第八章扭转
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1 A B
2 C
3 n D
T2 = −m2 − m3 = −(4.78 + 4.78) = −9.56kN⋅ m
10
③绘制扭矩图 Draw the torque diagram
T max = 9.56 kN ⋅ m
BC段为危险截面。 段为危险截面。 段为危险截面 Section BC is dangerous section .
目 的
①确定扭矩变化规律 To determine the rule of change of the torque |T| max 截面 的确定
purposes
To determine the location of dangerous section
8
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW， 例 已知 一传动轴， 已知： ， ， ， P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 ， ，试绘制扭矩图。 Example 1 The transmission shaft is shown as Fig.the input power of driver wheel C is 500KW The export powers of driven wheel A,Band D are 150KW,150KW,200KW.To draw the torque diagram of the transmission shaft .
3
8–1 扭转的概念及外力偶矩的计算
Concepts of torsion and how to calculate the external couple moment 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、钻杆等。 工程中以扭转为主要变形的构件。 机器中的传动轴、钻杆等。 Shaft :the members create torsion deformation due to subjected to the external moments.such as the transmission shafts and drill pipes of the machines . 扭转的外力特点：外力的合力为一力偶， 扭转的外力特点：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直。 垂直。 external forces:Two couples that have the same magnitude moment, the opposite direction and the plane of couples perpendicular to the axial line 变形特点： 变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动 The deformation is that the external loads tend to twist one segment of the body with respect to the other
第八章 约束扭转
8-6 扭转角微分方程式及其解和初参数方程式 以上已得出了开口薄壁杆件受约束扭转时应力 的计算公式 : B B E1I 8 15 8 16 I
M S 8 20 I
M E1I 8 18
Mtl Mt , GIt GI t 82
便可得到它们的初参数方程式
0 C2 C4 0 C1 K C3 B0 GI t C2 L GI C t 3 0
便可得到它们的初参数方程式
§8-2
约束扭转正应力分析
符拉索夫对于开口薄壁杆件约束扭转时变 形作了如下两个假设。 （1）杆的中曲面上无剪应变 ，
（2）周边上的投影不变形。横截面的周边 无弯曲变形及沿周边切线方向无伸长缩短 s 0 ） 变形，亦即无切向线应变（ 在上述两个假设的基 础上，便可研究任意 横截面上任意一点的 纵向位移，找出代表 横截面翘曲情况的纵 向位移函数
SB A
x
SB x Ix
3b 2 1h 6b 2
2
b x 2
8-4约束扭转正应力所对应的内力—双力矩 S 0 从工字形截面杆件的约束扭转变形来看， 正是翼缘平面内组成的两个相距h的等值 反向的内力矩 B,称为双力矩
h B M f h 2 x dA 2 dA dA Af Af A 2
开口薄壁杆件受自由扭转时，横截面上的扭 转剪应力沿壁厚按直线规律变化。截面中线 无剪应力（从而在包含截面中线的纵向曲面 无剪切变形，），在截面边缘处剪应力最大， 其值为 M t t max （8-1） It 开口薄壁杆自由扭转时两端截面之间的相对 扭转角 及单位长度扭转角 ，分别为
第八章 扭转
二、选择题
1、阶梯圆轴的最大切应力发生在（ Ａ．扭矩最大截面 Ｃ．单位长度扭转角最大的截面 2、扭转切应力公式 ）。 Ｂ．直径最小的截面 Ｄ．不能确定 ）杆件。
MT 适用于（ Ip
Ａ．任意截面 Ｂ．任意实心截面 Ｃ．任意材料的圆截面 Ｄ．线弹性材料的圆截面 3、单位长度扭转 与（ ）无关。 Ａ．杆的长度 Ｂ．扭矩 Ｃ．材料性质 Ｄ．截面几何性质 解析：长度为 l 的等截面圆杆承受矩Ｍn 时，圆杆两端的相对扭转角为 式中ＧＩＰ称为圆杆的抗扭刚度。单位长度扭转角为
故，强度满足。 （2）刚度校核。 180 4774 .5 180 T ' max GI P 80109 0.14 10.54 32
0.37
故，刚度满足。
m
' 0.5
m
6、如图所示的空心轴，外径 D=69mm，内径 d=50mm，受均布力偶 m=0.2KN.m/m 的作用。 轴的许用应力[ ]=40MPa，[ ]=1.3o/m，G=80GPa。轴的长度 l=4m。试校核轴的强度和刚 度。
Mn 2 At
式中 t 为横截面的厚度（等厚度截面 t 为常数），Ａ为截面中线包围的面积。 截面的最大切应力发生在厚度最小处，即
max
Mn 2 At min
等厚度闭口薄壁杆件的扭转角为
M n sl （式中 s 为截面中线的长度） 4GA 2 t
9．当闭口薄壁杆件扭转时，横截面上最大切应力出现在最小厚度处。 （√） 10．受扭杆件所受的外力偶矩，经常要由杆件所传递的功率及其转速换算而得。（√） 解析：杆件所受外力偶（称为转矩）的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若已 知轴传递的功率Ｐ（kW）和转速 n（r/min），则轴所受的外力偶矩Ｔ＝9549P/n（Ｎm）。
工程力学--第八章_圆轴的扭转
利用t t '，经整理得
s a t sin 2a , ta t cos2a
s a t sin 2a , ta t cos2a
由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上切应力的 绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零，而正应 力的绝对值最大；
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截
面尺寸不同，其扭矩图相同否?
