黎曼几何第四章习题解答

4
5¿
·‚kU X, Z = ∇U X, Z + X, ∇U Z , Ïd
DX dt .
2
y²µé?Û÷γ
1w•þ|Z (t),3t = 0?§Ï•X (γ (0)) = 0, k (∇γ R)(γ (0), X (γ (0)), γ (0), Z (0)) = 0 (4)
,˜•¡kµ LHS of (4) = = = γ R(γ , X, γ , Z )(0) − R(∇γ γ , X, γ , Z )(0) − R(γ , ∇γ X, γ , Z )(0) −R(γ , X, ∇γ γ , Z )(0) − R(γ , X, γ , ∇γ Z )(0) γ R(γ , X )γ , Z (0) − R(γ , ∇γ X )γ , Z (0) − R(γ , X )γ , ∇γ Z (0) ∇γ (R(γ , X )γ ), Z (0) − R(γ , ∇γ X )γ , Z (0)
Ï•[ei , ej ]p = ∇ei ej (p) − ∇ej ei (0) = 0 (8) + (9)3p: Š•µ
R(el , eh )∇ek ei (p) + R(eh , ek )∇el ei (p) + R(ek , el )∇eh ei (p) +R([ek , el ], eh )ei (p) − ∇[[ek ,el ],eh ] ei (p) +R([el , eh ], ek )ei (p) − ∇[[el ,eh ],ek ] ei (p) +R([eh , ek ], el )ei (p) − ∇[[eh ,ek ],el ] ei (p) þª u0. Ïd(5)ª†>3p:? Š•". dü>þ´ÜþŒ•(5)ªo¤á. 8.(SchurÚn) (M n , g )´‡ëÏ n(n ≥ 3)‘6/. b M ÷v˜e5Ÿµé ? ¿ :p ∈ M , M 3p: ÷ ? ¿ ‘ ¡σ ⊂ Tp M ¡ - ÇK (p, σ )†σ à ' " y ²: M ´~-ǘm, =K (p)´~Š¼ê" y²: ½ÂR (X, Y, Z, W ) = X, Z Y, W − X, W Y, Z . é?¿p ∈ M , ½ ¼êk (p)Xeµ k (p) := K (p, σ ) Ù¥σ ⊂ Tp M ´?˜‡ ‘ ¡"d^‡•k ´û½ @okÚn3.4, ·‚k §¿…´1w "
1
(2). R(X, Y )Z = = = = (3). eX, Y ∇Y ∇X Z − ∇X ∇Y Z + ∇[X,Y ] Z 1 1 1 ∇Y ( [X, Z ]) − ∇X ( [Y, Z ]) + [[X, Y ], Z ] 2 2 2 1 1 1 1 [Y, [X, Z ]] + [X, [Z, Y ]] + [[X, Y ], Z ] + [[X, Y ], Z ] 4 4 4 4 1 [[X, Y ], Z ] 4 §K X, X = Y, Y = 1, X, Y = 0.@o K (σ ) = = = = K (X, Y ) = R(X, Y, X, Y ) X, X Y, Y − X, Y
∇ eh ∇el ∇ek e i
(1)
− ∇eh ∇ek ∇el ei
(2)
+ ∇eh ∇[ek ,el ] ei
(3)
, ej
(p)
− ∇ek ∇el ∇eh ei − ∇ el ∇eh ∇ek e i
(5)
+ ∇ek ∇[el ,eh ] ei + ∇el ∇[eh ,ek ] ei
(6)
, ej , ej
(4)
(5)
∇R(ei , ej , ek , el , eh )(p)
∇eh R(ek , el )ei , ej (p) + R(ek , el )ei , ∇eh ej (p) ∇eh ∇el ∇ek ei − ∇eh ∇ek ∇el ei + ∇eh ∇[ek ,el ] ei , ej (p)
14Ùµ-Ç
1.
, ´o+Gþ VØCÝþ"X, Y, Z ´Gþ
1 2
ü †ØC•þ|"
a) y²µ∇X Y =
[X, Y ].
