第八章 扭转
二、选择题
1、阶梯圆轴的最大切应力发生在（ Ａ．扭矩最大截面 Ｃ．单位长度扭转角最大的截面 2、扭转切应力公式 ）。 Ｂ．直径最小的截面 Ｄ．不能确定 ）杆件。
MT 适用于（ Ip
Ａ．任意截面 Ｂ．任意实心截面 Ｃ．任意材料的圆截面 Ｄ．线弹性材料的圆截面 3、单位长度扭转 与（ ）无关。 Ａ．杆的长度 Ｂ．扭矩 Ｃ．材料性质 Ｄ．截面几何性质 解析：长度为 l 的等截面圆杆承受矩Ｍn 时，圆杆两端的相对扭转角为 式中ＧＩＰ称为圆杆的抗扭刚度。单位长度扭转角为
故，强度满足。 （2）刚度校核。 180 4774 .5 180 T ' max GI P 80109 0.14 10.54 32
0.37
故，刚度满足。
m
' 0.5
m
6、如图所示的空心轴，外径 D=69mm，内径 d=50mm，受均布力偶 m=0.2KN.m/m 的作用。 轴的许用应力[ ]=40MPa，[ ]=1.3o/m，G=80GPa。轴的长度 l=4m。试校核轴的强度和刚 度。
Mn 2 At
式中 t 为横截面的厚度（等厚度截面 t 为常数），Ａ为截面中线包围的面积。 截面的最大切应力发生在厚度最小处，即
max
Mn 2 At min
等厚度闭口薄壁杆件的扭转角为
M n sl （式中 s 为截面中线的长度） 4GA 2 t
9．当闭口薄壁杆件扭转时，横截面上最大切应力出现在最小厚度处。 （√） 10．受扭杆件所受的外力偶矩，经常要由杆件所传递的功率及其转速换算而得。（√） 解析：杆件所受外力偶（称为转矩）的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若已 知轴传递的功率Ｐ（kW）和转速 n（r/min），则轴所受的外力偶矩Ｔ＝9549P/n（Ｎm）。
（1）受力分析，A、C 截面约束力偶与外力偶 Me 平衡：
MA MC Me 0
解：（1）计算内力得到内力图：
计算τmax：
AB BC
T AB Wt TBC Wt
310 3 0 .0075 3 16 1.210 3 0 .05 3 16
36 .2 MPa
48 .9 MPa
由此得到：τmax=48.9MPa。 计算φmax。最大相对扭转角发生在 A 端。
（2）根据公式
T max W M W
t e t
M
e
9549
p n
P
max W t n 9549
0 . 1 1 0 . 05 46 . 54 10 6 16 0 .1 9549 3
4 80
5．某空心轴外径 D=100mm，内外径之比α=d/D=0.5，轴的转速 n=300r/min，轴所传递功率 P=150kW， 材料的剪模量 G=80GPa， 许用剪应力[τ]=40MPa， 单位长度许可扭转角[φ']=0.5º/m， 试校核轴的强度和刚度。 解：（1）强度校核。
Ａ．等截面圆轴，弹性范围内加载 Ｂ．等截面圆轴 Ｃ．等截面圆轴和椭圆轴 Ｄ．等截面圆轴和椭圆轴，弹性范围内加载。 6、与如图所示扭转图对应的轴的承受载荷情况是（C）
7、下列论述中正确的是（ ）。 Ａ、切应力互等定理仅适用于纯剪切情况。 适用于：单元体上两个相互垂直平面上的剪应力分析，空间任意应力状态。 Ｂ、已经 A3 钢的τs=120MPa，G=80GPa，则由剪切胡克定律，其切应变γs=τs/G=1.5×10-3Rad 当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力和切应变成线性关系，即＝Ｇ Ｇ称为切变模量（或剪切弹性模量），常用单位为Ｐa 或ＧＰa。 Ｃ、传动轴的转速越高，则其横截面上的扭矩越大。 杆件所受外力偶（称为转矩）的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若已知轴传 递的功率Ｐ（kW）和转速 n（r/min），则轴所受的外力偶矩Ｔ＝9549P/n（Ｎm）。 Ｄ、受扭杆件的扭矩仅与杆件所受的外力偶矩有关，而与杆件的材料及横截面的形状、大小 无关。 8、当对钢制圆轴作扭转校核时，发现强度和刚度均比规定的要求低了 20%，若安全系数不 变，改用屈服极限提高了 30%的钢材，则圆轴的（ ） Ａ.强度足够，刚度不够 Ｂ.强度不够，刚度足够 Ｃ.强度、刚度均足够 Ｄ.强度、刚度均不够 屈服极限提高了，在安全系数不变的条件下，材料的许用应力提高，而构件的最大工 作应力没有改变，故强度得到了提高；由于杆件的受力不变，横截面的尺寸不变，而材料的 剪变模量也几乎没有变化，故刚度没有提高。 9、如图所示阶梯轴，AB，BC 两段材料相同，直径不等。设 AB 段、BC 段横截面上的最大 剪应力为 AB ， BC 单位长度扭转角分别为 AB ， BC 。则该轴的强度条件 max 和度 ， 件 max 中的 max 和 max 分别为（ ）