若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 相同
相同 不同 变形是否相同？
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
MT
o
o
MT
o
MT
o
MT
8.3.3
扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为
t
t′
s45
t dy
t′
纯剪应力
状态等价于转过 等值拉压应力状 态。
A
c dx
A
t
c
45
t45 45后微元的二向
t
s
dx
45斜截面上的应力： tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0 tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0 解得： s45=-t；t45=0。还有：s45=t； t45=0
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题
8.1 扭转的概念与实例
传动轴
实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆 ；机械中的传动轴等。
第八章圆轴扭转
§8 扭 转
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
工程力学第八章圆轴的扭转详解
轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIP
单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIP
扭转刚度条件则为： qmax[q ] ---许用扭转角 机械设计手册建议：[q ]=0.25~0.5/m; 精度高的轴；
[q ]=0.5~1.0/m; 一般传动轴。
整理课件
32
3.扭转圆轴的设计
强度条件： t max T /WT [t ]
Mo
Mo
假想切面
取左边部分
Mo
外力偶
T 内力偶
由平衡方程： T M o 整理课件
平衡
4
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Mo
Mo
T
取左边部分
Mo 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
Mo
TMo T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
整理课件
扭矩
外力偶
平衡
5
扭矩的符号规定：
Mo
T
正
Mo
T
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确?
T
o
o
o
o
T
T
T
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8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左 右两边为横截面，上下两边为过轴线的径向面。
3) 计算扭转角AC
AC
TAB l AB GIPAB
+ T BC lBC GIPBC
整理课件
第八章 扭转问题
第八章 直杆的扭转 Torsion of Bar
直杆的扭转
扭转问题中应力和位移 椭圆截面的扭转 扭转问题的薄膜比拟
矩形截面杆的扭转
薄壁杆的扭转
扭转问题的位移解法
扭转问题中应力和位移
问题： （1）等截面直杆，截面形状可以任意； （2）两端受有大小相等转向相反的扭矩 M ； （3）两端无约束，为自由扭转，不计体力 ； 求：杆件内的应力与位移？
l xz s m yz s 0
将 、 l、m 代入上述边界条件，有
dy dx ( )( ) 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
d 0 ds
2 f1 0, 2 z 2 f2 0, 2 x
2 f2 0 2 z 2 f1 0, 2 y
f1 u0 y z z y K1 yz
f 2 v0 z x x z K 2 zx f f 又由： 2 1 0 得： x y z K 2 z z K1 z 0
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
基本方程的求解
2 yz 0
（a）
2 zx 0
（b）
—— 扭转问题的相容方程
—— 平衡方程
由式（a）的前二式，得
zx zx ( x, y) zy zy ( x, y ) —— 二元函数
分部积分，得：
yX xY dxdy y x dxdy y y x x dxdy
zx zy
y C D
同理，得：
B y dy dx A y
直杆的扭转
扭转问题中应力和位移 椭圆截面的扭转 扭转问题的薄膜比拟
矩形截面杆的扭转
薄壁杆的扭转
扭转问题的位移解法
扭转问题中应力和位移
问题： （1）等截面直杆，截面形状可以任意； （2）两端受有大小相等转向相反的扭矩 M ； （3）两端无约束，为自由扭转，不计体力 ； 求：杆件内的应力与位移？
l xz s m yz s 0
将 、 l、m 代入上述边界条件，有
dy dx ( )( ) 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
