2021届高三五校联考(一)数学模拟试题含解析【11份合集】
2021年10月浙江省五校(杭州高中杭州二中等)2021届高三毕业班上学期第一次联考数学试题及答案
绝密★启用前浙江省五校联考联盟(杭州高中 杭州二中 学军中学 绍兴一中 效实中学) 2022届高三毕业班上学期第一次联考质量检测数学试题2021年10月考生须知：1.本卷满分150分,考试时间120分钟；2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效；4.考试结束后,只需上交答题卷。
参考公式：若事件A,B 互斥,则P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)若事件A,B 相互独立,则P(AB)＝P(A)P(B)若事件A 在一次试验中发生的概率是p,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率P n (k)＝C n k p k (1－p)n －k (k ＝0,1,2,…,n)台体的体积公式：V ＝13(S 1＋S 2)h 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式：V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式：V ＝13Sh 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公式：S ＝4πR 2球的体积公式：V ＝43πR 3 共中R 表示球的半径第I 卷(选择题部分,共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|0<x<2},B ＝{x|x 2＋4x －5>0},则AI(∁R B)等于A.{x|0<x ≤1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x<2}D.{x|－1≤x<2}2.已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方,则实数b 的取值范围为A.b>－3B.b<－3C.－3<b<0D.b>0或b<－33.若a>b>0,m<0。
则下列不等式成立的是A.am 2<bm 2B.m b a ->1C.a m a b m b -<-D.22a m b m a b --> 4.已知sin(4π＋α)＝13,则cos(2π－2α)＝ A.－79 B.79C.－429D.429 5.函数f(x)＝(1－x21e +)cosx(其中e 为自然对数的底数)的图象大致形状是6.有10台不同的电视机,其中甲型3台,乙型3台,丙型4台。
河北省衡水市五校2021届高考数学联考试卷(一)(含答案解析)
河北省衡水市五校2021届高考数学联考试卷(一)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|−4<x<1}，B={x|−3<x<2}，则A∩B等于()A. {x|−3<x<1}B. {x|1<x<2}C. {x|x>−3}D. {x|x<1}2.(−1+√3i2)2015=()A. −1+√3i2B. −1−√3i2C. −1D. 13.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷500次，那么第499次出现正面朝上的概率是()A. 1499B. 1500C. 499500D. 124.已知镭经过100年，剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年的剩留量为y，则y与x的函数关系是()A. y=0.9576B. y=0.9576100xC. y=(0.9576%) xD. y=1−0.04245.函数f(x)=2sin|x|−1x2的部分图象大致为()A. B.C. D.6.已知cosα<0，tan2α>0，则在(0,π)内，α的取值范围是()A. (0,π4) B. (π2,3π4) C. (3π4,π) D. (π2,π)7.在△ABC中，若∠B=30°，AB=2√3，AC=2，则△ABC的面积为()A. √3B. 2√3或√2C. 2√3或√3D. 2√38.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)=x 3−x，则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A. 6B. 7C. 8D. 9二、多选题（本大题共4小题，共12.0分） 9.已知由样本数据(x 1,y 1)(i =1,2，3，…，8)组成的一个样本，得到回归直线方程为y ̂=2x −0.4且x −=2，去除两个歧义点(−2,7)和(2,−7)后，得到新的回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是( )A. 相关变量x ，y 具有正相关关系B. 去除歧义点后的回归直线方程为y ̂=3x −3.2C. 去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小D. 去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为0.1(附：e ̂1=y 1−y i ̂)10. 函数y =f(x)图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f(x)为奇函数．有同学据此推出以下结论，其中正确的是( )A. 函数y =f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的图形的充要条件是为奇函数B. f(x)=x 3−3x 2的图象的对称中心为(1,−2)C. 函数y =f(x)的图象关于x =a 成轴对称的充要条件是函数y =f(x −a)是偶函数D. g(x)=|x 3−3x 2+2|是关于x =1对称11. 已知函数f(x)=2lnx +1x ，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，a n+1=f(a n )(n ∈N ∗)，则下列有关数列{a n }的叙述正确的是( )A. a 2<a 1B. a n >1C. S 100<100D. a n ⋅a n+1+1<2a n12. 已知抛物线C 1 ： y 2=2x ，C 2 ： y 2=2ax(a >0)，C 3 ： y 2=2bx(b >0)，若直线l ：y =kx与C 1交于O ，A 两点、与C 2交于O ，B 两点、与C 3交于O ，M 两点，则下列说法正确的是( )A. b =1+a 2时，|OM|=|OA|+|OB|2B. b =√a 时，|OM|2=|OA|⋅|OB|C. b =2a 1+a 时，1|OM|=1|OA|+1|OB| D. b =√1+a 22时，|OM|2=|OA|2+|OB|22三、单空题（本大题共3小题，共15.0分） 13. 已知双曲线x 2m−y 2=1和椭圆x 212+y 24=1焦点相同，则该双曲线的方程为______．14. 已知甲、乙、丙、丁、戊五名同学全部分到A ，B 两个班级，若甲必须在A 班，且每班至少有这五名中的2人，则不同的分配方案有______种．15. 已知函数f(x)=lnx −x 3与g(x)=x 3−ax ，若函数f(x)图象上存在点P ，且点P 关于x 轴对称点Q 在函数g(x)图象上，则实数a 的取值范围为______． 四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知点P(3,4)和圆C ：(x −2)2+y 2=4，A ，B 是圆C 上的两个动点，且|AB|=2√3，则圆心到直线AB 的距离d = (1) ；OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(O 为坐标原点)的取值范围是 (2) ． 五、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知△ABC 中的周长为√2+1，且sinB +sinC =√2sinA (1)求边BC 的长；(2)若△ABC 面积为16sinA ，求角A 度数．18. 已知数列{a n }是以1为首项的等差数列，数列{b n }是以q(q ≠1)为公比的等比数列，且a 2=b 1，a 3−a 1=b 2−b 1，a 2b 2=b 3． (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)若S n =a 1b n +a 2b n−1+⋯+a n−1b 2+a n b 1，求S n ．19. 在三棱锥S −ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =√13，SB =√29． (1)求证：SC ⊥BC ；(2)求SC 与AB 所成角的余弦值．20. 2019年春节期间，当红影视明星翟天临“不知‘知网’”学术不端事件在全国闹得沸沸扬扬，引发了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院乃至整个中国学术界高等教育乱象的反思，为进一步端正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的2019年部门预算中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文6000篇，预算为800万元，国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3为同行专家进行评议，3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学位论文”；有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2为复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p(0<p<1)，且个篇论文是否被评议为“不合格”相互独立．(1)相关部门随机抽查了300位博士硕士论文，每人一篇，抽检是否合格，抽检得到的部分数据如表所示：通过计算说明是否有99.9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系？(2)若p=12，记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为p0，求p0的值；(3)若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其他费用总计为100万元，现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d临界值表：21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，且AB=2，离心率为√32，O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设P，Q是椭圆C上的两个动点(不与A，B重合)，且关于y轴对称，M，N分别是OP，BP的中点，直线AM与椭圆C的另一个交点为D.求证：D，N，Q三点共线．22.已知函数f(x)=xlnx−ax2，g(x)=f′(x)．(1)若a≥12，试判断函数g(x)的零点个数；(2)若函数f(x)在定义域内不单调且在(2,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵A={x|−4<x<1}，B={x|−3<x<2}，∴A∩B={x|−3<x<1}．故选：A．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：(−1+√3i2)2015=[(−12+√32i)3]671⋅(−12+√32i)2=1×(−12+√32i)2=−12−√32i．故选：B．由−12+√32i为1的一个立方虚根，把要求值的式子变形化简．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了互为共轭复数的概念，是基础的计算题．3.答案：D解析：解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第499次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每中结果等可能出现由古典概率的等可能性知，每一次出现正面向上的概率都相等．故所求概率为12故选：D简化模型，只考虑第499次出现的结果，有两种结果，第499次出现正面朝上只有一种结果，即可求本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．4.答案：A解析：解：设衰变率为a，则(1−a)100=0.9576，得1−a=0.95761100，则．故答案选：A．5.答案：A解析：解：因为f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C，D；∵f(π6)=0，且0<x<π6时，f(x)<0，∴排除B．故选：A．由函数为偶函数，排除CD，由f(π6)=0，且0<x<π6时，f(x)<0，排除B．本题考查由函数解析式确定函数图象，通常从单调性，奇偶性，特殊点等角度，运用排除法求解，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵cosα<0，∴2kπ+π2<α<2kπ+3π2，k∈Z，∴在(0,π)内，α的取值范围是(π2,π)∵tan2α>0，∴2kπ<2α<2kπ+π2，或2kπ+π<2α<2kπ+3π2，k∈Z，可解得：kπ<α<kπ+π4或kπ+π2<α<kπ+3π4，k∈Z∴在(0,π)内，α的取值范围是(0,π4)∪(π2,3π4)综上可得，在(0,π)内，α的取值范围是(π2,3π4).故选：B．由cosα<0，可解得在(0,π)内，α的取值范围是(π2,π)，由tan2α>0可解得在(0,π)内，α的取值范围是(0,π4)∪(π2,3π4)，取交集即可得到在(0,π)内，α的取值范围是(π2,3π4).