高一数学__对数函数综合练习题(答案)
对数函数精选练习题(带答案)
对数函数精选练习题（带答案）1．函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1 D.⎝⎛⎦⎤12，1答案 D解析 要使函数解析式有意义，须有log 23(2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，所以12<x ≤1，所以函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是⎝⎛⎦⎤12，1.2．函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图，则函数g (x )＝a x －b 的图象可能是( ) 答案 D解析 由图象可知0<a <1且0<f (0)<1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1， ①0<log a b <1， ②解②得log a 1<log a b <log a a ，∵0<a <1，∴由对数函数的单调性可知a <b <1， 结合①可得a ，b 满足的关系为0<a <b <1，由指数函数的图象和性质可知，g (x )＝a x －b 的图象是单调递减的，且一定在y ＝－1上方．故选D.3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48)A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093 答案 D解析 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与MN 最接近的是1093.故选D.4．已知函数f (x )是偶函数，定义域为R ，g (x )＝f (x )＋2x ，若g (log 27)＝3，则g ⎝⎛⎭⎫log 217＝( )A ．－4B ．4C ．－277 D.277 答案 C解析 由g (log 27)＝3可得，g (log 27)＝f (log 27)＋7＝3，即f (log 27)＝－4，则g ⎝⎛⎭⎫log 217＝f (－log 27)＋17＝－4＋17＝－277.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝( ) A ．－13 B ．－12 C.12 D.32 答案 A解析 因为log 49＝log 29log 24＝log 23>0，f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－f (－log 23)＝－2－log 23＝－2log2 13＝－13.6．设a ＝log 54－log 52，b ＝ln 23＋ln 3，c ＝1012 lg 5，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 A解析 由题意得，a ＝log 54－log 52＝log 52，b ＝ln 23＋ln 3＝ln 2，c ＝10 12 lg 5＝5，得a ＝1log 25，b ＝1log 2e ，而log 25>log 2e>1，所以0<1log 25<1log 2e <1，即0<a <b <1.又c ＝5>1.故a <b <c .故选A.7．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 答案 C解析 f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝ln [x (2－x )]＝ln (－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln (－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A ，B 错误．∵f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确．∵f (2－x )＋f (x )＝[ln (2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln (2－x )]＝2[ln x ＋ln (2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误．故选C. 8．已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0 答案 D解析 因为log a b >1，所以a >1，b >1或0<a <1,0<b <1，所以(a －1)(b －1)>0，故A 错误； 当a >1时，由log a b >1，得b >a >1，故B ，C 错误．故选D.9．(2019·北京模拟)如图，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C. 2 D.3 答案 D解析 因为直线BC ∥y 轴，所以B ，C 的横坐标相同；又B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，所以|BC |＝2.即正三角形ABC 的边长为2.由点A 的坐标为(m ，n )，得B (m ＋3，n ＋1)，C (m ＋3，n －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝log 2m ＋2，n ＋1＝log 2(m ＋3)＋2，所以log 2m ＋2＋1＝log 2(m ＋3)＋2，所以m ＝ 3.10．(2018·湖北宜昌一中模拟)若函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上递增，且b ＝lg 0.9，c ＝20.9，则( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 B解析 由5＋4x －x 2>0，得－1<x <5， 又函数t ＝5＋4x －x 2的对称轴方程为x ＝2， ∴复合函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)的增区间为(2,5)，∵函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥2，a ＋1≤5，则3≤a ≤4，而b ＝lg 0.9<0,1<c ＝20.9<2，所以b <c <a .11．(2019·石家庄模拟)设方程10x ＝|lg (－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1答案 D解析 作出y ＝10x 与y ＝|lg (－x )|的大致图象，如图．显然x 1<0，x 2<0.不妨设x 1<x 2，则x 1<－1，－1<x 2<0， 所以10 x 1＝lg (－x 1)，10 x 2＝－lg (－x 2)， 此时10 x 1<10 x 2， 即lg (－x 1)<－lg (－x 2)， 由此得lg (x 1x 2)<0，所以0<x 1x 2<1.12．函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________． 答案 (2,2)解析 令x ＝2得y ＝log a 1＋2＝2，所以函数y ＝log a (x －1)＋2的图象恒过定点(2,2)．13．(2019·成都外国语学校模拟)已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．答案 3解析 因为2x ＝3，所以x ＝log 23.又因为y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3. 14．(2018·兰州模拟)已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，则a 的值为________． 答案 2或12解析 ①当a >1时，y ＝log a x 在[2,4]上为增函数． 由已知得log a 4－log a 2＝1，所以log a 2＝1，所以a ＝2. ②当0<a <1时，y ＝log a x 在[2,4]上为减函数． 由已知得log a 2－log a 4＝1，所以log a 12＝1，a ＝12.综上知，a 的值为2或12.15．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．答案 (0，＋∞)解析 令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．16．(2019·江苏南京模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12 x ，x ≥2，2a x －3a ，x <2(其中a >0，且a ≠1)的值域为R ，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，1解析 由题意，分段函数的值域为R ，故其在(－∞，2)上应是单调递减函数，所以0<a <1，根据图象可知，log 122≥2a 2－3a ，解得12≤a ≤1.综上，可得12≤a <1.。