Tmax 180 'max GIP
3 0.8 10 4 0 . 05 9 4 80 10 0.06 1 32 0.06
180
0.87 / m ' 1.3 / m
故，刚度满足。 7、如图所示，一两端固支的圆轴，在 B 截面处受转矩 Me 作用。试求固支端处 反力偶。
3、图示电机轴，转速 n=924r/min，传送功率 P=150 KW，材料的许用剪应力[ ]= 30 Mpa。 轴各段直径为 d1 =65 mm，d2 =90mm， d3 =135mm(安装转子处)，d4 =75mm，d5 =70mm(安装 胶带轮处)。试对电机轴进行强度校核。
Me
P 150 M e 9549 9549 1550.2N m n 924
M nl （rad） GI P
Mn （rad/m）。 l GI P
4、在圆轴扭转横截面的应力分析中，当材料力学研究横截面变形几何关系时作出的假设是 （ ）。 Ａ．材料均匀假设 Ｂ．应力与应变成线性关系假设 Ｃ．平面假设 Ｄ．各向同性假设 5、扭转切应力公式τρ=MTρ/IP 的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的（ ）。
M nl 1 3 ，式中 I n hi t i GI n 3
任一狭长矩形 i 横截面的最大切应力
i max
M nti In
整个横截面上最大切应力发生在厚度最大的矩形长边上，即 （２）闭口薄壁杆件
max
M n t max In
闭口薄壁杆件限于单孔薄壁管形杆件。由于壁厚很小，近似认为切应力沿壁厚均布，横 截面上形成切应力流。在横截面的任意点，切应力与壁厚的乘积（称为剪力流）等于常量。 横截面上任一点的切应力为
第八章
一、判断题
扭转
１． 当圆杆扭转时， 横截面上切应力沿半径线性分布， 并垂直于半径， 最大切应力在外表面。 （√） 解析：圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为 处的 切应力为
Mn 式中Ｍn 为横截面的扭矩，ＩＰ为截面的极惯性矩。圆杆扭转时横截面 Ip Mn 式中ＷＰ＝ＩＰ／Ｒ， 称为圆杆抗扭截面系数 Wp
解： A.强度校核：
Tmax ml 0.2 4 0.8kN m
max
Tmax Wt
3 0.8 10 0.05 3 0.06 1 16 0.06
4
36.43MPa 40MPa
故，强度满足。 B.刚度校核：
71 . 77 10 3 71 . 77 k
150 p M e 9549 n 9549 4774.5 N m 300
Me 4774.5 T max W W 25.94MP 40MP t t 0.13 10.54 16
max AB BC
310 3 0 .75 0 .0075 4 80 10 9 32
T AB l AB GI P
l BC TBC GI P
3
1 .210 0 .5 80 10 9 0 .05 4
32
2.128 10 2 rad 1.22
由于截面上内力的大小（扭转）为 1550.2Nm,有内力的截面为 d3，d4，d5。由于内力相同时， 截面尺寸越小的位置，应力越大。可得,
max
M T 1550.2 e3 23.02MPa 30MPa 3 Wt min 16 d5 16 0.07
4.空心钢轴的外径 D=100mm，内径 d=50mm。已知间距 l=2.7mm 之间两截面的相对扭转角 1.80，材料的剪切模量 G=80GPa。试计算： （1）轴内最大剪应力； （2）当轴以 n=80r/min 的 速度旋转时，求轴传递的功率 P（单位为 kW）。 （1）
max = AB ， max = AB C. max = BC ， max = AB
A.