本题主要考察了三角函数值的符号的确定，属于基本知识的考查．7.答案：C解析：解：∵△ABC中，B=30°，AB=2√3，AC=2，∴2√3sinC =2sin30°，∴sinC=√32，∴C=60°或120°，∴A=90°或30°，∴△ABC的面积为12⋅AB⋅AC⋅sinA=2√3或√3．故选：C．利用正弦定理，求出C ，从而可求A ，利用△ABC 的面积12⋅AB ⋅AC ⋅sinA ，即可得出结论 本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：B解析：当0≤x <2时，令f (x )=x 3−x =0，得x =0或x =1． 根据周期函数的性质，由f (x )的最小正周期为2， 可知y =f (x )在[0,6)上有6个零点， 又f (6)=f (3×2)=f (0)=0，所以f (x )在[0,6]上与x 轴的交点个数为7．9.答案：ABD解析：解：由x −=2，代入y ̂=2x −0.4，得y −=2×2−0.4=3.6， ∴去除两个歧义点(−2,7)和(2,−7)后， 得到新的x −=2×86=83，y −=3.6×86=4.8，又得到新的回归直线的斜率为3，∴新的线性回归方程的a ̂=4.8−3×83=−3.2，则去除两个歧义点后的线性回归方程为y ̂=3x −3.2，故B 正确； 又由斜率3>1，相关变量x ，y 具有正相关关系，故A 正确；且去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变大，故C 错误；当x =4时，y ̂=3×4−3.2=8.8，则去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为8.9−8.8=0.1，故D 正确． 故选：ABD ．由已知求得y −，进一步求出去除歧义点后的x 与y 的平均数，结合新的回归直线的斜率求a ̂，则线性回归方程可求，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．10.答案：BD解析：解：对于A ，函数y =f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的图形的充要条件是是为奇函数，说法错误，比如函数y=(x−1)3的图象关于点(1,0)成中心对称的图形，但是函数y=(x−1)3不是奇函数，A 错误；对于B，f(x)=x3−3x2=(x−1)3−3(x−1)−2，函数y=x3为奇函数，其图象关于原点对称，而函数f(x)=x3−3x2的图象是由函数y=x3的图象向右平移一个单位，向下平移两个单位得到，故f(x)=x3−3x2的图象的对称中心为(1,−2)，B正确；对于C，因为函数y=f(x)的图象关于x=0成轴对称的充要条件是函数y=f(x)是偶函数，所以函数y=f(x)的图象关于x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x+a)是偶函数，因此C不正确；对于D，作出函数的图象，如图所示：由图可知，D正确．故选：BD．对于A，说法错误，比如函数y=(x−1)3的图象关于点(1,0)成中心对称的图形，但是函数y=(x−1)3不是奇函数；对于B，f(x)=x3−3x2=(x−1)3−3(x−1)−2，函数y=x3为奇函数，其图象关于原点对称，根据平移变换即可判断出正误；对于C，因为函数y=f(x)的图象关于x=0成轴对称的充要条件是函数y=f(x)是偶函数，即可判断出正误；对于D，作出函数的图象，如图所示：即可判断出正误．本题主要考查充要条件的判断，以及函数对称性，奇偶性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：AB解析：解：A选项，a2=2ln2+12=ln4+12<lne32+12=2，A正确；B选项，因为f′(x)=2x −1x2=2x−1x2，所以当x>1时，f(x)单增，所以f(x)>f(1)=1，因为a1=2>1，所以a n+1=f(a n)>1，所以a n>1，B正确；C选项，因为a n>1，所以S100>100，C错误；D选项，令ℎ(x)=lnx+1x −1(x>1)，ℎ′(x)=1x−1x2=x−1x2>0，所以ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0，所以lna n +1a n−1>0，则2lna n +2a n−2>0，所以(2lna n +1a n)+1a n>2，即a n+1+1a n>2，所以a n a n+1+1>2a n ，所以D 错误． 故选：AB ．利用数列与函数的关系，推出第二项与第一项的关系，判断A ；通过函数的导数，判断函数的单调性，推出a n >1，判断B ；利用数列的和判断C ；利用函数的导数判断函数的单调性，结合数列与函数的关系推出a n a n+1+1>2a n ，判断D ．本题考查数列与函数的综合应用，函数的导数以及函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力，是难题．12.答案：ABD解析：解：联立{y =kx y 2=2x 可得k 2x 2=2x ，所以可得A(2k 2,2k )；同理可得B(2a k 2,2ak)，M(2b k 2,2b k)，A 中，b =1+a 2，所以可得2b =a +1，因为|OM|=√4b 2k 4+4b 2k 2=2b k 2√1+k 2， 而|OA|=√4k 4+4k 2=2k 2√1+k 2，|OB|=√4a 2k 4+4a 2k 2=2a k 2√1+k 2，所以|OA|+|OB|2=1+a k 2√1+k 2=2bk 2√1+k 2=|OM|，所以A 正确；B 中，由b =√a ，所以b 2=a ，因为|OM|2=4b 2k 4(1+k 2)=4ak 2(1+k 2)，而|OA|⋅|OB|=2k 2√1+k 2⋅2ak 2√1+k 2=4ak 4(1+k 2)， 所以|OM|2=|OA|⋅|OB|，所以B 正确； C 中，b =2a 1+a，所以1b =1+a2a，所以1|OM|=22b√1+k 2=24a√1+k 2， 而1|OA|+1|OB|=22√1+k 2+22a√1+k 2=22a√1+k 2， 显然1|OM|≠1|OA|+1|OB|，所以C 不正确； D 中，b =√1+a 22所以b 2=1+a 22，所以|OM|2=(√4b 2k 4+4b 2k 2)2=(2b k 2√1+k 2)2=4b 2(1+k 2)k 4=2(1+a 2)(1+k 2)k 4，而|OA|2+|OB|22=4(1+k2)k4+4a2(1+k2)k42=2(1+a2)(1+k2)k4，所以|OM|2=|OA|2+|OB|22，所以D正确．故选：ABD．将直线l与3个抛物线联立求出A，B，M的坐标，分别由给出的b与a的关系求出|OM|，|OA|，|OB|的值，进而判断所给命题的真假．本题考查直线与抛物线相交求交点的方法及两点间的距离的求法，命题的真假的判断方法，属于中档题．13.答案：x27−y2=1解析：本题考查椭圆和双曲线的概念和几何性质，属于简单题．根据题意，求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得m+1=8，解可得m的值，将m的值代入双曲线的方程，即可得答案．解：根据题意，椭圆x212+y24=1的焦点在x轴上，且其焦点坐标为(±2√2,0)，若双曲线x2m −y2=1和椭圆x212+y24=1焦点相同，则有m+1=8，解得m=7；则双曲线的方程为：x27−y2=1．故答案为：x27−y2=1．14.答案：10解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，将5人分为人数为2、3的两组，有C52=10种分法，②，将甲所在的组安排到A班，剩下的1组安排到B班，有1种情况，则有10×1=10种不同的安排方法；故答案为：10．根据题意，分2步进行分析：①，将5人分为人数为2、3的两组，②，将甲所在的组安排到A班，剩下的1组安排到B班，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.答案：(−∞,1e].解析：解：函数f(x)=lnx −x 3与g(x)=x 3−ax 的图象上存在关于x 轴的对称点，∴f(x)=−g(x)在(0,+∞)上有解，即lnx −x 3=−x 3+ax 在(0,+∞)上有解，∴lnx =ax ，在(0,+∞)上有解，分别设y =lnx ，y =ax ，若y =ax 为y =lnx 的切线，则y′=1x ， 设切点为(x 0,y 0)，则a =1x 0，ax 0=lnx 0， ∴x 0=e ，∴a =1e ，结合图象可知，a ≤1e ．故答案为：(−∞,1e ].由题意可知f(x)=−g(x)有解，即y =lnx 与y =ax 有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a 的范围．本题考查导数的几何意义，以及参数的取值范围问题，关键是转化为y =lnx 与y =ax 有交点，属于中档题． 16.答案：1[2,22]解析：解：①圆C ：(x −2)2+y 2=4的圆心为C(2,0)，半径为2，弦长|AB|=2√3，则圆心C 到直线AB 的距离为d =√22−(√3)2=1；②由题意知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，(M 是AB 的中点)，|CM|=1， 所以M 的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆，且M 的轨迹方程为：(x −2)2+y 2=1，令{x =2+cosθy =sinθ， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(3,4)⋅(2+cosθ,sinθ)=12+(6cosθ+8sinθ)=12+10sin(θ+α)，tanα=34；所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的最大值22，最小值2，其取值范围是[2,22]．故答案为：①1；②[2,22]．①根据圆C 的圆心到直线AB 的距离与半径和弦长的一半构成直角三角形，利用勾股定理求得结果； ②由题意知AB 的中点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，利用参数法求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )的最大、最小值即可．本题考查了平面向量的综合应用问题，是中档题．17.答案：解：(1)∵sinB +sinC =√2sinA∴由正弦定理，得b +c =√2a又∵△ABC 的周长a +b +c =√2+1，∴a +√2a =√2+1，解之得a =1，即BC 的长为1；(2)∵△ABC 面积为16sinA ，∴12bcsinA =16sinA ，可得bc =13由(1)的结论，得b +c =√2a =√2∴b 2+c 2=(b +c)2−2bc =43由余弦定理，得cosA =b 2+c 2−a 22bc =43−12×13=12 结合A 为三角形的内角，可得A =60°．解析：(1)利用正弦定理化简已知等式，得b +c =√2a ，与三角形的周长为√2+1联解可得a =1，即BC 的长为1；(2)根据三角形的面积公式算出bc =13，结合(1)的结论b +c =√2a =√2，算出b 2+c 2=43.再利用余弦定理的式子解出cos A 的值，即可得到角A 度数．本题给出三角形的周长和角的关系式，求边BC 的长并依此求角的大小．着重考查了正余弦定理解三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题． 18.答案：解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的首项为b 1，则a n =1+(n −1)d ，b n =b 1q n−1．依题意可得{1+d =b 12d =b 1(q −1)(1+d)b 1q =b 1q 2，解得d =1，b 1=2，q =2，所以a n =n ，b n =2n ．(2)S n =1×2n +2×2n−1+⋯+n ×21，①所以2S n =1×2n+1+2×2n +⋯+n ×22，②②−①可得，S n =2n+1+(2n +2n−1+⋯+22)−n ×21 =2n+2−42−1−2n =2n+2−(2n +4)． 解析：(1)根据依题意可得{1+d =b 12d =b 1(q −1)(1+d)b 1q =b 1q 2，解得即可，(2)利用错位相减法即可求出．本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和错位相减法，考查了运算能力，属于中档题 19.答案：解法一：如图，取A 为原点，AC 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC =2，BC =√13，SB =√29，∴B(0,√17,0)、S(0,0，2√3)、C(2√1317,4√17,0)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√1317,√17,−2√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√1317,√17,0)．(1)∵SC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴SC ⊥BC ． (2)设SC 与AB 所成的角为α，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√17,0)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，|SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√17，∴cosα=√1717，即为所求． 解法二：(1)∵SA ⊥面ABC ，AC ⊥BC ，AC 是斜线SC 在平面ABC 内的射影，∴SC ⊥BC ．