2018-2019学年河南省洛阳市高二第二学期期中考试数学(理)试题(扫描版)
2018-2019学年河南省洛阳市高二下学期期中考试数学(理)试题
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河南省洛阳市2018-2019学年高二下学期5月质量检测 数学(理)【含答案】
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分，共 20 分。
13.1999 年 10 月 1 日，在中华人民共和国建国 50 周年之际，中国人民银行陆续发行了第五
套人民币（1999 年版），第五套人民币纸币共有 1 元、5 元、10 元、20 元、50 元、100 元 6
种面额，现有这 6 种面额纸币各一张，一共可以组成 种币值.（用数字作答）
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C.至少有一个不大于 2 D.都大于 2
4.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题今有白米一百八十石，令三
人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干? ”其意思为：“今有白米一
百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十
六石，那么三人各分得多少白米?”请问甲应该分得白米为
a cos B (b 2c) cos A, AD 1.
(1)求 A; (2)求△ABC 面积的最大值. 18.(本小题满分 12 分）
设 Sn 为正项数列{ an }的前 n 项和，且满足 an2 2an 4Sn 3 . (1)求{ an }的通项公式；
2018-2019学年洛阳市第一学期期末考试高二理科数学试卷及答案
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河南省洛阳市2018-2019学年第一学期期末考试高二数学试卷(理)(解析版)
河南省洛阳市2018-2019学年第一学期期末考试高二数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线的焦点到准线的距离是A. 4B. 2C.D.【答案】C【解析】解：抛物线，即的焦点到准线的距离为：．故选：C．直接利用抛物线方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．2.命题“若a，b都是奇数，则是偶数”的逆否命题是A. 若a，b都不是奇数，则是偶数B. 若是偶数，则a，b都是奇数C. 若不是偶数，则a，b都不是奇数D. 若不是偶数，则a，b不都是奇数【答案】D【解析】解：根据逆否命题的定义可知：命题的逆否命题为：若不是偶数，则a，b不都是奇数．故选：D．根据逆否命题的定义即可得到结论．本题主要考查四种命题之间的关系，比较基础．3.已知空间向量1，，0，，则“”是“向量与的夹角是”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：空间向量1，，0，，则，，，，，解得，故“”是“向量与的夹角是”的充分不必要条件，故选：A．根据空间两向量的夹角大小求出x的值，再根据充分必要条件的定义即可判断．本题考查了求空间两向量的夹角大小的应用问题和充分必要条件的判断，是基础题目．4.等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则的公比q等于A. 1B. 2C.D.【答案】D【解析】解：，，成等差数列，可得，即为，即有，化为，解得舍去，故选：D．由等差数列的中项性质可得，再由等比数列的通项公式解方程可得q．本题考查等差数列中项的性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上一点P满足，则的面积为A. B. 9 C. 18 D. 16【答案】A【解析】解：由题意可得，，由余弦定理可得，．．故选：A．由题意可得，，余弦定理可得，由，即可求得的面积本题主要考察了双曲线的简单性质，属于基础题．6.已知数列，令，若，则n的最小值为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】解：数列，令，由于，则：，故：，当时，故选：A．直接利用数列的通项公式和赋值法求出结果．本题考查的知识要点：数列的相消法求出和的关系式，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】解：，，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，可得：，舍去，或，，．故选：A．由正弦定理，余弦定理化简已知等式可得，解得，结合范围，可求B的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.已知点满足，目标函数仅在点处取得最小值，则a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：作出不等式对应的平面区域，可行域为，由可得，直线的斜率，若目标函数仅在点处取得最小值，则有即，即实数a的取值范围是故选：B．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法根据条件目标函数仅在点处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键9.给出如下四个命题：命题p：，，则￢：，；四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是；函数的最小值是2；在中，是的充要条件．其中假命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】解：，命题p：，，则￢：，，故正确；，四个实数a，b，c，d依次成等比数列可得，但，推不到a，b，c，d成等比数列，故正确；，函数，可令，由在递增，可得函数y的最小值是，故错误；，在中，，即，即，故错误．故选：C．由特称命题的否定为全称命题，可判断；由等比数列的性质和充分必要条件的定义，可判断；由对勾函数的单调性可判断；由三角形的边角关系和正弦定理，结合二倍角的余弦公式，可判断．本题考查命题的否定和充分必要条件的判断、函数的单调性和解三角形，考查判断能力和推理能力，属于中档题．10.已知双曲线C：，过左焦点的直线切圆于点P，交双曲线C右支于点Q，若，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：过双曲线C：，左焦点F引圆的切线，切点为P，丨OP丨，设双曲线的右焦点为，为线段FQ的中点，，，由双曲线的定义知：，．双曲线C：的渐近线方程为，即，．故选：B．由已知可得：丨OP丨，设双曲线的右焦点为，由P为线段FQ的中点，知，，由双曲线的定义知：，由此能求出双曲线C：的渐近线方程．本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化，属于中档题．11.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，当鳖臑体积最大时，直线与平面所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在堑堵中，，，，当鳖臑体积最大时，，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，1，，0，，0，，1，，，，0，，设平面的法向量y，，则，取，得1，，设直线与平面所成角为，则，．直线与平面所成角的余弦值为．故选：A．当鳖臑体积最大时，，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线与平面所成角的余弦值．本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．12.过原点的一条直线与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图，设椭圆的另一焦点为，连接，，，则四边形为矩形，，，，，，。
河南省洛阳市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)