B.
max = AB ， max = BC D. mBiblioteka x = BC ， max = BC
三、计算题
１．画出图示各轴的扭矩图
2.如图所示，已知变截面钢轴上的外力偶矩 MeB=1.8kN·m，MeC=1.2kN·m，试求最大剪应力 和最大相对扭转角。已知 G=80GPa。
D 3 (1 4 ) 16 解析： D 4 Ip (1 4 ) 32
Wp
８．当开口薄壁杆件扭转时，横截面上最大切应力出现在最薄的矩形长边上。（×） 解析：杆件横截面的壁厚远小于横截面的其他两个尺寸时，称为薄壁杆件。若杆件横截 面中线是一条不封闭的折线或曲线， 称其为开口薄壁杆件； 若横截面中线是一条封闭的折线 或曲线，称其为闭口薄壁杆件。 （１）开口薄壁杆件 开口薄壁杆件的横截面可以可看作由若干狭长矩形截面组成。 设扭转时各狭长矩形之间 的夹角不变，即整个横截面和组成截面的各部分的扭转角相同，都为；横截面的扭矩Ｗn 等于各组成部分扭矩的总合。 相矩为 l 的两横截面间的扭转角
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工程力学--第八章_圆轴的扭转
利用t t '，经整理得
s a t sin 2a , ta t cos2a
s a t sin 2a , ta t cos2a
由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上切应力的 绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零，而正应 力的绝对值最大；
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截
面尺寸不同，其扭矩图相同否?
若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 相同
相同 不同 变形是否相同？
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
MT
o
o
MT
o
MT
o
MT
8.3.3
扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为
t
t′
s45
t dy
t′
纯剪应力
状态等价于转过 等值拉压应力状 态。
A
c dx
A
t
c
45
t45 45后微元的二向
t
s
dx
45斜截面上的应力： tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0 tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0 解得： s45=-t；t45=0。还有：s45=t； t45=0
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题
8.1 扭转的概念与实例
传动轴
实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆 ；机械中的传动轴等。
第八章圆轴扭转
§8 扭 转
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
工程力学第八章圆轴的扭转详解
轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GIP
单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GIP
扭转刚度条件则为： qmax[q ] ---许用扭转角 机械设计手册建议：[q ]=0.25~0.5/m; 精度高的轴；
[q ]=0.5~1.0/m; 一般传动轴。
整理课件
32
3.扭转圆轴的设计
强度条件： t max T /WT [t ]
Mo
Mo
假想切面
取左边部分
Mo
外力偶
T 内力偶
由平衡方程： T M o 整理课件
平衡
4
返回主目录
Mo
Mo
T
取左边部分
Mo 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
Mo
TMo T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
整理课件
扭矩
外力偶
平衡
5
扭矩的符号规定：
Mo
T
正
Mo
T
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确?