d 0 ds
2 f1 0, 2 z 2 f2 0, 2 x
2 f2 0 2 z 2 f1 0, 2 y
f1 u0 y z z y K1 yz
f 2 v0 z x x z K 2 zx f f 又由： 2 1 0 得： x y z K 2 z z K1 z 0
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
基本方程的求解
2 yz 0
（a）
2 zx 0
（b）
—— 扭转问题的相容方程
—— 平衡方程
由式（a）的前二式，得
zx zx ( x, y) zy zy ( x, y ) —— 二元函数
分部积分，得：
yX xY dxdy y x dxdy y y x x dxdy
zx zy
y C D
同理，得：
B y dy dx A y
工程力学--第八章_圆轴的扭转
rdf / dx
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
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X m xi mi / mi xi wi / wi
Ym Yi mi / mi yi wi / wi
式中mi；wi，—— i个面积单元的质量和重量； Xi；，yi；一第i个面积单元的重心坐标。
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据
3、刚度中心 把抗侧力单元 的抗侧移刚度 作为假想面积， 求得假想面积 的形心就是刚 度中心。
转角 结构抗扭刚度
2 2 D x D y yi i xk k
五、考虑扭转时结构的剪力
V yi yi
D
e y yk D yi xi2
D yi
Vy
yi
V xk ห้องสมุดไป่ตู้ xk
D
e x xi
D xk
Vx
xk
xk 1
Dxk
Dxk y k2
yi 1
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心距
2、质量中心 等效地震荷载的作用点即惯性力的合力作用点，与质量分布有关， 称为质心。 可将建筑面积分为若干个单元，认为在每个单元中质量是均匀分布 的，如图所示。在参考坐标系XOY中确定质心坐标Xm，Ym，计 算时可用重量代替质量
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据
y0
yi
/ y xi
y
yi
V x / V
yi yi
i
V / y V y V / V
xk x k xk x xk
xk k
刚度中心，即它是在不考虑扭转情况下 各抗侧力单元剪力的合力中心， 其结构已经知道各抗侧力单元抵抗的层剪力值。
三、考虑扭转后的位移
与y轴平行的第I片结构沿y方向间位移 yi xi （a） 与x轴平行的第k片结构沿x方向间位移 (b) xk y k xi 、 yk——I片及k片结构行形心 xoy坐标系中的坐标 值。
四、结构转角和抗扭刚度
Vy ex
D yi xi2 Dxk yk2
D yii
D yi xi2
2 D xk y k
六、讨论
（1）在同一个结构中，各片抗倒力单元的扭转修正系数大小不一。即α 可能大于1，也可能小于1。当某片抗侧力结构的α＞1时，表示它 的剪力在考虑扭转以后将增大；α＜1时表示考虑扭转后该单元的 剪力将减小。一般情况下，离刚心愈远的抗侧力结构，剪力修正也 愈多。 （2）在扭转作用下，各片抗侧力结构的层间变形及侧移也不相同，距 刚心较远的结构边缘抗侧力单元的侧移及层间变形最大。在结构设 计时应注意扭转引起的附加变形不应太大。 2 2 （3）抗扭刚度由 Dyi xi 及 Dxk yk 之和组成，也就是说，结构中纵向 和横向抗侧力单元共同抵抗扭矩。距离刚心愈远的抗侧力单元对抗 扭刚度贡献愈大。 （4）上、下布置都相同的框架一剪力墙结构中，各层刚心并不在同一 根竖轴上，有时刚心位置相差较大。各层结构的偏心距和扭矩都会 改变，各层结构扭转修正系数也会改变。
框架、剪力墙及框架—剪力墙结构的扭转近似计算 一、问题的提出
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据
扭转计算方法
（1）将整个结构作为一个空间结构，用矩阵位 移法来分析内力和位移（考虑扭转的影响） （2）简化计算，考虑扭转因素后修正剪力的近 似计算
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心距
1、扭转偏心距 水平荷载合力作用线与刚度中心的垂直距离称之为 扭转偏心距。 风荷载合力作用线——按照各个受风面的风荷载合 力确定 地震作用合力作用线——质量中心（应考虑偶然偏 心距5%L）
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据
框架结构
x0
D
yi xi
/
D
yi
y0
D
xk yik
/
D
xk
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据
剪力墙结构
x0
J
eqyi xi
/
J
/
eqyi
y0
J
eqxi xi
J
eqxi
二、质量中心、刚度中心及扭转偏心据
框－剪结构
x0
V V