2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（b+c）（b-c）=a（b-a），则内角C等于（）A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若A：B：C=1：1：4，则ba+c等于（）A. 15B. 12C. √3−12D. 3−√323.已知a，b∈R，定义区间[a，b]的长度为b-a，若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则实数m的取值为（）A. −14B. 14C. −1D. 14.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R），若{a n}为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A. A(−∞,3)B. (−∞,2)C. (−∞,1)D. (−∞,0)5.等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A. S4+S8=S12B. S82=S4⋅S12C. S4+S8−S12=S82D. S42+S82=S4(S8+S12)6.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若c=5，b=3√2，cos B=√75，则△ABC 的面积为（）A. 72B. 3√142C. 15√212D. 10√77.下列四个结论：①若a＞b＞0，且c＜0，则ca ＞cb；②√7+√10＞√3+√14；③lg9•lg11＜1；④若1≤x+y≤2，2≤x-y≤4，则4x-2y的取值范围是[6，15]．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.若实数x，y满足{2x+y−2≥0x−2y+4≥03x−y−3≤0，则（x-3）2+y2的最小值为（）A. 165B. 185C. 4D. 139.在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则AB的长为（）A. 1B. √3C. √4−√3D. √4+√310.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a7+a11=20，公差d为整数，对任意n∈N*都有S n≥S5，则使S n＞0成立的最小正整数n等于（）A. 5B. 6C. 10D. 1111.关于x的不等式x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,−3]∪[7,+∞)B. (−∞,−2]∪[6,+∞)C. [0,4]D. (−∞,0]∪[4,+∞)12.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若B是A与C的等差中项，b=√3，则a+2c的最大值为（）A. 4B. 5C. 3√3D. 2√7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，若sin A+cos A=a+b，则△ABC的形c状是______．14.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为______元．15.将正整数按如图规律排列：第i行第j列的数字记为a ij，若a ij=2018，则i+j=______．16.已知正数x，y满足x+y+2xy-4=0，则x+y的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式：ax2-（a2+1）x+a＞0，（-1＜a＜1）．18.在△ABC中，D为AC上一点，且DC=2AD，AB=√3，AD=1，∠ABD=π，∠A为锐角．6（1）求△ABC面积；（2）求BC的长．19. 设数列{a n }的各项为正数，前n 项和为S n ，若对于任意的正整数n 都有√S n =a n +12．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n •2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20. 某家用轿车的购车费9.5万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元，每年行车里程按1万公里，前5年性能稳定，每年的油费5000元，由于磨损，从第6年开始，每年的油费以500元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年报废比较合算？21. △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点，AB =2，CD =√3．（1）求角C 的最大值； （2）求a +b 的取值范围． 22. 数列{a n }的首项a 1=13，且，a n a n +1-2a n +1+a n =0．（1）求证：数列{1−a n a n }为等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）设b n =2n （2a n +1-a n ），T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由（b+c）（b-c）=a（b-a）得：a2+b2-c2=ab，即=，∴cosC=，∴C=，故选：B．将已知等式变形后，用余弦定理可得cosC和C．本题考查了余弦定理．属基础题．2.【答案】C【解析】解：△ABC中，A+B+C=π，A：B：C=1：1：4，∴A=B=，C=，由正弦定理可得：===．故选：C．通过三角形的角的比求出三个角的大小，利用正弦定理求出即可．本题考查正弦定理以及三角形的内角和的应用，属于基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则m＜0，设方程mx2+2x+3=0的解是x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，∵|x1-x2|=4，∴=4，∴-=16，解得：m=（舍）或m=-1，故选：C．根据韦达定理以及解集长度为4得到关于m的方程，解出即可．本题考查了不等式问题，考查韦达定理以及转化思想，是一道常规题．4.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R）数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n=（n+1）2-λ（n+1）-（n2-λn）=2n+1-λ＞0恒成立∵2n+1-λ的最小值是2×1+1-λ=3-λ＞0∴λ＜3即实数λ的取值范围是（-∞，3）．故选：A．由已知条件推导出a n+1-a n=2n+1-λ＞0恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用．5.【答案】D【解析】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，设首相为a，公比为q，当q=1时，S4=4a，S8=8a，S12=12a，则A正确，B不正确，C不正确，D正确，当q≠1时，S4==（1-q4），S8=（1-q8），S12=（1-q12），若S4+S8=（1-q8+1-q4）=S12=（1-q12），解得q=±1，故A不一定成立，故选：D．根据等比数列的求和公式，即可利用排除法判断即可．本题考查了等比数列的求和公式，考查了运算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：∵c=5，b=3，cosB=，可得：sinB==，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：18=a2+25-2×a×5×，解得：a=，∴S△ABC=acsinB==．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用余弦定理可求a的值，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：对于①，∵a＞b＞0，c＜0，∴-=＞0，即＞，所以①正确；对于②，＞⇔17+2＞17+2⇔70＞42，所以②正确；对于③，∵lg9+lg11＞2，∴lg9•lg11＜（）2=（）2＜（）2=1，所以③正确；对于④，令x+y=a，x-y=b，则x=，y=，∴4x-2y=2a+2b=a+3b，∵1≤a≤2，2≤b≤4，∴7≤a+3b≤14，即4x-2y的取值范围是[7，14]，所以④不正确．故选：C．对每个结论逐个分析，可知①②③正确，④错误．故选C本题考查了不等式的基本性质．属基础题．8.【答案】B【解析】解：设z=（x-3）2+y2，则z的几何意义为点（x，y）得定点D（3，0）的距离的平方，出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知BD的距离最大，点D到直线3x-y-3=0的距离最小，此时d==，则z=d2=，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及点到直线的距离公式是解决本题的关键，注意使用数形结合．9.【答案】C【解析】解：如图所示：在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则：△BCD为直角三角形，故：CD=BC=1，利用勾股定理得：BD=．在△ADC中，由于∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，解得：∠DAC=30°．故：AD=DC=1．在△ABD中，利用余弦定理得：AB2=AD2+BD2-2•AD•BD•cos∠ADB，=1+2-2，=3-=4-，故：AB=．故选：C．首先利用三角形的内角和定理求出△BCD为直角三角形，将进一步求出AD=BC=1，进一步利用余弦定理求出结果．