T
o
o
o
o
T
T
T
整理课件
24
8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左 右两边为横截面，上下两边为过轴线的径向面。
3) 计算扭转角AC
AC
TAB l AB GIPAB
+ T BC lBC GIPBC
整理课件
第八章 扭转问题
第八章 直杆的扭转 Torsion of Bar
直杆的扭转
扭转问题中应力和位移 椭圆截面的扭转 扭转问题的薄膜比拟
矩形截面杆的扭转
薄壁杆的扭转
扭转问题的位移解法
扭转问题中应力和位移
问题： （1）等截面直杆，截面形状可以任意； （2）两端受有大小相等转向相反的扭矩 M ； （3）两端无约束，为自由扭转，不计体力 ； 求：杆件内的应力与位移？
l xz s m yz s 0
将 、 l、m 代入上述边界条件，有
dy dx ( )( ) 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
d 0 ds
2 f1 0, 2 z 2 f2 0, 2 x
2 f2 0 2 z 2 f1 0, 2 y
f1 u0 y z z y K1 yz
f 2 v0 z x x z K 2 zx f f 又由： 2 1 0 得： x y z K 2 z z K1 z 0
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
基本方程的求解
2 yz 0
（a）
2 zx 0
（b）
—— 扭转问题的相容方程
—— 平衡方程
由式（a）的前二式，得
zx zx ( x, y) zy zy ( x, y ) —— 二元函数
分部积分，得：
yX xY dxdy y x dxdy y y x x dxdy
zx zy
y C D
同理，得：
B y dy dx A y
直杆的扭转
扭转问题中应力和位移 椭圆截面的扭转 扭转问题的薄膜比拟
矩形截面杆的扭转
薄壁杆的扭转
扭转问题的位移解法
扭转问题中应力和位移
问题： （1）等截面直杆，截面形状可以任意； （2）两端受有大小相等转向相反的扭矩 M ； （3）两端无约束，为自由扭转，不计体力 ； 求：杆件内的应力与位移？
l xz s m yz s 0
将 、 l、m 代入上述边界条件，有
dy dx ( )( ) 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
dy dx 0 y ds x ds
d 0 ds
2 f1 0, 2 z 2 f2 0, 2 x
2 f2 0 2 z 2 f1 0, 2 y
f1 u0 y z z y K1 yz
f 2 v0 z x x z K 2 zx f f 又由： 2 1 0 得： x y z K 2 z z K1 z 0
zx 0 z zy 0 z xz yz 0 x y
基本方程的求解
2 yz 0
（a）
2 zx 0
（b）
—— 扭转问题的相容方程
—— 平衡方程
由式（a）的前二式，得
zx zx ( x, y) zy zy ( x, y ) —— 二元函数
分部积分，得：
yX xY dxdy y x dxdy y y x x dxdy
zx zy
y C D
同理，得：
B y dy dx A y
工程力学--第八章_圆轴的扭转
rdf / dx
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
建筑力学_第八章-090514
达到最大值，在圆心处τ ＝0。
b）在任一圆周上，剪应力与圆周线平行，与半径垂直。
§8-5 等直圆杆在扭转时的应力强度条件
3、力学关系
j j T Ad A G d d xA2 d A G d d xIp
Ip
2d A—极惯性矩
A
T
T
d/2 ρ O
max
D/2
d/2 O
§8-2 连接接头的强度计算
（2）铆钉的剪切与挤压强度计算 运用截面法将铆钉假象地沿剪切面1－1截开
由静力平衡条件得:
Q=P
mQ A1 . 2 5 4 1 230 9.5 9 N /m2m 9.5 9 M P [m ]
4
［τm」=100MPa
§8-2 连接接头的强度计算
铆钉所受的挤压力为 有效挤压面积
知F=50kN，b=150mm，δ =10mm， d=17mm，a=80mm，[σ ]=160MPa， [τ ]=120MPa，[σ bs]=320MPa，铆钉 和板的材料相同，试校核其强度。
解：1.板的拉伸强度