对数函数练习题(有答案)
对数函数【1】练习题(有答案)1．函数y ＝log (2x －1)(3x －2)的定义域是( )A ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫23，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫23，1∪(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞) 2．若集合A ＝{ x |log 2x ＝2－x }，且 x ∈A ，则有( )A ．1＞x 2＞xB ．x 2＞x ＞1C ．x 2＞1＞xD ．x ＞1＞x 23．若log a 3＞log b 3＞0，则 a 、b 、1的大小关系为( )A ．1＜a ＜bB ．1 ＜b ＜aC ．0 ＜a ＜b ＜1D ．0 ＜b ＜a ＜1 4．若log a 45＜1，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ＞1 B ．0＜a ＜45 C ．45＜a D ．0＜a ＜45或a ＞1 5．已知函数f (x )＝log a (x －1)(a ＞0且 a ≠1)在x ∈(1，2)时，f (x )＜0，则f (x )是A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减6．如图所示，已知0＜a ＜1，则在同一直角坐标系中，函数y ＝a －x 和y ＝log a (－x )的图象只可能为( )7．函数y ＝f (2x )的定义域为[1，2]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为 ( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[2，4]D ．[4，16]8．若函数f(x)＝log12()x3－ax 上单调递减，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[9，12]B ．[4，12]C ．[4，27]D ．[9，27] 9．函数y ＝a x －3＋3(a ＞0，且a ≠1)恒过定点__________．10．不等式⎝⎛⎭⎫1310－3x＜3－2x 的解集是_________________________． 11．(1)将函数f (x )＝2x 的图象向______平移________个单位，就可以得到函数g (x )＝2x－x 的图象．(2)函数，使f (x )是增区间是_________． 12．设 f (log 2x )＝2x (x ＞0)．则f (3)的值为．13．已知集合A ＝{x |2≤x ≤π，x ∈R}．定义在集合A 上的函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)的最大值比最小值大1，则底数a 为__________．14．当0＜x ＜1时，函数y ＝log (a2－3)x 的图象在x 轴的上方，则a 的取值范围为________． 15．已知 0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a logb(x －3)＜1，则 x 的取值范围为． 16．已知 a ＞1，求函数 f (x )＝log a (1－a x )的定义域和值域．17．已知 0＜a ＜1，b ＞1，ab ＞1，比较log a 1b ，log a b ，log b 1b的大小．18．已知f (x )＝log a x 在[2，+ ∞ )上恒有|f (x )|＞1，求实数a 的取值范围．19．设在离海平面高度h m 处的大气压强是x mm 水银柱高，h 与x 之间的函数关系式为：h ＝k ln x c，其中c 、k 都是常量．已知某地某天在海平面及1000 m 高空的大气压强分别是760 mm 水银柱高和675 mm 水银柱高，求大气压强是720 mm 水银柱高处的高度．20．已知关于x 的方程log 2(x +3)－log 4x 2＝a 的解在区间(3，4)内，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C2．B3．A4．D 5．A 6．B 7．D 8．A9．(3,4) 10．{x |_x ＜2} 11．右，2；(－∞，1)， 12．25613．2π14．a ∈(－2，－3)∪(3，2) 15．(3，4) 16．解 ∵ a ＞1，1－a x ＞0，∴ a x ＜1，∴ x ＜0，即函数的定义域为(－∞ ，0)．∵ a x ＞0且a x ＜1，∴ 0＜1－a x ＜1 ∴log a (1－a x )＜0，即函数的值域是(－∞ ，0)．17．解 ∵ 0＜a ＜1，b ＞1，∴ log a b ＜0，log b 1b ＝－1，log a 1b ＞0，又ab ＞1，∴ b ＞1a ＞1，log a b ＜log a 1a＝－1，∴ log a b ＜log b51b ＜log a 1b． 18．解 由|f (x )|＞1，得log a x ＞1或log a x ＜－1．由log a x ＞1，x ∈[2，+∞ )得 a ＞1，(log a x )最小＝log a 2，∴ log a 2＞1，∴ a ＜2，∴ 1＜a ＜2；由log a x ＜－1，x ∈[2，+ ∞ )得 0＜a ＜1，(log a x )最大＝log a 2，∴ log a 2＜－1，∴ a ＞12， ∴12＜a ＜1． 综上所述，a 的取值范围为(12，1 )∪(1，2)． 19．解 ∵ h ＝k ln x c，当 x ＝760，h ＝0，∴ c ＝760． 当x ＝675时，h ＝1 000，∴ 1 000＝k ln 675760＝k ln0.8907 ∴ k ＝1000ln0.8907＝1000lge lg0.8907当x ＝720时，h ＝1000lge lg0.8907ln 720760＝1000lge lg0.8907·ln0.9473＝1000lge lg0.8907·lg0.9473lge≈456 m ． ∴ 大气压强为720 mm 水银柱高处的高度为456 m ．20．本质上是求函数g (x )＝log 2(x +3)－log 4x 2x ∈(3，4)的值域．∵g (x )＝log 2(x +3)－log 4x 2＝log 2(x +3)－log 2x ＝log 2＝log 2∈∴a ∈．。
2023-2024学年高一上数学必修一：对数函数(附答案解析)