本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用，余弦定理的应用和三角函数值得应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】D【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，a7+a11=20，则2a1+16d=20，即a1=10-8d，对任意n∈N*都有S n≥S5，则有a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得：≤d≤，又由公差d为整数，则d=3，则a1=10-8d=-14，则a n=a1+（n-1）d=3n-17，若S n＞0，则有S n==×n＞0，解可得n＞或n＜0，又由n∈N*，则n≥11；即使S n＞0成立的最小正整数n的值为11；故选：D．根据题意，由等差数列的通项公式可得若a7+a11=20，则有2a1+16d=20，即a1=10-8d，又由S n≥S5，分析可得a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得d的值，进而可得首项a1的值，由等差数列的通项公式可得a n=a1+（n-1）d=3n-17，由等差数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式的应用，关键是求出公差d的值，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有1个零点，则有f（0）f（1）≤0，即（a+3）（7-a）≤0，解可得：a≤-3或a≥7；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有2个零点，则有，此时无解；综合可得：a≤-3或a≥7；即实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[7，+∞）；故选：A．根据题意，原问题可以转化为函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；分有1个零点与2个零点2种情况讨论a的取值范围，综合即可得答案．本题考查不等式的解法与应用问题，注意将原问题转化为函数的零点问题，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：∵2B=A+C，A+B+C=π，得B=，b=，∴由正弦定理得：==2，∴a=2sinA，c=2sinC，则a+2c=2sinA+4sinC=2sinA+4sin（-A）=2（2sinA+cosA）=2sin（A+φ），（其中tanφ=，φ∈（0，），∴当A=-φ时，a+2c的最大值是2．故选：D．先求得B，由正弦定理得出a=2sinA，c=2sinC，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可．本题主要考查正弦定理的应用，考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用为解题关键，属于中档题．13.【答案】直角三角形【解析】解：∵sinA+cosA=，可得：csinA+ccosA=a+b，∴由正弦定理可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinB，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinAcosC+cosAsinC，∴sinCsinA=sinA+sinAcosC，∵sinA≠0，∴sinC=1+cosC，即：sinC-cosC=1，两边平方可得：1-sin2C=1，可得：sin2C=0，∵C∈（0，π），2C∈（0，2π），∴2C=π，可得C=，即△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinCsinA=sinA+sinAcosC，由于sinA≠0，可得sin2C=0，结合范围2C∈（0，2π），可求C=即可得解△ABC的形状．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】216000【解析】【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键；设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元，由题意，得，z=2100x+900y，不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得，A（60，100），目标函数z=2100x+900y，经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元，故答案为216000．15.【答案】66【解析】解：由排列的规律可得，第n行结束的时候共排了1+2+3+…+n=n（n+1）个数，∴前63行共有×63×64=2016个数，故若a ij=2018，则i=64，j=2，故i+j=66，故答案为：66．先找到数的分布规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，即可求得结论．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16.【答案】2【解析】解：∵x+y≥2，∴0=x+y+2xy-4≤x+y+2×（）2-4．令t=x+y，整理可得，t2+2t-8≥0，∴（t-2）（t+4）≥0∵t＞0∴t≥2，即x+y≥2，当且仅当x=y=1时，取得最小值2．故答案为：2利用x+y≥2进行代换、得出关于x+y的不等式，通过解不等式可确定最值．本题考查基本不等式的应用，考查了转化、换元的思想，不等式解法．17.【答案】解：根据题意，分2种情况讨论：①，当a=0时，不等式为-x＞0，即x＜0，不等式的解集为{x|x＜0}；②，当a≠0时，若ax2-（a2+1）x+a=（x-a）（ax-1）=0，该方程有2个根，x1=1a，x2=a，当0＜a＜1时，1a ＞a，则不等式的解集为{x|x＜a或x＞1a}，当-1＜a＜0时，1a ＜a，则不等式的解集为{x|1a＜x＜a}，综合可得：当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1a}，当a=0时，不等式的解集为{x|x＜0}；当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|1a＜x＜a}，【解析】根据题意，分a=0与a≠02种情况讨论，分别求出不等式的解集，综合即可得答案．本题考查一元二次不等式的解法，涉及参数讨论，注意结合二次函数的性质进行分析．18.【答案】解：（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB=ABsin∠ABDAD =√3×sinπ61=√32，∠ADB为三角形的内角．∴∠ADB=π3或2π3，又∠A为锐角，∴∠ADB=2π3，∴∠A=π-π6-2π3=π6．（2）△ABC中，由余弦定理可得：BC2=(√3)2+32-2×√3×3cosπ6=3．∴BC=√3．【解析】（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB=，根据∠ADB为三角形的内角，∠A为锐角，可得∠ADB，进而得出∠A．（2）△ABC中，由余弦定理可得BC．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）数列{a n}的各项为正数，前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有√S n=a n+12．则：4S n=(a n+1)2①，当n=1时，解得：a1=1，则：4S n+1=(a n+1+1)2②①-②得：（a n +1+a n ）（a n +1-a n -2）=0， 由于：数列{a n }的各项为正数， 故：a n +1-a n =2（常数），所以：数列{a n }是以a 1=1为首项，2为公差的等差数列． 故：a n =2+2（n -1）=2n -1． （2）由于a n =2n -1，所以：b n =(2n −1)⋅22n−1，所以T n =1⋅21+3⋅23+5⋅25+⋯+(2n −1)⋅22n−1①， 4T n =1⋅23+3⋅25+5⋅27+⋯+(2n −1)⋅22n+1② ①-②得：T n =(6n−59)⋅22n+1+109．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式． （2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 20.【答案】解：设这种车开x 年报废比较合算，当x ≥6时，总费用为：y =95000+4000x +5000x +500[1+2+3+…+（x -5）] =95000+4000x +5000x +250（x -4）（x -5） =2500x 2+6750x +100000， 平均费用：yx=250x +10000x+6750≥2√250x ⋅100000x+6750=16750，当250x =100000x，即x =20时，取最小值．当x ≤5时，平均费用：y x ≥950005+9000＞16750．∴这种车开20年，平均使用费用最底，故这种车开20年报废比较合算． 【解析】设这种车开x 年报废比较合算，当x≥6时，总费用为y=2500x 2+6750x+100000，平均费用：=250x++6750≥2+6750=16750，当250x=，即x=20时，取最小值．当x≤5时，平均费用：≥，由此得到这种车开20年报废比较合算．