2.板的剪切强度
Fs F 50103 A 4ad 40.080.01
a
b
T
O2
d
a
c
b a’
b’
dj
T
a
dx b
dj
dx
§8-5 等直圆杆在扭转时的应力强度条件
扭转
2、物理关系(剪切虎克定律)
G
GGd djxG
应力分布
d/2 ρ O
maxG RGd d R j xGR
max
说明：
a）剪应力与半径成正比，在外圆周上剪应力
第八章 轴的扭转
第八章 轴的扭转判断题：1. 传动轴的转速越高，则轴横截面上的扭矩也越大。
(错)2. 扭矩是指杆件受扭时横截面上的内力偶矩，扭矩仅与杆件所收的外力偶矩有关，而与杆件的材料和横截面的形状大小无关。
(对)3圆截面杆扭转时的平面假设，仅在线弹性范围内成立。
(错)4. 一钢轴和一橡皮轴，两轴直径相同，受力相同，若两轴均处于弹性范围，则其横截面上的剪应力也相同。
(对)5. 铸铁圆杆在扭转和轴向拉伸时，都将在最大拉应力作用面发生断裂。
(错)6.木纹平行于杆轴的木质圆杆，扭转时沿横截面与沿纵截面剪断的可能性是相同的。
(错)7. 受扭圆轴横截面之间绕杆轴转动的相对位移，其值等于圆轴表面各点的剪应变。
(错)习题八1．直径D =50mm 的圆轴，受到扭矩T =2.15kN.m 的作用。
试求在距离轴心10mm 处的剪应解：4．实心轴与空心轴通过牙嵌式离合器连在一起，已知轴的转速n =1.67r/s ，传递功率N =7.4kW ，材料的[]40t =MPa ，试选择实心轴的直径1d 和内外径比值为1/2的空心轴的外径2D 。
N.m5．机床变速箱第Ⅱ轴如图所示，轴所传递的功率为N=5.5 kW,转速n=200r/min ，材料为45钢，[]40t =MPa ，试按强度条件设计轴的直径。
6.某机床主轴箱的一传动轴，传递外力偶矩T=5.4N.m，若材料的许用剪应力[]30t=MPa，G=80GN/2m, []0.5q=/m，试计算轴的直径。
7．驾驶盘的直径520f=mm，加在盘上的力P=300N[]60t=MPa。
（1）当竖轴为实心轴时，试设计轴的直径；（2）如采用空心轴，试设计轴的内外直径；（3）比较实心轴和竖心轴的重量。
解：方向盘传递的力偶矩m Pϕ= 330052010-=⨯⨯156=N.m8解：（1）20105AB N =--5=kN.m105BC N =--15=-kN.m5CD N =-kN.m（2） 120T =-kN.m22010T =-+10=-kN.m320T =kN.m第九章 梁的弯曲判断题：1. 梁发生平面弯曲时，梁的轴线必为载荷作用面内的平面曲线。
第八章工程力学之扭转全解
设 d DO2 D为半径转过的角度，亦即楔形体左、右两截面 间的相对扭转角。 设 dad ，由图形可以看出 dd dx d d 即： dx d 式中 代表扭转角沿轴线方向的变化率。对于同一截面，它 dx 是一个定值。由此可见，剪应变 与半径 成正比。
例如作图8-4（a）所示轴的扭矩图。
AB轴可以分为等扭矩的AC段和CB 段，AC段各截面的扭矩都等于T1， CB段各截面的扭矩都等于T2。建立 如图8-7所示坐标，水平轴代表各截 面的位置，垂直轴代表扭矩的大小， 正扭矩画在水平轴的上方，负扭矩画 在水平轴的下方，得到图8-7所示扭 矩图。
例8-3 图8-8（a）、图8-8（b）所示传动轴，转速n=300r/m。 A为主动轮，输入功率NA=10kW； B、C、D为从动轮，输出功 率分别为NB=4.5kW，NC=3.5kW，ND=2.0kW。试绘轴的扭矩 图。
径线性分布。楔形体上的剪应力分布如图8-14所示。 结论： 圆轴扭转时横截面上的扭转剪应力 垂直于半径， 并与半径 成正比。横截面中心处的剪应力为零，外表面上 剪应力最大，在半径为 的各点处剪应力大小相等。 实心圆截面轴和空心圆截面轴横截面上的扭转剪应力的分 布情况分别如图8-15（a）、图8-15（b）所示。
2. 物理方面 以 代表横截面上半径为 处的剪应力，即d点处的剪应 力，根据剪切虎克定律，在弹性范围内，剪应力 和剪应变 成线性关系，即有 G
d 将（8-3）式代入上式，得： G dx 上式表明： 扭转剪应力 与半径 成正比，即剪应力沿半
'
上式表明： 在相互垂直的两个截面上，剪应力 必然成对存在，大小相等，都垂直于两个截面的 交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这 一规律称为剪应力互等定理。
第八章 约束扭转
第八章
