《共面向量定理》教案设计
共面向量定理
A B C D M N 共面向量定理教学目标：1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；2．利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题教学过程：一、创设情景 1、关于空间向量线性运算的理解平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。
从平面几何到立体几何，类比是常用的推理方法。
二、建构数学1、 共面向量的定义一般地，能平移到同一个平面内的向量叫 向量；理解：(1)若b a ,为不共线且同在平面α内，则p 与b a ,共面的意义是p 在α内或α//p(2) 空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．2、共面向量的判定平面向量中，向量b 与非零向量a 共线的充要条件是a b λ=，类比到空间向量，即有 共面向量定理 如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组 ，使得 .这就是说，向量p 可以由不共线的两个向量b a ,线性表示。
M N ADCA B C D E F N M 三、数学运用 例1 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M,N 分别在对角线BD,AE 上，且AE AN BD BM 31,31==. 求证：MN//平面CDE例 2 设空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系OC z OB y OA x OP ++=（其中x+y+z=1）试问：P 、A 、B 、C 四点是否共面？例3 已知A ，B ，M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定在下列各条件下，点P 是否与A ，B ，M 一定共面？(1)OA OP OM OB -=+3；(2)OM OB OA OP --=4解题总结：推论：空间一点P 位于平面M AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y 使得：MB y MA x MP +=，或对空间任意一点O 有：OB z OA y OM x OP ++=(其中x+y+z=1)。
3.1共面向量定理
作业： P74练习4
§3.1.2 共面向量定理
• 学习目标： 1.了解向量共面的含义，理解共面向量定理; 2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共 面的问题。 • 自学指导： 1.什么叫做共面向量？ 2.空间向量中的共面向量定理与平面基本定理在 形式和本质上有区别吗？ 3.共面向量定理的作用是什么？ 4.是否可以用几何方法解决例1? 5.学习平面向量时有类似于例2的结论吗? •自学检测：P74练习1
如图在长方体A1B1C1D1 ABCD中, A1B1 AB A1D1 AD, 而 AB, AD, AC在同一平面内, 此时 我们称 A1B1 , A1D1 , AC是同面向量 一般地,能平移到同一平面内 的向量叫做共面向量
F N A M B C
E
D
例2 设空间任意一点O和不共线三点A,B,C,若 点P满足向量关系 OP xOA yOB zOC (其中x y z 1) 试问:P,A,B,C四点是否共面
• 分层训练： • 必做题：P74练习2，3 • 思考题：对于空间四边形，试证明它的一 对对边的中点的连线与另一对对边平行于 同一平面。
反过来,空间三个向量p, b, 其中a, a, b不共线,如果 存在有序实数(x,y)组,使得 p xa yb 那么,向量p与a, b共面吗 ?
实际上, 如果存在有序实数(x,y)组, 使得, p xa yb,那么,在空间任取一点M , 作 MA a, MB b,MA xa, 过点A作 AP yb, 则 MP MA AP xa yb p 所以点P在平面MAB内, 从而MP, MA, MB共面, 即向量 p与向量a, b共面.
高中数学同步教学课件 共面向量定理
证明：如图，连接 EG，BG. (1)因为―EG→＝―E→B ＋―B→G ＝―E→B ＋12(―B→C ＋―B→D ) ＝―E→B ＋―B→F ＋―E→H ＝―E→F ＋―E→H ， 由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面． (2)因为―EH→＝―A→H －―A→E ＝12―A→D －12―A→B ＝12―B→D ，所以 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH，所以 BD∥平面 EFGH.
〉 通性通法
证明共面问题的基本方法 (1)证明两个空间向量共面时，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用共 面向量的定义，通过线面平行、直线在平面内等进行证明；
〉 通性通法 (2)证明空间四点 P，M，A，B 共面时，可以通过以下几种条件进行证明； ①―M→P ＝x―M→A ＋y―M→B ； ②对于空间任意一点 O，―O→P ＝―OM→＋x―M→A ＋y―M→B ； ③对于空间任意一点 O，―O→P ＝x―OM→＋y―O→A ＋z―O→B (x＋y＋z＝1)； ④―PM→∥―A→B (或―P→ A ∥―M→B 或―P→B ∥―AM→)．
随堂检测
1．下列命题中正确的是( ) A．若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B．向量 a，b，c 共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量―A→B 与―C→D 满足―A→B ＋―C→D ＝0，则―A→B ∥―C→D D．若 a∥b，则存在唯一的实数 λ，使 a＝λb
解析： A 中，若 b＝0，则 a 与 c 不一定共线； B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的 直线不一定共面； C 中，∵―A→B ＋―C→D ＝0，∴―A→B ＝－―C→D ，∴―A→B 与―C→D 共线，故―A→B ∥―C→D 正确； D 中，若 b＝0，a≠0，则不存在 λ，使 a＝λb. 答案：C
6.1.3共面向量定理课件(苏教版)
＋3 OB ＋3 OC .