本题考查函数在生产生活中的应用，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 21.【答案】解：（1）在△ADC 中，由余弦定理得：b 2=AD 2+CD 2-2AD •CD •cos ∠ADC =4-2√3cos ∠ADC ，在△BDC 中，由余弦定理得：a 2=BD 2+CD 2-2BD •CD cos ∠BDC =4-2√3cos ∠BDC ，∵∠ADC +∠BDC =π，∴cos ∠ADC +cos ∠BDC =0， ∴a 2+b 2=8， ∴cos C =a 2+b 2−c 22ab ≥a 2+b 2−c 2a 2+b2=8−48=12， ∵0＜C ＜π，y =cos x 在（0，π）上单调递减， 所以角C 的最大值为π3（2）∵CD ＜a ＜CD +AD ，∴√3-1＜a ＜√3+1，∴4-2√3＜a 2＜4+2√3，由（1）知a 2+b 2=8，得b =√8−a 2， ∴a +b =a +√8−a 2，（a +b ）2=8+2a √8−a 2=8+2√−(a 2−4)2+16， ∵-2√3＜a 2-4＜2√3，∴12＜（a +b ）2≤16， ∴2√3＜a +b ≤4， 【解析】（1）分别在△ADC 和△BDC 中用余弦定理，得到a 2+b 2=8，在用cosC 的余弦定理进行放缩，可得；（2）利用（1）问中a 2+b 2=8以及CD ＜a ＜CD+AD ，-1＜a ＜+1，得到a+b=a+，然后求出取值范围．本题考查了余弦定理．属中档题．22.【答案】证明：（1）数列{a n }的首项a 1=13，且a n a n +1-2a n +1+a n =0．则：a n+1=an2−a n ，故：1−a n+1a n+1=1−an2−a na n 2−a n=2⋅1−a n a n ，所以：数列{1−a n a n}是以1−a 1a 1=2为首项，2为公比的等比数列．故：1−a n a n=2⋅2n−1=2n ，整理得：a n =12n +1（首项符合通项）， 故：a n =12n +1．（2）由（1）得：b n =2n（2a n +1-a n ）=2n(2n +1)(2n+1+1)=12n +1−12n+1+1，则：T n=121+1−122+1+122+1−123+1+…+12n+1−12n+1+1=1 21+1−12n+1+1＜13，故：T n＜13．【解析】（1）直接利用递推关系式和构造新数列求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。
河南省洛阳市2018-2019学年高二上期中考试数学试卷(含答案)
洛阳市2018—-2019学年第一学期期中考试高二数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x|62--x x ＜0}，B={x|822-+x x ＞0}，则A∪B =A.{x |2＜x＜3}B.{x |-2＜x＜3}C.{x |x＞-4或x＞2}D.{x |x＜-4或x＞-2}2.在△ABC 中，Cc B b A a cos cos cos ==,则△ABC 一定是A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形3.若a，b，c ∈R，且a＞b ，则下列不等式一定成立的是A.2cb a -＞0 B.2)(c b a -＞0 C.ac＞bc D.a+c≥b-c 4.在等比数列{a n }中，a n ＞0，已知a 1=6,a 2+a 2+a 3=78,则a 2=A.12B.18C.24D.365.设正实数a，b 满足2a+3b=1,则ba 32+的最小值是 A.25 B.24 C.22 D.166.海中有一小岛，海轮由西向东航行，望见这岛在北偏东75°,航行8n mile 以后，望见这岛在北偏东60°，海轮不改变航向继续前进，直到望见小岛在正北方向停下来做测量工作，还需航行（）n mile.A.8 B.4 C.34 D.3347.设等差数列{a n }的公差d≠0,且a 2=-d，若a 6=a k-6等比中项，则是A.5B.6C.9D.368.若函数12)(12-=++ax x x f 的定义域是R,则实数a 的取值范围是A.(-2，2) B.(一∞，一2)∪(2，+∞)C.（一∞,-2]∪[2，+∞)a [-2，2]。
河南省洛阳市2018-2019学年高二下学期5月质量检测数学(文)Word版
洛阳市2018—2019学年高二质量检测数学试卷（文)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第I 卷1至3页，第Ⅱ卷3 4页.共150分.考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回.一、选择题:本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A = {0＜21-|R 2x x x -∈},B= {0>|R 2x x ∈}，则 A∩B 等于 A. (2,4)B. (-3,4)C.(-3,-2)∪(2,4)D.(-∞,+∞)2.已知i 为虚数单位，则复数i215+等于 A.i 5251- B. i 255+C.i 21- D.13. 已知R c b a ∈,,，命题“若a>b,则22bc >ac ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为A.0B. 1C.2D.34. 已知两个变量取值的2X2列联表如下：由2 X 2列联表计算可得K2的观测值约为4.762,有下列说法： ①有超过95%的把握认为x 与y 是有关的；②能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X 与Y 是有关的;③有超过90%的把握认为X 与Y 是有关的；④能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为X 与Y 是有关的. 其中正确的说法的个数为 A.0 B. 1 C.2 D.3 5.设 ),,(1,1,1+∈+=+=+=Z z y x xz c z y b y x a ，则c b a ,,中 A.至少有一个不小于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.都大于26. 为研究某种病菌在特定条件下随时间变化的繁殖规律，通过观察记录得到如下的统计数据：若线性回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则可预测当8=x 时，繁殖个数为 参考公式及数据：A.6.5B.6.55C.7D.87. 已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若1231,13S S a ==，则8a 的值为A. 713- B.0 C. 713D.1828.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00402y y x y x ，则22+-y x 的最大值为A. -5B. 0C.2D.49.过抛物线0)>(22p py x =的焦点F 作倾斜角为6π的直线交抛物线于A ，B 两点，若1||1||1=-BF AF ，则实数p 的值为 A.21B. 1C.3D.210. 若函数2ln )(ax x x f -=在区间（1，2)内单调递增，则实数a 的取值范围是 A.(-∞,81] B. (-∞, 81) C.[81，21] D.（81，21）11.已知点A ，B 是曲线1422=+y x 上两点，且0A 丄OB(0为坐标原点)，则=+22||1||1OB OAA.43 B. 1 C.45 D.5 12.已知函数⎩⎨⎧-≤-=0>,422012mxe )(x x x x x f ，若不等式0)(≥+m x f 对任意实数x 恒成立，其中0>m .则A. m 的最小值为2-e e B. m 的最大值为2-e eC.m 的最小值为2D.m 的最大值为2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分，共20分。
2018-2019学年高二上学期第二次阶段考试数学(理)试题
