解题的关键．【详解】解：由题意得ACO BDO S S k ==V V ，AEO OCE OCE BDCE S S S S \+=+V V V 四边形，AEO BDCE S S \=V 四边形，3AEO BDCE S S \==V 四边形；故选：C ．38．如图，点,A B 均在反比例函数()00k y k x x=≠>，的图象上，AC x ^轴于点,C BD x ^轴于点D ，连接BC ，若()24,6A CD =，，则BCD △的面积为 ．【答案】3【分析】由()24A ，可得到k 的值为8，由6CD =方得到()80D ，，再结合BD x ^轴，点B 在反比例函数的图象上，可得到()8,1B ，则116132BCD BD S ==´´=，△．本题考查了反比例函数的面积计算，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：由()24A ，，得到k 的值为8，由6CD =，得到()80D ，，∵BD x ^轴，点B 在反比例函数的图象上，∴()8,1B ，∴116132BCD BD S ==´´=，△．故答案为：3．题型09 反比例函数图象和性质的综合判断39．对于反比例函数1y x =，下列说法错误的是（ ）A ．它的图象分布在第一、三象限B ．它的两支图象关于原点对称C ．当120x x <<时，则210y y <<D ．y 随x 的增大而减小【答案】D【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比函数的图象与性质逐项分析判断即可．【详解】解：A 、由10k =>得反比例函数1y x =的图象分布在第一、三象限，正确，不符合题意；B 、反比例函数1y x =的两支图象关于原点对称，正确，不符合题意；C 、当120x x <<时，反比例函数1y x =的图象在第三象限，且y 随x 的增大而减小，则210y y <<，原说法正确，不符合题意；D 、反比例函数1y x =的图象经过第一、三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而减小，原说法错误，符合题意，故选：D ．40．已知反比例函数 2y x=，则下列描述不正确的是（ ）A ．图象位于第一、三象限B ．图象必经过()1,2C ．图象不可能与坐标轴相交D ．y 随x 的增大而减小【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质；根据反比例函数的图象与系数的关系，以及反比例函数图象上点的坐标特征逐项判断即可．【详解】解：A.∵20k =>，∴图象位于第一、三象限，正确；B.∵当1x =时，22y x==，∴图象必经过()1,2，正确；C.图象不可能与坐标轴相交，正确D.∵20k =>，∴图象位于第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小，描述错误；故选：D ．41．已知反比例函数3y x=-，下列结论不正确的是（ ）A ．图象必经过点()1,3-B ．在每一象限内，y 随x 的增大而增大C ．若1x >，则3y >-D ．图象位于第二、四象限内【答案】C【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．进行判断即可．掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：A 、反比例函数3y x=-的图象必经过点()1,3-，原说法正确，不合题意；B 、30k =-<，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，原说法正确，不符合题意；C 、若1x >，则30y -<<，原说法错误，符合题意；D 、30k =-<，函数的图象分别位于第二、四象限，原说法正确，不符合题意；故选：C ．42．下列说法中不正确的是（）A ．函数5y x =的图象经过原点B ．函数3y x =的图象位于第一、三象限C ．函数32y x =-的图象不经过第二象限D ．函数2y x=-的值随x 值增大而增大【答案】D【分析】本题考查了正比例函数、一次函数及反比例函数的性质，属于函数的基础性知识，解题的关键是了解有关函数的性质，难度不大．利用正比例函数、一次函数及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、Q 函数5y x =是正比例函数，\函数5y x =的图象经过原点，故A 正确，不符合题意；B 、30>Q ，\函数3y x=的图象位于第一、三象限，故B 正确，不符合题意；C 、30>Q ，20-<，\函数32y x =-的图象经过第一、三、四象限，故C 正确，不符合题意；D 、20-<Q ，\当0x <或0x >时，函数2y x=-的值随x 值增大而增大，故D 错误，符合题意．故选：D ．43．下列关于函数说法错误的个数为（ ）（1）已知反比例函数k y x=的图像在第一象限，则k 的取值范围是0k >且0x >；（2）单曲线不是反比例函数（3）只要满足xy k =且自变量k 为不为0的常数的函数，就是反比例函数（4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定（5）直线1y =是常值函数，常值函数不是函数（6）直线1x =不是函数A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质等知识点，理解相关定义成为解题的关键．根据反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质逐个判断即可．【详解】解：（1）已知反比例函数k y x=的图像在第一象限，则k 的取值范围是0k >且0x >，说法正确；（2）单曲线不是反比例函数，说法错误；（3）只要满足xy k =且自变量k 为不为0的常数的函数，就是反比例函数，说法正确；（4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定，说法错误；（5）直线1y =是常值函数，常值函数是函数，说法错误；（6）直线1x =不是函数，说法错误．综上，正确的有2个正确．故选B ．44．如图：点P 、Q 是反比例函数k y x=图象上的两点，PA y ^轴于点A ，QN x ^轴于点N ，作PM x ^轴于点M ，QB y ^轴于点B ，连接PB 、QM ，ABP V 的面积记为1S ，QMN V 的面积记为2S ，则1S 与2S 的大小关系是（ ）。