第1页共6页2023-2024学年高中数学必修一：对数函数一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知a ＝log 213，b ＝5－3，c ＝212，则a ，b ，c 的大小关系为(A )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b解析：∵log 213<log 21＝0,0<5－3<50＝1,212＝2>1，∴a <b <c .故选A.2．若a >b ，则(C )A ．ln(a －b )>0B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b |解析：法一：不妨设a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，可验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．法二：由a >b ，得a －b >0.但a －b >1不一定成立，则ln(a －b )>0不一定成立，故A 不一定成立．因为y ＝3x 在R 上是增函数，当a >b 时，3a >3b ，故B 不成立．因为y ＝x 3在R 上是增函数，当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 成立．因为当a ＝3，b ＝－6时，a >b ，但|a |<|b |，所以D 不一定成立．故选C.3．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于(D )A ．3B ．9C ．18D ．27解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，∴13log 2m ＝2log 43，∴m 13＝3，m ＝27.4.下列函数中，随着x 的不断增大，增长速度最慢的是(B )A ．y ＝5x B ．y ＝log 5x C ．y ＝x 5D ．y ＝5x。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点精题训练(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点精题训练单选题1、若2x=3，2y=4，则2x+y的值为（）A．7B．10C．12D．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x=3，2y=4，所以2x+y=2x⋅2y=3×4=12，故选：C2、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，900=18，故至少需要志愿者18名.50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.3、已知函数f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点M(m,n)，则函数g(x)=n−m x不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C解析：利用指数函数的性质求出m，n，得出g(x)的解析式，从而得出结论．∵f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点(2,2)，∴m=n=2，∴g(x)=2−2x ，∴g(x)为减函数，且过点(0,1)， ∴g(x)的函数图象不经过第三象限． 故选：C ．4、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称，又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确. 故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.5、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3， 答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．6、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度v(m /s )，其中v 0(m /s )是喷流相对速度，m(kg )是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg )是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge ≈0.434,lg2≈0.301）A ．5790m /sB ．6219m /sC ．6442m /sD ．6689m /s 答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果.v =v 0 lnM m=1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s .故选：C ．7、下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)单调递减的函数是（ ） A ．f(x)=1|x |B ．f(x)=(13)xC ．f(x)=lg |x |D ．f(x)=x −13答案：A分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论． 解：f(x)=1|x |是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，满足条件；f(x)=(13)x是非奇非 偶函数，不满足条件；f(x)=lg |x |是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件； f(x)=x −13是奇函数不是偶函数，不合题意. 故选：A ．8、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示， 函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．多选题9、已知函数f(x)=lg(x2+ax−a−1)，下列结论中正确的是（）A．当a=0时，f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)B．f(x)一定有最小值C．当a=0时，f(x)的值域为RD．若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥−4}答案：AC分析：A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，问一定举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.对于A ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)，令x 2−1>0，解得x <−1或x >1，则f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，故A 正确；对于B 、C ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增，则y =x 2+ax −a −1在[2,+∞)上单调递增，且当x =2时，y >0，则{−a2≤24+2a −a −1>0 ，解得a >−3，故D 错误． 故选：AC ．10、已知n <m ，函数f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤n22−|x−1|−3,n <x ≤m 的值域是[−1,1]，则下列结论正确的是（ ） A ．当n =0时，m ∈(12,2]B ．当n ∈[0,12)时，m ∈(n,2] C ．当n ∈[0,12)时，m ∈[1,2]D ．当n =12时，m ∈(12,2]答案：CD分析：先对分段函数去绝对值讨论单调性，作出y =log 12(1−x )，x ≥−1和y =22−|x−1|−3，x ≥−1的图象，n =0时，由图可得m 的范围，可判断A ；当n ∈[0,12)时先求出y =log 12(1−x )，−1≤x ≤n 的值域，进而可判断x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即可得m 的范围，可判断B ，C ；当n =12时，先计算f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上的值域，即可得y =22−|x−1|−3，n <x ≤m 的范围，进而可得m 的范围，可判断D ．当x >1时，x −1>0，此时y =22−|x−1|−3=22−x+1−3=23−x −3单调递减，当−1<x <1时，x −1<0，此时y =22−|x−1|−3=22+x−1−3=21+x −3单调递增，所以y =22−|x−1|−3在(−1,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x =1时，y =22−|x−1|−3取得最大值，为22−3=1．