一、选择题1.设集合[]{}2=12230M N x Z x x M N =∈--<⋂=，，，则( ) A ．[1，2] B ．(－1，3) C ．{1} D ．{l ，2}2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 3.“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.程序框图如右图所示，当12=13A 时，输出的k 的值为（ ）A. 11B. 12C. 13D. 145.在ABC ∆中，若2sin cos sin()B A A B =+，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形6.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ） A ．5 BC．547.在等差数列{}n a 中，0>n a ，且408321=++++a a a a ，则54a a ⋅的最大值是( ) A.5 B.10 C.25 D.508.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾,，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈=10 尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ） A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 9.已知椭圆的左焦点为1F ，有一小球A 从1F 处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，方向相反，小球半径忽略不计），若小球第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ） A.13C. 35D. 23 10.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点 中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ） AC．．11.关于x 的不等式0ax b +>的解集为(),1-∞， 则关于x 的不等式02bx ax ->+的解集为 （ ） A ．()2,1- B ．()(),21,-∞--+∞ C.()2,1--D ．()(),21,-∞-+∞12.在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e =（ ） A ．38 B.12 C.58 D.78二、填空题13.某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x 、y 满足2526x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，则该学校今年计划招聘教师 最多_______人．14.已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于 ．15.已知命题p ：[2,3]x ∀∈，20x a -≥；q ：x R ∃∈，2220x ax a ++-=．若p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围为 ．16.如图在平面四边形ABCD 中，45,60,150,24A B D AB BC ∠=︒∠=︒∠=︒==， 则四边形ABCD 的面积为 ．三、解答题17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足38a =，416a =，1n n b a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n S 为数列{}n b 的前n 项和，试判断n ，n b ，n S 是否成等差数列； (3)记1+=n n nn b b a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为直角梯形，//,AB DC AB AD ⊥, 且11,2AD CD AA AB ====,侧棱1A A ⊥底面ABCD ，E 为棱1AA 的中点. (1)证明：11B C CE ⊥； (2)求点C 到平面11B C E 的距离.DCB19.（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.0.420.50（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数.20.（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且椭圆的右顶点为(2,0)，离心率为12e=﹒(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB分别交直线4x=于点D，E．试探究D，E两点纵坐标的乘积是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数2()2x x af x b+=+．（1）当4a =，2b =-时，求满足()2x f x =的x 的值； （2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数．①存在[1,1]t ∈-，使得不等式22()(2)f t t f t k -<-有解，求实数k 的取值范围；②若函数()g x 满足[]()()222xxf xg x -⋅+=-，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式(2)()10g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值．22．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲. 已知函数(),0.f x x m m =-<(1)当1m =-时，解不等式()()2f x f x x +-≥-；(2)若不等式()(2)1f x f x +<的解集非空，求m 的取值范围.高二理科数学第一学期二阶考试参考答案：一、选择题 二、填空题13.10 14.8 15.]4,1[]2 , ( --∞ 16．6三、解答题17.解：(1)设等比数列的公比为q ，则2131816a q a q ⎧=⎨=⎩ ………………1分 则122a q =⎧⎨=⎩……………………3分 数列{}n a 的通项公式为2nn a =. ………4分(2)由于12-=nn b 则22212211--=---=++n n S n n n ………6分此时n n n n b n n n S 2222211=-=--+=+++ ………7分 则n ，n b ，n S 成等差数列………8分(3)由于121121)12)(12()12()12()12)(12(211111---=-----=--==+++++n n n n n n n n n n n n n b b a c ………10分 从而)121121()121121()121121()121121(1433221---++---+---+---=+n n n T ………11分12221211111--=--=+++n n n ． ………12分 18.【解析】（1）由题易知侧棱1CC ⊥平面1111A B C D ，11B C ⊂平面1111A B C D ，111CC B C ∴⊥. （1分）1AD CD ==，12AA AB ==，且E 为棱1AA 的中点，1111B E BC EC ∴===（3分） 则2221111B E B C EC =+，1190,BC E ∴∠=即111B C C E ⊥.（4分） 又11,CC C E ⊂平面1CC E ，111CC C E C =，11B C ∴⊥平面1CC E .（5分）又CE ⊂平面1CC E ，11BC CE ∴⊥.（6分）（2）解法一：由（1）知，111111122B C E S B C EC ∆=⋅=， 1111113B CC E CC E V B C S -∆=⋅. （7分） 取1CC 的中点M ，连接EM ，设点C 到平面11B C E 的距离为d .11,CE C E EM CC =∴⊥， （8分）1111112222CC ES CC EM CC ∆∴=⋅==⨯=1112,33B CC E V -∴== （9分）11111.3C B C E B C E V d S -∆=⋅= （10分）由1111C B C E B CC E V V --=23=，解得d =∴点C 到平面11B C E （12分）解法二：由（1）知11B C ⊥平面1CC E 及11B C ⊂平面11B C E ，∴平面11B C E ⊥平面1CC E .在平面1CC E 内作1CH EC ⊥交1EC 于H ，则CH ⊥平面11B C E ， 即CH 之长为点C 到平面11B C E 的距离. （8分） 取1CC 的中点M ，连接EM ，由1CE C E =，知1EM CC ⊥，EM ∴===（9分）由等面积法，得11EM CC CH EC ⋅===，∴点C 到平面11B C E（12分）19.解：（1）由频率分布直方图，可知：月用水量在[]0,05.的频率为0.080.5=0.04.⨯………2分同理，在[)(][)[)[)[)0.5,1 1.5,222.53,3.5 3.5,44,4.5，，，，，，等组的频率分别为 0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.………4分由()10.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.020=0.5+0.5a a -⨯⨯，解得0.30.a =………5分（2）由（1）得，100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12 (6)分由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为3000000.13=36000.⨯………8分（3）设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.040.080.15+0.21+0.250.730.5++=>，而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<，所以2 2.5.x <…………9分由()0.5020.50.48x ⨯-=-，解得 2.04.x =………11分 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.