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
大纲版数学理科高考总复习4-6三角函数的性质
• 题型三 三角函数的单调性 • 典例3 求函数f(x)＝2sinxcosx－2cos2x
• (2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A>0，ω<0， 可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间
为原函数的减区间，减区间为原函数 的增区间．
变式 3 求函数 y＝12sin(π4－23x)的单调递增区间． 解析：原函数变形为 y＝－12sin(23x－π4)，令 u＝23x－π4， 则只需求 y＝sinu 的单调递减区间即可． y＝sinu 在 2kπ＋π2≤u＝23x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)上，即 3kπ＋98π≤x≤3kπ＋281π(k∈Z)上单调递减， 故原函数的递增区间为[3kπ＋98π，3kπ＋218π](k∈Z)．
0<x≤4， 得kπ≤x<kπ＋π2k∈Z. ∴函数定义域是{x|0<x<π2或 π≤x≤4}．
• 【方法技巧】 (1)与三角函数有关的 函数的定义域
• ①与三角函数有关的函数的定义域仍 然是使函数解析式有意义的自变量的 取值范围．
• ②求此类函数的定义域最终归结为用 三角函数线或三角函数的图象解三角 不等式．
【错因分析】 第(1)题是复合函数，其内层函数 是单调递减的，故复合后，外层函数的单调递减区间 是整个函数的单调递增区间，外层函数的单调递增区 间是整个函数的单调递减区间，由于受思维定式影响， 本题容易出现仍然按照函数 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单
调区间的判断方法进行，如认为当 x 满足 2kπ－π2≤π4－
【15考研公共课-讲义】2015考研数学导学班辅导讲义-汤家凤20131028-16页
2015考研数学导学班辅导讲义高等数学部分第一章极限与连续第一部分函数的初等特性1、函数的奇偶性—设函数)(x f 的定义域关于原点对称，若)()(x f x f =−，称)(x f 为偶函数；若)()(x f x f −=−，称)(x f 为奇函数。
【例1】判断函数)1ln()(2x x x f ++=的奇偶性，并求其反函数。
2、函数的周期性—设)(x f 的定义域为D ，若存在0>T ，使得对任意的D x ∈，有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，称)(x f 为周期函数。
【例2】讨论函数][)(x x x f −=的周期性。
3、函数的单调性—设对任意的D x x ∈21,且21x x <，有)()(21x f x f <，称)(x f 在D 上为单调增函数，反之称为单调减函数。
4、函数的有界性—若存在0>M ，对任意的D x ∈，有M x f ≤|)(|，称)(x f 在D 上有界。
第二部分极限一、定义1、极限的定义（1）数列极限(N −ε)—若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<−||A a n 成立，称数列}{n a 以A 为极限，记为A a n n =∞→lim 。
（2）函数)(x f 当a x →时的极限（δε−）—若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<−<||0a x 时，有ε<−|)(|A x f 成立，称A 为)(x f 当a x →时的极限，记为A x f ax =→)(lim 。
（3）函数)(x f 当∞→x 时的极限（X −ε）—若对任意的0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<−|)(|A x f成立，称A 为)(x f 当∞→x 时的极限，记为A x f x =∞→)(lim 。
【注解】（1）a x →的含义为⎩⎨⎧+→−→≠a x a x ax 和。
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函数的四大性质总结知识点总结：一． 单调性：1. 定义：在定义域I 里，有两个任意自变量,当时，则f （x ）在定义域单调增。
当时，则f （x ）在定义域单调减。
2. 判断方法：①定义法（作差或作差比较）；②图象法；③单调性的运算性质；④复合函数单调判断法则；⑤倒数法； 二． 奇偶性：偶函数 ：f （-x ）=f （x ）（只需要满足这个式子就可以） 奇函数：f （-x ）= - f （x ）（只需要满足这个式子就可以） 三． 周期性：如果存在一个数a ，使得f （x+a ）=f （x ）[记忆方法：括号里面相减等于一个定值a]，则f （x ）为周期函数，T=a 。
周期函数有三种变形形式： 这三种形式的周期都为2a 。
四． 对称性：如果存在一个数a ，使得f （x+a ）=f （a-x ）[记忆方法：括号里面相加等于一个定值2a]，则f （x ）为对称函数，对称轴为x=a 。