1 4
b) d(1)y²R(X, Y )Z = c) X, Y ´
[[X, Y ] , Z ]. ¡-Çdeª‰Ñµ
2
§σ ´dX, Y ܤ"@oσ K (σ ) = 1 [X, Y ] 4
2
1 [[X, Y ], X ], Y 4 1 − [X, Y ], [Y, X ] 4 1 2 [X, Y ] . 4
Ù ¥ • ˜ ‡ Ò k Ý þ V ØC 5 Ñ " Ï d § o +G? Û ˜ : ? ? Û ˜ ‡ ¡-ÇšK§¿…eσ = span{X, Y },KK (σ ) = 0 …= [X, Y ] = 0,=X, Y †" 4. M ´ ˜ ‡ ä k ± e 5 Ÿ i ù6 / µ ? ¿ ‰ ½M þ ü :p, q ,lp q ² 1 £ Ä Ø • 6 u ë p, q - ‚ À " y ² µM - Ç ´ " § = ? ¿X, Y, Z ∈ X(M ), R(X, Y )Z = 0. y²µ·‚•‡3?Û˜:q ∈ M ?y²R(X, Y )Z (q ) = 0=Œ"∀p ∈ M , •Ä Lp ?˜‡ëê-¡µ f : U ⊂ R2 → M Ù¥U = {(s, t) : −ε < s < 1 + ε, −ε < t < 1 + ε, ε > 0 small}. b f ÷vµf (s, 0) = p, ∀s; f (0, 1) = q. v ∈ Tp M , -V (s, t)•V (s, o) = v ÷ -‚t → f (s, t)²1£Ä •þ|" dÚn4.1,kµ D D D D V − V =R ∂t ∂s ∂s ∂t ∂f ∂f , ∂s ∂t V
= ∇eh ∇el ∇ek e i − ∇ el ∇eh ∇ ek e i = R(el , eh )∇ek ei = R(eh , ek )∇el ei = R(ek , el )∇eh ei
(10) (12) (14) (11) (13) (15)
= R([ek , el ], eh )ei − ∇[[ek ,el ],eh ] ei = R([el , eh ], ek )ei − ∇[[el ,eh ],ek ] ei = R([eh , ek ], el )ei − ∇[[eh ,ek ],el ] ei (1) − (2) + (3) + (4) − (5) + (6) + (7) −
Ïd ∇γ (R(γ , X )γ )(0) − (R(γ , ∇γ X )γ )(0), Z (0) = 0. dZ ?¿5•µ ∇γ (R(γ , X )γ )(0) = (R(γ , X )γ )(0). 7.y²1 Bianchi𠪵 ∇R(X, Y, Z, W, T ) + ∇R(X, Y, W, T, Z ) + ∇R(X, Y, T, Z, W ) = 0, Ù¥X, Y, Z, W, T ´M þ?¿1w•þ|" y ² µ d Ü þ 5 § · ‚ • ‡ é ? ¿˜ :p ∈ M ,y ² 1 Bianchið ª ¤ á = Œ"•d·‚ p:? ÿ/Ie ei : i = 1, 2, · · · , n =µ{ei }´‡ü Ie |§¿… ∇ei ej (p) = 0, ∀i, j. Ïd§d‚55§•‡yµé?¿ i, j, k, l, h ∇R(ei , ej , ek , el , eh ) + ∇R(ei , ej , el , eh , ek ) + ∇R(ei , ej , eh , ek , el ) = 0. 5¿ ∇eh ei (p) = 0,Ïd = eh R(ei , ej , ek , el )(p) + R(∇eh ei , ej , ek , el ) + · · · = eh R(ei , ej , ek , el )(p) = eh R(ek , el )ee , ej (p) = = =, ∇R(ei , ej , ek , el , eh )(p) = aq/§k ∇R(ei , ej , el , eh , ek )(p) = ∇R(ei , ej , eh , ek , el )(p) = ∇ek ∇eh ∇el e i ∇ el ∇ek ∇eh e i

(1) (2) (3)
= (dLg )e X (e), (dLg )e Y (e)
g
= X (e), Y (e) e .
Ï d X, Y = const Z X, Y = 0. Ó nY Z, X = 0, X Y, Z = 0. d(1)+(2)(3) µ ∇X Y + ∇Y X, Z + ∇X Z − ∇Z X, Y + ∇Y Z − ∇Z Y, X = 0 2kÃL5µ ∇X Z − ∇Z X = [X, Z ] ∇Y Z − ∇Z Y = [Y, Z ] ±9Ýþ VØC5LZ < X, Y >= 0, =µ [X, Z ], Y + [Y, Z ], X = 0. “\þª§k ∇X Y + ∇Y X, Z = 0. dZ ?¿5•∇X Y + ∇Y X = 0. q∇X Y − ∇Y X = [X, Y ], ∇X Y = 1 2 [X, Y ].
(p) (p)
(7)
(8)
(9)
3
@oª(5) LHS of (5) (1) − (8) (4) − (2) (7) − (5) (3) − (15) (6) − (11) (9) − (13)