………12分20.解：（1）设椭圆E 的方程为222210)x ya b a b +=>>（,由已知得：212a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩ ………1分21a c =⎧∴⎨=⎩………2分 2223b ac ∴=-=………3分 ∴椭圆E 的方程为22143x y += …………4分 （2）由（1）可知A （﹣2，0），B （2，0）， …………5分 设P （x 0，y 0），则直线PA 的方程为y=（x +2）①， …………6分直线PB 的方程为y=（x ﹣2）②． …………7分将x=4代入①②，可得y D =，y E =， …………8分∴y D •y E =•=，…………10分 ∵P （x 0，y 0）在椭圆上，∴=﹣（﹣4），…………11分∴y D •y E ==﹣9 ∴D ，E 两点纵坐标的乘积是定值﹣9．…………12分21.解：（1）因为4a =，2b =-，所以24222x x x+=-，化简得2(2)3240x x -⋅-=………………1分解得()2124x x=-=舍或，…………………3分 所以2x =． ………………4分（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以22022x x xx a ab b--+++=++， 化简并变形得：()(22)220x xa b ab -++++=．要使上式对任意的x 成立，则010a b ab +=+=且， 解得：1111a a b b ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩或，因为()f x 的定义域是R ，所以11a b =⎧⎨=-⎩舍去，所以1,1a b =-=，所以()2121x x f x -=+．…………………………………5分① ()21212121x x x f x -==-++．对任意12,x x ∈R ，12x x <有：12212112222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++． 因为12x x <，所以12220x x -<，所以()()12f x f x <，因此()f x 在R 上递增．………………………………………6分因为22()(2)f t t f t k -<-，所以222t t t k -<-，即2k t t <+在[1,1]t ∈-时有解．当[1,1]t ∈-时，2max ()2t t +=，所以2k <．…………………………8分②因为[]()()222x x f x g x -⋅+=-，所以()22x x g x -=+(0x ≠)， ………9分所以()222222(22)2x x x x g x --=+=+-．不等式(2)()10g x m g x ⋅-≥恒成立，即2(22)222)10(x x x x m --+-+-⋅≥，令22x x t -=+，2t >，则8m t t+≤在2t >时恒成立． ………………10分 因为2t >，由基本不等式可得：8t t +≥t =所以m ≤m的最大值为12分22.【解析】（1）当1m =-时，()()11f x f x x x +-=++-，设()2,1,112,11,2,1,x x F x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩当1x <-时，22x x -≥-，解得2x ≤-；当11x -≤<时，22x ≥-，解得01x ≤<； 当1x ≥时，22x x ≥-，解得1x ≥.综上，原不等式的解集为{}20x x x ≤-≥或.（5分）（2）()()22,0.f x f x x m x m m +=-+-<设()()()2g x f x f x =+，当x m ≤时，()223g x m x m x m x =-+-=-，则()g x m ≥-； 当2m m x <<时，()2g x x m m x x =-+-=-，则()2m g x m -<<-； 当2m x ≥时，()232g x x m x m x m =-+-=-，则()2m g x ≥-.则()g x 的值域为,2m ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 由题知不等式()()21f x f x +<的解集非空，则12m >-，解得2m >-， 由于0m <，故m 的取值范围是()2,0-.（10分）。
河南省洛阳市2018-2019学年高二下学期5月质量检测数学(文)
洛阳市2018—2019学年高二质量检测数学试卷（文)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第I 卷1至3页，第Ⅱ卷3 4页.共150分.考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回.一、选择题:本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A = {0＜21-|R 2x x x -∈},B= {0>|R 2x x ∈}，则 A∩B 等于A. (2,4)B. (-3,4)C.(-3,-2)∪(2,4)D.(-∞,+∞) 2.已知i 为虚数单位，则复数i 215+等于 A. i 5251- B. i 255+ C. i 21- D.13. 已知R c b a ∈,,，命题“若a>b,则22bc >ac ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为A.0B. 1C.2D.34. 已知两个变量取值的2X2列联表如下：由2 X 2列联表计算可得K2的观测值约为4.762,有下列说法：①有超过95%的把握认为x 与y 是有关的；②能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X 与Y 是有关的;③有超过90%的把握认为X 与Y 是有关的；④能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为X 与Y 是有关的.其中正确的说法的个数为A.0B. 1C.2D.35.设 ),,(1,1,1+∈+=+=+=Z z y x xz c z y b y x a ，则c b a ,,中 A.至少有一个不小于2 B.都小于2C.至少有一个不大于2D.都大于26. 为研究某种病菌在特定条件下随时间变化的繁殖规律，通过观察记录得到如下的统计数据：若线性回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则可预测当8=x 时，繁殖个数为 参考公式及数据：A.6.5B.6.55C.7D.87. 已知等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若1231,13S S a ==，则8a的值为A. 713-B.0C. 713D.182 8.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00402y y x y x ，则22+-y x 的最大值为A. -5B. 0C.2D.4 9.过抛物线0)>(22p py x =的焦点F 作倾斜角为6π的直线交抛物线于A ，B 两点，若1||1||1=-BF AF ，则实数p 的值为A. 21B. 1C. 3D.2 10. 若函数2ln )(ax x x f -=在区间（1，2)内单调递增，则实数a 的取值范围是A.(-∞, 81]B. (-∞, 81) C.[81，21] D.（81，21） 11.已知点A ，B 是曲线1422=+y x 上两点，且0A 丄OB(0为坐标原点)，则=+22||1||1OB OA A. 43 B. 1 C.45D.512.已知函数⎩⎨⎧-≤-=0>,422012mxe )(x x x x x f ，若不等式0)(≥+m x f 对任意实数x 恒成立，其中0>m .则A. m 的最小值为2-e eB. m 的最大值为2-e e C.m 的最小值为2 D.m 的最大值为2第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分，共20分。