对称性和周期性的结合：① f(x)关于（a,0）和(b,0)点对称,则f （x ）是周期函数，T=2② f(x)关于直线x=a 和x=b 对称,则f （x ）是周期函数，T=2 ③ f(x)关于点（a,0）和x=b 点对称,则f （x ）是周期函数，T=4专题训练（一）函数的单调性 1、当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x ，下列式子中正确的是（A ）()11log >-x x （B ）xx-+⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛112121 （C ）()()232311x x -<+ （D ）()11log 2->-x2、()()()4,2122∞-+-+=在x a x x f 上是减函数，则a 的取值围是（ ）（A ）3-≤a （B ）3-≥a （C ）5≤a （D ）3≥a3、设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ） Ａ．R Q P <<Ｂ．P R Q <<Ｃ．Q R P <<Ｄ．R P Q <<3．1函数是单调函数时，的取值围 A ． B ． C ． D ．3.2、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ],0[+∞∈时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（ ） （A ）f(π)>f(-3)>f(-2) （B ）f(π)>f(-2)>f(-3) （C ）f(π)<f(-3)<f(-2) （D ）f(π)<f(-2)<f(-3)3.3、函数()f x 是(,)-∞+∞上的增函数，若对于12,x x R ∈都有121()()()f x f x f x +≥-+2()f x -成立，则必有（A ）12x x ≥ （B ）12x x ≤ （C ）120x x +≥ （D ）120x x +≤ 3.4、已知函数f （x ）、g （x ）定义在同一区间D 上，f （x ）是增函数，g （x ）是减函数，且g （x ）≠0,则在D 上Af(x)+g(x)一定是减函数 B f(x)-g(x)一定是增函数 C f(x)·g(x)一定是增函数 D )()(x g x f 一定是减函数4若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ A ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>5 函数f(x)=㏒0.5(x-1)(x+3)的单调递增区间是（A ）A （-∞，-3）B （-∞，-1）C （1，∞）D （-3，-1）6设2lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>7 下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是 A ．()f x =1xB ()f x =2(1)x -C ()f x =xe D ()ln(1)f x x =+ 8 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-则A (3)(2)(1)f f f <-<B (1)(2)(3)f f f <-<C (2)(1)(3)f f f -<<D (3)(1)(2)f f f <<- 9已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则 （A ）(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<10．函数 的单调区间为11.f （x ）= （1）判断函数的奇偶性（2）若y=f （x ）在 上为减函数，求a 的取值围。
二、函数的奇偶性1、 函数 ()()221lg 2---=x x x f （ ）（A ）奇函数 （B ）是偶函数 （C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数又不是偶函数2、判断下列函数奇偶性：()()x x x f -+=21lg 是 ， ()2212-+-=x x x f 是 。
3、已知()835+++=bx ax x x f ，且()102=-f ，那么()2f 等于（ ）（A ）6 （B ）－18 （C ）－10 （D ）10 4、函数()211xa x x f ---=是奇函数，则实数a 的值为（ ）（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 5、()())0(1221≠⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x f x F x是偶函数，且()x f 不恒等于零，则()x f （ ） （A ）是奇函数 （B ）是偶函数 （C ）可能是奇函数也可能是偶函数 （D ）非奇函数非偶函数 6、若()x f 、()x g 都是定义在R 上的奇函数，若()()()2++=x bg x af x F 在区间()+∞,0上的最大值为5，则()()0,∞-在x F 上的最小值为 。