(2)如图，过点C 作CD//AB ，过点A 作AD//BC 交CD 于点D ，连接SD 、SC ，则∠SCD 为异面直线SC 与AB 所成的角．∵四边形ABCD 是平行四边形，CD =√17，SA =2√3，SD =√SA 2+AD 2=√12+13=5，∴在△SDC 中，由余弦定理得cos∠SCD =√1717，即为所求． 解析：本题考查利用空间向量证明垂直和求夹角和距离问题，以及面面垂直的判定定理，体现了转化的思想方法，利用综合法求异面直线所成的角，关键是找出这个角，把空间角转化为平面角求解，体现了转化的思想，属中档题．解法一：(1)建立坐标系，写出有关点的坐标，B ，C ，S ，(1)要证SC ⊥BC ；只要证EF ⊥面PAB ，只要证SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可； (2)要求异面直线SC 与AB 所成的角的余弦值，只要求SC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角的余弦值即可；解法二：综合法证明，(1)要证SC ⊥BC ，只要证AC ⊥BC 即可；(2)要求SC 与AB 所成角的余弦值，通过平移找到SC 与AB 所成角，解三角形即可．20.答案：50解析：解：(1)根据题意，填写列联表如下；计算K 2=300×(150×50−50×50)2200×100×200×100=300×5000×5000200×100×200×100=18.75>10.828，所以有99.9%的把握认为论文是否合格与作者的学位高低有关系；(2)因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 32⋅p 2⋅(1−p)+C 33⋅p 3=3×(12)3+(12)3=12；一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 31⋅p ⋅(1−p)2⋅[1−(1−p)2]=3×(12)3×[1−(12)2]=932；所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为p 0=12+932=2532；(3)设每篇学位论文评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500；则P(X =1500)=C 31⋅p ⋅(1−p)2，P(X =900)=1−C 31⋅p ⋅(1−p)2；所以E(X)=900×[1−C 31⋅p ⋅(1−p)2]+1500×C 31⋅p ⋅(1−p)2=900+1800p(1−p)2； 令g(p)=p(1−p)2，p ∈(0,1)；则g′(p)=(1−p)2−2p(1−p)=(3p −1)(p −1)；所以当p ∈(0,13)时，g′(p)>0，g(p)在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g′(p)<0，g(p)在(13,1)上单调递减；所以g(p)的最大值为g(13)=427；所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×427)×10−4=800(万元)．(1)根据题意，填写列联表，计算K 2的值，对照临界值得出结论；(2)分别计算一篇学位论文初评和复评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再求和；(3)根据每篇学位论文评审费X 的可能取值，计算对应的概率值，求出E(X)，利用函数计算E(X)的最大值即可．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了概率与数学期望的计算问题，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)因为椭圆的焦点在x轴上，AB=2，离心率e=√32，所以b=1，ca =√32.所以由a2=b2+c2，得a2=4．所以椭圆C的标准方程是x24+y2=1．(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,y0)，所以Q的坐标为(−x0,y0).因为M，N分别是OP，BP的中点，A(0,1)，B(0,−1)，所以M点的坐标为(x02 ,y02)，N点的坐标为(x02,y0−12)．所以直线AD的方程为y=y0−2x0x+1．代入椭圆方程x24+y2=1中，整理得[x02+4(y0−2)2]x2+8x0(y0−2)x=0．所以x=0，或x=8x0(2−y0)x02+4(y0−2)2=2x0(2−y0)5−4y0．所以y=y0−2x0⋅2x0(2−y0)5−4y0+1=−2y02+4y0−35−4y0．所以D的坐标为(2x0(2−y0)5−4y0,−2y02+4y0−35−4y0)．所以k QN=y0−12−y0x02+x0=−y0+13x0．又k QD=−2y02+4y0−35−4y0−y0 2x0(2−y0)5−4y0+x0=(y0+1)(2y0−3)3x0(3−2y0)=−y0+13x0=k QN．所以D，N，Q三点共线．解析：(Ⅰ)通过椭圆的焦点在x轴上，AB=2，离心率e=√32，求出a，b，然后求解椭圆方程．(Ⅱ)设点P 的坐标为(x 0,y 0)，所以Q 的坐标为(−x 0,y 0).求出M 点的坐标为(x 02 ,y02)，N 点的坐标为(x 02,y 0−12)，得到直线AD 的方程，代入椭圆方程．求出D 的坐标然后根据斜率相等证明D ，N ，Q 三点共线． 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．22.答案：解：(1)g(x)=f′(x)=lnx −2ax +1，令g(x)=0，即lnx =2ax −1，函数g(x)的零点个数即y =lnx 和y =2ax −1的图象的交点个数，设两者相切时的切点是(x 0,y 0)，则由2a =y′|x=x 0=1x 0且lnx 0=2ax 0−1得a =12， 如图所示：，由图象得a >12时，两函数的图象无交点，g(x)无零点， a =12时，两函数图象有1个交点，g(x)有1个零点． (2)由(1)得a ≥12时，g(x)无零点或1个零点，g(x)≤0，函数f(x)在定义域内递减，函数f(x)在定义域内不单调时，a <12，f(x)在(2,+∞)递减时，f′(x)≤0即g(x)≤0恒成立，由g(x)≤0得a ≥lnx+12x ，令ℎ(x)=lnx+12x ，则a ⩾ℎ(x)恒成立， ∵ℎ′(x)=−lnx 2x 2，∴x ∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，g(x)<ℎ(2)，由a ⩾ℎ(x)恒成立，得a ≥ℎ(2)，解得：a ≥ln2+14，综上可得，实数a的取值范围是{a|ln2+14≤a<12}．解析：(1)首先求得函数g(x)的解析式，然后结合函数的解析式讨论函数的交点的个数即可；(2)结合(1)的结论将原问题转化为恒成立的问题，然后结合题意整理计算即可求得最终结果．本题考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。
广东省茂名市五校联盟2021届高三第一次联考试题 数学 Word版含答案
茂名市2021届五校联盟高三级第一次联考数学试题本试卷共4页。
总分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡对应位置上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数2i1i+，的虚部为 A.－1 B.1 C.i D.－i 2.已知集合A ＝{x|x 1x 1-+≤0}，B ＝{x ∈Z|y ＝ln(6＋x －x 2)}，则A ∩B ＝ A.{0，1} B.{－1，0，1} C.(－1，1] D.[－1，1] 3.己知向量|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角为60°，则|2a ＋b |＝4.电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映。
在《夺冠》，上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起。
为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是 A.8 B.12 C.16 D.205..若a ＝(23)－1，b ＝log 23，c ＝(12)0.3，则 A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.c<a<b 6.在△ABC 中，B ＝4π，AD 是BC 边上的高，且CD ＝2AD ，则cos ∠BAC ＝A.10 B.10 C.－10 D.－107.十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础。
著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(13，23)，记为第一次操作；再将剩下的两个区[0，13]，[23，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段。
河北省“五个一”名校联盟2021届高三数学上学期第一次联考试题【含答案】
数学答案
1． C 因为 A x | 2x 1 x | x 0， B x | x2 5x 6 0 x | 6 x 1，所以
A B {x | 0 x 1) ．
2．B
2
i
1
1 i
2
i
1 i
1
1
3i
．
3．A 由题意知 0．1．1．0．1．4 0 4m 0 4n 2 5 ，可得 m n 5 ．
A．（0）,
B．（1）,
C．（- , 0）
D．（0，1）
8．蹴鞠（如图所示），又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，
“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日 的足球．2006 年 5 月 20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产
则（ ）
A． a0 0
B． a3 20
C． a1 a5 0 D． | a0 +a2 a4 a6 a1 a3 a5 |
12．已知 f x是定义在 R 上的奇函数，且 f 1 x f 1 x，当 0 x 1时， f x x ，关于函数
g x f x f | x |，下列说法正确的是（ ）
f
x
sinx
的图象得到函数
g(x)
cos
3
2
x
的图象的过程中，下列表述正确的是（
）
A．先将 f x sinx 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 （纵坐标不变），再向左平移个 单位长度
2
12
B．先将
f
x
sinx 的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2021届浙江五校第一次联考数学试题附参考答案
2021届浙江五校第一次联考一、选择题：每小题4分，共40分1.已知集合{A x y ==，{}02B x x =<<，则()A B =R ð（）A ．()1,2B ．()0,1C ．()0,+∞D ．(),2-∞2.“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要也不充分条件3.若x ，y 满足约束条件22111x y x y y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．9B ．8C ．7D ．64.已知()1,2=a ，()1,7=-b ，2=+c a b ，则c 在a 方向上的投影为（）A．5-B．10-C．10D．55.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin tan 12cos C A C =-，2c b =，则cos B的值为（）A ．23B ．23C ．34D ．786.函数()2e e x xf x x --=的图象是下列图中的（）7.已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n *=-∈Ν，则（）A ．{}n a 为等比数列B ．{}n a 为摆动数列C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--8.已知25cos2cos αα+=，()4cos 25αβ+=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,22πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos β的值为（）A ．45-B ．44125C ．44125-D ．459.已知抛物线2:3C x y =，过点()3,4P m m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭R 作抛物线的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，则A 、B 两点到x 轴距离之和的最小值为（）A ．3B ．32C．2D．410.已知函数()()11f x x a x a x a x=++-+∈-R ，()()()20g x p f x q pq =->⎡⎤⎣⎦，给出下列四个命题：①函数()f x 图象关于点()0,0对称；②对于任意a ∈R ，存在实数m ，使得函数()f x m +为偶函数；③对于任意a ∈R ，函数()f x 存在最小值；④当1a =时，关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}3,1,1,2--，其中正确命题为（）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①③④二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.