河南省洛阳市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（b+c）（b-c）=a（b-a），则内角C等于（）A. B. C. D.2.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若A：B：C=1：1：4，则等于（）A. B. C. D.3.已知a，b∈R，定义区间[a，b]的长度为b-a，若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则实数m的取值为（）A. B. C. D. 14.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R），若{a n}为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A. B. C. D.5.等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A. B.C. D.6.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若c=5，b=3，cos B=，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.7.下列四个结论：①若a＞b＞0，且c＜0，则＞；②＞；③lg9•lg11＜1；④若1≤x+y≤2，2≤x-y≤4，则4x-2y的取值范围是[6，15]．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.若实数x，y满足，则（x-3）2+y2的最小值为（）A. B. C. 4 D. 139.在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则AB的长为（）A. 1B.C.D.10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a7+a11=20，公差d为整数，对任意n∈N*都有S n≥S5，则使S n＞0成立的最小正整数n等于（）A. 5B. 6C. 10D. 1111.关于x的不等式x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.12.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若B是A与C的等差中项，b=，则a+2c的最大值为（）A. 4B. 5C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，若sin A+cos A=，则△ABC的形状是______．14.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为______元．15.将正整数按如图规律排列：第i行第j列的数字记为a ij，若a ij=2018，则i+j=______．16.已知正数x，y满足x+y+2xy-4=0，则x+y的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式：ax2-（a2+1）x+a＞0，（-1＜a＜1）．18.在△ABC中，D为AC上一点，且DC=2AD，AB=，AD=1，∠ABD=，∠A为锐角．（1）求△ABC面积；（2）求BC的长．19.设数列{a n}的各项为正数，前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n•2，求数列{b n}的前n项和T n．20.某家用轿车的购车费9.5万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元，每年行车里程按1万公里，前5年性能稳定，每年的油费5000元，由于磨损，从第6年开始，每年的油费以500元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年报废比较合算？21.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AB的中点，AB=2，CD=．（1）求角C的最大值；（2）求a+b的取值范围．22.数列{a n}的首项a1=，且，a n a n+1-2a n+1+a n=0．（1）求证：数列{}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n=2n（2a n+1-a n），T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由（b+c）（b-c）=a（b-a）得：a2+b2-c2=ab，即=，∴cosC=，∴C=，故选：B．将已知等式变形后，用余弦定理可得cosC和C．本题考查了余弦定理．属基础题．2.【答案】C【解析】解：△ABC中，A+B+C=π，A：B：C=1：1：4，∴A=B=，C=，由正弦定理可得：===．故选：C．通过三角形的角的比求出三个角的大小，利用正弦定理求出即可．本题考查正弦定理以及三角形的内角和的应用，属于基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则m＜0，设方程mx2+2x+3=0的解是x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，∵|x1-x2|=4，∴=4，∴-=16，解得：m=（舍）或m=-1，故选：C．根据韦达定理以及解集长度为4得到关于m的方程，解出即可．本题考查了不等式问题，考查韦达定理以及转化思想，是一道常规题．4.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R）数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n=（n+1）2-λ（n+1）-（n2-λn）=2n+1-λ＞0恒成立∵2n+1-λ的最小值是2×1+1-λ=3-λ＞0∴λ＜3即实数λ的取值范围是（-∞，3）．故选：A．由已知条件推导出a n+1-a n=2n+1-λ＞0恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用．5.【答案】D【解析】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，设首相为a，公比为q，当q=1时，S4=4a，S8=8a，S12=12a，则A正确，B不正确，C不正确，D正确，当q≠1时，S4==（1-q4），S8=（1-q8），S12=（1-q12），若S4+S8=（1-q8+1-q4）=S12=（1-q12），解得q=±1，故A不一定成立，故选：D．根据等比数列的求和公式，即可利用排除法判断即可．本题考查了等比数列的求和公式，考查了运算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：∵c=5，b=3，cosB=，可得：sinB==，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：18=a2+25-2×a×5×，解得：a=，∴S△ABC=acsinB==．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用余弦定理可求a的值，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：对于①，∵a＞b＞0，c＜0，∴-=＞0，即＞，所以①正确；对于②，＞⇔17+2＞17+2⇔70＞42，所以②正确；对于③，∵lg9+lg11＞2，∴lg9•lg11＜（）2=（）2＜（）2=1，所以③正确；对于④，令x+y=a，x-y=b，则x=，y=，∴4x-2y=2a+2b=a+3b，∵1≤a≤2，2≤b≤4，∴7≤a+3b≤14，即4x-2y的取值范围是[7，14]，所以④不正确．故选：C．对每个结论逐个分析，可知①②③正确，④错误．故选C本题考查了不等式的基本性质．属基础题．8.【答案】B【解析】解：设z=（x-3）2+y2，则z的几何意义为点（x，y）得定点D（3，0）的距离的平方，出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知BD的距离最大，点D到直线3x-y-3=0的距离最小，此时d==，则z=d2=，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及点到直线的距离公式是解决本题的关键，注意使用数形结合．9.【答案】C【解析】解：如图所示：在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则：△BCD为直角三角形，故：CD=BC=1，利用勾股定理得：BD=．在△ADC中，由于∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，解得：∠DAC=30°．故：AD=DC=1．在△ABD中，利用余弦定理得：AB2=AD2+BD2-2•AD•BD•cos∠ADB，=1+2-2，=3-=4-，故：AB=．故选：C．首先利用三角形的内角和定理求出△BCD为直角三角形，将进一步求出AD=BC=1，进一步利用余弦定理求出结果．本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用，余弦定理的应用和三角函数值得应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】D【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，a7+a11=20，则2a1+16d=20，即a1=10-8d，对任意n∈N*都有S n≥S5，则有a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得：≤d≤，又由公差d为整数，则d=3，则a1=10-8d=-14，则a n=a1+（n-1）d=3n-17，若S n＞0，则有S n==×n＞0，解可得n＞或n＜0，又由n∈N*，则n≥11；即使S n＞0成立的最小正整数n的值为11；故选：D．