―→ ―→ ―→
(1)判断 MA ， MB ， MC 三个向量是否共面；
(2)判断 M 是否在平面 ABC 内．
―→ ―→ ―→
―→
解：(1)∵ OA ＋ OB ＋ OC ＝3 OM ，
―→ ―→ ―→ ―→
―→ ―→
∴ OA － OM ＝( OM － OB )＋( OM － OC )，
探究新知
1．对共面向量的两点说明
(1)共面的理解：共面向量是指与同一个平面平行的向量，可将共面向量平移到同
一个平面内．共面向量所在的直线可能相交、平行或异面．
(2)向量的“自由性”：空间任意的两向量都是共面的．只要方向相同，大小相等的
向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量．
探究新知
2．共面向量充要条件的三个作用
(1)建立共面向量之间的向量关系式：
用两个不共线的向量可以表示与这两个向量共面的任意向量．例如：如果两个向
量a，b不共线，由向量c与向量a，b共面可得，存在唯一的一对实数x，y，使c＝x
a＋y b.
探究新知
(2)证明三个向量共面：
如果向量 a，b，c 满足关系式 c＝x a＋y b，那么可以判定向量 a，b，
角线 BD,AE 上,且 BM=
点拨：
不共线，要证明
有序实数对(x,y),使
=
AE.求证:向量
,
,
,
,
共面.
共面，只要证明存在唯一的
即可。
证明：由题图知,
=
-
所以向量
(
,
,
共面.
+
,
课堂练习
3.1.2 共面向量定理 学案1 2017-2018学年高中数学选修2-1 苏教版
3.1.2 共面向量定理名师导航知识梳理1.一般地,________________叫做共面向量(coplanar vector).2.如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在________________,使得________________.这就是说,向量p 可以由两个不共线的向量a ,b 线性表示. 疑难突破1.如何利用共面向量定理判断直线与平面平行?剖析:充分利用向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则,将一个向量用一个平面内不共线的两个向量线性表示,然后说明直线不在平面内即可证明直线平行于平面.2.如何用共面向量定理判定四点共面?剖析:将其中一点作为起点与其他三点相连,可以得到同一起点的三个向量,然后证明三个向量是共面向量,从而可以得到三条直线在同一平面内,进而证出四点共面.问题探究问题：利用平面向量知识可以判断三点共线:若OB OA OP βα+=,那么P 、A 、B 三点共线的充要条件是α+β=1.与此类比,探讨空间四点共面是否有与此相似的结论.探究：在平面中,OP 用不共线的两个向量OA 、OB 表示且系数和为1,那么推广到空间中,可以推广为不共面的三个向量,猜测z y x ++=,且x+y+z=1时,P 、A 、B 、C 四点共面.典题精讲【例1】 已知三个向量a ,b ,c 不共面,并且p =a +b -c ,q =2a -3b -5c ,r =-7a +18b +22c ,试问向量p 、q 、r 是否共面?思路解析：探讨向量p 、q 、r 是否共面,可以考虑通过探讨其中一个向量是否能用其他两个向量线性表示来达到目的,解此类题目时常用待定系数法.解：设r =x p +y q ,则-7a +18b +22c =x(a +b -c )+y(2a -3b -5c )=(x+2y)a +(x-3y)b +(-x-5y)c ,∴⎩⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+,5,3.225,183,72y x y x y x y x 解得 ∴r =3p -5q .∴p 、q 、r 共面.【例2】 如图,已知正方形ABCD 和正方形ABEF 相交于AB,点M 、N 分别在AE 、BD 上,且AM=DN.求证:MN ∥平面BCE.思路解析：要证明MN ∥平面BCE,可以证明与平面BCE 内的两个不共线向量(不妨设为、)共面,即只需利用加法、减法的运算法则,说明三个向量具有线性关系即可. 证明：设,,,c BE b BC a AB === 由已知可设DB DN AE AM λλ==,, ∴)(+=λ=λ(a +c ),)(b b ++=+=+=λλ=b +λ(a -b )=λa +(1-λ)b . ∴-==(1-λ)b -λc , 即=(1-λ)+(-λ). ∴、、共面.