不等式231133xx x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集是；不等式()24log 2log x x -<的解集是．12.函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[],ππ-的图象如下图，则()f x 的最小正周期为；()f π=．13.已知双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F P 为双曲线上一点，12120F PF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为；若双曲线C 的实轴长为4，则12F PF △的面积为．14.已知函数()132e 4,13,1x x f x x x x -⎧-<=⎨-≥⎩（其中e 是自然对数的底数），则()()2f f =；若()y f x =与9y x b =+的图象有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是．15.某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．16.已知a ，b ，c 是非零向量，-=a b ，()()2-⋅-=-c a c b ，λ为任意实数，当-a b 与a 的夹角为3π时，λ-c a 的最小值是．17.若a ，b 为实数，且13a ≤≤，24b ≤≤，则324a bab +的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18.（本题满分14分）已知()sin (sin )f x x x x =，ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若()32f A =，2a =，求ABC △周长的取值范围．19.（本题满分15分）已知四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥面ABCD ，2PA AD ==，AB =．（1）作AM PB ⊥于M ，AN PC ⊥于N ，求证：PC ⊥平面AMN ；（2）求二面角D PC A --的正切值．20.（本题满分15分）已知数列{}n a 与{}n b 满足()1131nn n n n b a b a +++=-+，2,1,n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，*n ∈N ，且12a =．（1）设2+121n n n c a a -=-，*n ∈N ，求1c ，并证明：数列{}n c 是等比数列；（2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求2n S ．21.（本题满分15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，M 为AB 中点，()1,0N -，当△AOB （点O 为坐标原点）的面积S 最大时，求MN 的取值范围．22.（本题满分15分）已知函数()sin sin 2f x a x x =+，a ∈R ．（1）若2a =，求函数()f x 在()0,π上的单调区间；（2）若1a =，不等式()cos f x bx x ≥对任意20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求满足条件的最大整数b ．2020学年第一学期浙江省高三“五校联考”考试参考答案1-10.CBCADCDBBA11.{|1}x x ≠，{|12}x x <<12.43π，1213.y =，83314.54e -，(27,12](11,)---+∞ 15.4316.1217.335[,]41218.解：1cos 2()sin (sin cos )sin 2222-=+=+x f x x x x x 1sin(2)62π=-+x ……3分由3222262πππππ+≤-≤+k x k ，∈k Z 得536ππππ+≤≤+k x k ，∈k Z ∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k k Z ππππ++∈……………6分（2）∵13()sin(2)622π=-+=f A A ，则sin(2)16π-=A ，∵0π<<A ，∴112666πππ-<-<A ，262ππ-=A ，解得3π=A .……………8分法一：∵2=a ，3π=A ，由余弦定理得，2222cos3a b c bc π=+-，即224b c bc +-=……10分∴2()43b c bc +-=，则22()43()2b c b c ++-≤…………12分又∵2b c +>，∴24b c <+≤…………13分∴△ABC 周长的范围是(6,8]…………14分法二：由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C====∴sin )b c B C +=+…………10分∵23sin sin sin sin()sin cos )3226B C B B B B B ππ+=+-=+=+………12分又∵2(0,3B π∈，∴1sin((,1]62B π+∈，∴(4,6]b c +∈…………13分∴△ABC 周长的范围是(6,8]…………14分19．（1）BC ABAM PB PA ABCD BC PABC PAB AM BC AM PBC BC ABCD AB PA A PB BC B AM PAB PC PBC ⊥⊥⎫⎫⎫⎫⊥⎫⎪⎪⎪⎪⇒⊥⇒⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎬⎬⎬⊂⎭⎪⎪⎪⎪==⊂⊂⎭⎭⎭⎭面面面面面面 =PC AM PC AN PC AMN AM AN A ⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⎭面………7分（2）方法一：作DE AC E ⊥于，EF PC F ⊥于，连DF ，PA ABCD ⊥ 面，PAC ABCD∴⊥面面DE PAC ∴⊥面，DE PC ∴⊥，EF PC ⊥ ，EF DE E = ，PC DEF ∴⊥面，DF PC ∴⊥，DFE ∴∠是二面角D PC A --的平面角， (11)分2PA AD ==，AB =，AC ∴=，30PCA ∴∠=︒3DE ∴=，3CE =，233EF =，tan DE DFE EF ∴∠==DFE ∴∠是二面角D PC A --.………15分方法二：建立坐标系（以AD 为x 轴，以AB 为y 轴，以AP 为z 轴）.(0,0,0),(0,(2,(2,0,0),(0,0,2)A B C DP (0,(2,2),(0,0,2)DC PC AP ==-=平面DPC 的法向量1(1,0,1)n = ，平面APC的法向量21,0)n =-设二面角D PC A --的平面角为α，12cos |cos ,|3n n α=<>=，tan α=20.（1）证明：1222a a +-＝，23210a a +＝，两式作差得112c =…………3分对任意*n N ∈，21212231n n n a a ---++＝①，2221231n n n a a ++＝＋②…………2分②－①，得21212134n n n a a -+-⨯-=，即2134n n c -⨯=，于是14n nc c +=.所以{}n c 是等比数列．…………7分（2）证明当*n N ∈且2n ≥时，2113153752123()()()()n n n a a a a a a a a a a =+-+-+-+⋅⋅⋅-+－－－22131(19)92922129n n --=+++++⋅⋅⋅=⋅+…………10分由(1)得112339321922n n n a --⋅++=-⋅+，所以2194n n a -=…………12分12123(19)4n n n a a --+=-，得2391()48n n S n -=-…………15分21.解：（1）由已知22c e a ==，2b =，222a b c =+得2b a ==，故椭圆C 的22142x y +=；……………………5分（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得()222214240k x mkx m +++-=2121222424,2121mk m x x x x k k -⇒+=-=++，点O 到直线l的距离d =，1122S d AB =⋅⋅=()222242221m k m k ++-=≤=+S ，当且仅当22242m k m =+-即2221m k =+，①……………10分此时21200022221,221x x mk k k x y kx m m k m m m+==-=-=+=-+=+，法一：即00001,22x m m k x y y ==-=-代入①式整理得()22000102x y y +=≠，即点M 的轨迹为椭圆()221:102x C y y +=≠………13分且点N 恰为椭圆1C 的左焦点，则MN 的范围为)1-+……………15分法二：MN =由①得kMN m===-………13分设kt m=代入2221m k =+得22221m m t =+，即22(12)1t m -=，221012m t =>-∴2222t -<<，即2222k m -<<∴)1MN ∈……………15分22、解答：（Ⅰ）当2a =时，()2sin sin 2f x x x =+，于是()2cos 2cos 22(1cos )(2cos 1)f x x x x x '=+=+-…………3分于是()0f x '>，解得(0,3x π∈；()0f x '<，解得(,)3x ππ∈即(0,)3x π∈函数()f x 单调递增，(,)3x ππ∈函数()f x 单调递减…………6分（Ⅱ）当1a =时，()sin sin 2cos f x x x bx x =+≥对任意2(0,3x π∈恒成立首先考察(0,2x π∈时，易得0b >∵()sin sin 2sin (12cos )cos f x x x x x bx x=+=+≥∴2(,)23x ππ∈时，()0cos f x bx x ≥≥，显然成立…………9分于是只考察()sin sin 2cos f x x x bx x =+≥对任意(0,)2x π∈恒成立由(14242f b ππ=+≥⋅，于是2128b +≤21238+>，所以3b ≤…11分下证：()sin sin 23cos f x x x x x =+≥对任意(0,2x π∈恒成立考察函数()tan 2sin 3g x x x x =+-，(0,2x π∈32222212cos 3cos 1(cos 1)(2cos 1)()2cos 30cos cos cos x x x x g x x x x x-+-+'=+-==>于是()g x 在(0,)2x π∈上单调递增，则()(0)0g x g >=即tan 2sin 30x x x +->，则sin sin 23cos x x x x +≥综上可知，max 3b =………15分。
浙江省五校2021届高三数学上学期联考试题(含解析)
浙江省五校2021届高三数学上学期联考试题（含解析）1.已知集合{}lg 0A x x =>，{}24B x x =≤，则A B =（ ）A. ()1,2B. (]1,2C. (]0,2 D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出集合,A B 后可得两个集合的交集. 【详解】()1,A =+∞，[]2,2B =-，故(]1,2AB =，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.已知向量1a =，2b =，且a 与b 的夹角为60︒，则（ ） A. ()a ab ⊥+B. ()b a b ⊥+C. ()a ab ⊥-D.()b a b ⊥-【答案】C 【解析】 【分析】逐项采用向量数量积的公式进行验证即可【详解】解析：对A ：()20a a b a a b +=+⋅≠，故不垂直，A 错； 对B ：()20b a b b a b +=+⋅≠，故不垂直，B 错； 对C ：()2110a a b a a b -=-⋅=-=，故垂直，C 对； 对D ：()2140b a b a b b -=⋅-=-≠，故不垂直，D 错； 故选C【点睛】本题考查向量数量积的运算和向量垂直的判断，是基础题型3.函数()332xx xf x =+的值域为（ ） A. [)1,+∞B. ()1,+∞C. (]0,1D. ()0,1【答案】D 【解析】 【分析】需要先对函数式进行化简，化简成()3132213xxx xf x ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭形式，再进行值域求解 【详解】()3132213xx x xf x ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵2210110133213xxx⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故选D【点睛】本题考查复合函数的值域求解，一般复合函数值域求解需要先求内层函数的值域，形如()()f g x ，先求()g x 的值域D 再求()f D 的取值范围4.已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，则（ ） A. 0d <时，n S 一定存在最大值 B. 0d >时，n S 一定存在最大值C. n S 存在最大值时，0d <D. n S 存在最大值时，0d >【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的特点来判断n S 与d 的关系即可【详解】对A ：因为0d <，所以数列单调递减，故n S 一定存在最大值，A 正确； 对B ：因为0d >，所以数列单调递增，故n S 不存在最大值，B 错； 对C ：因为当0d =，10a <时，n S 存在最大值1S ，C 错； 对D ：由C 的解析知，D 错； 故选A【点睛】本题考查等差数列n S 与d 的关系，我们可以通过21=22n n S d d n a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭来加强理解，当公差0d =，数列为常数列，1n S na =，当10a >时，n S 有最小值，10a <时，n S 有最大值；当公差0d ≠时，0d >，n S 有最小值，0d <，n S 有最大值5.