作出y =log 12(1−x )与y =22−|x−1|−3在[−1,+∞)上的图象如图所示：对于A ，当n =0时，f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤022−|x−1|−3,0<x ≤m，因为f (x )的值域为[−1,1]，结合图象知m ∈[1,2]，故A 不正确；对于B ，当n ∈[0,12)，x ∈[−1,n ]时，1−x ∈[1−n,2]，此时f (x )=log 12(1−x )∈[−1,log 12(1−n )]，此时−1≤f (x )≤log 12(1−n )<1，因为f (x )的值域为[−1,1]，则x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即22−|x−1|−3=1，解得x =1，由图知m ∈[1,2]，故B 不正确，C 正确；对于D ，当n =12时，f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上单调递增，此时f (x )的最小值为f (−1)=log 122=−1，f (x )的最大值为f (12)=log 12(1−12)=1，要使f (x )的值域为[−1,1]，由图知m ∈(12,2]，故D 正确．故选：CD ．小提示：关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的值域，解题的关键是根据题意作出f(x)的图象，结合图象逐个分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题 11、已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．1x +12y=1zB ．3x >4y >6zC ．xy >2z 2D ．x +y >(√32+√2)z答案：ACD分析：将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，设3x =4y =6z =t (t >1)， 则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 6t ．对于A ，1x +12y =log t 3+12log t 4=log t 6=1z ，故A 正确； 对于B ，3x =3log 3t ，4y =4log 4t ，6z =6log 6t ， ∵3x 4y =3log 3t 4log 4t=34log 34<1，∴3x <4y ， ∵4y 6z=4log 4t 6log 6t=23log 46<1，∴4y <6z ，∴3x <4y <6z ，故B 错误；对于C ，由1z=1x+12y>2√12xy（x ≠2y ），两边平方，可得xy >2z 2，故C 正确；对于D ，由xy >2z 2，可得x +y >2√xy >2√2z 2=2√2z >(√32+√2)z （x ≠y ），故D 正确． 故选：ACD 填空题12、里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_________级. 答案：6分析：将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0计算即可得解.将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0得M =lg1000−lg0.001=lg106=6. 所以答案是：6.13、已知函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0 ，若f (a 2−2a )≤f (a −1)，则实数a 的取值范围是_________．答案：[3−√52,+∞)分析：根据函数单调性分段处理即可得解.由题函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0在(−∞,0]单调递增，在(0,+∞)为常数函数，且f(0)=2若f(a2−2a)≤f(a−1)则a2−2a≤a−1≤0或a2−2a≤0≤a−1或{a 2−2a≥0a−1≥0则{a 2−3a+1≤0a≤1或{a2−2a≤00≤a−1或{a2−2a≥0a−1≥0解得：3−√52≤a≤1或1≤a≤2或a≥2，综上所述：a∈[3−√52,+∞)所以答案是：[3−√52,+∞)14、设x>0，y>0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则x2、y2的算术平均值的最小值为__________.答案：1分析：利用指数的运算性质可得出x+y=2，再利用基本不等式可求得结果.由已知条件可得e x⋅e y=e x+y=e2，所以，x+y=2，因为x>0，y>0，由基本不等式可得x2+y2≥2xy，即2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=4，所以，x2+y22≥1，当且仅当x=y=1时，等号成立.因此，x2、y2的算术平均值的最小值为1.所以答案是：1.解答题15、数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么log a M n=nlog a M(n∈R);(2)请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值;(3)因为210=1024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断20192020的位数.(注lg2019≈3.305)答案：(1)见解析(2)1712(3)20192020的位数为6677解析：(1)根据指数与对数的转换证明即可.(2)根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可.(3)分析lg20192020的值的范围再判断位数即可.(1)方法一:设x=log a M所以M=a x所以M n=(a x)n=a nx所以log a M n=nx=nlog a M,得证.方法二:设x=nlog a M所以xn=log a M所以a xn=M所以a x=M n所以x=log a M n所以nlog a M=log a M n方法三:因为a log a M n=M na nlog a M=(a log a M)n=M n 所以a log a M n=a nlog a M所以log a M n=nlog a M得证.(2)方法一:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3) =lg32lg2⋅17lg26lg3=1712.方法二:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=log43(log98+log2716) =log223(log3223+log3324)=12log23(32log32+43log32)=12log23⋅176log32=1712.(3)方法一:设10k<20192020<10k+1,k∈N∗所以k<lg20192020<k+1所以k<2020lg2019<k+1所以k<2020×3.305<k+1所以6675.1<k<6676.1因为k∈N∗所以k=6676所以20192020的位数为6677方法二:设20192020=N所以2020lg2019=lgN所以2020×3.305=lgN所以lgN=6676.1所以N=106676.1=100.1×106676因为1<100.1<10,所以N有6677位数,即20192020的位数为6677小提示：本题主要考查了对数的运算以及利用对数的运算求解数字位数的问题,需要取对数分析对数值进行分析,属于中档题.。
高一数学对数函数经典题及详细答案
⾼⼀数学对数函数经典题及详细答案⾼⼀数学对数函数经典练习题⼀、选择题：（本题共12⼩题,每⼩题4分,共48分,在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的)1、已知32a =，那么33log 82log 6-⽤a 表⽰是( )A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ Ｄ、 23a a -答案Ａ。
∵3a =2→∴a=log 32则: log 38-2log 36=log 323-２log 3(2*３) =３ｌｏg 32-2［log 32+lo ｇ3３] =３a-2(a+1) =a-22、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为( ) A 、41B 、4 Ｃ、1 Ｄ、4或1答案B 。