∴∥平面BCE.又∵MN 平面BCE,∴MN ∥平面BCE.【例3】 已知A 、B 、M 三点不共线,对于平面ABM 外的任一点O,确定下列各条件下,点P 是否与A 、B 、M 一定共面. (1)OM -=+3; (2)OM --=4.思路解析：判断点P 是否在平面MAB 内,关键是看能否用向量MB MA ,表示.当能用,表示时,点P 位于平面MAB 内,否则点P 不在平面MAB 内.解：(1)原式可变形为++=-+-+=)()(. ∴OM +=-. ∴--=.∴P 与M 、A 、B 共面.(2)原式可变形为OM ++=-+-+=22, ∴AM ---=,表达式中还含有.∴P 与A 、B 、M 不共面.知识导学1.空间中任意两个向量共面,三个向量可能共面,也可能不共面,共面向量定理给出了三个向量共面的充要条件.2.共面向量定理给出了判断线面平行的方法,以及判定四点共面的方法.疑难导析判断直线与平面平行,通常利用判定定理,证明平面外一条直线平行于平面内一条直线而得出结论,证明过程中线线平行有时需通过添加辅助线得到.因此方法不好用.而用共面向量来证明线面平行,只需考虑一个向量可用平面内两不共线向量来表示,可以避免添加辅助线.从而把不易掌握的证明问题转化为向量的计算问题.判断四点共面时,通常构造有公共起点的三个向量,用其中的两个向量线性表示另一个向量,而得到向量共面,四点共面.问题导思探讨四点共面,应用到共面向量定理,而本问题又属于充要条件问题.故需说明充分性,还需探讨必要性.由x+y+z=1可得z y z y +++-=)1(,可得z y +=,∴P 、A 、B 、C 共面.此过程可逆,故猜测结论正确.这是判定空间四点共面的常用方法.典题导考绿色通道：研究三个向量是否共面,是共面向量定理的直接应用.应充分利用所学知识进行转化,看这几个向量是否具有线性关系.常用待定系数法求解.若方程组有解,则向量共面,否则三个向量不共面.【典题变式1】已知空间向量a 、b 、c 、p ,满足p =a +b -2c ,p =3a -2b +c ,试问向量a 、b 、c 是否共面?解:由p =a +b -2c 和p =3a -2b +c ,得a +b -2c =3a -2b +c ,∴2a =3b -3c .∴a =c b 2323-.∴a 、b 、c 共面. 绿色通道：利用向量知识来判断直线和平面平行是一种很重要的判定线面平行的方法.这种方法与用线面平行的判定定理来证线面平行相比,更为简洁、实用,它省去需添加辅助线这一令多数学生头疼的问题.【典题变式2】如图,已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,求证:MN ∥平面PAD.证明:21)(21++-=++= =4, ∴,,共面.又∵MN 平面PAD,∴MN ∥平面PAD. 绿色通道：判断四点P 、M 、A 、B 是否共面,可以通过考察,,是否共面而得结论.具体解题时可将四点中任一点做为起点,与其他三点相连,即可得三个不同向量,然后探讨它们是否具有某种线性关系.【典题变式3】若对任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C,并且OC z OB y OA x OP ++=,则x+y+z=1是四点A 、B 、C 、P 共面的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：C。
苏教版高中数学选择性必修第二册6.1.3共面向量定理【教学课件】
D.O→P＝2O→A－O→B－O→C
解析 方法一 A 选项，O→P＝O→A＋O→B＋O→C，不能转化成A→P＝xP→B＋yP→C 的形式，所以 A 不正确； B 选项，∵O→P＝13O→A＋13O→B＋13O→C，∴3O→P＝O→A＋O→B＋O→C，∴O→P－O→A＝ (O→B－O→P)＋(O→C－O→P)，∴A→P＝P→B＋P→C，∴P→A＝－P→B－P→C，∴P，A，B， C 共面.故 B 正确； C 选项，O→P＝34O→A＋18O→B＋18O→C＝34O→A＋18(O→A＋A→B)＋18(O→A＋A→C)＝O→A＋ 18A→B＋18A→C.
＝(1－k)a＋kb，
∴M→N＝A→N－A→M＝(1－k)a＋kb－kb－kc
＝(1－k)a－kc，
根据共面向量定理，∴M→N，A→B，A→A1共面，
∵MN不在平面ABB1A1内， ∴MN∥平面ABB1A1.