已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A. ⎛-∞ ⎝⎭B. 4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. ⎫∞⎪⎪⎝⎭D.4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 将不等式化为32aax x+<，讨论0a =、0a >和0a <时，分别求出不等式成立时a 的取值范围即可【详解】(]0,2x ∈时，不等式可化为32aax x+<； 当0a =时，不等式为02<，满足题意；当0a >时，不等式化为32x x a +<，则223x a x>=，当且仅当x =所以a ，即0a <<；当0a <时，32x x a+>恒成立；综上所述，实数a 的取值范围是(,3-∞ 答案选A【点睛】本题考查不等式与对应函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用方法 6.已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可【详解】若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a bb ab a a b>⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论7.定义{}max ,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，则关于实数,x y 的不等式组{}22max ,0x y x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域的面积是（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 12【答案】D 【解析】 【分析】通过对新定义的解读，需要先求解{}max ,0x y x y +-≥，即0,00,0x y y x y y +≥≥⎧⎨-≥<⎩，再通过分类讨论形式表示不等式组，画出对应的线性规划区域，再求解对应面积即可【详解】解析：{}0,0max ,00,0x y y x y x y x y y +≥≥⎧+-≥⇒⎨-≥<⎩， 即{}22220220max ,000x x x y y y x y x y x y x y ⎧⎧⎧≤≤≤⎪⎪⎪≤⇔≤≤-≤<⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-≥+≥-≥⎩⎩⎩或 由图像可得：平面区域面积：11642122S =-⨯⨯=，故选D【点睛】本题考查根据新定义表示线性规划区域，对可行域面积的求解，难点在于通过分类讨论合理表示出符合条件的区域8.函数()()sin 22cos 0f x x x x π=+≤≤，则()f x （ ） A. 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 B. 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减C. 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 D. 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增 【答案】C 【解析】 【分析】由于常规方法无法进行化简，故需要对()f x 进行求导，根据导数来研究函数的增减性 【详解】()()()()22cos 22sin 22sin sin 102sin 1sin 10f x x x x x x x '=-=-+->⇒-+<，故151sin 0,,266x x πππ⎛⎫⎛⎫-<<⇒∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，即在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减 答案选C【点睛】本题考查根据导数来研究三角函数增减性问题，根据导数正负对应的区间来确定原函数的增减性，既考查了导数在函数中的应用，又考查了三角函数图像的基本性质9.三角形ABC 中，已知sin cos 0sin A C B +=，tan A =，则tan B =（ ）B. C.3D.2【答案】D 【解析】 【分析】 先将sin cos 0sin AC B+=化简，得到sin cos sin A C B =-，此时需要用到()sin sin A B C =+进行代换，化简得到关于B 与C 的正切公式，由于题中求的是角B ，故需将tan C 代换成()tan A B -+，进而化简求值【详解】解析：()sin cos 0sin cos sin sin 2tan tan 0sin AC A C B B C B C B+=⇒=-=+⇒+=，()tan tan 2tan tan tan 1tan tan 2A B B A B B A B +⇒=+=⇒=- 故选D .【点睛】本题考查三角函数的化简求值，由于前期不能锁定解题方向，所以需要进行解题方向预判，大体是弦化切，故整体思路都围绕弦化切展开，中间遇到两次三角函数的整体代换，对基本功要求较高，这就要求平时强化基础，苦练基本功 10.若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A.23B.56C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】将不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭看作两个因式，x a b --和sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，先讨论sin 6x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正负，确定x 对应区间，再对x a b --的正负进行判断，确定在交汇处取到等号，进而求解【详解】解析：法一：由题意可知：当15 , 66x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin06xππ⎛⎫+≥⎪⎝⎭，当151,,166x⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，sin06xππ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，故当15,66x⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b--≤，当151,,166x⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，0x a b--≥，即有5165316126a b aa bba b⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B；法二：由sin6xππ⎛⎫+⎪⎝⎭右图像可得：显然有5165316126a b aa bba b⎧⎧--==⎪⎪⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪=---=⎪⎪⎩⎩，故选B【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究11.已知集合{}2210A x x x=--<，{}B x a x b=<<，若{}21A B x x⋃=-<<，则a=______；若(){}13RA B x x⋂=≤<，则b=______.【答案】 (1). 2a=- (2). 3b=【解析】【分析】先化简集合A，根据题设条件，画出数轴图，根据交并补关系进行求解即可【详解】{}21210,12A x x x⎛⎫=--<=-⎪⎝⎭，因为{}B x a x b=<<，{}21A B x x⋃=-<<所以2a=-，如图所示[)1,1,2RC A⎛⎤=-∞-+∞⎥⎝⎦，(){}13RA B x x⋂=≤<所以3b=.如图：【点睛】本题考查根据集合的交并补的结果求解参数，最好的方式是结合数轴图加以理解，更具体，更直观12.已知0,6aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若2sin sin21a a+=，则tan a=______；sin2a=______.【答案】 (1).12(2).45【解析】【分析】将右式的“1”化成“22sin cosαα+”，再化简求值【详解】22221sin sin21sin cos sin2cos tan2a a a a a a a+==+⇒=⇒=；22tan14sin211tan514aaa===++所以1tan2a=，4sin25a=【点睛】本题考查三角函数的化简求值，“1”的代换很关键，22tan sin 21tan aa a=+为万能公式的使用，应当熟记 13.不等式1231122xx --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是______；不等式()212log 31log 4x -<的解集是______.【答案】 (1). {}0x x < (2). 15312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】将1212x-⎛⎫ ⎪⎝⎭化简成212x -，再利用指数函数性质解不等式；同理对于12log 4化简成21log 4，但要注意310x ->，再进行求解即可 【详解】123121122312102xx x x x x ---⎛⎫<=⇒-<-⇒< ⎪⎝⎭，所以不等式1231122xx --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是{}0x x <()2122310115log 31log 4log 214312314x x x x ->⎧⎪-<==-⇒⇒<<⎨-<⎪⎩ 不等式()212log 31log 4x -<的解集是15312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的求解，化成同底数再根据函数的增减性求解是常规方法，同时还需注意定义域必须符合对数函数性质14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()112nnn n S a n N *⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则3a =______，7S =______.【答案】 (1). 116- (2). 1256- 【解析】 【分析】再写一个下标减一的递推式，两式作差，表示出n a 的关系式，再根据n 为奇数和偶数求解具体数值即可【详解】当1n =时，1111124S a a =--⇒=-； 当2n ≥时，()()()()()()1111111112111111122112nn n nn n n n n n n n n n n n n n n S a a a a a a S a -------⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎡⎤⇒=---+⇒--=-+⎨ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩当n 为偶数时，112nn a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭即n 为奇数时112n n a +=-，所以3411216a =-=-； 7812a =-，()7787811111222256S ⎛⎫=---=-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查根据递推数列求解具体通项和n S 的方法，涉及题设包含()1n-这种形式时，一定要分类讨论奇偶性 15.定义{},max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩，已知(){}max 11,2f x x x =++，()g x ax b =+.若()()f x g x ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，则2a b +的最小值是______.【答案】5 【解析】 【分析】画出()()=11,2m x x h x x ++=的图像，根据题意，表示出()f x 的表达式，再根据()f x 与()g x 的位置关系，进行求解【详解】如图：()(]()11,222,x xf xx x⎧++∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩，，若()()f xg x≤对[)1,x∈+∞恒成立，此时()[]()2,1,22,2,x xf xx x⎧+∈⎪=⎨∈+∞⎪⎩，则2a≥，2ax b x+≥+在[]1,2上恒成立，所以3a b+≥()2235a b a a b+=++≥+=当且仅当2a=，1b=时等号成立.即图中的红色直线为临界状态.则2a b+的最小值是5【点睛】本题考查根据新定义写出表达式，根据函数图像求不等式的最值，准确画出函数图像并从临界点切入是解题关键16.已知向量,,a b c，其中2a b-=，a c-=1，b与c夹角为60︒，且()()1a b a c-⋅-=-.