∵2log a (M-2Ｎ)=log a M ＋log a N ，∴l ｏｇa (M-2Ｎ）2=ｌog a （ＭN ），∴(M －２N)2＝ＭN ，∴M 2-４MN+4N 2=ＭN ，→m 2-5m ｎ+４n 2=0（两边同除n 2)→(n m ）2-5n m ＋４=０,设x=n m→x 2-5x+4=0→(x 22==1x x ⼜∵2log (2)log log a a a M N M N -=+,看出M-2N ＞０ M>０ N>０∴n m =1答案为:４３、已知221,0,0x y x y +=>>,且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于（ )A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n - 答案D 。
∵loga(1+x)=ｍ l ｏga [１/(1-x)]=n,loga （1－x)=-n 两式相加得:→ loga [(1＋x)(1-x ）］=m-n →loga （1－ｘ2)＝m-n →∵ x 2+y 2=1，ｘ>0，y>0, → y 2＝1- x 2→ｌｏga(y 2）=m －n ∴２loga （ｙ)＝m-n→ｌog ａ(y)=21(m-n)4. 若x 1,x 2是⽅程lg 2x ＋(lg ３+lg2)lgx+ｌｇ3·lg2 = 0的两根,则x 1x 2的值是( ）.(A)．ｌg ３·lg2 (B)．lg ６ (C).6 （D).61答案D∵⽅程l ｇ2ｘ+（lg2＋lg3)lgx+ｌg ２l ｇ３＝0的两根为1x 、2x ,[注:ｌg 2ｘ即（lgx)2，这⾥可把lg ｘ看成能⽤X ，这是⼆次⽅程。
高一数学对数函数经典题及详细答案
高一数学对数函数经典题及详细答案1、已知3a=2，那么log3 8-2log3 6用a表示是（）A、a-2.B、5a-2.C、3a-(1+a)。
D、3a-a2/2答案：A。
解析：由3a=2，可得a=log3 2，代入log3 8-2log3 6中得：log3 8-2log3 6=log3 2-2log3 (2×3)=3log3 2-2(log3 2+log33)=3a-2(a+1)=a-2.2、2loga(M-2N)=logaM+logaN，则M的值为（）A、N/4.B、M/4.C、(M+N)2.D、(M-N)2答案：B。
解析：2loga(M-2N)=logaM+logaNloga(M-2N)2=logaMNM-2N=MNM=4N3、已知x+y=1，x>0，y>0，且loga(1+x)=m，loga(1-y)=n，则loga y等于（）A、m+n-2.B、m-n-2.C、(m+n)/2.D、(m-n)/2答案：D。
解析：由已知可得1-x=y，代入loga(1+x)=m中得loga(2-x)=m，两式相减得loga[(2-x)/(1+x)]=m-n，化简得loga[(1-x)/x]=m-n，即loga y=m-n，所以答案为D。
4、若x1，x2是方程lg2x+(lg3+lg2)lgx+lg3·lg2=0的两根，则x1x2=（）A、1/3.B、1/6.C、1/9.D、1/36答案：B。
解析：将lg2x+(lg3+lg2)lgx+lg3·lg2=0化为对数形式，得：log2x+(log23+log22)logx+log32=0log2x+(log2×3+log22)logx+log3+log2=0XXXlog2x+log2xlog23+log32+log2=0log2x(1+log23)+log32+log2=0log2x=log32+log2/(1+log23)x=2log32+log2/(1+log23)x1x2=2log32+log2/(1+log23)×2log32+log2/(1+log23)2log32+log2/(1+log23)22log32+2log2/(1+log23)2log2(3/2)2/(1+log23)2log2(9/4)/(1+log23)2log29/(1+log23)2log29/(1+log2+log23)2log29/(3+log23)2log29/(3+log2+log3)2log29/(3+1+log3)2log29/(4+log3)2log29/(4+log3/log10)2log29/(4+0.4771)1/61.答案D，已知lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值为16.2.答案C，已知log7[log3(log2x)]=0，则x等于2^3=8，x-1/2=2^3-1/2=15/2，x1•x2=2^3•15/2=60.3.答案C，lg12=2a+b，lg15=b-a+1，比值为(2a+b)/(1-a+b)，化简得到2a+b/(1-a+b)。
对数函数练习题(含答案)
对数函数一、选择题1.设0.32a =,20.3b =,2log 0.3c =,则,,a b c 的大小关系( )A. a b c <<B. b c a <<C. c b a <<D. c a b <<2.已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a <<3.式子25123lg lg lg +-= ( )A.2B.1C.0D.﹣24.使式子 2(1)log (1)x x -- 有意义的 x 的值是（ ）A. 1x <- 或 1x >B. 1x > 且 2x ≠C. 1x >D. 2x ≠5.函数()()22log 23f x x x =+-的定义域是( )A. []3,1-B. ()3,1-C. (][),31,-∞-⋃+∞D. (,3)(1,)-∞-⋃+∞6.已知0a >,且1a ≠,函数x y a =与log ()a y x =-的图像只能是图中的( ) A. B. C. D.7.函数()2()ln 28f x x x =--的单调递增区间是( )A. (),2-∞-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()4,+∞ 8.函数()()20.5f log 2x x x =-++的单调递增区间为( ) A. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D.前三个答案都不对二、填空题9.计算: =-⨯5log 3132log 9log 125278__________.10.计算: 4413log 3log 32⨯=__________.11.如图所示的曲线是对数函数log a y x =当a 取4个不同值时的图像,已知a 4313,,,3510,则相应于1234,,,C C C C 的a 值依次为__________.12.函数()()log 21a f x x =--(0,)a a >≠的图像恒过定点__________.13.函数()log 23a y x =++ (0a >且1a ≠)的图像过定点__________.14.若3436x y ==,则21 x y+=__________. 15.已知()()0.450.45log 2log 1x x +>-,则实数x 的取值范围是______.三、解答题16.解不等式: ()()2log 4log 2a a x x ->-.17. 求函数()22log 65y x x =-+的定义域和值域.18. 求函数212log (32)y x x =+-的值域.19.已知()()4log 41x f x =-.1.求()f x 的定义域;2.讨论()f x 的单调性;3.求()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.20.已知指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠且.(1)写出()f x 的反函数()g x 的解析式；(2)解不等式()log (23)a g x x ≤-参考答案1.答案：C解析：因为1a >,01b <<,0c <,所以c b a <<,故选C.2.答案：C解析：由对数和指数的性质可知，∵2log 0.30a =<，0.10221b =>=，1.300.20.21c =<=，∴a c b <<.3.答案：A解析：4.答案：B解析：由 210{1011x x x ->->-≠,解得 1x > 且 2x ≠. 5.答案：D解析：由题意,得2230x x +->,事实上,这是个一元二次不等式,此处,我们有两种解决方法:一是利用函数223y x x =+-的图像观察得到,要求图像正确、严谨;二是利用符号法则,即2230x x +->可因式分解为()()310x x +⋅->,则30,{10x x +>->或30,{10,x x +<-<解得1x >或3x <-, 所以函数()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞.6.答案：B解析：可以从图象所在的位置及单调性来判别.也可以利用函数的性质识别图象,特别注意底数a 对图象的影响。
