四年级奥数风筝模型和梯形蝴蝶定理(C级)

板块一风筝模型：（又叫任意四边形模型）
①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++
风筝模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2
a b +．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
S 4
S 3
S 2
S 1O D
C
B
A A B
C
D
O b
a
S 3
S 2
S 1S 4
知识框架
风筝模型和梯形蝴蝶定理
【例 1】 如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的
面积；⑵:AG GC ？
【巩固】 在△ABC 中
DC BD =2:1, EC AE =1:3，求OE
OB
=?
【例 2】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次
是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．
【巩固】 如右上图，已知BO=2DO ，CO=5AO ，阴影部分的面积和是11平方厘米，求四边形ABCD 的面积。

321G
D
C
B
A O
G
F E
D
C B
A
例题精讲
【例 3】 如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG 的面积．
【巩固】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长
方形ABCD 的面积．
【例 4】 如图，在ABC ∆中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ∆、ABO
∆和BON ∆的面积分别是3、2、1，则MNC ∆的面积是．
【巩固】 如图4，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89、28、26，
那么三角形DBE 的面积是。

A
B
C
D
E
F G
A
B
C
D
E
F G
O
M N
C
B
A
E
D
C B
A
【例 5】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米。

则阴影部分的面
积是平方厘米。

【巩固】 在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=∆BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米。

【例 6】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH
的面积是23，求四边形EGFH 的面积．
【巩固】 如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三
角形1的面积为________．
O
E D
C
B
A
H
G F
E
D
C
B A
3
21
【例 7】 在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1
平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米．
【巩固】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是4平方厘米，CED ∆的面积是6
平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
【例 8】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG
的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？
【巩固】 如图所示，ABCD 是梯形，ADE ∆面积是1.8，ABF ∆的面积是9，BCF ∆的面积是27．那么阴影
AEC ∆面积是多少？
A B
C
D
E
F 6
4A
B
C
D
E
F
K
G
F E D
C
B
A F
E D
C
B
A
【例 9】 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？
【巩固】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现
在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为．
【例 10】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB=8,AD=15四边形EFGO 的面积为
______．
【巩固】 如图5所示，矩形ABCD 的面积是24平方厘米，、三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和是7.8平方
厘米，则四边形PMON 的面积是平方厘米。

15
8
O
G
F
E
D
C
B
A
【随练1】 如左下图，E 是长方形ABCD 边AB 的中点，已知三角形EBF 的面积是1平方厘米，求长方形ABCD
的面积。

【随练2】 正方形ABCD 的边长为6，E 是BC 的中点（如图）。

四边形OECD 的面积为。

【随练3】 如图，在长方形ABCD 中，6AB =厘米，2AD =厘米，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．
O
E
D
C B
A
B
C
A
D
E
F
O
课堂检测
【作业1】 （2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O
（如图）所示。

如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的1
3
，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

【作业2】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，,E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．
【作业3】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，D EF ∆的面积是4平方厘米，CED ∆的面积是6
平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
D
A
O
C
B
6
4A
B
C
D
E
F
家庭作业
【作业4】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，四边形EFGO 的面积为10，长方形的
面积是．
【作业5】 如图，已知D 是BC 中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点．三角形ABC 由①～⑥这6部分组
成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米？
【作业6】 如图，正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，三角形AEG 的面积是1，求正方形ABCD 的面积．
15
8
O
G
F
E
D
C
B
A
⑥
⑤
④
③
②①
B
F
E
D C
A
A
B
C
D
E
F G。