则a的最大值为______.221【解析】【分析】可设OA a =，OB b =，OC c =，则a b BA -=，a c CA -=，则2BA =，1CA =，进而可求出BA 与CA 夹角，根据几何关系能得出四点共圆，再根据正弦定理求得圆的半径即可 【详解】设OA a =，OB b =，OC c =，则2BA =，1CA =，1BA CA ⋅=- 所以1cos ,2BA CABA CA BA CA⋅<>==-,即BA 与CA 的夹角为120︒，而OB 与OC 的夹角为60︒, 所以四点,,,O B A C 共圆， 于是a OA =为圆的直径时最大，2212122172BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，72212sin1203BC r 2===︒则a 的最大值为221【点睛】本题考查向量模长的求法，通过构造向量的形式表示a b BA -=，a c CA -=是解题关键，借助几何图形能帮助我们快速解题17.已知实数,a b 满足：2224b a -=，则2a b -的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，具体求解过程见解析 【详解】方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究“双曲线上的点(),a b 到直线20a b -=问题若相切，则()22224b b z -+=有唯一解222440b zb z +++=，()2221684042z z z z =-+=⇒=⇒=两平行线20a b -=与20a b z --=的距离d ==所以22a b -== 方法二：柯西不等式法 补充知识：二元柯西不等式 已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by ++≥+()()()222222222222222222a b x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy ++≥+⇔+++≥++()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥已知两组数,a b ；,x y ，则()()()22222a bxy ax by --≤-()()()222222222222222222a b x y ax by a x a y b x b y a x b y abxy --≤-⇔--+≤+-()2222220a y b x abxy ay bx ⇔+≥⇔-≥所以()()()22242212b aa b =--≤-，所以22a b -≥.方法三：判别式法设22a b t a b t -=⇒=+，将其代入2224b a -=，下面仿照方法一即可. 方法四：整体换元0a ->0a +>设x a y a⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，则()40,0xy x y =>>，且22222y xay xa bb-⎧=⎪-⎪⇒-=-=≥=⎨⎪=⎪⎩方法五：三角换元由对称性，不妨设2tanbaθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为锐角）所以sin cos22tan222cos cosa bθθθθθθ-=-==≥=所以2a b-的最小值为2【点睛】本题考查不等式中最值的求解问题，解法较为多样，方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面18.已知()sin3f x x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，ABC△中，角,,A B C所对的边为,,a b c.（1）若,22xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x的值域；（2）若()13f A=，a=2b=，求sin B的值.【答案】（1）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）6+【解析】【分析】（1）将表达式先展开再合并，化简求值即可（2）将()13f A=化简求得1sin33Aπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，通过数值进一步锁定32Aππ<<，求出22cos 3A π⎛⎫-=⎪⎝⎭，采用拼凑法求出sin sin 33A A ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再用正弦定理求解sin B 【详解】解析：()13sin 3cos sin cos 3cos sin 3223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）∵51,,sin 2236632x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-⇒-∈-⇒-∈-1, ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦，即()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）()11sin 333f A A π⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，因为1132<，所以036A ππ<-<，或者563A πππ<-<，即32A ππ<<或者7463A ππ<<（舍去），故22cos 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；126sin sin 336A A ππ⎛⎫+⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理得：sin sin a b A b =⇒243sin 6B += 【点睛】本题考查复合三角函数值域的求法，三角恒等变换中关于具体角的求解问题，正弦定理在解三角形中的应用，对于角的拼凑问题是解题过程中经常会遇到的问题，如本题中33A A ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，常见的还有442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，233x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()A A B B =+-等19.已知多面体P ABCD -中，AB CD ∥，90BAD PAB ∠=∠=︒，12AB PA DA PD DC ====，M 为PB 中点. （1）求证：PA CM ⊥；（2）求直线BC 与平面CDM 所成角的正弦.【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】 【分析】（1）可通过线面垂直的判定定理来证线线垂直，即设法证明PA ⊥ CD 直线所在平面 （2）过点B 作BO CMD ⊥面，连接CO ，则BCO ∠为直线BC 与平面CDM 所成角的平面角，再采用等体积法求出BO ，即可求得 也可采用建系法直接求解 【详解】法一：（1）由90BAD PAB ∠=∠=︒得：BA PAD ⊥面；如图：取PA 中点E ， 连接ME ，DE 得：ME PA ⊥，DE PA ⊥，PA DEMC ⊥面；故：PA CM ⊥；（2）过点B 作BO CMD ⊥面；连接CO ，则BCO ∠为直线BC 与平面CDM 所成角的平面角，即有B CDM M CBD V V --=， 不妨设122AB PA DA PD DC ==-==，即有：11113434213232h h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⇒=，所以2sin h BCO BC ∠==法二：由90BAD PAB∠=∠=︒得：BA PAD⊥面；122AB PA DA PD DC=====如图建系得：()200P，，，()3A，，，()3B，，，()004C，，,()0,0,0D，33122M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，（1）()3,0PA=-,33,,-322CM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭则0PA CM PA CM⋅=⇒⊥（2）设面CDM的法向量为(),,n x y z=，()0,0,4DC=，332DM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，()1,3,2BC=--即有：()401,3,00330zDC nnDM n x=⎧⎧⋅=⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅==⎪⎩⎩，故132sin cos28BC nα-+=<⋅>==⨯【点睛】本题考查利用线面垂直证线线垂直，求线面角的正弦值，相对来说，立体图形比较规整，也可采用建系法进行求解，属于中档题20.设数列{}n a是等比数列，数列{}n b是等差数列，若223a b==，359a b==.（1）若nnnn bca⋅=，数列{}nc中的最大项是第k项，求k的值（2）设n n nd a b=⋅，求数列{}n d的前n项和n T【答案】（1）2k=（2）()131nnT n=-⨯+【解析】【分析】（1）根据题设已知条件利用通项公式直接表示出223a b ==，359a b ==的关系式，求解出{}n a 与{}n b 的通项公式，表示出{}n c 的通项公式，利用1n n c c +-进行判断（2）采用错位相减法进行求解即可 【详解】解析：（1）设公差为d ，公比为q则11112111314923a a qb d b a q b d d q =⎧⎪=+==⎧⎪⇒⎨⎨=+==⎩⎪⎪=⎩，所以13-=n n a ，21n b n =-；2123n n n n n b n n c a -⋅-==，212313n nn n c +++= 222112312461333n n n n nn n n n n n c c +-++--++-=-= 当1n =时，246120n n -++=>，于是21c c >； 当2n ≥时，24610n n -++<，于是1n n c c +<； 综上所述：123n c c c c <>>⋅⋅⋅>， 于是()2max 2n c c ==，2k = （2）错位相减求和法()1213n n d n -=-⋅，()()01112133321331333213n n n nT n T n -⎧=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯⎪⎩，()()()()1213321233321312213223231n n nn n n T n n n ---=+⨯+⋅⋅⋅+--⨯=+--⨯=-+⨯--()131n n T n =-⨯+【点睛】本题考查等差等比数列基本量的求解，数列前n 项和最大值和对应项的辨析，错位相减法求前n 项和，错位相减法关键在于第二个式子一般乘以公比，跟第一个式子对应时，依次向后错一位，两式相减时，第二个式子多出的末项符号正负要书写正确21.过椭圆2212xy+=的左焦点F作斜率为()11k k≠的直线交椭圆于A，B两点，M为弦AB的中点，直线OM交椭圆于C，D两点.（1）设直线OM的斜率为2k，求12k k的值；（2）若F，B分别在直线CD的两侧，2MB MC MD=⋅，求FCD的面积.【答案】（1）12-（2）22【解析】【分析】（1）设直线方程为1y k x b=+，代入椭圆方程，根据方程的根与系数关系求弦中点M的坐标为1221122(,)1212bk bk k-++，代入可得2112kk=-，进行求解（法二）（利用点差法）设点1(A x，1)y，2(B x，2)y，中点(M x，)y，由2211112x y+=与2222112x y+=，作差得21212121()()12()()y y y yx x x x-+-=-+再进行求解（2）设直线方程为()11y k x=-，联立椭圆方程得出211221412kx xk+=+，点M的横坐标为21021212kxk=+，用焦点弦公式表示出())2211122112214222212kkAB a e x xk+=++==+，同理联立方程()22222222122x yk xy k x⎧+=⇒+=⎨=⎩，用弦长公式表示出MC，MD，结合题干2MB MC MD =⋅求出2k ，再用点到直线距离公式求得F 到CD 距离，进而求得面积【详解】（1）解法一：设直线方程为1y k x b =+，代入椭圆方程并整理得：22211(12)4220k x k bx b +++-=，1122412k bx x k +=-+，又中点M 在直线上，所以1212122y y x x k b +⎛⎫⎝+⎪⎭=+，从而可得弦中点M 的坐标为1221122(,)1212bk b k k -++，2112k k =-， 所以1212k k =-解法二：设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，中点0(M x ，0)y 则1202x x x +=，1202y y y +=0122012y y y k x x x +==+，21121y y k x x -=- 又2211112x y +=与2222112x y +=，作差得21212121()()12()()y y y y x x x x -+-=-+所以1212k k =-（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y()()22222221111221242201x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨=-⎪⎩ 211221412k x x k +=+，点M 的横坐标为21021212k x k =+())221112221114221212k k AB a e x x k k +=++==++于是)212111212k MB MB k +==+ 联立方程()22222222122x y k x y k x⎧+=⇒+=⎨=⎩所以3x =4x =2121212k MC k =+，MD =所以()2221222212211212k MC MD k k k ⎛⎫=+- ⎪++⎝⎭从而有)()222212122221211221121212k k k k k k ⎤+⎛⎫⎢⎥=+- ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合1212k k =-， 从而得2112k =，不妨设12k =，此时22k =-:0CD x +=此时CD ==d =1232FCD S ∆== 【点睛】本题考查直线与曲线相交问题的具体应用，要求考生具有较强的运算能力和逻辑推理能力，用点差法解决弦的中点问题可大大减小运算22.