高一数学(必修一)《第四章 对数函数》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第四章 对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列函数中，增长速度最快的是（ ）A ．2020x y =B ．2020y x =C ．2020log y x =D ．2020y x =2．函数()cos lg f x x x =-零点的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．03．函数()22e xx x f x -=的图象大致是( ) A ． B ． C ． D ．4．十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为（ ）（提示：31.065 1.208≈）A ．93.8万亿元B ．97万亿元C ．99.9万亿元D ．106.39万亿元 5．函数2sin 2()cos x x f x x x +=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 6．下列图象中，不可能是()()1R f x ax a x=+∈的图象的是（ ） A ． B ．C ．D ．7．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据.现有如下5个模拟函数：①0.580.16y x =-；②2 3.02x y =-；③2 5.58y x x =-+；④2log y x =．请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律（ ）A ．① B ．②C ．③D ．④二、填空题8．旅行社为某旅游团租飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人，则飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票每张少收10元，但旅游团的人数不超过60人．设该旅游团的人数为x 人，飞机票总费用为y 元，旅行社从飞机票中获得的利润为Q 元，当旅游团的人数x =_____________时，旅行社从飞机票中可获得最大利润．三、解答题9．函数121.1()ln 1((,)),x f g x x h x x x ===+的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．10．2020年11月24日4时30分，长征五号遥五运载火箭在中国文昌航天发射场点火升空，顺利将嫦娥五号探测器送入预定轨道．探测器实施2次轨道修正，2次近月制动后，顺利进入环月轨道，于12月1日23时11分在月球正面预选区域成功着陆，并开展采样工作．12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，实现了中国首次月球无人采样返回，助力月球成因和演化历史等科学研究．某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V （单位：km/s ）满足ln m M V W M+=，其中W （单位：km/s ）表示它的发动机的喷射速度，m （单位：t ）表示它装载的燃料质量，M （单位：t ）表示它自身的质量（不包括燃料质量）．(1)某单级火箭自身的质量为50t ，发动机的喷射速度为3 km/s ，当它装载100 t 燃料时，求该单级火箭的最大速度（精确到0.1 km/s ）．(2)根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2 km/s ，该单级火箭的最大速度能否超过7.9 km/s ？（参考数据： 2.71828e =…和ln3 1.10≈）11．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观测站，测量最大积雪深度x 与当年灌溉面积y 现有连续6年的实测资料，如下表所示：（1）描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图像；（2）建立一个基本反映灌溉面积关于最大积雪深度的函数模型；（3）根据所建立的函数模型，问：若今年最大积雪深度用25cm 来估算，可以灌溉土地多少公顷？12．下表是弹簧伸长长度x （单位：cm ）与拉力F （单位：N ）的相关数据：描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式． 参考答案与解析1．A【分析】直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断.【详解】2020x y =是指数函数，2020y x =是幂函数，2020log y x =是对数函数， 2020y x =是一次函数 因为当x 足够大时，指数函数增长速度最快故选：A2．A 【分析】由()cos lg 0f x x x =-=，得cos lg x x =，则将函数()f x 零点的个数转化为cos ,lg y x y x ==图象的交点的个数，画出两函数的图象求解即可【详解】由()cos lg 0f x x x =-=，得cos lg x x =所以函数()f x 零点的个数等于cos ,lg y x y x ==图象的交点的个数函数cos ,lg y x y x ==的图象如图所示由图象可知两函数图象有4个交点所以()f x 有4个零点故选：A3．B【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解．【详解】由()0f x =得0x =或2，故排除选项A ；当x →+∞时，函数值无限靠近x 轴，但与x 轴不相交，只有选项B 满足．故选：B ．4．C【分析】依题意可得2020年的国内生产总值约为()382.71 6.5%⨯+从而计算可得；【详解】解：依题意可得2020年的国内生产总值约为()382.71 6.5%82.7 1.20899.901699.9⨯+≈⨯=≈ 故选：C【点睛】本题考查指数函数的应用，属于基础题.5．D【分析】根据函数的奇偶性可排除AC ；再根据2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小即可排除B ，即可得解. 【详解】解：()2sin 2()cos x x f x f x x x ---==-+所以函数()f x 为奇函数，故排除AC ； 又()224111124f πππππππ+++⎛⎫==>> ⎪⎝⎭，排除B. 故选：D.6．B【分析】利用特殊值，分类讨论，借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排除.【详解】当a ＝0时，则()1f x x=，为反比例函数，对应A 中图象，故A 错误； 当0a >时，则()1f x ax x =+是对勾函数，函数为奇函数，且0x >时()f x在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，对应D 中图象，故D 错误；当0a <时，则()1f x ax x=+为奇函数，且0x >时y ax =，1y x =均单调递减，故()f x 在(0,)+∞单调递减，对应C 中图象，故C 错误.故选：B.7．D【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律．【详解】解：根据表中数据，画出图象如下：通过图象可看出，2log y x =能比较近似的反应这些数据的规律．故选：D ．8．57或58【分析】根据题意，写出y 与x 的分段函数模型，进而表示出Q 与x 的分段函数模型，然后根据二次函数的性质求解最大值.