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7
开口截面的约束扭转
概述 约束扭转正应力分析 主极点和主零点位置确定 约束扭转正应力及对应的内力－双力矩 约束扭转剪应力及对应的内力 扭转角的微分方程，和初等参数方程 缀板式开口薄壁杆件的约束扭转问题
§8-1
概述
受弯构件只有当横向力通过横截面上的一 个特定点—弯曲中心时，杆件才只产生弯 曲。否则，杆件在弯曲的同时，还将产生 扭转。 杆受扭转时横截面绕以转动的点按物理概 念应为扭转中心，扭转中心不一定与形心 重合。 非圆形截面杆受扭时，横截面不再保持为 平面而发生翘曲；
S x
S y
ydA 0 xdA 0
A
A
8－10
S
A
dA 0
极点及弧长起算点移动时的变化公式
A B y x x y C
(8-11）
主极点和主零点位置
x
SB x Ix
, y
SB y Iy
,C
SB A
x
SB x Ix
3b 2 1h 6b 2
2
b x 2
8-4约束扭转正应力所对应的内力—双力矩 S 0 从工字形截面杆件的约束扭转变形来看， 正是翼缘平面内组成的两个相距h的等值 反向的内力矩 B,称为双力矩
h B M f h 2 x dA 2 dA dA Af Af A 2
便可得到它们的初参数方程式
0 C2 C4 0 C1 K C3 B0 GI t C2 L GI C t 3 0
便可得到它们的初参数方程式
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7
开口截面的约束扭转
概述 约束扭转正应力分析 主极点和主零点位置确定 约束扭转正应力及对应的内力－双力矩 约束扭转剪应力及对应的内力 扭转角的微分方程，和初等参数方程 缀板式开口薄壁杆件的约束扭转问题
§8-1
概述
受弯构件只有当横向力通过横截面上的一 个特定点—弯曲中心时，杆件才只产生弯 曲。否则，杆件在弯曲的同时，还将产生 扭转。 杆受扭转时横截面绕以转动的点按物理概 念应为扭转中心，扭转中心不一定与形心 重合。 非圆形截面杆受扭时，横截面不再保持为 平面而发生翘曲；
S x
S y
ydA 0 xdA 0
A
A
8－10
S
A
dA 0
极点及弧长起算点移动时的变化公式
A B y x x y C
(8-11）
主极点和主零点位置
x
SB x Ix
, y
SB y Iy
,C
SB A
x
SB x Ix
3b 2 1h 6b 2
2
b x 2
8-4约束扭转正应力所对应的内力—双力矩 S 0 从工字形截面杆件的约束扭转变形来看， 正是翼缘平面内组成的两个相距h的等值 反向的内力矩 B,称为双力矩
h B M f h 2 x dA 2 dA dA Af Af A 2
便可得到它们的初参数方程式
0 C2 C4 0 C1 K C3 B0 GI t C2 L GI C t 3 0
便可得到它们的初参数方程式
《土木工程-力学》第八章 扭转
其中 2 d A A
称为横截面的极惯性矩Ip，
它是横截面的几何性质。
以Ip
2 d A 代入上式得：
A
dj T
d x GI p
从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点
处切应力计算公式
t
ρ
G
T GIp
T
Ip
30
T
t max
d T
t max
D
t max
t
T
Ip
横截面周边上各点处 r)的
由 t d A r T 根据应力分布可知 Me A
tr0
d A T，于是有
A
t dA
t
r0
T d
A
A
T
r0 (2πr0 )
T
2πr02
引进 A0 πr02 ，上式亦可写作
t T 2 A0
m r0
x m
20
§8-4 切应力互等定理和剪切胡克定律 1. 单元体·切应力互等定理
以横截面、径向截面以及与表面平行的面(切向 截面)从受扭的薄壁圆筒或等直圆杆内任一点处截取 一微小的正六面体——单元体。
{M
e }Nm
2π
{n} r m in 60
103
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上
每个轮的转速)和主动轮或从动轮所传递的功率P
之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶
矩： 6
{Me }Nm
9.55 103
{P}kw {n}r
Nm
min
{Me }Nm
9.55 {P}kw {n}r
kN m
kN
m
M2
M3
(9.55 150) 300