设函数()1xf x e x =+≥- （1）当1a =-时，若0x 是函数()f x 的极值点，求证：0102x -<<； （2）（i ）求证：当0x ≥时，()2112f x x x ≥+++； （ii ）若不等式()25242f x a x x a++≤对任意0x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 注：e=2.71828为自然对数的底数.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析 （i i ）(]0,1【解析】【分析】（1）先求导，得()f x '=()21g x e =，求得()0g x '>，可判断()g x 单调递增恒成立，再根据零点存在定理计算两端点值，即可求证（2）（i ）要证()2112f x x x ≥+++2112x e x x ≥++，只需证()21102x h x e x x =---≥，通过求导证明()'0h x >，求得()0=0h ，即可求证 （ii ）先通过必要性进行探路，当0x =时，一定成立，推出(]0,1a ∈ ，当01a <≤时，()()25=224f x a g x x x a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭令，化简得()()2512042x g x e x x x ⎛⎫≥++≥ ⎪⎝⎭， 进一步求导得()54x g x e x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，结合（i ）中2112x e x x ≥++放缩可得()2511424x g x e x x ⎛⎫'=-+≥+- ⎪⎝⎭，再对1x ≥和01x <<分类讨论，进而求证【详解】解析：（1）()xf x e '==，令()()2120x g x e g x e e '=⇒=>即()g x 恒增，又1102g ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，()010g =>，所以()f x '在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一根，即为()f x 的极值点0x ，且0102x -<<； （2）（i ）要证()2112f x x x ≥+++2112x e x x ≥++，只需证()21102x h x e x x =---≥，()1x h x e x '=--，()10x h x e ''=->，即()h x '在[)0,+∞，即()()min 00h x h ''==，所以()0h x '≥恒成立，即()h x 在[)0,+∞单调递增，又有()()min 00h x h ==，所以()0h x ≥恒成立，即()2112f x x x ≥+++（i i ）必要性探路：当0x =，有1201a a a+≤⇒<≤， 当01a <≤时，2225551222424242x x a e a x x x x e x x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()()2512042x g x e x x x ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭ ()225151142424x g x e x x x x x ⎛⎫⎛⎫'=+≥1+++-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）当1x ≥时，()221111110242424g x x x '≥+->-≥->， 所以函数()()00g x g ≥=（2）当01x <<时，()2111102444g x x '≥->->> 所以函数()()00g x g ≥=综上所述：实数a 的取值范围为(]0,1.【点睛】本题考查导数零点区间的证明，零点存在定理的应用，利用导数证明不等式恒成立，利用利用放缩法证明不等式，利用导数研究恒成立问题求解参数，难度系数比较大，对考生综合素质要求较高。
2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题 含解析
2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题含解析【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。
但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则＝（）A． B． C． D．【知识点】复数.L4【答案解析】D 解析：解：由题可知，所以D正确.【思路点拨】根据复数的概念与运算法则可求出结果.2.设集合，，则＝（）A． B． C． D．【知识点】集合.A1【答案解析】 C 解析：解：由题意可求出集合()(){}|13,|0|0x 3A x x B y y A B x =-<<=>∴⋂=<<，所以正确选项为C.【思路点拨】根据集合的概念先求出集合A,B.再求它们的交集. 3. 函数的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】函数的性质.B10【答案解析】C 解析：解：因为，函数为连续函数，所以函数的零点在之间. 【思路点拨】可过特殊值验证函数值的正负来判定零点的区间. 4. 已知m ，n ，则 “a ＝2”是“mn ”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】向量，充要条件.A2,G9【答案解析】B 解析： 解：由共线的条件可知()//12021m n a a a a ⇒-+=∴==-或，所以“a ＝2”是“mn ”的充分而不必要条件，所以B 正确.【思路点拨】根据向量共线的条件求出a 的值，然后再根据题意判定逻辑关系.5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】三视图.G2【答案解析】A 解析：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥 ．故选：A ．【思路点拨】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。
广东省深圳市2021届高三数学上学期第一次五校联考试题 文（含解析）
深圳市五校2021届高三年级第一次联考文科数学试卷本试卷共4页，21小题，总分值150分．考试历时120分钟【试卷综析】试题比较平稳，大体符合高考温习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和大体技术的考察，同时偏重考察了学生的学习方式和思维能力的考察，有相当一部份的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说能够看出编写者花费了必然的心血。
可是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辩性、灵活性，基础性充分表现了考素养，考基础，考方式，考潜能的检测功能。
试题起到了引导高中数学向全面培育学生数学素养的方向进展的作用.一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．【题文】1．已知集合{0,1,2,3}A =，集合{2}B x N x =∈≤，那么AB =A ．{3}B ．{0 1 2}，，C ．{1,2}D ．{0 1 2 3}，，， 【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：集合B 用列举法表示为：{}0,1,2，因此AB ={}0,1,2应选B.【思路点拨】先把集合B 用列举法表示，再依照交集概念求A B .【题文】2．设复数11z i =+，22()z xi x R =+∈，假设12z z R ⋅∈，那么x =A ．2-B ．1-C ．D ．2 【知识点】复数运算. L4 【答案解析】A 解析：因为()()()121222z z i xi x x i ⋅=+⋅+=-++R∈，因此20x +=，因此x=-2，应选A.【思路点拨】利用复数乘法求得()()()121222z z i xi x x i⋅=+⋅+=-++，由复数是实数那么复数的虚部为0得结论.【题文】3．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，以下命题中正确的选项是A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,m m αβαβ若则‖‖‖C ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖【知识点】空间中线面平行、垂直的判定与性质. G4 G5【答案解析】D 解析：关于选项A: ,,m n αα若则‖‖m,n 平行、相交、异面都有可能；关于选项B:,,m m αβ若则‖‖,αβ可能平行、可能相交；关于选项C ：,,αγβγ⊥⊥若则,αβ可能平行、可能相交；因此选项A 、B 、C 都不正确，应选D.【思路点拨】依次分析各选项得选项A 、B 、C 都不正确，应选D.【题文】4．已知向量(2,3)p =-，(,6)q x =且//p q ，那么||p q +的值为ABC ．5D ．13【知识点】向量共线的意义；向量模的计算. F1 F2【答案解析】B 解析：由(2,3)p =-，(,6)q x =且//p q 得12=-3x ，即x=-4,因此()()()2,34,62,3p q +=-+-=-= B.【思路点拨】由向量共线得x=-4，从而得()()()2,34,62,3p q +=-+-=-=【题文】5．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知6,835==S a ，那么9a =A ．8B ．12C ．16D ．24 【知识点】等差数列. D2【答案解析】C 解析：由36S =得132()323622a a a +⋅⋅==，因此22a =，又58a =因此5236a a d -==，从而d=2，因此95484216a a d =+=+⨯=，应选C.【思路点拨】依照等差数列的前n 项和公式，求得22a =，再由5236a a d -==求得d=2，因此95484216a a d =+=+⨯=.【题文】6．执行如右图所示的程序框图，那么输出的y =A ．12 B ． C ．1- D ．2【知识点】算法与程序框图. L1【答案解析】D 解析：由程序框图得循环进程中y 的取值依次是112,,1,2,,1,22--这是一个以3为周期的周期数列，而2021除以3余1，因此输出的y 值是此数列的第一个数2，应选D. 【思路点拨】由程序框图得y 取值规律: 以3为周期的周期数列,由此得输出的y 值.【题文】7．将函数)26cos(x y -=π的图像向右平移12π个单位后所得的图像的一个对称轴是A ．6π=x B ．4π=x C ．3π=x D ．12x π=【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质. C4【答案解析】A 解析：将函数)26cos(x y -=π的图像向右平移12π个单位后所得：cos 2cos 2cos 261233y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，而对称轴是使函数取得最值的x 值，经查验6x π=成立，应选A.【思路点拨】函数)26cos(x y -=π的图像向右平移12π个单位后为cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 再依照对称轴是使函数取得最值的x 值得结论.【题文】8．函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0，4]上的零点个数是A ．4B ．5C ．6D ． 7【知识点】函数的零点. B9 【答案解析】C 解析：由()()21cos 0f x x x =-=得x-1=0或2cos 0x =，又[]0,4x ∈因此[]20,16x ∈，因此x=1或23579,,,,22222x πππππ=，因此函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0，4]上的零点个数是6，应选C.【思路点拨】依照函数零点的意义:函数的零点确实是函数值为0的方程的根，因此只需求方程()()21cos 0f x x x =-=解的个数即可.【题文】9．已知直线:40l x my ++=，假设曲线222610x y x y ++-+=上存在两点P 、Q 关于直线对称，那么m 的值为A ．2B ．2-C ．D ．1- 【知识点】直线与圆的位置关系. H4【答案解析】D 解析：因为曲线222610x y x y ++-+=是圆()()22139x y ++-=， 假设圆()()22139x y ++-=上存在两点P 、Q 关于直线对称，那么直线:40l x my ++=，过圆心（-1,3），因此1340m -++=，解得1m =-，应选D.【思路点拨】将已知曲线方程配方得其为圆，假设圆上存在两点P 、Q 关于直线对称，那么 直线过圆心，由此得关于m 的方程，从而求得m 值.【题文】10．已知函数()f x 是概念在R 上的奇函数，(1)0f =，当0x >时，有2()()0xf x f x x '->成立，那么不等式()0f x >的解集是 A ．(1,0)(1,)-+∞ B ．(1,0)- C ．