【详解】解析：依题意，得2800(135),101150(3560),x x x y x x x x ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N 且且则旅行社的利润280015000(135),1500010115015000(3560).x x x Q y x x x x -≤≤∈⎧=-=⎨-+-<≤∈⎩N N 且且当135x ≤≤且x N ∈时，max 800351500013000Q =⨯-=；当3560x <≤且x N ∈时2115361251022Q x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当57x =或58x =时，Q 最大最大为18060．综上，当57x =或58x =时，旅行社可获最大利润．【点睛】利用分段函数模型解决实际问题的策略：对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小；在求解最值时，一般可利用函数的性质求解，也可以利用基本不等式计算.9．见解析【分析】由题意结合函数图像分别讨论函数在点1，a ，b ，c ，d ，e 时函数值的大小即可得出函数增长的差异.【详解】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得:曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x ，曲线C 2对应的函数是12()h x x =曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1由题图知，当x <1时，f (x )>h (x )>g (x )；当1<x <e 时，f (x )>g (x )>h (x )；当e <x <a 时，g (x )>f (x )>h (x )；当a <x <b 时，g (x )>h (x )>f (x )；当b <x <c 时，h (x )>g (x )>f (x )；当c <x <d 时，h (x )>f (x )>g (x )；当x >d 时，f (x )>h (x )>g (x )．10．(1)3.3 km/s(2)该单级火箭的最大速度不能超过7.9 km/s【分析】（1）把3W =，50M =和100m =，代入m M V WlnM +=，即可求出结果． （2）由9m M ，2W =可得210m MV Wln ln M +=，由对数的运算性质结合参考数据可知7.97.9210lne ln =>，从而求出7.9V <．(1)由题知3W =，50M =和100m = ∴10050ln 3ln 3ln 3 3.350m M V W M ++==⨯=≈ ∴该单级火箭的最大速度约为3.3 km/s ．(2) 由题知9m M≤，2W =∴110m M m M M +=+≤ ∴ln2ln10m M V W M +=≤． ∵7.97.9722128100e >>=>∴7.97.9ln ln1002ln10e =>=，∴7.9V <．∴该单级火箭的最大速度不能超过7.9 km/s ．11．（1）见解析；（2） 2.2 1.8y x =+；（3）47.2公顷【分析】（1）根据表中的数据，在坐标轴中描出各点即可；（2）观察（1）中的图像，判断问题所适用的函数模型，并用待定系数法确定函数解析式；（3）把25x =代入（2）求得的函数解析式，求出的函数值即为答案；【详解】解:（1）描点作图如图（2）从图中可以看出，效据点大致都落在条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y （公顷）最大积雪深度x （crn ）满足一次函数模型：y a bx =+取其中的两组数据()10.4,21.1，()24.0,45.8代入y a bx =+得21.110.445.824a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得 2.21.8a b ≈⎧⎨≈⎩. 这样我们得到一个函数模型： 2.2 1.8y x =+（3）由25x =得 2.2 1.82547.2y =+⨯=，即当积雪深度为25cm 时，可以灌溉土地约47.2公顷.【点睛】本题考查了散点图以及求直线方程，解题的关键是把表中的数据处理，构建模型，属于基础题.12．图见解析14.40.20x F F .【分析】本题可结合表中数据绘出函数图像，然后令x kF b ，取点1,14.1、4,57.5代入函数解析式进行计算，即可得出结果.【详解】如图，结合表中数据绘出函数图像：结合函数图像选择一次函数建立函数模型设函数解析式为x kF b取点1,14.1、4,57.5代入函数解析式中得14.157.54k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得14.4k0.2b故函数解析式为14.40.20x F F，经检验满足题意.。
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对数的运算性质1．例题分析：例1．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式： （1）log a xyz ； （2）23log a x y z．解：（1）log a xyzlog ()log a a xy z =- log log log a a a x y z =+-；例2．求下列各式的值：（1）()752log 42⨯； （2）5lg 100 ．解：（1）原式=7522log 4log 2+=227log 45log 2725119+=⨯+⨯=； （2）原式=2122lg10lg10555== 例3．计算：（1）lg14-21g18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+． 解：（1）解法一：18lg 7lg 37lg214lg -+-2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)=⨯--+-⨯ lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=；解法二：18lg 7lg 37lg214lg -+-27lg14lg()lg 7lg183=-+-=18)37(714lg 2⨯⨯lg10==；说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。
（2）253lg 23lg 53lg 3lg 9lg 243lg 25===； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+=11332223(lg32lg 21)lg(3)lg 23lg103232lg32lg 212lg10+-+-==⨯+-． 例4．已知lg 20.3010=，lg30.4771=，求lg1.44的值。
分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将 1.44进行恰当变形：22121.44 1.2(3210)-==⨯⨯，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。
解：2212lg1.44lg1.2lg(3210)-==⨯⨯2(lg32lg 21)=+- 2(0.477120.30101)0.1582=+⨯-=．说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。
例5．已知log log a a x c b =+，求x ．分析：由于x 是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困（2）23log ax yz23log ()log a a x y z =-23log log log a a a x y z =+-112log log log 23a a a x y z =+-．难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式。
解：（法一）由对数定义可知：bc a ax +=log log a c b b a a c a =⋅=⋅．（法二）由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b cxa =log ，由对数定义知：b ac x =，∴ b x c a =⋅．（法三）log b a b a =，∴log log log b a a a x c a =+log b a c a =⋅，∴ b x c a =⋅．说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。