7、奇函数()x f 在[]7,3上是增函数，在[]6,3上的最大值为8，最小值为－1，则()()=-+-362f f（A ）5 （B ）－5 （C ）－13 （D ）－15 8、已知函数 ()1sin cos 2-++=x x b ax x f ，满足，则/65f π=（） 则/6f π=（-）A 、35-B 、53-C 、4D 、－49、设偶函数()()0,log ∞--=在b x x f a 上递增，则()()11++b f a f 与的大小关系是（ ） A ()()21+=+b f a f B ()()21+>+b f a f C ()()21+<+b f a f D 不确定 10、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值围是 A （13，23） B ［13，23） C （12，23） D ［12，23） （三）自对称、互对称、周期性1、设函数()x f y =定义在R 上，则函数()x f y -=1与函数()x f y +=1的图象关于（ ） （A ）直线0=y 对称 （B ）直线0=x 对称 （C ）直线1=y 对称 （D ）直线1=x 对称2、设函数()x f y =定义在R 上，则函数()1-=x f y 与函数()x f y -=1的图象关于（ ） （A ）直线0=y 对称 （B ）直线0=x 对称 （C ）直线1=y 对称 （D ）直线1=x 对称3、函数213+-=x x y 的图象（ ）A 关于点()3,2-对称B 关于点()3,2-对称C 关于直线2-=x 对称D 关于直线3-=x 对称4 设定义在R 上的函数()f x 满足 ()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）2135、已知()x f 是定义在R 上函数，且 ()()()2121---+=x f x f x f ,若()321+=f ，则()2005f 等于 （ ）A 、23-B 、23+C 、32-D 、32--6、 函数1()2xy =与函数2()16x y =-的图像关于 DA 、直线2x =B 、点（4，0）对称C 、直线4x =D 、点（2，0）对称（四）函数图像的转换规则 1.设函数()()42),1,0(=≠>=-f a a ax f x，则（ ）（A ）()()12->-f f （B ）()()21->-f f （C ）()()21f f > （D ）()()22f f >- 2、若10<<a 且函数()x x f a log =则下列各式中成立的是（ ）（A ）()⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛>41312f f f （B ）()⎪⎭⎫ ⎝⎛>>⎪⎭⎫ ⎝⎛31241f f f （C ）()⎪⎭⎫ ⎝⎛>>⎪⎭⎫ ⎝⎛41231f f f （D ）()23141f f f >⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3.、在下列函数中，在区间()1,0上为增函数的是（ ） （A ）()321-+=x y （B ）12-=x y （C ）1log 21-=x y （D ）12+=-xy4、设函数()2,12,log 2>-<<<-=c b a x x f 则下列各式成立的是（A ）()()()c f b f a f >>（B ）()()()a f b f c f >> （C ）()()()b f a f c f >> （D ）()()()c f a f b f >> 5、不等式 ()112-<-x x 的解集为A 、()2,∞-B 、()2,0C 、()()2,11,0D 、()()2,11, ∞- 6、()()()10,1x f x a b a a =-+>≠的图象不经过第二象限，则必有（ ）。
（A ）01,0a b <<> （B ）01,0a b <<< （C ）1,1a b >< （D ）1,0ab >≥7、为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ C ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长8、设()lg f x x =，若0a b c <<<，且()()()f a f c f b >>，则下列关系正确的是 A 、1ac a c +<+ B 、 1ac a c +>+ C 、 1ac a c +=+ D 、 1ac >9 ．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（D ）Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．② 10、下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（B ） （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=11 函数f (x )=1+log 2x 与g(x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是(C)12 ．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ C ）A ．1ln||y x = B ．3y x =C ．||2x y =D ．cos y x =（五）三类性质的综合运用1、 设 ()x f 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知当 []3,2∈x 时，()x x f = ，则当 []0,2-∈x 是，()x f 的解析式为（A ）()4+=x x f （B ）()x x f -=2 （C ）()13+-=x x f （D ）()12++=x x f2、函数()x f 是以π为周期的奇函数，且14f π=-（-），则⎪⎭⎫⎝⎛π49f 等于（ ）（A ）4π （B ）4π- （C ）1 （D ）－1 3、设()x f 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时，()x x f =，则()5.7f 等于（A ） A.0.5 （B ）－0.5 （C ）1.5 （D ）－1.55、设()x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于2=x 对称，已知[]2,2-∈x 时，()12+-=x x f ，则[]2,6--∈x 时，求()x f 。