根据题意，由等差数列的通项公式可得若a7+a11=20，则有2a1+16d=20，即a1=10-8d，又由S n≥S5，分析可得a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得d的值，进而可得首项a1的值，由等差数列的通项公式可得a n=a1+（n-1）d=3n-17，由等差数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式的应用，关键是求出公差d的值，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有1个零点，则有f（0）f（1）≤0，即（a+3）（7-a）≤0，解可得：a≤-3或a≥7；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有2个零点，则有，此时无解；综合可得：a≤-3或a≥7；即实数a的取值范围是（-∞，-3][7，+∞）；故选：A．根据题意，原问题可以转化为函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；分有1个零点与2个零点2种情况讨论a的取值范围，综合即可得答案．本题考查不等式的解法与应用问题，注意将原问题转化为函数的零点问题，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：∵2B=A+C，A+B+C=π，得B=，b=，∴由正弦定理得：==2，∴a=2sinA，c=2sinC，则a+2c=2sinA+4sinC=2sinA+4sin（-A）=2（2sinA+cosA）=2sin（A+φ），（其中tanφ=，φ∈（0，），∴当A=-φ时，a+2c的最大值是2．故选：D．先求得B，由正弦定理得出a=2sinA，c=2sinC，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可．本题主要考查正弦定理的应用，考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用为解题关键，属于中档题．13.【答案】直角三角形【解析】解：∵sinA+cosA=，可得：csinA+ccosA=a+b，∴由正弦定理可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinB，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinAcosC+cosAsinC，∴sinCsinA=sinA+sinAcosC，∵sinA≠0，∴sinC=1+cosC，即：sinC-cosC=1，两边平方可得：1-sin2C=1，可得：sin2C=0，∵C∈（0，π），2C∈（0，2π），∴2C=π，可得C=，即△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinCsinA=sinA+sinAcosC，由于sinA≠0，可得sin2C=0，结合范围2C∈（0，2π），可求C=即可得解△ABC的形状．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】216000【解析】【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键；设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元，由题意，得，z=2100x+900y，不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得，A（60，100），目标函数z=2100x+900y，经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元，故答案为216000．15.【答案】66【解析】解：由排列的规律可得，第n行结束的时候共排了1+2+3+…+n=n（n+1）个数，∴前63行共有×63×64=2016个数，故若a ij=2018，则i=64，j=2，故i+j=66，故答案为：66．先找到数的分布规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，即可求得结论．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16.【答案】2【解析】解：∵x+y≥2，∴0=x+y+2xy-4≤x+y+2×（）2-4．令t=x+y，整理可得，t2+2t-8≥0，∴（t-2）（t+4）≥0∵t＞0∴t≥2，即x+y≥2，当且仅当x=y=1时，取得最小值2．故答案为：2利用x+y≥2进行代换、得出关于x+y的不等式，通过解不等式可确定最值．本题考查基本不等式的应用，考查了转化、换元的思想，不等式解法．17.【答案】解：根据题意，分2种情况讨论：①，当a=0时，不等式为-x＞0，即x＜0，不等式的解集为{x|x＜0}；②，当a≠0时，若ax2-（a2+1）x+a=（x-a）（ax-1）=0，该方程有2个根，x1=，x2=a，当0＜a＜1时，＞a，则不等式的解集为{x|x＜a或x＞}，当-1＜a＜0时，＜a，则不等式的解集为{x|＜x＜a}，综合可得：当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞}，当a=0时，不等式的解集为{x|x＜0}；当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜a}，【解析】根据题意，分a=0与a≠02种情况讨论，分别求出不等式的解集，综合即可得答案．本题考查一元二次不等式的解法，涉及参数讨论，注意结合二次函数的性质进行分析．18.【答案】解：（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB= ∠ ==，∠ADB为三角形的内角．∴∠ADB=或，又∠A为锐角，∴∠ADB=，∴∠A=π--=．（2）△ABC中，由余弦定理可得：BC2=-2×cos=3．∴BC=．【解析】（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB=，根据∠ADB为三角形的内角，∠A为锐角，可得∠ADB，进而得出∠A．（2）△ABC中，由余弦定理可得BC．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）数列{a n}的各项为正数，前n项和为S n，若对于任意的正整数n 都有=．则：①，当n=1时，解得：a1=1，则：②①-②得：（a n+1+a n）（a n+1-a n-2）=0，由于：数列{a n}的各项为正数，故：a n+1-a n=2（常数），所以：数列{a n}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列．故：a n=2+2（n-1）=2n-1．（2）由于a n=2n-1，所以：，所以①，②①-②得：．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.【答案】解：设这种车开x年报废比较合算，当x≥6时，总费用为：y=95000+4000x+5000x+500[1+2+3+…+（x-5）]=95000+4000x+5000x+250（x-4）（x-5）=2500x2+6750x+100000，平均费用：=250x++6750≥2+6750=16750，当250x=，即x=20时，取最小值．当x≤5时，平均费用：≥＞．∴这种车开20年，平均使用费用最底，故这种车开20年报废比较合算．【解析】设这种车开x年报废比较合算，当x≥6时，总费用为y=2500x2+6750x+100000，平均费用：=250x++6750≥2+6750=16750，当250x=，即x=20时，取最小值．当x≤5时，平均费用：≥，由此得到这种车开20年报废比较合算．本题考查函数在生产生活中的应用，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21.【答案】解：（1）在△ADC中，由余弦定理得：b2=AD2+CD2-2AD•CD•cos∠ADC=4-2cos∠ADC，在△BDC中，由余弦定理得：a2=BD2+CD2-2BD•CD cos∠BDC=4-2cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，∴cos∠ADC+cos∠BDC=0，∴a2+b2=8，∴cos C=≥==，∵0＜C＜π，y=cos x在（0，π）上单调递减，所以角C的最大值为（2）∵CD＜a＜CD+AD，∴-1＜a＜+1，∴4-2＜a2＜4+2，由（1）知a2+b2=8，得b=，∴a+b=a+，（a+b）2=8+2a=8+2，∵-2＜a2-4＜2，∴12＜（a+b）2≤16，∴2＜a+b≤4，【解析】（1）分别在△ADC和△BDC中用余弦定理，得到a2+b2=8，在用cosC的余弦定理进行放缩，可得；（2）利用（1）问中a2+b2=8以及CD＜a＜CD+AD，-1＜a＜+1，得到a+b=a+，然后求出取值范围．本题考查了余弦定理．属中档题．22.【答案】证明：（1）数列{a n}的首项a1=，且a n a n+1-2a n+1+a n=0．则：，故：==，所以：数列{}是以为首项，2为公比的等比数列．故：，整理得：（首项符合通项），故：．（2）由（1）得：b n=2n（2a n+1-a n）==，则：++…+=＜，故：T n＜．【解析】（1）直接利用递推关系式和构造新数列求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。