三、空间四点共面的条件
问题 2 对于不共线的三点 A，B，C 和平面 ABC 外的一点 O，空间一 点 P 满足关系式O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，则点 P 在平面 ABC 内的充要 条件是什么？
内容索引
一、共面向量 二、共面向量定理 三、空间四量
问题1 如图，在长方体中，向量a，b，p与平面ABCD有怎样的位置关系？ 提示 向量a，b与平面ABCD平行，向量p在平面ABCD内.
知识梳理
能平移到 同一平面 内的向量叫作共面向量. 注意点： (1)共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面 的向量. (2)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.
高二数学 教案 3.1.1 共面向量定理_苏教版_选修2-1
§3.1.2 共面向量定理编写：陶美霞审核：赵太田一、知识要点1.共面向量定义：2.共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在有序实数组(,)x y ，使得p xa yb =+。
二、典型例题例 1.如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面相交于AD ，点,M N 分别在对角线,BD AE 上，且11,33BM BD AN AE ==，求证：MN CDE ∥平面。
例2.设空间任意一点O 和不共线三点,,A B C ，若点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++ (其中1x y z ++=)。
试问：,,,P A B C 四点是否共面？思考：由()x y z OP xOA yOB zOC ++=++ ，你能得到什么结论？例3.已知四棱锥__P ABCD 的底面是平行四边形，M 是PC 的中点，求证：PA BMD ∥面。
三、巩固练习1.在四面体PABC 中，点,M N 分别为,PA PB 的中点，问：MN 与BC ，AC 是否共面？2.已知空间向量,,,a b c p ，若存在实数组1,11(,)x y z 和222(,,)x y z 满足111p x a y b z c =++，222p x a y b z c =++，且12x x ≠，试证明向量,,a b c 共面。
3.已知P 是ABCD 所在平面外一点，连,,,PA PB PC PD ，点E F G H 、、、分别是PAB ∆，,,PBC PCD PDA ∆∆∆的重心，求证：⑴E F G H 、、、共面；⑵EFGH ABCD 面∥面。
四、小结高二数学选修2-1教学案27FMNEAB DC五、课后作业1. ,a b 不共线时，a b +与a b -的关系是 ； A.共面B.不共面C.共线D.无法确定2.已知正方体__1111ABCD A B C D 的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有 (写出序号)①OA OD +与11OB OC +是一对相反向量；②OB OC -与11OA OD -是一对相反向量； ③OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量； ④1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量。
高二下学期数学苏教A版选择性必修第二册6.1.3共面向量定理课件
活动二 理解共线向量与共面向量的概念 例 1 下列说法中，正确的是( ) A. 平面内的任意两个向量都共线 B. 空间的任意三个向量都不共面 C. 空间的任意两个向量都共面 D. 空间的任意三个向量都共面 【解析】 共线向量的方向相同或相反，故 A 不正确；空间的任意三个向量都不共 面，显然不正确，例如一个零向量，两个非零向量，即是共面向量，故 B 不正确；空间 任意两个向量共面，故 C 正确；利用正方体中从一个顶点出发的三条棱，不是共面向量， 故 D 不正确．
所以M→B＝13D→B＝13D→A＋13A→B，
同理A→N＝13A→D＋13D→E，
所以M→N＝M→B＋B→A＋A→N
＝13D→A＋13A→B＋B→A＋13A→D＋13D→E
解析
＝23B→A＋13D→E＝23C→D＋13D→E. 又C→D与D→E不共线，根据共面向量定理，可知M→N，C→D，D→E共面． 因为 MN 不在平面 CDE 内， 所以 MN∥平面 CDE.
6．1 空间向量及其运算 6．1.3 共面向量定理
目 录
Contents
学习目标 活动方案 检测反馈
学习目标
1. 了解共面向量的定义，理解共面向量定理． 2. 利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．
活动方案
活动一 空间共面向量的定义及共面向量定理 1. 知识回顾 (1) 平面向量中共线向量的定义及判定： 【解析】 设 a 为非零向量，如果有一个实数 λ，使 b＝λa，那么 b 与 a 是共线向量； 反之，如果 b 与 a 是共线向量，那么有且只有一个实数 λ，使 b＝λa. (2) 空间向量中共线向量的定义及判定方法： 【解析】 略
【解析】 (1) O→G＝O→A＋A→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23×12(A→B＋A→C) ＝O→A＋13[(O→B－O→A)＋(O→C－O→A)]＝13(O→A＋O→B＋O→C)． (2) O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，x，y，z∈R，点 P 在△ABC 的内部(不包括边界)的充 要条件是 x＋y＋z＝1，且 0<x<1, 0<y<1, 0<z<1.