(1,)+∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞【知识点】函数的奇偶性；导数的应用. B4 B12【答案解析】A 解析：构造函数()(),0f x h x x x =>，那么2()()()0,0xf x f x h x x x '-'=>>，因此()h x 是()0,+∞上过点（1,0）的增函数.因此当()0,1x ∈时()0f x x <，从而得()0f x <； 当()1,x ∈+∞时()0f x x >，从而得()0f x >.由于函数()f x 是概念在R 上的奇函数，因此不等式()0f x >的解集()()1,01,-+∞,应选A.【思路点拨】构造函数()(),0f x h x x x =>，确信函数()h x 是()0,+∞上过点（1,0）的增函数，由此得在（0,1）上()0f x <，在()1,+∞上()0f x >，由函数()f x 是概念在R 上的奇函数，得不等式()0f x >的解集()()1,01,-+∞.二、填空题：本大题共5题，考生作答4小题，每题5分，总分值20分． （一）必做题（11～13题）【题文】11. 函数1ln x y x +=的概念域为.【知识点】函数的概念域. B1【答案解析】()()0,11,+∞ 解析：自变量x 知足的条件为101ln 00,1x x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨≠>≠⎩⎩因此函数的概念域为()()0,11,+∞.【思路点拨】依照函数成心义的条件列出关于x 的不等式组求解. 【题文】12.一个几何体的三视图如图， 那么该几何体的体积为 . 【知识点】几何体的三视图. G2【答案解析】6π 解析：由三视图可知此几何体 是底面半径为2，高为3的半圆柱，因此其体积为212362ππ⨯⨯⨯=.【思路点拨】由几何体的三视图得该几何体的形状，从而求该几何体的体积.【题文】13.设双曲线221x y m n +=的离心率为2，且一个核心与抛物线28x y =的核心相同，那么此双曲线的方程为____.【知识点】双曲线与抛物线的几何性质. H6 H7【答案解析】2213x y -= 解析：依照题意知：双曲线的离心率2ce a ==，一核心()0,2F ,因此2,1c a ==，从而3b =，又核心在y 轴上，因此221,3n a m b ===-=-，此双曲线的方程为2213x y -=.【思路点拨】先依照已知条件求得双曲线的字母参数a,b,c 的值，再由核心位置求得双曲线方程. （二）选做题（14、15题，考生只能从当选做一题）【题文】14. （几何证明选讲选做题）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC =，060BCD ∠=，那么圆O 的面积为________．【知识点】几何证明. N1【答案解析】4π 解析：连接OC ，因为CD 是圆O 的切线，C 为切点，因此OC CD ⊥,因为060BCD ∠=，因此30OCB ∠=,作OH CB ⊥于H ，那么H 为BC 中点，因为BC=CH =因此半径OC=2cos30=，因此圆O 的面积为4π.【思路点拨】利用圆的切线的性质及垂径定理，求得圆的半径，从而求出圆面积.【题文】15. （正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为________． 【知识点】多面体与球. G8【答案解析】 解析：因为正方体外接球的直径是正方体的对角线，而正方体的棱长为1，因此球的直径=1的正方体的外接球的体积为：343π⨯⨯=⎝⎭.【思路点拨】由正方体外接球的直径等于正方体的对角线，求得正方体的外接球的直径，进而求得球的体积. 三、解答题：本大题共6小题，总分值80分。
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2021届高三五校联考（一）数学模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.2．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A ．1B ．2C ．3D ．03．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．C．2log D5．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516-B ．18932-C ．2164-D ．283586．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ） ABC．D8．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-9．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（ ） A ．sina ＞sinbB ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜ 10．在边长为2的菱形ABCD中，BD =将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23π B ．2πC ．4πD ．6π11．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的，若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明B ．小红C ．小金D ．小金或小明12．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4AD AA AB ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值为（ ） A ．25B ．25C ．25D ．4514．动点P 到直线1x =-的距离和他到点(1,0)F 距离相等，直线AB 过(4,0)且交点P 的轨迹于,A B 两点，则以AB 为直径的圆必过_________.15．已知ABC ∆中,AB BC =，点D 是边BC 的中点，ABC ∆的面积为2，则线段AD 的取值范围是__________.16．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋（y －1）2＝r 2（r>0）上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：（x －2）2＋（y －1）2＝1上，则r 的取值范围是________． 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：. 组别[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[)90,100频数212202524134（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分(),198,Z N μμ-似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求38.2(.)802P Z <≤； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额(单位：元)20 50现有市民甲参加此次问卷调查，记X (单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列与数学期望.14≈，若()2,X Nμσ-，则()0.6826P x μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=18．（12分）△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.19．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤； （2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．14.5≈，若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.20．（12分）已知集合{}1,2,,n A n =，*n N ∈，2n ≥，将n A 的所有子集任意排列，得到一个有序集合组()12,,,m M M M ，其中2n m =.记集合k M 中元素的个数为k a ，*k N ∈，k m ≤，规定空集中元素的个数为0.()1当2n =时，求12m a a a +++的值；()2利用数学归纳法证明：不论()2n n ≥为何值，总存在有序集合组()12,,,m M M M ，满足任意*i N ∈，1i m ≤-，都有11i i a a +-=.21．（12分）2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中，居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识"的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图：（1）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P （50.594Z <<）； （2）在（1）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： （i ）得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次： （ii ）每次赠送的随机话费和对应概率如下： 赠送话费（单位：元） 1020概率23 13现有一位市民要参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列.21014.5=，若()2,ZN μδ，则()0.6826P Z μδμδ-<<+=，()220.9544P Z μδμδ-<<+=.22．（10分）在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 是边长为2的菱形，四边形ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∕∕， AB BC ⊥，1CD = （1）若,E F 分别为1A C ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ； （2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值5，求二面角11A AC D --的余弦值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 2、B 【解析】 【分析】根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可； 【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =，可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误；③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；④若0,0,24a b a b >>+=，则42a b =+≥2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；综上可得正确的有①④共2个； 故选：B 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 3、C 【解析】 【分析】结合题意，根据题目中的20天的AQI 指数值，判断选项中的命题是否正确. 【详解】对于A ，由图可知20天的AQI 指数值中有10个低于100，10个高于100，其中第10个接近100，第11个高于100，所以中位数略高于100，故A 正确.对于B ，由图可知20天的AQI 指数值中高于150的天数为5，即占总天数的14，故B 正确. 对于C ，由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C 错误.对于D ，由图可知该市10月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故D 正确. 故选：C 【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础. 4、A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 5、D 【解析】 【分析】写出二项式的通项公式,再分析x 的系数求解即可. 【详解】二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为777217731(3)22rr rr r r r r x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令721r -=-,得4r =,故1x 项的系数为7444712835(3)28C -⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题. 6、B 【解析】 【分析】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得. 【详解】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，则不同的分配方案有234336C A =种.故选：B . 【点睛】本题考查排列组合，属于基础题. 7、D 【解析】 【分析】先计算a b ⋅，然后将3a b -进行平方，，可得结果. 【详解】 由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭∴()222369163643a ba ab b -=-⋅+=++=∴则343a b -=.故选：D. 【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。