1．对数的运算性质：如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log aa a MM N N=； （3）log log ()n a a M n M n R =∈．证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 pM a =，qN a =， ∴pqp qMN a a a+=⋅=，∴log ()a MN =p q +，即证得log log log a a a MN M N =+．练习：证明性质2． 说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如 11025101010==+log log log ； （3）注意定义域： )(log )(log ))((log 5353222-+-=-- 是不成立的， )(log )(log 1021010210-=-是不成立的； （4）当心记忆错误：N log M log )MN (log a a a ⋅≠，试举反例， N l o g M l o g )N M (l o g a a a ±≠±，试举反例。
例6．（1）已知32a=，用a 表示33log 4log 6-；（2）已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3．解：（1）∵32a =，∴3log 2a =， ∴ log 3 4 - log 3 6 = 112log 32log 33-=-=a ． （2）∵35b=， ∴3log 5b =， 又∵3log 2a =，∴30log 3=()31log 2352⨯⨯()33311log 2log 3log 5(1)22a b =++=++． 换底公式1．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 pM a =， ∴nnpM a =， ∴log n a M np =，即证得log log n a a M n M =．证明：设log a N x =，则xa N =，两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =，从而得：a N x m m log log =， ∴ aNN m m a log log log =．说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅b a a b a b b a ；（2） lg lg log log lg lg m n na m ab n b n b b a m a m===．2．例题分析： 例1．计算：（1） 0.21log 35-； （2）4492log 3log 2log 32⋅+．解：（1）原式 =0.251log 3log 3555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅．例2．已知18log 9a =，185b=，求36log 45（用 a , b 表示）． 解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 1218log 1818， ∴18log 21a =-， 又∵185b=， ∴18log 5b =， ∴aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836． 例3．设1643>===t zy x ，求证：yx z 2111=-． 证明：∵1643>===t zy x ，∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，， ∴yt t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-． 例4．若8log 3p =，3log 5q =，求lg 5．解：∵8log 3p =， ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p ， 又∵ q ==3lg 5lg 5log 3，∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ， ∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pqpq3135lg +=． 例5．计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++．解：原式23254312223(log 3log 3)(log 2log 2)log 2=++- 45)2l o g 212)(l o g 3l o g 313l o g 21(3322+++=254545452log 233log 6532=+=+⋅=． 例6．若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m ． 解：由题意可得：218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ， ∴3lg 21lg =m ，∴3=m ．对数函数例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。
解：（1）由2x >0得0≠x ，∴函数2log x y a =的定义域是{}0x x ≠；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4x x <；（3）由9-02>-x 得-33<<x ，∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33x x -<<．说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。
例2．求函数251-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。
解：（1）125xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴115()log (2)f x x -=+ (-2)x >；（2） 211-22x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭∴-112()log (-2)f x x =- 5(2)2x <<． 例4．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . 解：（1）对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，于是2log 3.4<2log 8.5；（2）对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上是减函数，于是0.3log 1.8>0.3log 2.7；（3）当1a >时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是增函数，于是log 5.1a <log 5.9a ，当1o a <<时，对数函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数，于是log 5.1a >log 5.9a ．例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（1）6log 7，7log 6； （2）3log π，2log 0.8； （3）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； （4）5log 3，6log 3，7log 3． 解：（1）∵66log 7log 61>=， 77log 6log 71<=，∴6log 7>7log 6； （2）∵33log log 10π>=， 22log 0.8log 10<=，∴3log π>2log 0.8． （3）∵0.901.11.11>=， 1.1 1.1log 0.9log 10<=， 0.70.70.70log 1log 0.8log 0.71=<<=， ∴0.91.1>0.7log 0.8> 1.1log 0.9．（4）∵3330log 5log 6log 7<<<， ∴5log 3>6log 3>7log 3． 例6．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。