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（1）
B
C
（2）
课 题：共面向量定理
江苏省泰州中学 宋健 教学目标：
知识与技能：了解共面向量的含义，理解共面向量定理；
利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；
过程与方法：运用类比的方法，自主探究向量共面的条件,并能灵活运用；
情感态度与价值观：体会类比，化归的思想方法；领悟数学研究方法的模式化特点，感受理
性思维的力量。
教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理
教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题 教学过程： 一。
问题情景
1、关于空间向量线性运算的理解
问题：如图（1），MN 可以由哪些向量相加得到？图（2）中呢？
平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。
从平面到空间，类比是常用的推理方法。
二、建构数学 师生共同活动
如图：在长方体中，由相等向量的定义可知a AB,b AD,p AC ===，而AB AC AD 、、在同一平面内，此时我们称a b p 、、是共面向量。
1.共面向量的定义
一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量（coplanar vector ）； 类比1：共面向量与共线向量的定义在形式上有何相同之处?
都是将向量问题转化为直线与直线或直线与平面之间的位置关系来研究.
探究1：(1)我们已经知道空间中任意两个向量一定可以共面，那么空间中任意三个向量一定
是共面向量吗？请举例说明．
a b
p
结论：空间中的任意三个向量不一定是共面向量．
例如：对于四面体ABCD ，AB 、AC 、AD 这三个向量就不是共面向量．
(2)空间三个向量p ,b a ,具备怎样的条件时才是共面向量呢？ 2.共面向量的判定
联想：在平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是
λ=，类比到空间向量，探究得到
共面向量定理 如果两个向量,不共线，那么向量与向量,共面的充要条件是存在有
序实数组),(y x ，使得p xa yb =+
这就是说，向量可以由不共线的两个向量b a ,
分析定理
类比2:空间共线向量定理和平面共线定理是相同的,那么,空间共面向量定理是否和平面向量的某个定理相联系呢?
空间向量中的共面定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的,而且在本质上也是一致的.这是因为任意两个空间向量b a ,都可以平移到同一个平面,当b a ,不共线时,可以作为基向量,向量与它们共面,也就是向量可以平移到这个平面,所以就能用b a ,线性表示. 三、数学运用 问题:如图，已知两堵矩形墙壁ABCD 和ADEF 所在平面垂直于地面，有两只蚂蚁分别从D 、E 两点沿对角线BD,AE 向上爬，当它们都爬到对角线的1
3
处时，它们惊奇的发现它们距离地面CDE 的高度一样，你能告诉它们这是为什么吗？
分析：即要证MN//平面CDE ，只要证明向量MN 可以用平面CDE 内的两个不共线的向量CD
和DE 线性表示.
证明：因为M 在BD 上，且BM=
13
BD 所以111MB DB DA AB 333
==+ 同理11AN AD DE 33
=
+ N
N
F
E
D
A
M
C
B
又CD BA AB ==-
所以++==3
132+ 又与不共线
根据共面向量定理，可知,,共面。
由于MN 不在平面CDE 中，所以MN//平面CDE.
思考：你能用综合法来证明吗？试比较这两种方法的差异。
探究:对于空间任意一点O,试问满足向量关系OP xOA yOB =+（其中x+y=1）的三点P 、A 、B 是否共线?
类比3:设空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系
z y x ++=（其中x+y+z=1）
试问：P 、A 、B 、C 四点是否共面？
分析：要判断P 、A 、B 、C 四点是否共面，可考察三个共起点的向量,,是否共面。
解：由x+y+z=1( 不妨设x ≠0),可得x=1-y-z,则
OP xOA yOB zOC (1y z)OA yOB zOC OA y (OB OA)z (OC OA)
=++=--++=+-+-
所以 OP OA yAB zAC -=+，即z y +=
由 A,B,C 三点不共线，可知与AC 不共线，所以,,AC 共面且具有公共起点A. 从而P,A,B,C 四点共面。
思考：①为什么要不妨设x ≠0？
②反过来成立吗？
设空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若P 、A 、B 、C 四点共面，且点P 满足向量关系z y x ++=，则x+y+z=1一定成立吗？
③如果将x+y+z=1整体代入，由(x y z)OP xOA yOB zOC ++=++出发，你能得到什么结论？
四、回顾反思（学生回答） 1、知识点：共面向量定理；
2、我们能用共面向量定理解决哪些常用问题呢？
3、思想方法：类比方法的运用。
五、课后作业
P74 1,2,3，4 P82 习题3，4。